2024年最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型（学生版）

专题25最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型

将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础I：加入了平移的

思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中面档题为主，本专题就将军遛马模型

和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长

度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连

线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造

桥）再也不是问题！

模型1.将军遛马模型

【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）c

【模型解读】已知A、8是两个定点，P、。是直线〃?上的两个动点，〃在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在

直线〃?上要求P、Q两点，使得以+PQ+Q8的值最小。（原理用平移知识解）

（1）点A、B在直线加两侧：（2）点A、8在直线/〃同侧:

AC

••

I，•、

*1

♦•

BB

图1图2

（1）如图1,过A点作AC〃"且AC长等于PQ长，连接8C,交直线加于Q.Q向左平移尸Q长，即为。点，

此时P、Q即为所求的点。（2）如图2,过4点作AE〃〃?,且AE氏等于PQ长，作B关于加的对称点歹，连

接夕£交直线用于Q,Q向左平移尸。长，即为P点，此时P、。即为所求的点。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2024•黑龙江•九年级校考期中）问题背景（1）如图（1）,在公路/的一侧有A,〃两个工厂，A,H

到公路的垂直距离分别为1km和3km,A,A之间的水平距离为3km.现需把A厂的产品先运送到公路上然

后再转送到8厂，则最短路线的长是kin.

问题探究（2）如图（2）,八46和.。所是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，ZACB=ZDEF=90°,

点A,。重合，点3,尸重合，将△4CZ沿直线A8平移，得到△ACS',连接AE,CE.试探究在平移

过程中，A£+CE是否存在最小值.若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

问题解决（3）如图（3）,A,B分别是河岸用一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是2km和4km,

A,3的水平距离是13km.游客在景点A游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行

5km到达码头乙，再乘坐大巴到达景点8.请问码头甲，乙建在何处才能使从A到3的旅游路线最短，并求

出最短路线的长.

/4；

例2.（2024・四川内江•统考中考真题）如图，矩形ABC。中，AB=6,AO=4,点E、/分别是AB、DC±

的动点，EF〃BC,则A/+CE的最小值是.

例3.（2024•四川自贡•中考真题）如图，矩形48C。中，八3=4,BC=2,G是A。的中点，线段E尸在边A3

上左右滑动；若EF=1,则GE+C/的最小值为.

例4.（2024上•江苏盐城•九年级校联考阶段练习）如图，正方形A8CO内接于团O,线段MN在对角线8。上

运动，若例。的周长为2乃，MN=1,则,AMN周长的最小值是

例5.（2024秋・河南南阳•九年级校联考期末）如图，在边长为4的正方形A8C。中将AABD沿射线80平移,

得到AEG尸，连接EC、GC.求EC+GC的最小值为

例6.（2024•贵州黔东南•统考一模）如图，在菱形ABC。中，对角线4C,8。的长分别为6,4,将ABC

沿射线C4的方向平移得到.G庄，分别连接OE,FD,AF,则OF+DE的最小值为.

E

DC

模型2.将军过桥（造桥）模型

【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到•起）c

【模型解读】

【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往8点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：

桥建在何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求4M+NB最小值即可.问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使4M

与NB连在一起，将人历向下平移使得M、N重合，此时人点落在/V位置（图2）.

问题化为求AW+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）.

图1图2图3

【双桥模型】已知，如图4,将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造,

问：桥建在何处能使路程最短？

图5图6

考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于4P+QM+N/3最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移

使其连接到一起.AP平移至A。，NB平移至4匕AP+QM+NB为AQ+QM+MB：（如图5〉

当*、Q、M、方共线时，AQ+Q历+M8取到最小值，再依次确定P、N位置.（如图6）

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2024.浙江八年级期中）同学们已经学过一些平行线的性质，其实平行线的性质还有一些：

（1）如图1，如果〃在a上任取一点P,作PQ的于点Q,则线段PQ的长度叫a,b之间的距离.

如果在a上再取一点M,作MN眺于点N,则线段MN可以看成由线段PQ平移得到，即MN=PQ,这就得

到平行线的又一条性质：平行线间的距离处处相等.根据平移还有哪些线段相等

（2）刚在（1）中提到的平行线性质在河上建桥也有广泛的应用：如图2,直线a,b表示一条河的两岸，

且。b.现在要在这条河上建一座桥.使村庄A经桥过河到村庄B.现在由小明、小红两位同学设计：

小明：作AD回a,交a于点D,交b于点C.在CD处建桥.路径是A-C-D-B.

小红：作ADEla,交a,b于点D,点C；把CD平移至BE,连AE,交b于G,作GF团a于F.在FG处建桥.路

径是A-G-F-B.

问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由.

（3）假设新桥就按小红的设计在FG处实施建造了，上游还有•座旧桥，凌晨3点某船从旧桥下到新桥下，

到达后立即返回，来回穿梭于两桥之间，船在静水每小时1G千米，水流每小时4千米，在当晚23点时有

人看见船在离旧桥80千米处行驶求这两桥之间的距离.

例2.（2024.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在CC'处角转弯，河宽相同，从A处到达〃处，

须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A

到B的路程最短，请确定两座桥的位置.

例3.（2024•广西•二模）己知，在河的两岸有A,B两个村庄,河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB

=10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米,计划在河上修建•座桥MN垂直于两岸，M

点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（）

A.2V13B.1+3x/5C.3+737D.x/85

例4.（2024・陕西西安•校考模拟预测）如图，Y44CO中，A3=3,4）=2,ND$=60。，_LA3,BE1CD；

垂足分别为点尸和E.点G和”分别是。〃和BE上的动点,GH〃A8,那么AG+GH+CH的最小值为

例5.（2024.山东中考二模）如图，抛物线产aF+笈+c（”o）,经过点A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）三

点.⑴求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC.〃C,N为地物线上的点且在第四象限，当SWLA8c

时，求N点的坐标；⑶在（2）问的条件下，过点C作直线位轴，动点P",3）在直线/上，动点Q（〃?，

0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ,当机为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值.

例6.（2024春•湖北武汉•八年级统考期中）如图,在Y48CO中，AB=2,4）=5,M、N分别是A。、BC

边上的动点，且NA4C=NA/N8=60。，则+MN+NQ的最小值是

课后专项训练

1.12024•四川南充市•中考真题）如图，在矩形48CD中，AB=\5,BC=20,把边48沿对角线8。平移，

点4'，方分别对应点4B.给出下列结论：①顺次连接点A'，B:C,。的图形是平行四边形；②点C

到它关于直线AA'的对称点的距离为48；③A'C-9。的最大值为15；④A'C+3'C的最小值为

9,万.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D,4个

2.（2024安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2Q,团ABC=60。，点E、F在对角线BD上运动，旦

EF=2,连接AE、AF,则ZiAEF周长的最小值是（）

A.4B.4+73C.2+2石D.6

3.（2024・重庆九龙坡•统考一模）如图，在边长为4的菱形48Q中，MBC=60。，将ZU8。沿射线8。方

向平移，得到△£尸G,连接EC、GC,则EC+GC的最小值为（）

4.（2024•安徽合肥•合肥寿春中学校考三模）在边长为2的正方形A8CO中，点E、尸是对角线8。上的两个

动点，且始终保持8尸一5E=1,连接AE、CF,则A£+b的最小值为（）

A.2\/2B.3C.2x/5D.2布+1

5.（2024•广东•九年级期中）如图，CO是直线x=l上长度固定为1的一条动线段.已知4（・1,0）,B（0,

4）,则四边形A8CD周长的最小值为.

6.（2024•浙江金华•八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2口〃的正方形纸片沿着对角线AC剪开，

如图/所示.然后固定纸片AABC把纸片△4QC沿AC的方向平移得到AATyC,连48,D'B.DC,在平

移过程中：（1）四边形44czy的形状始终是（2）AZ+OZ的最小值为

DDD'

BB

图1图2

7.（2024下•辽宁沈阳•八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AD=BC=3,

团OBC=60。，将团。沿射线OB方向平移得到团。彳火，连接CZT和CB',则CO'+C山的最小值为

8.（2024•山东潍坊•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知4（0,1）,8（4.2）,P。是K轴上的一条动

线段，旦尸Q=l,当从尸+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为.

9.(2024・四川成都・模拟预测)如图，菱形八88的边在、轴上，顶点。坐标为(yO),顶点。坐标为(0,3),

点E在轴上，线段瓦'〃x轴，且点尸坐标为(8,6),若菱形4?CQ沿x轴左右运动，连接AE、DF,则

运动过程中，四边形ADFE周长的最小值是.

10.(2024・重庆•校考三模)如图，在边长为1的菱形A4CO中，NA4C=60。，将△48。沿射线4。的方向

平移得到夕分别连接4'C,A'D,BC,则A'C+£C的最小值为.

1L(2024.广东省深圳市九年级期中)如图1,已知平行四边形ABCO,以点。为原点，0C所在的直线为x

轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D,AD=2,0C=6,0A=6O°,线段EF所在的直线为0D的垂直平分线,

点P为线段EF上的动点，PMI2X轴于点M点，点E与「关于X轴对称，连接BP、EZM.

(1)请直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；

(2)当BP+PM+ME，的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为;

12.（成都市2024-2024学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有人（0,3）,。（5,0）两点.将直线乙：

y=x向上平移2个单位长度得到直线点4在直线乙上，过点B作直线4的垂线，垂足为点C,连接A8,

BC,CD,则折线A8CO的长A3+8C+CD的最小值为.

13.（广西2024年中考数学真题）如图，已知点43,0）,8（1,0）,两点C（一3,9）,。（2,4）在抛物线），=/上，

向左或向右平移抛物线后，c,。的对应点分别为c',£x,当四边形ABC/y的周长最小时，抛物线的解

析式为.

14.（2024上•陕西西安•九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在4ABe中，A8=AC=6,NBAC=120。，

点、D,E分别是A氏AC的中点.若点M,N分别是OE和上的动点，则4W+MN的最小值是.

（2）问题探究：如图②，4和8两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，

才能使从人到9的路径〃最短.博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过4作河

岸的垂线，使A4=MN,MN为河宽,连接A8,A3与河的一岸交于点N,此时在点N处建桥，可使从A

到B的路径AfMrN-8最短.你认为小旭的说法正确吗？请说明理由.（3）问题解决：如图③，在

矩形A8C。中，A3=60,BC=80,E、尸分别在上，且满足E/〃BC,标=20.若边长为10的正

方形MNPQ在线段石厂上运动，连接创人DP,当8W+OP取值最小时，求回V的长.

15.（2024.广安九年级月考）如图，抛物线丫=@*2+6*+地工。），经过点人（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）三点.⑴

求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、MB,P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合）,

过点P作x轴的垂线PQ.若OQ=a,四边形ACPQ的面积为s.求a为何值时，面积s最大：

（3）点N是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为N（4,-5）,过点C作直线l〃x轴，动点P（m,3）在直线I

上，动点Q（m,0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ,当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN

16.（2024•陕西咸阳・校考一模）【问题提出】（1）如图1,点在直线I的同侧，点A到直线/的距离AC=2,

点8到直线/的距离笈D=4,A、8两点的水平距离C£>=8,点P是直线/上的一个动点，则AP+8Q的最

小值是：

【问题探究】（2）如图2,在矩形48C。中，44=4,BC=2,G是4。的中点，线段石厂在边A4上左右

滑动，若EF=T,求GE+C厂的最小值；

【问题解决】（3）如图3,某公园有一块形状为四边形ABC。的空地，管理人员规划修两条小路AC和8。（小

路的宽度忽略不计，两条小路交于点尸），并在AO和4。上分别选取点M、M沿PM、PN和MN修建地

下水管，为了节约成本，要使得线段尸M、PN与MN之和最小.

已测出NAC8=45。，ZAD^=60°,ZCPD=75°,PD=40m,PC=50&m，管理人员的想法能否实现，若

能，请求出PM+EV+MN的最小值，若不能，请说明理由.

17.（2024上•重庆万州•九年级校考期中）如图，直线），=-：工+4的图象与x轴和），轴分别交于点A和点??,

AB的垂直平分线/与工轴交于点C,与A8交于点。，连接BC.（1）如图1,求OC的长；（2）如图2,若点、P

是射线CO上的动点，点E和点尸是）'轴上的两个动点，且防=2,当AADP的面积为10时，求PE+EF+FC

的最小值。

图2备用图

18.（2024•江苏南京•模拟预测）【模型介绍】

古希腊有•个著名的"将军饮马问邈”，大致内容如下：古希腊•位将军，每天都要巡查河岸同恻的两个军营

A8.他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营.如图①，他时常想，怎么走才