2024届北京大学附中高考数学四模试卷含解析

2024届北京大学附中高考数学四模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题，木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设（1+»）+=1+沆,其中用力是实数，则|。+2叫=（）

A.1B.2C.45D.石

2.函数二二）=、73=7的定义域为（）

A.g3)U(3,+uc)B.(・g,3)U(3,-Ro)

C.g+oo)I).(3，+x)

3.函数y=Asin（口x+e）（3>0,lel<],xeR）的部分图象如图所示，则函数表达式为（

)

B.y=4sin(^x-^)

八A・/冗万、

D.y=4sin(—x+—)

4.已知函数/(x)=log“(|x—2|—〃)(〃>(),且awl),贝匕〃x)在(3,+8)上是单调函数”是“Ova的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知向量满足|4|二l,|b|=G,且〃与人的夹角为工则（。+勿•（2〃一0=（）

6

1313

A.-B.一一C.一一D.-

2222

2

6.双曲线上一y2=i（/〃>c）的一条渐近线方程为x+2）,=。，那么它的离心率为（）

m

A.8B,y/5C.—D.亚

22

7.已知正方体八BCO—dqGR的棱长为2,E,F,G分别是棱AO,CC,,GA的中点，给出下列四个命题:

①EFA.BC；

②直线尸G与直线所成角为60;

③过£,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;

④三棱锥8—瓦6的体积为*.

6

其中，正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

8.设点A,B,C不共线，贝卜（AB-AC）_L3C”是“卜⑷二卜。”（）

A.充分不必要条件R.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

9.已知命题〃：任意xN4,都有log2X22；命题心a>bt则有从.则下列命题为真命题的是（）

A.〃人qB.〃八（一1夕）C.（「〃）八（->g）D.（->/?）Vq

10.等腰直角三角形与等边三角形ABO中，ZC=90°,BD=6,现将△A3D沿〃。折起，则当直线AO与

平面BCD所成角为45。时，直线AC与平面A3。所成角的正弦值为（）

*V3口6n2G

A.----15.----L.----U.------

3223

11.在AABC中，E,尸分别为AB,AC的中点，P为EF上的总一点,实数工，）'满足B4+xP8+），PC=0,

S

设AA3C、"BC、"04、AE48的面积分别为S、S、、邑、邑，记《=4（i=1,2,3）,则取到最大值

时，2x+y的值为（）

A.

12.已知函数=«若不等式〃式)《门一4对任意的xtR恒成立，则实数々的取值范围是()

A.(-co,l]B.[l,+oo)C.[0,1)D.(-1,0]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,如图，在平面四边形□口(]口中，卬口|=工|口口|,，W(ZZ•(CZ+IZZ)=--------

14.(2x—1)6的展开式中常数项是.

x

15.若点N为点M在平面a上的正投影，则记N=£(M).如图，在棱长为1的正方体A8CD一4与GR中，记平

面4BQ为夕，平面ABC。为乙点尸是线段CG上一动点，。1二川方(〃)1，。2=%【力(/')1.给出下列四个结论：

①Q为4与。的重心;

②QQJ.8。；

4

③当CP二W时，PQJI平面£；

④当三棱锥D,-APB.的体积最大时，三棱锥APB,外接球的表面积为2〃.

其中，所有正确结论的序号是________________.

x-j+2<0

16.设变量x,V满足约束条件卜+2)，—420,则目标函数z=x—2y的最小值为.

y-3<()

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知抛物线/=2PHp>0),过点C(-2,0)的直线I交抛物线于A,B两点,坐标原点为。，办・08=12.

(1)求抛物线的方程；

(2)当以AA为直径的圆与),轴相切时，求直线/的方程.

18.(12分)已知抛物线G：),=2*(〃>0)上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.

(1)求P的值；

(2)设尸(%必)(O<XO<2)为抛物线G上的动点，过p作圆(x+l『+y2=i的两条切线分别与y轴交于A、B

两点.求|4用的取值范围.

19.(12分)已知函数/'(X)=(#a+〃sinx+(g〃-G4cos且/⑼二一1,/(])=1.

(1)求/V)的解析式；

(2)已知g(x)=f-+机一3(1<m<4),若对任意的x,G[0,兀],总存在占e[-2,m],使得"％)=g伍)成立,

求加的取值范围.

20.(12分)如图，在四棱锥P-A3CD中，底面43co为直角梯形，ADHBC,N4OC=90,平面Q4O_L底面

ABCDt。为AO的中点，M是棱尸。上的点且PM=3MC,PA=PD=2,BC=^-AD=\tCD=2.

(1)求证：平面"Q3_L平面以24。；

(2)求二面角M-3Q-C的大小.

x—cos0

21.(12分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为‘一।,八(。为参数).以原点为极点，x轴的非负半轴

y=1+sin9

为极轴，建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程：

x=1+/cos0

（2）直线/:4.八（f为参数）与曲线。交于A,8两点，求|AB|最大时，直线，的直角坐标方程.

y=rsmc/

22.（10分）已知f*）=o?-2MoKE），求/（幻的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据复数相等，可得。力,然后根据复数模的计算，可得结果.

【详解】

由题可知：（l+i）a=l+切，

即a+ai=l+〃i,所以。=1,。=1

则h+冽=|1+2i|=#+22=6

故选：D

【点睛】

本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.

2、A

【解析】

根据募函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.

【详解】

因为函数二八—力

解得二：二且二；S；

・函数二（二）=、=7•六的定义域为艮3）53+工，故选A.

【点睛】

定义域的三种类型及求法：（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解；（2）对实际问题：由实际

意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解；（3）若已知函数1二的定义域为［二,二，则函数二；二二的定义域由不

等式二4二4二，三二求出.

3、A

【解析】

根据图像的最值求出A,由周期求出切，可得），=4sin（Jx+。），再代入特殊点求出夕，化简即得所求.

【详解】

r-pG

由图像知A=4,==6—（—2）=8,7=16=—,解得。二工，

2co8

TT7T

因为函数y=4sin（—x+（p）过点（2,-4）,所以4sin（—x2+。）=一4,

OO

71TC71

sin（—x2+e）=-l,即一x2+°=——+2k兀*GZ）,

882

37ritSTT

解得9=—『2k7T（kEZ）,因为|°|<7,所以。=一，

424

j?=4sin（—x+—）=-4sin（—x+—）.

8484

故选：A

【点睛】

本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.

4、C

【解析】

先求出复合函数/（幻在（3,+8）上是单调函数的充要条件，再看其和0<。<1的包含关系，利用集合间包含关系与充

要条件之间的关系，判断正确答案.

【详解】

/（x）=logfl（|x-21-a）（a>0,且。Hl）,

由,一2|—a>0得为<2—々或2+a,

即/（x）的定义域为｛x|x<2-。或x>2+。｝,且〃工1）

令其在（-8,2-〃）单调递减，（2+a,内）单调递增，

2+a<3

/(x)在(3,+8)上是单调函数，其充要条件为“>0

即0V4<1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.

5、A

【解析】

根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.

【详解】

(〃+/?)•(2。-Z?)=2a-万+a，b=2-3+lx6x—=—.

22

故选：A.

【点睛】

本题主要考查数量积的运算，属于基础题.

6、D

【解析】

2

根据双曲线三-丁二](,〃>4的一条新近线方程为1+2'=(),列出方程，求出〃7的值即可.

m

【详解】

・・•双曲线5一),2=](6>C)的一条渐近线方程为x+2)，=0,

H11

可得-/==T,=4,

2

，双曲线的离心率e=-=—.

a2

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.

7、C

【解析】

画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可.

【详解】

如图；

连接相关点的线段，。为4C的中点，连接EbO,因为尸是中点，可知4C_LO尸，£O_LgC,可知B|C_L平面EbO,

即可证明40,所以①正确;

直线FG与直线A。所成角就是直线AB与直线AD所成角为60°；正确;

过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图:

是五边形EHFGI.所以③不正确;

如图:

M

B

三棱锥B-EFG的体积为:

由条件易知尸是GM中点,

=

所以匕-EFGVR-EFM=YF-B£JW，

^t^x2--x2x1-1x3x1=-,

而SBEM=§梯形ABM”一^AABE-S.DM

2222

匕3=：XQ=所以三棱锥人所G的体积为④正确;

32。6.6

故选：C.

【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中

档题.

8、C

【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

由于点4,B,C不共线，则

（八8IAC）JL8co（人8I人C）8c=0o（AB+AC）•（A0—A8）=AC?—A8?=00Ad?=A3?O”

AB卜卜中；

故"（AB+AC）d_BC”是“网二卜中的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.

9、B

【解析】

先分别判断命题〃应真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.

【详解】

〃为真命题；命题q是假命题，比如当0＞々＞〃，

或。=1,8=一2时，则不成立.

则〃△“，（「p）八（」q）,均为假.

故选:B

【点睛】

本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.

10＞A

【解析】

设E为中点,连接AE、CEt过4作49_LCE于点O,连接。O,得到NAOO即为直线A。与平面"C。所成角

的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到NC4石即为直线AC与平面480所成角，进而求得其正弦值，得

到结果.

【详解】

设£为30中点，连接A£、CEt

由题可知A£_L8O,CE上BD,所以8£)_L平面AKC,

过A作AOJ_C£于点。，连接。0,则AO_L平面3£>C,

所以ZADO即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，

所以sinNADO=立=尤，可得A0=3&，

2AD

在A4OE中可得0七二3,

又0C=gBD=3,即点。与点。重合，此时有AC_L平面BCO,

2

过。作与点尸，

又8£>_L平面AEC,所以8O_LC/，所以C尸_L平面AAD,

从而角ZCAE即为直线AC与平面ABD所成角，sinZCAE=—=^==—,

AE3G3

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平

面角的定义，属于中档题目.

11、D

【解析】

根据三角形中位线的性质，可得户到5c的距离等于△A3C的4C边上高的一半，从而得到e=(S=S2+S3,由

此结合基本不等式求最值，得到当4•小取到最大值时，P为EF的中点，再由平行四边形法则得出

++=根据平面向量基本定理可求得工=>=；，从而可求得结果.

【详解】

如图所示：

EP

BC

因为七尸是乙ABC的中位线，

所以P到8C的距离等于△ABC的8C边上高的一半，

所以R=gs=S2+53，

52+S2X2

由此可得：［_S2S3_S2S_1，

当且仅当S2=S;时，即尸为所的中点时，等号成立，

所以PE+PF=O,

由平行四边形法则可得P4+P8=2PE，PA+PC=2PF，

将以上两式相加可得2PA+PB+PC=2(PE+PF)=0,

-1—1

所以PA+-P8+-PC=0,

22

又已知PA+xPB+yPC=Of

根据平面向量基本定理可得x=.y=p

13

从而2x-y=1+—=T,

■22

故选：D

【点睛】

本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.

12、A

【解析】

先求出函数/(外在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数/")=«和g*)=k-4的图象,

111人94W1

利用数形结合进行求解即可.

【详解】

当X21时，/(x)=lnx,=>f(x)=2n/⑴=1,所以函数/(“在(1,0)处的切线方程为：y=x-\f令

入

g（x）=\x-k\f它与横轴的交点坐标为（k,0）.

在同一直角坐标系内画出函数〃x）=[nxx〉]和双#=上一4的图象如下图的所示:

利用数形结合思想可知：不等式/（工）（k-4对任意的xcR恒成立，则实数A的取值范围是ZW1.

故选：A

【点睛】

本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、_?

【解析】

由题意得匚口「三।_二一5三三三十三二.三一三5然后根据数量积的运算律求解即可.

【详解】

由题意得三♦壬=（三三♦曰♦（三♦三）=三.三

匚二一二二=（二二+二二）+（匚二•+二二）二二二十二二，

:zz+zz）e（zz+5z）=（zz-zz）＜（zzi+zz）=zz*-zz'=p-/d="?

【点睛】

突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用三二表

示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷.

14、-160

【解析】

试题分析：常数项为4=C；(2X)3(-33=-160.

考点：二项展开式系数问题.

15、®@®

【解析】

①点?在平面ABC。内的正投影为点C,而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线CA垂直于

平面A42,而乙44。为正三角形，可得。2为正三角形A4修。的重心，所以①是正确的；

②取与A的中点£,连接4七，则点P在平面AS。的正投影在A七上，记为Q,而3O_L平面水96,。「。？£平

面ACC4,所以所以②正确；

4

③若设AECCG=M,则由P。AE可得RtAWACsRtAMPQ,然后对应边成比例，可解CP二寸所以③正确;

④由于%-八"=匕』用A，而的面积是定值，所以当点P到平面AA2的距离最大时，三棱锥R-A尸片的

体积最大，而当点?与点。重合时，点2到平面的距离最大，此时。-为棱长为正的正四面体，其外

接球半径/?=等，则S球=3%，所以④错误.

【详解】

因为力(P)=C,连接CA，则有CAJ平面ABQ,CAc平面加。=<22，。=。用=。。,，4与。为正三角形，

所以0为正三角形八44。的中心，也是的重心，所以①正确；

由CA，平面ABQ,可知平面ACCA_L平面A3Q,记%(P)=Q,

由6/)_LAC,6/7_LCC，可得仪9J_平面ACGA，G，0£平面ACG4,则所以②正确;

若PQJ平面A，则尸QJAE,设CP=«O别l),AEcCG=M由Rt-M^CsRt.MPQ得PQ=W，易得

5t_____2

QC=^-(2-/)由PQiAE,则NPQC=NMAC,由tanNPQC=tanNMAC得，叵口T瓦解得

3

当尸与C重合时，匕VA叫=匕，一人8以最大，P-4/。为棱长为后的正四面体，其外接球半径R=孚，则S球=3%,

所以④错误.

故答案为：①②③

【点睛】

此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.

16、-8

【解析】

通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线y=在y轴截距最大的问题，通过图像解决.

【详解】

由题意可得可行域如下图所示:

令)，=gx-］，则Zmin即为在)轴截度的最大值

由图可知：

本题正确结果：-8

【点睛】

本题考查线性规划中的Z=or+力型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在)•轴截距的问题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)y2=4x；(2)x+岛+2=0或工-岛+2=0

【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考

生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想.第一问，设出直线方程与抛物线方程联

立，利用韦达定理得到yi+yz,yiy2,x.x2,代入到Q4=12中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用

两种方法求出,用的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.

试题解析:(I)设1：x=my—2,代入y2=2px,得y?—2pmy+4P=1.(*)

设A(x”yi),B(X,yz),则yi+y2=2pm,yiyz=4p,则x/,二?1二4.

24p-

因为。AO8=12,所以,凶+丫邛2=12，即4+4p=12,

得p=2,抛物线的方程为y2=4x.…5分

(II)由(I)(*)化为y?—4my+2=L

yi+y2=4m,yiyi=2,…6分

设AB的中点为M,则|AB|=2xm=xi+x2=m(yi+y2)­4=4m2—4,①

2

又|=也+而\y}-y2\=+6m-32),②

由①②得(1+nr)(16nr-32)=(4nr-4)2,

解得m2=3,m=±5/3.

所以，直线1的方程为.t+Gy+2=0,或x—Gy+2=0.・・.12分

考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.

18、（1）〃=2；（2）0<|y4B|<2

【解析】

（1）根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,由抛物线的定义得到3+4=4求解.

2

（2）设过点P（%,y。）的直线方程为），-），0=攵。70）,根据直线与圆（工+1）2+丁2=1相切，则有层等山二1,

yJk~+\

整理得：（与2+2X0*-2%（而+1乂+（为2—1）=0,根据题意人包为一匕天卜川。,%—^^），建立

=%-&|XO=XOJ（4+42『-4"2，将韦达定理代入求解.

【详解】

（1）因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,

由抛物线的定义得：3+4=4,

2

解得:P=2.

（2）设过点尸（毛,%）的直线方程为y-%=k（x-x.）,

因为直线与圆（x++y2=\相切,

所唱六，

整理得：(x(：+2%)&2-2%(/+1*+(%2-1)=0,

/他=坐»人•「斗

%+2%x0+2%

由题意得：A（0,%-K不）,8（0,%-自而）

No+%+2"a_2

所以M3=%-&2I/=$J(4+&『-4勺&,=2

(%+2『一

因为0</工2,

1,11

所以——-----<一,

所%+22

所以0<|A同02.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19、(1)/(x)=2sin^x--^J；(2)(1,3]

【解析】

(1)由f(0)=-1jg)=1,可求出a,b的值，进而可求得fM的解析式;

(2)分别求得和g。)的值域，再结合两个函数的值域间的关系可求出〃，的取值范围.

解得ci=1,/?=,

2

1371

故/«=sinx+cosx=V3sinx-cosx=2sin

222J6

71IT5兀(TTA|

⑵因为X£[。,4所以“一片，所以sinx--G--.1,贝!|/(x)£[-1,2],

66」IL2J

g(x)=V-2尤+〃?-3图象的对称轴是x=l.

因为1<掰W4,-2WxW所以g(x)1nhi=g(l)=*4,gOOg=g(-2)="z+5,

1</w<4

则44-1,解得故〃？的取值范围是(1,3].

m+5>2

【点睛】

本题考查了三角函数的恒等变换，考查了二次函数及三角函数值域的求法，考查了学生的计算求解能力,属于中档题.

20、⑴证明见解析；(2)30°.

【解析】

(1)推导出。//3Q,QB1AD,从而3Q_L平面%。，由此证明平面PQB_L平面以必力；

（2）以。为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角历-6Q-C的大小.

【详解】

解：（1）AD//8C,BC=^ADfQ为AO的中点，

••・四边形8COQ为平行四边形，・•.CQ//3Q.

•・ZADC=90°,=90°,即。3_LA。.

又••平面平面A8CD,且平面PA。平面A3CO=AD,

8。，平面孙。.

BQu平面PQB,

平面PQ"_L平面P4O.

（2）PA=PD,。为A。的中点，

PQLAD.

平面尸AO_L平面ABCO,且平面处。八平面A5C7）=AD,

尸。_L平面A8CO.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系,

则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1),

2(0,0,0),尸(0,(),6)，8(020),。(一1,2,0),

设A/(x,y,z),则PM=k，y,z-G),MC=(-\