组合数及性质课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2排列和组合6.2.4组合数学习目标掌握组合数公式和组合数的性质.能运用组合数的性质进行计算.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.组合的定义：

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．并成一组排列数的定义：

我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.排列的个数复习回顾概念形成类比排列数，我们引进组合数概念：组合数：

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.取出元素个数元素总数“组合”的首字母m，n所满足的条件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.

符号中的C是英文combination(组合)的第一个字母.组合数还可以用符号

表示.例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为

;

从4个不同元素中任取3个元素的组合数为

.思考：组合和组合数有什么区别？“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素作为一组”，

它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数.概念讲解上节课已知“从甲、乙、丙

3名同学中选出

2名参加一项活动”，通过列举数数知，有

3种组合方式：甲、乙；甲、丙；乙、丙.若“从

50名同学中选择

2名同学参加一项活动，求有多少种组合方式”？上述方法是否便捷？复习回顾从甲、乙、丙

3

名同学中选出

2

名参加一项活动：组合：

甲乙甲丙乙丙有

3种有

6种甲乙甲丙乙丙排列：

乙甲丙甲丙乙排列数也可以看作由以下两个步骤得到：第①步，从3个不同元素中取出2个元素作为一组，共有种不同的取法；C3

2第②步，将取出的2个元素作全排列，共有种不同的排法.A2

2根据分步乘法计数原理，有新知探究组合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb新知探究应用同样的方法，求“从a、b、c、d元素中取出3个元素的排列数

.”

于是，根据分布乘法计数原理有所以新知探究组合数公式：这里m，n∈N*

；并且

m≤n.另外，我们规定所以上面的公式还可以写成归纳小结例6

计算：解：典例分析思考

此关系是否具有一般性？性质1组合数的性质问题3

对于组合数的这个性质你能给出证明与解释吗？性质1证明：解释：

该性质反映了组合数的对称性.其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法).因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样.即从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数，也就是.新知探究解释：

该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有种取法.由分类加法计数原理，得.性质21.计算：追问：你有什么发现和猜想？组合数的性质新知探究

1.计算：3.2.4或71330小试牛刀例2

在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？分析：(1)从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；(2)可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；(3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．典例分析例2

在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法？解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为分析：(1)从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；典例分析例2

在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？分析：(2)可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；(2)从2件次品中抽出1件的抽法有

种，从98件合格品中抽出2件的抽法有

种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为典例分析例2

在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为(3)方法1(直接法)：

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即方法2(间接法)：分析：(3)从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．典例分析解：1.计算：课本P25巩固练习证明：2.求证：课本P25巩固练习解：解：巩固练习3.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.(1)共有多少种不同的选法?(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法?