2024-2025学年北京市101中学八年级（下）期中数学试卷及答案解析

2024-2025学年北京市101中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8题，每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.(2分)在平面直角坐标系中，点M(3,−11)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2分)下列图象不能表示y为x的函数的是（）A.B.C.D.3.(2分)变量y与x之间的关系式为y=32x+2，当自变量x=2A.−2B.−1C.1D.54.(2分)如图所示，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是（）A.AC⊥BDB.OA=OCC.AC=BDD.AO=OD第4题图第5题图5.(2分)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，若EF=4，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.86.(2分)翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABCD中,IJ∥KL,EF∥GH,∠1=∠2=30∘，A.30B.45C.50D.60第6题图第7题图7.(2分)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=4，BC=8，则△BA.12B.16C.20D.248.(2分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE，DF，EF①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为32④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为4.其中正确的结论是（）A.①②④B.①④⑤C.①③④D.①③④⑤二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）．9.(2分)在▱ABCD中，若∠B=30∘，则∠C=10.(2分)直线y=13x+1向下平移511.(2分)象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏.如图，是一局重棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为(3,3)(−3,1)，则表示棋子“帅”的点的坐标为；表示棋子“炮”的点的坐标为.12.(2分)已知一次函数y=−2x+b的图象经过点(−2，y1)和(−3，y2)，则y1y213.(2分)一个多边形的每个内角都是150∘，这个多边形是14.(2分)已知等腰三角形的周长是24cm，则底边长y(cm)和腰长x(cm)的函数关系式为15.(2分)如图，点E为正方形ABCD边CB延长线上一点，点F为AB上一点，连接AE，CF，AC，若BE=BF，∠E=70∘，则∠ACF=16.(2分)在平面直角坐标系xOy中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有如下四个结论：①第二象限内有无数个“2和点”；②第一、三象限的角平分线上的“3和点”有两个；③y轴上没有“5和点”；④若第三象限内没有“k和点”，则k⩾0.其中正确的结论序号是.三、解答题（本大题共8大题，共68分．17-18、20-21每题6分，19、22-24每题7分，25-26每题8分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(6分)已知一次函数y=2x−4.(1)这个一次函数与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B，求点A、B的坐标；(2)求△AOB的面积.18.(6分)已知平行四边形ABCD，AE=CF，求证：四边形EBFD为平行四边形.19.(7分)小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校.以下是他本次上学所用的时间与离家距离之间的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是______米.(2)小明在书店停留了______分钟.(3)本次上学途中，一共用了______分钟.(4)小明一共行驶了______米.(5)在整个上学的途中小明骑车的最快速度是______米/分.20.(6分)如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点.求作：线段DE，使得点E在线段AC上，且DE=1作法：①连接CD；②以点A为圆心，CD长为半径作弧，再以C为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点M；③连接DM，交AC于点E；所以线段DE即为所求的线段.(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：连接AM，CM，∵AM=CD，AD=CM，∴四边形ADCM是平行四边形.(①______)(填推理的依据)∵AC，DM交于点E，∴AE=CE.(②______)(填推理的依据)∵点E是AC的中点，点D是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线.(③______)(填推理的依据)∴DE=121.(6分)一次函数y=ax+a−1(a为常数，且a≠0).(1)若点(1,3)在一次函数y=ax+a−1的图象上，求a的值；(2)当−2⩽x⩽4时，函数有最大值9，求a的值.22.(7分)综合与实践如图1和图2，在单位长度为1的7×7的网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上，且两个四边形中均有两个相邻的角为直角，两条相邻的边相等，我们将此定义为“和谐四边形”，两条相等邻边所夹的角称为“和谐角”.(1)图1中“和谐四边形ABCD”内，相等邻边的长度为______；图2中“和谐角”的度数为______；(2)请在图3中画出格点C，使得四边形ABCD为“和谐四边形”，且“和谐角”为∠ADC；(3)如图4，四边形ABCD为“和谐四边形”，∠A=∠ABC=90∘，且∠BCD为“和谐角”，连接BD，求证：23.(7分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC,过点C作CE∥DB，BE与CE相交于点E.(1)求证：四边形BECO是矩形；(2)连接DE，若AB=3，AC=4，求DE的长.24.(7分)学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法.请运用积累的经验和方法，对函数y=2(x−2(1)列表：x…0123456…y…20m0246…表格中：m=______；(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象：(3)观察图象：①方程2(x−2②当2<x<5时，y的取值范围是______；进一步研究：若点M(x1，y1)，N(x2，y2)是函数y=2(x−t25.(8分)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE、DF.(1)猜想：直接写出DE与DF的数量关系、位置关系.(2)连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG.①依题意，补全图形；②求证BG=DG；③若∠EGB=45∘，证明26.(8分)在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，则称线段MN是点A的“菱线段”，点M是点A的“菱点”.例如，图1中线段MN是点A的“菱线段”.(1)如图2，已知点A的坐标是(0,2).①点M1(1,−1)，M2(3，1)，②若线段MN是点A的“菱线段”，且菱形AOMN的面积是2，求点N的坐标；(2)记OA=t，若线段MN与线段M'N''都是点A的““菱线段”，且线段MN与线段M'2024-2025学年北京市101中未来科学城学校、北京市101中昌平实验学校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8题，每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1、【答案】D【知识点】点的坐标2、【答案】C【知识点】函数的概念,函数的图象3、【答案】D【知识点】函数值,用关系式表示变量间的关系4、【答案】B【知识点】平行四边形的性质5、【答案】D【知识点】三角形中位线定理,菱形的性质6、【答案】D【知识点】平行线的性质,相似多边形的性质7、【答案】A【知识点】勾股定理,矩形的性质,翻折变换（折叠问题）8、【答案】C【知识点】全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）．9、【答案】150【知识点】平行四边形的性质10、【答案】y=【知识点】一次函数图象与几何变换11、【答案】(−1,0),(0,3)【知识点】点的坐标12、【答案】<【知识点】一次函数图象上点的坐标特征13、【答案】十二【知识点】多边形内角与外角14、【答案】y=24−2x【知识点】函数关系式,根据实际问题列一次函数关系式15、【答案】25【知识点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质16、【答案】①④【知识点】点的坐标三、解答题（本大题共8大题，共68分．17-18、20-21每题6分，19、22-24每题7分，25-26每题8分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、【解答】解：（1）令x=0，则y=−4；令y=0，则x=2，∴点A(2,0)，点B(2)∵A(2,0)∴OA=2，∵B坐标(0,−4)，∴OB=4，∴S【知识点】点的坐标18、【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，且AD=CB，∵AE=CF，∴AD−AE=CB−CF，∴ED=FB，∵ED∥FB，且ED=FB，∴四边形EBFD是平行四边形.【知识点】平行四边形的判定与性质19、【解答】解：（1）由图象可得，小明家到学校的路程是1500米，故答案为：1500；(2)由图象可得，小明在书店停留了：12−8=4(分钟)，故答案为：4；(3)本次上学途中，一共用了14(分钟)，故答案为：14；(4)小明一共行驶了：1500+(1200−600)×2=2700(米)故答案为：2700；(5)由图象可知，在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：(1500−600)÷(14−12)=450米/故答案为：450.【知识点】函数的图象20、【解答】(1)解：图形如图所示：(2)证明：连接AM，CM，∵AM=CD，AD=CM，∴四边形ADCM是平行四边形（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形），∵AC，DM交于点E，∴AE=CE(②平行四边形的对角线互相平分)，∵点E是AC的中点，点D是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线（③三角形中位线的定义），∴DE=1故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的定义.【知识点】作图—复杂作图21、【解答】解：（1）将点(1,3)代入y=ax+a−1，得：3=a+a−1，a=2；(2)①若a>0，函数单调递增，则最大值出现在区间的右端点x=4时，即x=4，y=9，代入y=ax+a−1，得：9=4a+a−1，a=2，满足a>0；②若a<0，函数单调递减，则最大值出现在区间的左端点x=−2时，即x=−2，y=9，代入y=ax+a−1，得：9=−2a+a−1，a=−10，满足a<0；故a的值为2或−10.【知识点】一次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征22、【解答】(1)解：如图1，由勾股定理得CD=3∴BC=CD=5，∴相等邻边的长度为5；如图2，∵AB=BC=4，∠ABC=90∘∴“和谐角”的度数为90∘故答案为：5；90∘(2)解：如图3，点C就是所求的点.理由：∵∠DAB=∠ADC=90∘，∴四边形ABCD为“和谐四边形”，且“和谐角”为∠ADC，∴点C就是所求的点.(3)证明：如图4，∵四边形ABCD为“和谐四边形”，且∠BCD为“和谐角”，∴BC=DC，∴∠DBC=∠BDC，∵∠A=∠ABC=90∴∠ADB+∠ABD=90∘，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠BDC.【知识点】四边形综合题,作图—应用与设计作图23、【解答】(1)证明：∵BE∥AC,CE∥DB，∴四边形BECO是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90∴平行四边形BECO是矩形；(2)解：如图，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，AC=4，∴OA=OC=2，OB=OD，AC⊥BD，∴OB=A∴BD=2OB=25∵四边形BECO是矩形，∴BE=OC=2，在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=B即DE的长为26【知识点】菱形的性质,矩形的判定与性质24、【解答】解：(1)由题意，当x=2时，y=2(x−2∴m=−2.故答案为：−2.(2)函数y=2(x−2(3)①由题意，结合(2)的图象，∵图象与x轴有两个交点，∴方程2(x−2故答案为：两.②由图象，当x=2时，y=−2；当x=5时，y=4，又∵当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增大而增大，∴当2<x<5时，−2<y<4.故答案为：−2<y<4.(4)由题意，结合(2)可得，对于函数y=2(x−t)2∴当x<t时，y随x的增大而减小，而x>t时，y随x的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线x=t越近，函数值越小.∵当1<x1<2，2<∴M在左侧，N在右侧，MN的中点一定在对称轴直线x=t的右侧.∴t<x∴3∴t⩽3故答案为：t⩽3【知识点】有序数对25、【解答】(1)DE=DF，DE⊥DF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90∘∴∠DCF=90又∵AE=CF，∴△ADE≅△CDF(SAS)∴∠ADE=∠CDF，DE=DF，∵∠ADE+∠CDE=90∴∠CDF+∠CDE=90即∠EDF=90∴DE⊥DF；(2)①解：依题意，补全图形如图所示：②证明：由(1)可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，∵G是EF的中点，∴DG=12EF∴BG=DG；③证明：由(1)可知，△ADE≅△CDF，DE⊥DF，∴DE=DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEG=45∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，DG=12EF=EG∴∠EGD=∠HGF=∠DGF=90∘，∠GDF=45∘，∵∠EGB=45∴∠GBF=∠GFB=22.5∵∠DHF+∠HFG=∠DHF+∠CDH=90∴∠HFG=∠CDH=22.5∴∠CDF=∠GDF−∠HDC=22.5又∵∠DCH=∠DCF=90∘，∴△CDH≅△CDF(ASA)∴CH=CF，在Rt△GHF中，由勾股定理得：GF∵HF