2024年北京高考数学文试题及答案

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2024年一般高等学校招生全国统一考试

数学(文)(北京卷)

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在

答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并

交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个

选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)己知集合力二{(II|<2)},后{f,0,1,2},贝IJArB=

(A){0,1}(B){-1,0,1)

(C){-2,0,1,2}(D){-1,0,1,2}

(2)在复平面内，复数Jr的共轮复数对应的点位于

(A)第一象限(B)其次象限

(C)第三象限(D)第四象限

(3)执行如图所示的程序框图，输出的s值为

(A):(B)J

2O

77

(C)(D)77

o12

(4)设a,b,c,d是非零实数，贝“ad=be”是“a,b,c,d成等比数歹U”

的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条

件

(5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方

法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平

均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从其

次个单音起，每一个单音的频率及它的前一个单音的频率的比都

等于亚・若第一个单音的频率为/；则第八个单音的频率为学

科#网

(A)啦/(B)位f

(C)汐/(D)瓯f

(6)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角

形的个数为

(A)1(B)2

(C)3(D)4

(7)在平面直角坐标系中，A及CD,是圆f+)3=］上的四段弧

(如图)，点尸在其中一段上，角。以。为始边，。尸为终边，若

tana<cosavsina,则尸所在的圆弧是

(A)AB(B)CD

(C)EF(D)GH

(8)设集合A={(x,y)|x-)，Nl,ar+)，>4,x-ayV2}4lJ

(A)对随意实数&(2,DeA(B)对随意实数4(2,1)任A

(C)当且仅当水0时，(2,1)任A(D)当且仅当心；时,

(2,1)CA

其次部分(非选择题共110分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)设向量a=(1,0),ZF(T,加，若。，(〃以-))，则而.

(10)已知直线/过点(1,0)且垂直于轴，若/被抛物线V=4K截

得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.

(11)能说明“若H>6,则为假命题的一组分。的值依次为

ab

*

(12)若双曲线】4=1(〃>0)的离心率为省，则年_________.

cr42

(13)若,y满意x+l"W2x,则2y4］最小值是.

(14)若“3C的面积为4S+ci),且NC为钝角，则N

庐；£的取值范围是.

a

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或

证明过程。

(15)(本小题13分)

设｛%｝是等差数列，且q=ln2,%+4=5ln2.

(I)求｛七｝的通项公式；

(II)求e'4+e“2++e””.

(16)(本小题13分)

已知函数/(x)=sin2x+百sinxcos工.

(I)求人幻的最小正周期；

(II)若/⑴在区间［3,，川上的最大值为\求〃，的最小值.

（17）（本小题13分）

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类第一类其次类第三类第四类第五类第六类

型

电影部14050300200800510

数

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数及该类电影的部数的比

值.

（I）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获

得好评的第四类电影的概率；

（II）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

学科％网

（III）电影公司为增加投资回报，拟变更投资策略，这将导致不

同类型电影的好评率发生变更.假设表格中只有两类电影的好评

率数据发生变更，那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的

好评率削减0.1,使得获得好评的电影总部数及样本中的电影总

部数的比值达到最大？（只需写出结论）

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥尸乂及力中，底面47勿为矩形，平面为〃，平面

ABCD,PALPD,PA=PD,E,尸分别为力仇阳的中点.

（I）求证：PE1BC；

(II)求证：平面为81平面PCD；

(III)求证：EF〃平面PCD.

(19)(本小题13分)

设函数f(x)=[ax1-(3。+1)x+3。+2]er.

(1)若曲线y=，(x)在点(2J(在处的切线斜率为o,求绐

(II)若/(X)在1=1处取得微小值，求d的取值范围.

(20)(本小题14分)

已知椭圆M：W+g=l(a>〃>0)的离心去为四,焦距为2a.斜率

a~b~3

为女的直线/及椭圆材有两个不同的交点4B.

(I)求椭圆步的方程；

(II)若k=l,求H8I的最大值；

(III)设尸(-2,0),直线PA及椭圆财的另一个交点为3直线PB

71

及椭圆，"的另一个交点为〃若C〃和点。(-了,1)共线，求k.

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文科数学试题参考答案

一、选择题

(1)A(2)D(3)B(4)B(5)D(6)C(7)C

(8)D

二、填空题

(9)-1(10)(1,0)

(11)1—1(答案不唯一)(12)4

(13)3(14)60°(2,+oo)

三、解答题

15.(共13分)

解：(I)设等差数列｛%｝的公差为d,

又4=In2,/.J=In2.

(II)由(I)知〃In2,

・・・｛/｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

16.(共13分)

解：(I)

/_12'+Bsin2x=—sin2x--cos2x+—=sin(2x--)+—>

2222262

所以fM的最小正周期为丁=T=兀.

(II)由(I)知/(x)=sin(2x--)+—.

因为工£［一色，"力，所以2工一色£［一型，2机-E］・

3666

要使得/"）在上的最大值为j，即sin（2x--^）在［-g,〃”上的

3263

最大值为1.

所以2加」是,EPm>-.

623

所以〃，的最小值为三.

3

17.（共13分）

（I）由题意知，样本中电影的总部数是

140+50+300+200+800+510=2000.

第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25=50,

故所求概率为旦=0.025.

2000

（11）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140X0.4+50X0.2+300X0.15+200X0.25+800X0.2+510X0.1

=56+10+45+50+160+51

=372.

故所求概率估计为1-卫4=0.814.

2000

方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事务

B.

没有获得好评的电影共有

140X0.6+50X0.8+300X0.85+200X0.75+800X0.8+510X0.9=1

628部.

由古典概型概率公式得P（8）="羽=0.814.

2000

（III）增加第五类电影的好评率，削减其次类电影的好评率.

18.（共14分）

【解析】(I)VPA=PD,且E为AD的中点，・・.PEJ_AD.

:底面43co为矩形,，BC//AD,

(II)•・•底面ABC。为矩形，AABrAD.

・.•平面皿>_L平面ABC。，，A8J_平面PAO.

/.AB±PD,又PALPD,

JPQ_L平面RIB,工平面/M8_L平面PCD.

(Ill)如图，取PC中点G,连接尸G,GD.

•・F,G分别为必和PC的中点，，歹G〃8C,且回G」BC.

2

・・•四边形ABC。为矩形，且E为AO的中点，

/.ED//FG,且£O=FG,；・四边形EFGD为平行四边形，

又所二平面尸OGOu平面尸CQ,

・・・律〃平面PCD.

19.(13分)

解:(I)因为f(x)=[>-(3a+l)x+3〃+2]e",

所以f，(x)=[cuc2-(6?+l)x+l]ev.

由题设知八2)=0,HP(2f/-l)e2=0,解得q=g.

(II)方法-,：由(I)得f\x)=[ax2一(a+l)x+l]e'=(ax—l)(x—l)er.

若a>l,则当时，/'*)<();

a

当xe(l,+oo)时，fr(x)>0.

所以/3)在尸1处取得微小值.

若aWl,则当xe(0,l)时，ar-l<x-l<0,

所以f\x)>0.

所以1不是/(x)的微小值点.

综上可知，a的取值范围是(l,xo).

方法二：f'(x)=(ax-l)(x-l)er.

(1)当5=0时，令/⑴=0得下1.

ra)j(x)随x的变更状况如下表：

X(5)1(1,”)

f\x)+0—

fM/极大值

，/(X)在产1处取得极大值，不合题意.

(2)当a>0时，令八幻=0得X」,为=1.

a~

①当王=9，即折1时，rW=(x-l)2ev>0,

・・・/(x)在R上单调递增.

・・・/*)无极值，不合题意.

②当百〉/，即0〈水1时,广⑴"(幻随X的变更状况如下表:

1

X(f1)1(1,-)(-»+<»)

aa

/⑴+0一0+

fM/极大值微小值/

，/(X)在年1处取得极大值，不合题意.

③当西<々，即力1时，/'(x)j(x)随X的变更状况如下表:

X(-J)1(L+4

aaa

广*)+0—0+

f(x)7极大值微小值/

・・・/(x)在尸1处取得微小值,即力1满意题意.

(3)当水。时，令r(x)=0得X]=±大2=1.

八。/@)随x的变更状况如下表:

(3)

X(-J)1(1,+2)

aaa

r(x)—0+0—

/(x)微小值/极大值

・・・/(九)在产1处取得极大值，不合题意.

综卜.所述，d的取值范围为(L+oo).

20.(共14分)

【解析】(I)由题意得2c=2及，所以c=&,

又e=£=，所以a=V3，所以力2=a2-c?=1,

a3

所以椭圆M的标准方程为4+)#=1.

(II)设直线AB的方程为y=x+〃z,

y=x+m

由“d1消去)'可得4x2+6nvc+3m2-3=(),

一十)广=1

3-

则A=36m2-4x4(3m2-3)=48-l2m2>0,即〃/<4,

设A(M，X),8(々,必)，贝1」%+工2=一?，=3/n-3,

则|攵火工一々=

AB|=Jl+F\\-x21="+2-244%"x；——

易得当“=o时,=#，故IA8I的最大值为几.

（HI）设3（4,月）,。（工3，%），。（%4，”）,

则x：+3y；=3①，x；+3y；=3②，

又P（-2,0）,所以可设勺=%=7^