821抽屉原理题库教师版

8-2抽屉原理

且期昨教学目标

抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的

推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教

学目标是：

1.理解抽屉原理的基本概念、基本用法；

2.掌握用抽屉原理解题的基本过程；

3.能够构造抽屉进行解题；

4.利用最不利原则进行解题；

5.利用抽屉原理及最不利原则解释并证明一些结论和生活中的一些问

题。

"皿手知识点拨

一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确

提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则.抽

屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多

有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，

甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.

二、抽屉原理的定义

(1)举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有

的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发

现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义

一般情况下，把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中必定

至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题

苹果+抽屉=商……余数

余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+1）个苹

果在同一个抽屉里

（2）余数=M1YXY（〃-1））,结论：至少有（商+1）个苹果在同

一个抽屉里

（3）余数=0,结论：至少有“商”个苹果

在同一个抽屉里

（二）、利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，

也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法.

-1磔无知识精讲

模块一、利用抽屉原理公式解题

（一）、直接利用公式进行解题

（1）求结论

【例1]6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有I只，一定有一

个笼子里有2只鸽子.对吗？

【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装I只，这样还剩下I只

鸽子.这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2

只鸽子.所以这句话是正确的.

利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把

鸽子看作“苹果”，6+5=1……1，1+1=2（只）把6个苹果放到5个抽屉中,

每个抽屉中都要有I个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一

定有一个笼子里有2只鸽子.

【巩固】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼

缸放有两条或两条以上金鱼.

【解析】在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的

一条，任意放在这8个鱼缸其中的任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会

放有两条金鱼.

【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、

地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业.

【解析】将5名学生看作5个苹果将数学、英语、语文、地理作业各

看成一个抽屉，共4个抽屉由抽屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽雇

里至少有2个苹果.即至少有两名学生在做同一科的作业.

【巩固】年级一班学雷锋小组有13人.教数学的张老师说：“你们这个

小组至少有2个人在同一月过生日."你知道张老师为什么这样说吗？

【解析】先想一想，在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽

屉？从题目可以看出，这道题显然及月份有关.我们知道，一年有12个月，

把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中.根

据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果.因此至少有两个同学在同一

个月过生日.

【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的

关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化

为油屉原理来解.

【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，

至少有两个同学属相一样.

【解析】属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉”，13个同学按照自己

的属相选择相应的“抽屉”，根据抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个

或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样.

【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学

生？

【解析】一年最多有366天，把366天看作366个“抽屉”，将367名学生看

作367个“苹果”.这样，把367个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉

里不止放一个苹果.这就说明，至少有.2名同学的生日相同.

【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明:

至少会有两个面涂色相同.

【解析】五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面,

还有一个面要选择这五种颜色中的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜

色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜

色,也可以把五种颜色作为5个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个

面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个

以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同.

【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一

天？

【解析】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730

个苹果.因为730.366=1……3M,所以，至少有1+1=2（个）学生的生日是

同一天.

【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.

【解析】将一年中的366天或365天视为366个或365个抽屉，400个人

看作400个苹果，从最极端的情况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35

个或34个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以至少有一个抽屉有至

少两个苹果，即至少有两人的生日相同.

【例3］三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都

是女孩.

【解析】方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两

个小朋友都是男孩的说法是正确的；

情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女

孩的说法是正确的；

情况三：这三个小朋友，可能其中I男2女那么必有两个小朋友都是女

孩说法是正确的；

情况四：这三个小朋友，可能其中2男I女，那么必有两个小朋友都是

男核的说法是正确的.所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友

都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；

方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同

的，所以必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.

【例4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各

自遇到了许多熟人.试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到

的熟人数目相等.

【解析】假设共有〃个小朋友到公园游玩，我们把他们看作〃个“苹果”,

再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，〃个小朋友每人遇到

的熟人数目共有以下〃种可能：0,1,2,……，，-1.其中0的意思是指这

位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见”1个熟人，所以共有九个

“抽屉”.下面分两种情况来讨论：

⑴如果在这〃个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他

小朋友最多只能遇上2个熟人，这样熟人数目只有"I种可能：0,h

2,……，〃-2.这样，“苹果”数（〃个小朋友）超过“抽屉”数（"1种熟人

数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等.

⑵如果在这〃个小朋友中，每位小朋友都至少遇到•个熟人，这样熟人

数目只有〃一种可能：1,2,3,……，….这时，“苹果”数（〃个小朋友）

仍然超过“抽屉”数（〃一种熟人数目），根据抽屉原理，至少有两个小朋友,

他们遇到的熟人数目相等.

总之，不管这〃个小朋友各遇到多少熟人（包括没遇到熟人），必有两个

小朋友遇到的熟人数目相等.

【巩固】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些

朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多.

【解析】数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又

由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友.因此，这20名同学中，

每个同学的朋友数只有19种可能：1,2,3,……,19.把这20名同学看

作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理,

至少有2名同学，他们的朋友人数一样多.

【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能

被3整除？

【解析】因为任何整数除以3,其余数只可能是。，I,2三种情形.我

们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”.一个整数除以3的余数属于哪

种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里.将四个自然数放入三个抽屉，

至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相

同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整

除）.这两个数的差必能被3整除.

【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明

理由.

【解析】想一想，不同的自然数被3除的余数有儿类？在这道题中，把

什么当作抽屉呢？

把这四个连续的自然数分别除以3,其余数不外乎是0,I,2,把这3个

不同的余数当作3个“抽屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分

别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个

抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同.

【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.

【解析】在及整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数dbf

它们除以自然数0的余数相同，那么它们的差4-方是/〃的倍数.根据这个性

质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.

我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、

6分成七类,也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个

数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一

定是7的倍数.

【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

【解析】把自然数按照除以5的余数分成5个剩余类，即5个抽屉.任

取6个自然数，根据抽屉原理，至少有两个数属于同一剩余类，即这两个

数除以5的余数相同，因此它们的差是5的倍数。

【巩固】（第八届《小数报》数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们

个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2

类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类.（1）任意

取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）

任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？

如果一定，请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反例.

【解析】（1）不一定有.例如1、2、3、4、5、10这6个数中，任意

两个数的和都不是10的倍数.

（2）一定有.将第1类及第9类合并，第2类及第8类合并，第3类

及第7类合并，第4类及第6类合并，制造出4个抽屉；把第5类、第10

类分别看作1个抽屉，共6个抽屉.任意7个互不同类的自然数，放到这

6个抽屉中，至少有1个抽屉里放2个数.因为7个数互不同类，所以后

两个抽屉中每个都不可能放两个数.当两个互不同类的数放到前4个抽融

的任何一个里面时，它们的和一定是10的倍数.

【巩固】证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个

数，它们的差是个位及十位数字相同的两位数.

【解析】两位数除以11的余数有11种：0,1,2,3,4,5,6,7,8,

9,10,按余数情况把所有两位数分成11种.12个不同的两位数放入11

个抽屉，必定有至少2个数在同一个抽屉里，这2个数除以11的余数相同,

两者的差一定能整除11.两个不同的两位数，差能被11整除，这个差也

一定是两位数（如11,22……）,并且个位及十位相同.所以，任给12

个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位及十位

数字相同的两位数.

【例7】任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数.

【解析】设这11个数为曲出,………，卬，由5个数的结论可知，

在%,“2，”4，%中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设4+生+%=3&1；

在

%，牝，4,%,心中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设《+&+4=3&；

在

叫，外,%%中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设%+4+%=3月.又

在

4,融,《中必有两个数的奇偶性相同，不妨设小心的奇偶性相同，那

么

3K+3的是6的倍数，即4,%,%,%,a594的和是6的倍数.

【巩固】在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍

数？

【解析】至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每

个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0,I,2.因此这三个

数之和能被3整除.综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的

和是3的倍数.

【例8］任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和

是2008的倍数（单独一个数也当做和）.

【解析】把这2008个数先排成一行：%,‘，%，...，生鲸，

第1个数为《；

前2个数的和为％+%；

前3个数的和为4+生+为；

前2008个数的和为4+a2+…+a2als•

如果这2008个和中有一个是2008的倍数，那么问题已经解决；如果

这2008个和中没有2008的倍数，那么它们除以2008的余数只能为1,

2,........,2007之一，根据抽屉原理，必有两个和除以2008的余数相同，

那么它们的差（仍然是…生，………，胆.中若干个数的和）是2008的倍

数.所以结论成立.

【巩固】20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题.证明:

小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目.

【解析】设小明第1天做了4道题，前2天共做了％道题，前3天共做

了&道题，……，前14天共做了知道题.显然知=20,而a,〜平都小于20.考

虑％,a2fayf.......，%和q+7,%+7,%+7,........，%+7这28个数,它们

都不超过27.

根据抽屉原理，这28个数中必有两个数相等.由于……………,

心互不相等，4+7,%+7,%+7,……,阳+7也互不相等，因而这两个相

等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中，即有：力三+7,所以

这表明从第-1天到第/天，小明恰好做了7道题.

【例9］求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的

倍数.

【解析】1996+4=499,下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数,

它是499的倍数.

取500个数：1,11,111,........,111........1（500个1）.用499去除

这500个数，得到500个余数4,生，由于余数只能取0,1,

2,498这499个值，所以根据抽屉原则，必有2个余数是相同的，这

2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1,后若干位是0：

11-100-0.又499和10是互质的,所以它的前若干位由1组成的自

然数是499的倍数，将它乘以4,就得到一个各位数字都是4的自然数，

这是1996的倍数.

【巩固】任意给定一个正整数〃，一定可以将它乘以适当的整数，使得

乘积是完全由0和7组成的数.

【解析】考虑如下〃+1个数：7,77,777,77—7,77…7,这〃+1个

数除以〃的余数只能为0,1,2,中之一,共〃种情况，根据抽屉

原理，其中必有两个数除以〃的余数相同，不妨设为77.・・7和77...7（p”），那

么77--.7-工二=&式00...0是〃的倍数，所以〃乘以适当的整数，可以得到形式

而

为77…7。。…。的数，即由。和组成的数.

---7--・7

位

【例1。】求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a,b,

c,d,e9f,使得是105的倍数.

【解析】105=3x5x7.对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它

们的差是7的倍数；在剩下的6个数中，又可选出2个数，使它们的差是

5的倍数；在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数.

【巩固】任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这

六个数组成一个算式，使其得数为105的倍数.

【解析】根据上一题的提示我们可以写出下列数字谜（R〃）（Ed）（"f）使其

结果为105的倍数，那么我们的思路是使第一个括号里是7的倍数，第二

个括号里是5的倍数，第三个括号里是3的倍数，那么对于如果六个数字

里有7的倍数，那么第一个括号里直接做乘法即可，如果没有7的倍数，

那么我们做如下抽屉：

{除以7的余数是1或者是6}

｛除以7的余数是2或者是5｝

｛除以7的余数是3或者是4｝那么六个数字肯定有两个数字在同一个

抽屉里，那么着两个数如果余数相同，做减法就可以得到7的倍数，如果

余数不同，做加法就可以得到7的倍数.

这样剩下的4个数中，同理可得后面的括号里也可以组合出5和3的倍

数.于是本题可以证明.

【巩固】（2008年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在⑼张卡片上不重

复地编上广陵，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之

乘积可被12整除？

【解析】12=2晨3,因为3的倍数有［与卜33个，所以不是3的倍数的数一

共有100-33=67（个），抽取这67个数无法保证乘积是3的倍数，但是如果抽

取68个数，则必定存在一个数是3的倍数，又因为奇数只有50个，所以抽取

的偶数至少有18个，可以保证乘积是4的倍数，从而可以保证乘积是12的倍

数。于是最少要抽取68个数（即：68张卡片）才可以保证结果。

【例11】把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在

这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17.

【解析】（法1）把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为《、生、

%、…、—相邻的三个数为一组，有2a3、。必%、、…、®4M、《汹』

共10组.

这十组三个数之和的总和为：

（q+a2+4/3）+（fl2+%十4）十一,+（40+4十〃2）=3（。1+%+•••+au））=3x55=165，165=16x10+5,

根据抽屉原理，这十组数中至少有一组数的和不小于17.

（法2）在10个数中一定有一个数是1,不妨设%=1,除去《°之外，把4、

%、％、…、/这9个数按顺序分为三组俨必、&哂、%哂.因为这三组数

之和的总和为：

（fli+«2+&）+（&+%+%）+（a+4+.）=2+3+…+10=54，根据抽屉原理，这二组数

中至少有一组数之和不小于17.

【巩固】圆周上有2000个点，在其上任意地标上0,1,2,…,1999（每一点只标

一个数，不同的点标上不同的数）.证明必然存在一点，及它紧相邻的两个

点和这点上所标的三个数之和不小于2999

【解析】把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为《、生、/、…、

,颂.相邻的三个数为一组，有4/%、a2a3a4、%"4a5、•••、a\vway.)n)a\、。20000】/贝^2000

组,

这2000组三个数之和的总和为：

（4+出+“3）+（4+/+“4）+…+（q000+4+&）=3（4+生+…+”2al（））=3x（I+2+3+…1999）=5997000

5997000=2998x2000+1000,根据抽屉原理，这两千组数中至少有一组数的和不

小于2999.

【例12】证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，

或者相互不认识.

【解析】把这6个人看作6个点，每两点之间连一条线段，两人相互认

识的话将线段涂红色，两人不认识的话将线段涂上蓝色，那么只需证明其

中有一个同色三角形即可.从这6个点中随意选取一点从，从A点引出的5

条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相同，不妨设有3条线段为红色，

它们另外一个端点分别为B、C、D,那么这三点中只要有两点比如说3、C

之间的线段是红色，那么A、B、C3点组成红色三角形；如果8、C、。三

点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样8、C、。3点组成蓝色三

角形，也符合条件.所以结论成立.

【巩固】平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上.证明：用这

些点做顶点所组成的一切三角形中，一定有一个三角形，它的最大边同时

是另外一个三角形的最小边.

【解析】我们先把题目解释一下.一般情况下三角形的三条边的长度是

互不相等的，因此必有最大边和最小边.在等腰三角形（或等边三角形中），

会出现两条边，甚至三条边都是最大边（或最小边）.

我们用染色的办法来解决这个问题.分两步染色：

第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色，比如红色；

第二步，将其它的未涂色的线段都涂上另外一种颜色，比如蓝色.

这样，我们就将所有三角形的边都用红、蓝两色涂好.根据上题题的

结论可知，这些三角形中至少有一个同色三角形.由于这个同色三角形有

自己的最大边，而最大边涂成红色，所以这个同色三角形必然是红色三角

形.由于这个同色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色的，说

明这条最小边必定是某个三角形的最大边.结论得证.

【巩固】假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红

色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的

三角形，使三角形的三边同色？

【解析】从这6个点中随意选取一点A,从A点引出的5条线段，根据

抽屉原理，必有3条的颜色相同，不妨设有3条线段为红色，它们另外一

个端点分别为4、c、D,那么这三点中只要有两点比如说5、。之间的线

段是红色，那么A、B、。3点组成红色三角形；如果8、C、。三点之间的

线段都不是红色，那么都是蓝色，这样8、C、。3点组成蓝色三角形，也

符合条件.所以结论成立.（可以拓展玩转数学）

【巩固】平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜

色中的一种，这些线段能构成若干个三角形.证明：一定有一个三角形三

边的颜色相同.

【解析】从这17个点钟任取一个点A,把4点及其它16个点相连可以

得到16条线段，根据抽屉原理，其中同色的线段至少有6条，不妨设为红

色.考虑这6条线段的除A点外的6个端点：

⑴如果6个点两两之间有1条红色线段，那么就有1个红色三角形符

合条件；

⑵如果6个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面的2

题可知，这6个点中必有3个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样

的三角形就符合条件.

综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求.

【例13】上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操.老

师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学

生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出

实例.

【解析】因为只有男生或女生两种情况,所以第1行的7个位置中至少

有4个位置同性别.为了确定起见，不妨设前4个位置同是男生，如果第

二行的前4个位置有2名男生，那么4个角同是男生的情况已经存在，所

以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨假定前3个是女

生,又第三行的前3个位置中至少有2个位置是同性别学生，当是2名男

生时及第一行构成一个四角同性别的矩形，当有2名女生时及第二行构成

四角同性别的矩形.所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使

得站在这个长方形4个角上的学生同性别.问题得证.

【例14】8个学生解8道题目.（1）若每道题至少被5人解出，请说明

可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出.（2）如果每

道题只有4个学生解出，那么（1）的结论一般不成立.试构造一个例子说

明这点.

【解析】（1）先设每道题被一人解出称为一次，那么8道题目至少共

解出5x8=40次，分到8个学生身上，至少有一个学生解出了5次或5次以

上题目，即这个学生至少解出5道题，称这个学生为A,我们讨论以下4

种可能：

第一种可函:若A只解出5道题，则另3道题应由其他7个人解出，

而3道题至少共被解出3x5=15次，分到7个学生身上，至少有一名同学解

出了3次或3次以上的题目（15=2x7+1,由抽屉原则便知）由于只有3道题,

那么这3道题被一名学生全部解出，记这名同学为B.那么，每道题至少

被A、B两名同学中某人解出.

第二种可能|：若A解出6道题，则另2道题应由另7人解出，而2道

题至少共被解出2X5=10次，分到7个同学身上，至少有一名同学解出2

次或2次以上的题目（10=1x7+3,由抽屉原则便知）.及1第一种可能T同

理，这两道题必被一名学生全部解出，记这名同学为C.那么，每道题目

至少被A、C学牛中一人解出.

第三种可能I：若A解出7道题目，则另一题必由另一人解出，记此人

为D.那么，每道题目至少被A、D两名学生中一人解出.

第四种可能卜若A解出8道题目，则随意找一名学生，记为E,那么，

每道题目至少被A、E两名学生中一人解出，所以问题（1）得证.

（2）类似问题（1）中的想法，题目共被解出8x4=32次，可以使每名学

生都解出4次，那么每人解出4道题.随便找一名学生，必有4道未被他

解出，这4道题共被7名同学解出4x4=16次，由于16=2X7+2,可以使每

名同学解出题目不超过3道，这样就无法找到两名学生，使每道题目至少

被其中一人解出.

具体构造如下表，其中汉字代表题号，数字代表学生，打J代表该位

置对应的题目被该位置对应的学生解出.

【巩固】试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案.一群

学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相

同.问参加考试的学生最多有多少人？

【解析】设总人数为A,再由分析可设第一题筛选取出的人数为A,第

二题筛选的人数为4,第三题筛选取的人数为4,第四题筛选的人数为

如果不能满足题目要求，贝I：A4至少是3,即3个人只有两种答案.由

于4是A,人做第四题后筛选取出的人数，则由抽屉原则知，

（两种答案）中至少放有A-图个苹果（即A0%-图二4二3,则A3至

少为4,即4人只有两种答案.由于人是4人做第三题后筛选的人数，则

由抽屉原则知，将七个苹果放久三个抽屉（三种答案），那么必然有两个抽

屉（两种答案）中至少放有为-[3]个苹果（即A）,A2r与上廿4,则人至少

为5,即5人只有两种答案.同理，有卜&:5则A至少为7,即做完

第一道题必然有7个人只有两种答案；则有「々卜A=7.则4至少为10,

即当有10人参加考试时无法满足题目的要求,考虑9名学生参加考试，令

每人答题情况如下表所示（汉字表示题号，数字表示学生）.故参加考试的

学生最多有9人.

（2）求抽屉

【例15】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里

有两只或两只以上的小兔？

【解析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔,把小兔子

当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把10只小兔放

进10-1=9个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔.

【例16｝把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到

至少4本书，那么，这个班最多有多少人？

【解析】本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的

结合，最坏的情况是只有1个人分到4本书，而其他同学都只分到3本书,

则（125-4）+3=40…I,因此这个班最多有：40+1=41（人）（处理余数很关键,如

果有42人则不能保证至少有一个人分到4本书）.

【巩固】某次选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10

名同学来自同一个学校."如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校

参加了这次入学考试？

【解析】本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”情况的结合,

最坏的情况是只有10个同学来自同一个学校，而其他学校都只有9名同学

参加，则（1123-10）+9=123…6,因此最多有：123+1=124个学校（处理余数很关键，

如果有125个学校则不能保证至少有10名同学来自同一个学校）

【巩固】100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥

有的苹果数不少于12个.

【解析】从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能

使每个学生分得的学生少于12个，求这个数.100个按每个学生分苹果不

多于11个（即少于12个）苹果，最少也要分10人（9人11个苹果，还

有一人一个苹果），否则gxilVlOO,所以只要分苹果的学生不多余9人

就能使保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个（即多于11个）.

答案为9.

【例⑺某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组.问最少

要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小

组里？

【解析】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在

同一组，下面只考虑这8个学生.

经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一

组，下面只考虑这4个学生.

经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一

组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的.如果经过四个月，将每

个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保持同

组的人数为16+2=8人，第二个月保持同组的人数为8+2=4人，第三个月

保持同组人数为4+2=2人，这说明照此分法，不会有2个人一直保持在同

一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月.

（3）求苹果

【例18］班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才

能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？

【解析】把5。名小朋友当作50个“抽屉”，书作为物品.把书放在50个

抽屉中，要想保证至少有一个抽屉中有两本书，根据抽屉原理，书的数目

必须大于50,而大于50的最小整数是50+1=51,所以至少要拿51本书.

【巩固】班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才

能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？

【解析】老师至少拿29本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小

朋友能得到不少于两本书.

【巩固】有I。只鸽笼，为保证至少有I只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽

子.请问：至少需要有几只鸽子？

【解析】有10只鸽笼，每个笼子住I只鸽子，一共就是K）只.要保证至

少有I只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子.那么至少需要11只鸽子，这多出

的I只鸽子会住在这I。个任意一个笼子里.这样就有1个笼子里住着2只鸽

子.所以至少需要11只鸽子.

【巩固】三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本

课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？

【解析】把43名同学看作43个抽屉，根据抽屉原理，要使至少有一个抽

屉里有两个苹果，那么就要使苹果的个数大于抽屉的数量.因此，“图书角”

至少要准备44本课外书.

【例19】海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在⑷厘米

到演厘米之间（包括140厘米到以）厘米），那么，至少从多少个学生中保证

能找到4个人的身高相同？

【解析】陷阱：以前的题基本全是2个人的，而这里出现4个人，那么，

就“从倍数关系选"。认真思考，此题中应把什么看作抽屉？有几个抽屉？

在140厘米至150厘米之间（包括140厘米到150厘米）共有U个整厘米数，

把这11个整厘米数看作U个抽屉，每个抽屉中放3个整厘米数，就要小3=33

个整厘米数，如果再取出一个整厘米数，放入相应的抽屉中，那么这个抽

屉中便有4个整厘米数，也就是至少找出33+1=34个学生，才能找到4个人的

身高相同.

【例20】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分,

每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得

分相同，至少需要多少人参加竞赛？

【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10-0分到10+3X

10二40分，但注意到39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少

有4人得分相同，至少需要3X（41-3）+1=115人.

【巩固】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答

题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3

分，回答完全错误或不回答，得0分.至少一人参加这次测验，才能保

证至少有3人得得分相同.

【解析】根据评分标准可知，最高得分为50分，最低得分为0分，在

0〜50分之间,1分，2分，4分，7分，47分，49分不可能出现,共有51-6=45

（种）不同得分.根据抽屉原理，至少有45x2+1=91（人）参赛，才能保证

至少有3人得分相同.

（二）、构造抽屉利用公式进行解题

【例21】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他

六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎

样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样.你能说明这是为

什么吗？

【解析】从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面6种：

红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝，

我们把6种搭配方式当作6个“抽屉”，把7个小朋友当作7个“苹果”，

根据抽屉原理，至少有两个“苹果”要放进一个“抽屉”中，也就是说.

至少有两个人挑选的颜色完全一样.

【巩固】在一只口袋中有红色及黄色球各4只，现有4个小朋友，每

人从口袋中任意取出2个小球，请你证明：必有两个小朋友，他们取出的

两个球的颜色完全一样.

【解析】小朋友从口袋中取出的两个球的颜色的组成只有以下3种可

能：红红、黄黄、红黄，把这3种情况看作3个“抽屉”，把4位小朋友看

作4只“苹果”，根据抽屉原理，必有两个小朋友取出的两个球的颜色完全

一肆.

【巩固】篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每

个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两

个小朋友拿的水果是相同的？

【解析】首先应弄清不同的水果搭配有多少和.两个水果是相同的有4

种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、

梨和桔子、桃和桔子.所以不同的水果搭配共有4+6=10（种）.将这10种

搭配作为10个“抽屉”.由抽屉原理知至少需"个小朋友才能保证有两个

小朋友拿的水果是相同的

【巩固】学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学

可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本.请问，你

能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？

【解析】每个小朋友都借2本有三种可能：数数，英英，数英.第4个

小朋友无论借什么书，都可能是这三种情况中的一种，这样就有两个同学

借的是同一类书，所以可以保证，至少有2位小朋友，他们所借阅的两本书

属于同类.

总结：此题如用简单乘法原理的话，有难度，因为涉和到简单加法原

理，所以推荐使用列表法。及之前不同的是，本题借阅的书只说了两本并

没说其他要求，所以可以拿2本同样的书.

【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、

历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本.试说明：

必有两个学生所借的书的类型相同

【解析】设不同的类型书为A、B、C、D四种，若学生只借一本书,

则不同的类型有A、B、C、D四种；若学生借两本不同类型的书，则不

同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种.共有10种类型，把这10种类

型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”.如果谁借哪种类型

的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的

类型相同.

【巩固】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意

选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有

两人所拿玩具相同？

【解析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下6组：牛、

马；牛、羊：牛、狗：马、羊：马、狗：羊、狗.把每一组搭配看作一个

“抽屉”，共6个抽屉.根据抽屉原理，至少要有7个小朋友去拿，才能保

证有两人所拿玩具相同.

【巩固】体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来

仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学

所拿的球的种类是完全一样的？

【解析】以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球,所以抽屉有:

足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共9种情况，即有9

个抽屉，则：66+9=7…3,7+1=8,即至少有8名同学所拿球的种类是一样的.

【巩固】幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友

任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具

是相同的？

【解析】根据题意列下表：

有3个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不

管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同.所以至少要有4

个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的.

总结：本题是抽屉原理应用的典型例题，作为重点讲解.学生们可能

会这么认为：铺垫：2件x3种=6件，6件+2个=3人,要保证有相同的所以

至少要有3+1=4人；对于例题中的题目同样2件x4种=8件，8件+2个=4人,

要保证有相同的所以至少要有4+1=5人.因为铺垫是正好配上数了，而例题

中的问题在于4种东西任选两种的选择有几种.可以简单跟学生讲一下简单

乘法原理的思想，但建议还是运用枚举法列表进行分析，按顺序列表可以

做到不遗漏，不重复.

【巩固】篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每

个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两

个小朋友拿的水果是相同的？

【解析】首先应弄清不同的水果搭配有多少和.两个水果是相同的有4

种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、

梨和桔子、桃和桔子.所以不同的水果搭配共有4+6=1。（种）.将这10种

搭配作为10个“抽屉”.由抽屉原理知至少需U个小朋友才能保证有两个

小朋友拿的水果是相同的

【例22】红、蓝两种颜色将一个2x5方格图中的小方格随意涂色（见下

图），每个小方格涂一种颜色.是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完

全相同？

【解析】用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四

种情形：

将上面的四种情形看成四个“抽屉”，把五列方格看成五个“苹果”，

根据抽屉原理，将五个苹果放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两

个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这两列的小方格中涂的

颜色完全相同.

【例23］将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色.(每一列的三小格涂

的颜色不相同)，不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同,

你同意吗？

【解析】这道题是例题的拓展提高，通过列举我们发现给这些方格涂

色，要使每列的颜色不同，最多有6种不同的涂法，

涂到第六列以后，就会跟前面的重复.所以不论如何涂色，其中至少

有两列它们的涂色方式相同.

【例24】从2、4、6、8、…、5()这25个偶数中至少任意取出多少个数,

才能保证有2个数的和是52?

【解析】构造抽屉：{2,50},{4,48},{6,46},{8,44},{24,28},{26},共13

种搭配，即13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同

在一个抽屉里，这两数和为52,所以应取出14个数.或者从小数入手考虑,

2、4、6、…、26,当再取28时，及其中的一个去陪，总能找到一个数使这

两个数之和为52.

【巩固】证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数

的和是20.

【解析】将10个奇数分为五组(1、19),(3、17),(5、15),(7、13),

(9、11),任取6个必有两个奇数在同一组中，这两个数的和为20.

【巩固】从1,4,7,10,37,40这14个数中任取8个数，试证:

其中至少有2个数的和是41.

【解析】构造和为41的抽屉：(1,40),(4,37),(7,34),(10,31),(13.28),(16,25),

(19.22),现在取8个数，一定有两个数取在同一个抽屉，所以至少有2个数

的和是4L

【巩固】从1,2,3,…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这

51个数中，一定有两个数的差为50。

【解析】将100个数分成50组：化51},{2,52},{3,53},…，{50,100},将其看

作50个抽屉，在选出的51个数中，必有两个属于一组，这一组的差为50.这

道题也同样可以从小数入手考虑.

【巩固】请证明：在1,4,7,10,100中任选20个数，其中至

少有不同的两组数其和都等于104.

【解析】1,4,7,10,…，100共有34个数，将其分为(4,100),(7,

97),…，(49,55),(1),(52),共有18个抽屉.从这18个抽屉里面任

意袖取20个数，则至少有18个数取自前16个抽屉，所以至少有4个数取

自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是104.

【巩固】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几

个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12.

【解析】在这20个自然数中，差是12的有以下8对：{20,8},{19,

7},{18,6},{17,5},{16,4),(15,3),{14,2},{13,1).另外还

有4个不能配对的数{9},{10},{11},{12},共制成12个抽屉(每个括

号看成一个抽屉).只要有两个数取自同一个抽层，那么它们的差就等于

12;根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到(取12个数：从12个抽起

中各取一个数(例如取1,2,3,—,12),那么这12个数中任意两个数

的差必不等于12).

【巩固】(小学数学奥林匹克决赛)从1,2,3,4,1988,1989

这些自然数中，最多可以取—个数，其中每两个数的差不等于4.

【解析】将17989排成四个数列：

1,5,9,…，1985,1989

2,6,10,…，1986

3,7,11,…，1987

4,8,12,…，1988

每个数列相邻两项的差是4,因此，要使取出的数中，每两个的差不等

于4,每个数列中不能取相邻的项.因此，第一个数列只能取出一半，因

为有(1989-1)+4+1=498项,所以最多取出249项,例如1,9,17,…,1985.同

样，后三个数列每个最多可取249项.因而最多取出249x4=996个数，其中

每两个的差不等于4.

【巩固】从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中

一定有两个数之和是34.

【解析】我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉,(2),(4,30),(6,28),…，

。6』8),凡是抽屉中的有两个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是

34.

现从题目中的15个偶数中任取9