第十章 组合变形工程力学

§10-1概述

1.构件的受力情况分为茎主受力（或基本变形）形式（如中心受拉或受压，扭转,

平面弯曲,剪切）和组合受力（或组合变形）形式。组合变形由两种以上基本变形形式

组成。

2.处理组合变形构件的内力、应力和变形（位移）问题时，可以运用基于叠如原

埋的叠加法。

叠加原理：如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则在小变形条件下，复杂

受力情况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受

力情况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。

说明：

①保证上述线性关系的条件是线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律：

②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证与加载次序无

关。如10-la图所示纵横弯曲问题，横截面上内力（图10-lb）为N=P,—。

可见当挠度（变形）较大时，弯矩中与挠度有关的附加弯矩不能略去。虽然梁是线弹性的，弯矩、

挠度与。的关系却仍为非线性的，因而不能用叠加法。除非梁的刚度较大，挠度很小，轴力引起的

附加弯矩可略去。

§10-2两个互相垂直平面内的弯曲

图10-2（a）所示构件具有两个对称面（），，z为对称轴），横向载荷户通过截面形心与y轴成a夹角,

现按叠加法写出求解梁内最大弯曲正应力的解法与步骤：

⑴根据圣维南原理，将截荷按基本变形加载条件进行静力等效处理，现将尸沿横截

面对称轴分解为外、Pz,则有Py=Pcosa,P==Psina（图a）

⑵得到相应的几种基本变形形式，分别计算可能危险点上的应力。现分别按两个平

面弯曲（图b,c）计算。Py,Pz在危险面（固定端）处分别有弯矩：Mv=（Psina）l,

"二二（Pcosa）/（图d）。My作用下产生以y轴为中性轴的平面弯曲，“与好边上分别

产生最大拉应力与最大压应力

.%6P/sina

（T=+——=+---------（a）

max-W、~b2h

作用下产生以z轴为中性轴的平面弯曲，曲与cd边上分别产生最大拉应力与最大压应力

⑶由橙加法得组合变形情况下，亦即原载荷作用下危险点的应力。现可求得Py,巴共同作用下

危险点（）、c点）弯曲正应力（同一点同一微面上的正应力代数相加）

IIMyM.6PI.八

\a\=--+--=—-r（hsma+bcosa）（10-1）

1lmax2r2

Wy,W2bh

上述横向载荷尸构成的弯曲区别于平而弯曲.称斜弯曲.它有以下两个特点：

⑴构件的轴线变形后不再是载荷作用平面内的平面曲线，而是一条空向曲线；

⑵横截面内中性轴不再与载荷作用线垂直；或中性轴不再与弯矩矢量重合（如为实

心构件）。如图10-2（c）所示，横截面上任意点帆（y,。的正应力为

bF+°=_*Z+*),

(10-2)

根据中性轴定义，令K0,即得中性轴位置表达式

y/.Mv/

W=-=-TTr=T^a

Z】y%A

当/二工/丫，0W。；现为矩形（力>〃），L>/v,则0>a。形成斜弯曲，中性轴与例矢量不重合。

当/:=/、（如图10-2中为圆截面），（p=a,即载荷通过截面形心任意方向均形成平面弯曲，若圆

截而直径为。，则有

M32

\a\(10-3)

IImax一正一行

§10-3中心拉伸或压缩与弯曲的组合

以图10.3a所示偏心星维问题为例

1.求危险点应力

国10-3a

图10-3b

可以用上述载荷处理法，将作用于点产（加，如）的偏心载荷尸向构件轴线（或端

面形心O）平移，得到相应于中心压缩和两个平面弯曲的外载荷。现直接用截面法（内

力处理法）。如图10・3b所示，端面上偏心压缩力P在横截面上产生的内力分量为

N=p,My=PZp,Mz=Pyp

在该横截面上任意点小（），，z）的正应力为压应力和两个平面弯曲（分别绕），和z轴）正应力的叠加:

d点有最大压应力CF”，〃点有最大拉应力内

AW、W:

£+%+2

其中w、=/,w=

2.中性轴位置和截面核心

让式（10-4）中。,”=0,并定义截面惯性半径*=收，设中性轴上任意点坐标

为）b，Zoo则由式（10~4）得

这是一不通过形心0的中性轴方程（直线方程）。它在），轴和z轴上截距分别为

(10-7)

对于混凝土、大理石等抗拉能力比抗压能力小得多的材料，设计时不希望偏心压缩

在构件中产生拉应力。满足这一条件的压缩载荷的偏心距力，如应控制在横截面中一定

范围内（使中性轴不会与截面相割，最多只能与截面周线相切或重合），由式（10-7）

有

(10-8)

横截面上存在的这一范围称为截面核心，它由式（10-8）的偏心距机迹线围成。式中）加现为横

截面周边（轮廓线）上一点的坐标。

例10-1短柱的截面为矩形，尺寸为（图10-4a）c试确定截面核心。

解：对称轴y,z即为截面图形的形心主惯性

12

轴，=jo设中性相与A8边重合，

则它在坐标轴上截距为

h

,*=一于Z,“=8

于是偏心压力P的偏心距为

印图IO-4a中的a点。同理若中性轴为0C边，相

应为〃点，仅0,2）。余类推，由于中性轴方程为直

6

线方程，最后可得图IO-4a中矩形截面的截面核心

为"cd（阴影线所示）。

例10-2读者可证图10-4b所示半径为/■的圆

截面短柱，其截面核心为半径为）p=（的图形。

§10-4扭转与弯曲的组合

1.圆截面杆件

设图10-5a所示为圆截面杆横截面上分别作用有弯矩Mz和扭矩To

对圆截面，通过圆心（形心）的任意方向的轴均为对称轴，因而合力矩

"=作用轴即中性轴,因而M作用下圆轴产生平面弯曲，。分布如图a,在

扭矩T作用下圆轴产生剪应力，t分布如图b,分别为

(a)

(b)

对塑性材料，可选用第三和第四强度理论，考虑式（b）后

（T,一%=A/CT2+4r2<[CF](c)

j3[(6—%)2+(%―%)2+(6—°J]=JM+3：<[<T]

(d)

对直径为d的圆截面，有%=2僧，W=—d3,考虑式（a）后式（c）与（d）分别有

〃32

—y/M2+T2<[a]

WLJ

—VM2+0.75T2<[CT]

WiJ

2.矩形截面杆

设图10-6a和b所示为矩形截面上作用有弯矩％,M,和扭矩兀

图10-6a横版面上作用有，,机困】0-6b横截面上作用有T

对矩形截面（/"〃），My,Mz分别形成以y轴和z轴为中性轴的平面弯曲，弯曲正

应力分布如图a所示。扭矩7在矩形截面上形成的扭转剪应力分布如图b所示。综合

考虑弯曲正应力和扭转剪应力的分布情况，可以选出危险点。、。、C,其应力状态如图

C所示。

a点具有正应力最大值

WW.

力点具有心皿和。

T

Tmax=菽

c点具有％和。31Tb

.%

=^max

M二

对塑性材料•，”点的强度条件为

区%/1

。=-+--<Icr]

“卬、WL」

y-困10-6c危险点a、b、c

的应力状态

对仇c点可选择第三或第四强度理论，如选第三强度

理论，可比较g+47匕和+4七，较大者应

满足

+4r2<[cr]

例10-3齿轮轴"如图10・7a所示。已知轴的转速〃=265r/min,输入功率N=10kw,

两齿轮节圆直径〃i=396mm,Dz=168mm,压力角a=20。，轴的直径d=50mm,材料为

45号钢，许用应力口]=50M/%。试校核轴的强度。

解：（1）轴的外力分析：将啮合力分解为切向力与径向力，并向齿轮中心（轴线上）平移。考

虑轴承约束力后得轴的受力图如图10-7b所示。由得

T=T=9550—=9550—=3612m

cnn265

由扭转力偶计算相应切向力，径向力

澈川23N

PXY=2吆20。=1823x0.364=664N

27；,2x361

"57=0.168=4300V

P2Z=6“g20。=4300x0.364=1565N

轴上铅垂面内的作用力P|y、P2y，约束力匕\，加构成铅垂而内的平面弯曲，由平衡条件»吆8俨）=0

和.（歹）二。可求得

yA=1664N,M=33OON

由平衡条件Zy=。校核所求约束力的正确性

匕+右=1664+33(X)=4964N,"丫+〃丫=664+43(X)=4964N

轴上水平面内的作用力P\z、P2Z，约束力ZA、ZB构成水平面内的平面弯曲，由平衡条件

Z〃?、g（77）=0和/）=0,可求得

ZA=175ON，ZR=1638N

由平衡条件Zz=（）校核所求约束力的正确性

Z八+Z8=1750+1638h3388N,/>z+P,z=1823+1565=3388N

（2）作内力图：分别作轴的扭矩图T图（图10・7c）,铅垂面内外力引起的轴的弯

矩图Mz图，水平面外力引起的轴的弯矩图图（图10・7d）

（3）作强度校核：由弯矩图及扭矩图确定可能危险面为C（右）面和D（左）面。比较

M+可知。面更危险。

Me=71402+1332=193N•m

MD=V13P+2642=294Mnt

对塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论作强度校核

V29424-3612

第三七』M；）+二=37.4x106pa=37.4MPa<[cr]=55MPa

-0.1x0.05*

W

第四,所而二叵卫卒=34.4x1()6Pa=34.4MPa<[er]=55Mpa

W"0.1x0,051I

例10-4图10-8a所示曲轴的尺寸为r=60mm,/=65mm,%=32mm,

a=22mm。连杆轴颈直径4i=50mm,主轴颈直径（/=60mm。曲柄截面HLIII的尺寸为/尸22mm,

A=102mmo作用于曲轴上的力如图IO-8b所示：连杆轴颈上的力P=32KN,F=17KN,曲柄惯性力

C=3KN,平衡重惯性力Ci=7KN。曲轴材料为碳钢，口］=。试校核曲柄的强度。

解：（1）求约束力和扭转力偶：由平衡条件可求得（见图l（）・8b）

ZH=Fr=17xIO3x60x10-3=1020N-m

R]=R[=g(32+2x7-2x3)=20KN

H,=%=gxl7=8.5KN

（2）连杆轴颈强度校核：危险面在中间截面U处。在不，和xz平面内分别有弯矩

也=&x^+(C-C,)1=20xl03x65x10-3+(3-7)x103x32x10-3=1170^-m

3-3

M、=Htx1=8.5xlOx65x1O=553N〃Z

扭距为xr=8.5xIO,*6Gxi()-3=5[0N.〃？

如果用第四强度理论校核

—JM；+M：+0.75T2=-----——-75532+11702+0.75X5102X10"

W"'"^X503X10-9

=11\Mpa<[cr]=[2()Mpa安全

(3)主轴颈的强度校核：危险面为主轴颈与曲轴联接处II-II截面。此处有内力分量

=凡xa=20x1。3x22xIO-3=440Nm

%=%X。=8.5X1()3X22X10-3=]87N.m

T=m=\020N•m

强度校核

—JM；+M；+0.75T2=-----——-71872+44O2+O.75xlO2O2xlO-6

=47.4Mpa<[cr]=120Mpa安全

（4）曲柄的强度校核：危险面为切于主轴颈的

由柄横截面nun截面（见图io-8c）。其内力分量分

别有轴力N,扭转T,弯矩Mx、剪力Q,

N=&-C,=20-7=13KN

T=