勾股定理的应用

勾股定理的应用

（2006•荆门）园丁住宅小区有一块草坪如图所示.已知AB=3米，BC=4米，CD=12米,

DA=13米，且AB_LBC,这块草坪的面积是（）

2C.48米2D.72米2

【考点】勾股定理的应用.

【专题】压轴题.

【分析】连接AC,先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明AACD

为直角三角形.从而用求和的方法求面积.

【解答】解：连接AC,财由勾股定理得AC=5米，因为AC?+DC2=AD?,所以NACD=90。.

这块草坪的面积;SRSABC+SRSACD=」AB・BC+』AC・DC二工(3x4+5x12)=36米2.

222

【点评】此题主要考青了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点.

（2002•湛江）如图，小红从A地向北偏东30。，方向走100米到B地，再从B地向西走200

米到C地，这时小红距A地（）

A.150米B.100J5米C.100米D.50加米

【考点】勾股定理的应用；方向角.

【专题】应用题；压轴题.

【分析】根据题意画图形，再根据勾股定理解答即可.

【解答】解：在RIADAB中，

VZDAB=30°,AB=100,

ADB=50,

勾股定理得，DA=5(h/5，

在RtADCA中，

VBC=200,DB=50,

...DO150,

VDA=5OV3»

•••勾股定理得，AC=IOOJ5.

故选B.

【点评】此题主要考查学生对方向角及勾股定理在实际生活中的运用.

(2015春•开县校级期中：放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向

回家，若小红和小颖行走的速度都是200米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，小

红和小颖家的直线距离为()

A.6()0米B.800米C.100()米D.1400米

【考点】勾股定理的应用；方向角.

【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互

相垂直，根据勾股定理即可求解.

【解答】解：根据题意得:如图：

OA=3x200=600m.

OB=4x200=800m.

在直角^OAB中，人8=在苕661°°。米.

【点评】本题考查正确运用勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题

的关键.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关健.

(2015秋•辽阳校级月考：如图，山坡AB的高BC=5m,水平距离AC=12m,若在山坡上每

隔0.65m栽一棵树，则从上到下共()

B

C'-----------------------二4

A.19棵B.20棵C.21棵D.22棵

【考点】勾股定理的应用.

【分析】首先利用勾股定理求得线段AB的长，然后除以株距即可求得结果.

【解答】解：丁山坡AB的高BC=5m,水平距离AC=12m,

AAB=J52+122=13,

•・•每隔0.65m栽一棵树，

，13+0.65=20棵，

则从上到下共21颗.

故选C

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求得线段AB的长，然后

才可以求得株数.

（2014•东平县校级模拟）为迎接"五一〃的到来，同学们做了许多拉花布置教室准备召开“五

一"联欢晚会，小刚搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙

距离应为（）

A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米

【考点】勾股定理的应用.

【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股

定理解此直角三角形即可.

【解答】解：梯脚与墙角地离：^2.52-2.42=0/7（米）・

故选A.

【点评】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

（2014秋•江阴市期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B,然后

把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）

D

X、一

~"cB~^x

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD-BD-AB即为橡皮筋拉长的距离.

【解答】解：RSACD中，AC.AB=4cm,CD=3cm；

2

根据勾股定理，得：AD=JAC2+cD2=5cm；

AAD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm：

故橡皮筋被拉长了2cm.

故选A.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用.

（2014春•新泰市校级期中）如图一个圆桶儿，底面直径为12cm,高为8cm,则桶内能容

下的最长的木棒为（）

A.8cmB.lOcmC.D.20cm

【考点】勾股定理的应用.

【分析】桶内能容下的最长的木棒长是圆桶沿底面直径切面的长方形的对角线长，所以只要

求出桶的对角线长则可.

【解答】解：圆桶最长对角线长为：丘再留4立展如

桶内能容下的最长的木棒长为：Wl&m.

故选C.

【点评】小题考行正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

（2013•安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只鸟从一

棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）

A.8米B.1（）米C.12米D.14米

【考点】勾股定理的应用.

【专题】应用题.

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程

最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

【解答】解：如图,设大树高为AB=10m,

小树高为CD=4m,

过C点作CE_LAB于E,则EBDC是矩形，

连接AC,

，EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6m,

在Rt△AEC中,AC=QAE2+EC”।。血'

【点评】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

（2013春•镇费县期末）如图，在一个高为5m,长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度

至少应是（）

5m

A.13mB.17mC.18mD.25m

【考点】勾股定理的应用.

【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水立宽度与垂直高度的和，根据勾股定

理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可.

【解答】解：由勾股定理得：

楼梯的水平宽度=J132-5上12,

•・•地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

地毯的长度至少是12+5=17米.

故选B.

【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性.

（2013秋•宜兴市校级月考）如图（1）,一架梯子长为5m,斜靠在一面墙上，梯子底瑞离

墙3m.如果梯子的顶端下滑了1m（如图（2））,那么梯子的底端在水平方向上滑动的距离

C.不大于ImD.介于0.5m和1m之间

【考点】勾股定理的应用.

【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后在（2）中求得CE的长，然后利用勾股定

理求得CD的长后即可求得答案.

【解答】解：图（1）中，AB=5米，BC=3米，

由勾股定理得AC=4米，

•・•梯子下滑了1米，

AAE=1米，

AEC=3米，

图（2）中，EC=3米，ED=5米，

由勾股定理得CD=4米，

所以梯子向外端下滑了1米，

【点评】本题考查的是对勾股定理在解直角二角形中的应用，要求熟练掌握.

（2012秋•盐边县校级月考）如图：一个高3米，宽4米的长方形大门，需在相对角的顶点

间加一个加固木板，则木板的长为（）

【考点】勾股定理的应用.

【分析】由于大门的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故可利用勾股定理解答.

【解答】解：设这条木条的长度为x米，

由勾股定理得：木板长的平方二门高长的平方+门宽长的平方.

BPX2=42+32,解得x=5米.

故选C.

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，属段简单题目.

（2012春•平湖市校级月考）小芳想在墙壁上钉一个三角架（如图），其中两直角边长度之

比为3：2,斜边长4西m,则较长直角边的长度是（）

A.2V10B.4V10C.65/10D.2V130

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据两直角边之间的比值，设出一边，然后表示出另一边，用勾股定理得到方程求

出两直角边的长后，找到较短长的边即可.

【解答】解：・・•两直角边长度之比为3：2,

,设两条直角边分别为:3x、2x,

•••斜边长为J函匣米，

2

工由勾股定理得：（3x）2-（2x）=（J而）2解得：X=2710，

，较长的直角边的长为：3X=3X2V10=（＞710.

故选C.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理不但能在直角三角形中求边长，而且它

还是直角三角形中隐含的一个等量关系，利用其可以列出方程.

（2012秋•文登市校级月考）如图所示，在一块平地上，李大爷家屋前14米远处有一颗大

树，在一次强风中，这颗大树从离地面5米处折断倒下，量得倒下部分的长是13米.出门

在外的李大爷担心自己的房子被倒下的树砸到，大树倒下时会砸到李大爷的房子吗？（）

C.一定会D.以上答案都不对

【考点】勾股定理的应用.

【分析】由题意知树折断的两部分与地面形成一直角三角形，根据勾股定理求出BC的长即

可解答.

【解答】解：如图所示，AB=13米，AC=5米，根据勾股定理得，

BC=2

7AB-AC^VlS2"B2=12米v14米.

故选A.

【，点:评】考查了勾股定理在生活中的应用.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

（2011秋•钟山区期末）人在平地上以1.5米/秒的速度向东走了8（）秒，接着以2米/秒的速

度向南走了45秒，这时他离开出发点（）

A.180米B.150米C.120米D.100米

【考点】勾股定理的应用.

【分析】因为向东走，又向南走，刚好构成一个直角，则根据勾股定理可求得斜边即他与出

发地点相距的距离.

【解答】解：如图，

•・,以1.5米/秒的速度向东走了80秒，接着以2米/秒的速度向南走了45秒，

，OA=1.5x80=120米，OB=2x45=90米，

ZAOB=90°,

AB=22=22=

VOA+OB790+120150米，

故选B.

【点评】本题考查了勾股定理的基本运用，把方向运动构建成一个直角三角形是解题关键.

（2011春•惠农区校级期末）一个圆桶底面直径为24cm,高32cm,则桶内所能容下的最长

木棒为（）

A.20cmB.5（）cmC.40cmD.45cm

【考点】勾股定理的应用.

【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm,CB=32cm,那么线段AB的长度就

是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角二角形ABC中利用勾股定理可以求出AB,也

就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度.

【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，

AC=24cm,CB=32cm,

・•・线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，

AB=VAC2+BC2=40cm,

故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm.

【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题H的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结

果.

（2011秋•肃州区校级期中）一架长2.5m的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角U/7m,

则梯子顶端距墙角的距离是（）

A.0.7mB.0.9mC.2.4mD.2.5m

【考点】勾股定理的应用.

【分析】在RSABC中，利用勾股定理即可求出h的值.

【解答】解：在RSABC中,AB2=AC2-BC2,

VAC=2.5m,BC=0.7m,

，AB=JAC?-2=2.4m,即梯子顶端离地面距离h为2.4m.

故选C.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表

达式.

（2011春•武昌区校级期中）一根竹子长16米，折断后竹子顶端落在离竹子的底端8米处,

折断处离地面的高度是（）

A.10米B.9米C.7米D.6米

【考点】勾股定理的应用.

【分析】竹子折断后刚好两成一直角二角形，设竹子折断处离地面x米，则斜边为（16-x）

米.利用勾股定理解题即可.

【解答】解：设竹子折断处离地面x米，则斜边为（16-x）米，

根据勾股定理得：X2+82=（16-X）2

解得：x=6.

故选D.

【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运

用勾股定理解题.

（2011春•西城区校级期中）如图，一根12米庙的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个

固定点AB之间的距离是（）

A.13B.9C.18D.10

【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的判定与性质.

【分析】运用勾股定理可将三角形的直角边求出，将两个直角边进行相加即为两个固定点之

间的距离.

【解答】解：•・•电线杆高为12m,铁丝长15m,

・•・固定点与电线杆的距离7/1？-12J9m,

•・•两个直角三角形全等,

，两个固定点之间的距离=9x2=l8m.

故选C.

【点评】本题考查正确运用勾股定理，关键是从实际问题中找到直角三角形，并利用勾股定

理进行有关的运算.

（2011秋•祁东县校级月考）王英同学从A地出发，沿北偏西60。方向走100米到B地，再

从B地向正南方向走50米到C地，此时王英同学离A地（）

北

3C-1一，东

南

A.100米B.50米C.5M米D.5帖米

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据题意知道AB和BC的长，利用勾股定理求得AC的长即可.

【解答】解：•・•沿北偏西60。方向走100米到B地，再从B地向正南方向走50米到C地，

AZBCA=90°,AB=100米，BC=50米，

AC=7AB2-BC2=5°V3»

故选D.

【点评】本题考查了勾股定理的应用的知识，在应用勾股定理时注意勾股定理应用的环境.

（2010春•建阳市期末）两只小熊鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm,另一只朝

左挖，每分钟挖6cm,10分钟后，两只小眠鼠相距（）

A.50cmB.100cmC.140cmD.80cm

【考点】勾股定理的应用.

【专题】应用题.

【分析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角.再根据路程;速度x时间，根据勾股

定理即可求解.

【解答】解：由图可知，AC=8xlO=8Ocm,BC=6xl0=60cm,由勾股定理得，

=222：

AB7AC+BCW80+60Z100cm.

故选B.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用

勾股定理进行计算.

（2010春•淄川区期末）如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得AB=3m,BC=4m,

A.16800B.7200C.5100D.无法确定

【考点】勾股定理的应用；勾股定理的逆定理.

【分析】连接AC,可得AABC与ADAC均为直角三角形，进而可求解四边形的面积.

【解答】解：连接AC,

因为AB=3m,BC=4m,DA=13m,CD=12m,NB=90。，

所以AC2=AB2+BC2,

=42+32,

=16+9,

=25,

所以AC=5m,

又因AD2-DC2,

=132-122,

=169-144,

=25,

=AC2,

所以ADAC为直•角三角形，

因此S四动形ABCD的面枳=SaABC+S^DAC，

=ABxBC+ADxAC,

=1x4x3+1x12x5,

22

=6+30,

=36.

故费用为:200x36=7200元，

故选B.

【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应月，会用勾股定理逆定理求三角形是

直角三角形.

（2009春•滦县校级期中）丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面

还多2米，当她把绳子的下端拉开6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A.3米B.10米C.12米D.14米

【考点】勾股定理的应用.

【分析】据题意设旗杆的高为xm,则绳子的长为（x+2）m,再利用勾股定理即可求得绳子

的长，即旗杆的高.

【解答】解：设旗杆的高为xm,则绳子的长为（x+2）m.

根据题意得：

X2+62=（X+2）2,

解得x=8,

工绳长为x+2=8+2=10.

故选B.

【点评】本题考查了勾股定理的应用的知识，在应用勾股定理时注意勾股定理应用的环境.勾

股定理同时也是直角三角形中的一个重要的等量关系.

（2002•湛江）如图，小红从A地向北偏东30。，方向走100米到B地，再从B地向西走200

A.150米B.100«米C.100米D.50立米

【考点】勾股定理的应用；方向角.

【专题】应用题：压轴题.

【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可.

【解答】解：在RSDAB中,

VZDAB=30\AB=100,

ADB=50,

勾股定理得，DA=5OV5，

在RtaDCA中，

VBC=200,DB=50,

ADC=150,

VDA=5OV3»

，勾股定理得，AC=100^r3.

故选B.

【点评】此题主要考查学生对方向角及勾股定理在实际生活中的运用.

如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两

【考点】勾股定理的应用.

【分析】如图,在RSABC中,AC=I2O-60=60,BC=140-60=80,然后利用勾股定理即

可求出两圆孔中心A和B的距离.

【解答】解：如图，在RSABC中，・・・AC=120・60=60,BC=140-60=80,

/.AB=^22=100（inm）»

・・・两圆孔中心A和B的距离为100mm.

故选B.

【点评】此题主要考查勾股定理在实际中的应用，首先壬确从图中找到所需要的数量关系,

然后利川公式即可解决问题.

小丰妈妈买了一部29英寸（74cm）电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（）

A.指的是屏幕的长度B.指的是屏幕的宽度

C.指的是屏幕的周长D.是屏幕对角线的长度

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据电视机的习惯表示方法解答即可.

【解答】解：29英寸指的是荧屏对角线的长度.

故选：D.

【点评】本题考杳了勾股定理的应用，解题时了解一个常识：通常所说的电视机的英寸指的

是荧屏对角线的长度是解题的关键.

某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三

条边上栽上了树苗（如图）.已知三边上的树苗数分别为50、14、48,空地的三个角均有一

棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地［1勺形状为（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定

【考点】勾股定理的应用.

【专题】应用题.

【分析】根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49,根据三边的长判断三角

形的形状即可.

【解答】解：•・•三边上的树苗数分别为5（）、14、48,空地的三个角均有一棵树，且每条边

上的树苗株距均为1米，

・••三边的长分别为13米、47米、49米，

假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x,

则：X2=132+472=2378,

•.•492=2401>2378,

・•・该三角形为钝角三角形.

故选B.

【点评】本题考杳了勾股定理的知识，与实际生活相联系，激发了学生学习数学的积极性.

（2014春•陕西校级期末）一艘船先向正西方向航行80km,然后向正南方向航行150km,

这时它距出发点」20km.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据题意可知两次航向的方向构成了直角.然后根据题意知两次航行的路程即是两

条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长.

【解答】解：根据题意得：

AB=80,BC=150,

△ABC构成直角三角形，

根据勾股定理，

AC2=AB2+BC2,

AAC2=802+1502,

；・AC=170千米.

【点评】此题考查/勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，能够运用数学知识解决生

活中的问题，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形.

（2014秋•郑州期末）木工师傅想做一个长方形桌面，经测量得知四边形桌面的长边均为

60cm,短边均为32cm,对角线长为68cm,这个桌面合格（填"合格"或"不合格"）.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】只要算出桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线为68cm是否符合勾股定理即可，

根据勾股定理直接解答.

【解答】解：・・寸6（）2+32『68cm,

・••这个桌面合格，

故答案为：合格.

【点评】本题考查的是勾股定理在实际中的应用，需要同学们结合实际掌握勾股定理.

（2014春•仙游县期中）一艘轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，同

时另一轮船以12海里/小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相

距60海里.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直用.然后根据路程;速度x时间，得

两条船分别走了32,24.再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离.

【解答】解：•・,两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

，NBAC=90。，

两小时后，两艘船分别行驶了16x3=48,12x3=36海里，

根据勾股定理得：74824-362=6°（海里）・

【点评】本题考查了勾股定理的应用，热练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单.

（2014秋•市南区校级期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是6cm,8cm,30cm.在

AB中点C处有一小孔，若盒壁的厚度和小孔的大小忽略不计，则从C处能放入长方体内木

棒的最大长度是_5V13_cm.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可.

【解答】解：如图所示：

EF=6cm»FB=8cm,BC=15cm,

连接EB、EC,

在RSEFB中，BE=^62+g2=IOcm,

在RsEBC中，EC=.m.

故答案为：5阮.

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角

形是解答此题的关键.

（2014秋•衡阳县校级月考）如图，市政府准备修建一座的过街天桥，已知地面BC为S米,

则桥的坡面AC是10米.则此街道的交通"限高”为6米.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】在RSABC中，通过已知两边的长，根据勾股定理即可即可计算出未知边AB的

长度.

【解答】解：设AB的长为x,根据勾股定理得：X2+82=I00,

•，.x=6或x=-6（舍去）.

故答案为：6.

【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，难度一般，关键是掌握勾股定理的运用.

（2013秋•张家港市校级期末）如图是连江新华都超市•楼与二楼之间的手扶电梯示意

图.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，小马虎从点A到点C共走了12m,

电梯上升的高度h为6m,经小马虎测量AB=2m,则BE=8m.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】首先求得线段BC的长，然后利用勾股定理求得BE的长即可.

【解答】解：•・•从点A到点C共走了12m,AB=12m,

，BC=10米，

Th=6米，

ABE=7BC2-EC2=8**

故答案为8.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求得直角三角形的两边然后利用勾股定

理求解.

（2012春•召陵区校级期中）张辉在做实验室做“盐水”实验.当他用玻璃棒搅动烧杯底部的

食盐时发现手中的玻璃棒离开烧杯口长度在不断的变化.若烧杯底的半径为2.5cm,高为

12cm,玻璃棒的长度为20cm,请你帮助张辉算出玻璃棒露出烧杯口部分x的范围是一

7cm4x48cm.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】由于玻璃棒、烧杯内部底面直径与杯壁正好构成宜角三角形，故可先利用勾股定理

求出AB的长，进而可得出结论.

【解答】解：如图所示:

。・•杯子底面半径为2.5cm,高为12cm,

BC=2x2.5=5cm»AC=12cm,

•・•玻璃棒、烧杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，

/.AB=d52+i2*]3cm,

此时露出烧杯外部分为20-13=7cm,

当玻璃棒与杯底垂直时露在外面最多为：20-12=8cm,

・••玻璃棒露出烧杯口部分x的范围是7cm<x<8cm

【点评】本题考查的是勾段定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三

角形，再利用勾股定理解答.

（2011秋•青羊区校级期中）如图，从电线杆离地面4m处的C点向地面拉一条缆绳，已知

缆绳的固定点A到电线杆底部B的距离为3m,则缆绳的长为5米.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据题意知道本题就是在直角三角形中已知AB和BC求斜边AC的长，利用勾股

定理即可求得.

【解答】解：由已知得：住RtAABC中，已知AB=3米，BC=4米，

故由勾股定理得：AC=7AB2+BC2=5**

故答案为5米.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是能够把实际问题抽象出几何图形，再根据勾股

定理进行计算.

如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，那么地面钢缆固定点A到电杆底

部B的距离是_2代—米.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据电线杆与地面垂直得NB=90。，由题意得BC=5、AC=7,利用勾股定理求得

AB的长即可.

【解答】解：地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离为

【点评】考查了利用勾股定理解决实际问题的能力.

（2014•甘肃模拟）如图，是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm,高为15cm,

问易拉罐内可放的搅拌棒（直线型）最长是多长？

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B点，另一个端点在A点时最长，此时可

以把线段AB放在RSABC中，BC是底面的直径.

【解答】解：当搅拌棒在AB位置时最长，过B画底面直径BC,则在RtAABC中AC=15cm,

BC=8cm.

根据勾股定理，AB=qAC?+BC2=4]52+8*17（cm）,

所以可放的最长搅拌棒为17cm.

B

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，很有生活性，要学会

用所学知识解决实际问题.

（2014秋•祁江区期末）如图，已知：大风把一颗大树刮断，折断的一端恰好落在地面上的

A处，量得BC=3m,AC=4m,试计算这棵大树的高度.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】该大树折断后，折断部分与地面、原来的树干恰好构成一直角三角形，设大树折断

部分AB高为x米，由勾股定理可得出方程：32+42=X2,解该方程可得出AB的长，进而可

得大树原来的高.

【解答】解：设大树断掉的部分AB长为x米，

VZBCA=90°,

/.BC2+CA2=AB2,

222

A3+4=X,

解得x=5（米），

，大树原高为：3+5=8（米），

答：大树原来的高为8米.

【点评】此题主要考查了利用勾股定理解应用题，关键在于把折断部分、大树原来部分和地

面看作一个直角三角形，利用勾股定理列出方程求解.

（2014秋•南京期末）如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5m,求梯

子的顶端与地面的距离h.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】在RSABC中，利用勾股定理即可求出h的值.

【解答】解：在RSABC中,AB2=AC2-BC2,

VAC=2.5m,BC=1.5m,

?.AB=JAC2_Bc2=2m,

即梯子顶端离地面距离h为2m.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表

达式.

（2013秋•新浦区校级月考）如图，氏为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地

面的距离AC为8m,当梯子的顶端A卜滑1m到点A，时，低端B向外滑动到点BS求BB，

【考点】勾股定理的应用.

【分析】在RTAABC中，根据AC,AB的长可以求得BC的长，在RTAA'B'C中，根据AC

和AB，的长可以求得BC的长，即可求得BB，的长，即可解题.

【解答】解:〈RTaABC中,AC=8m,AB=IOm,

:，BC=VAB2-ACZ=6m，

VRTAA'B'CA'C=8m-lm=7m,AB'=10m,

・•・BC=JA'B'2-B',

ABB^B'C-BC=（V51-6）m.

答：BB'的长为倔・6m.

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中运用，本题中求得BC,BC的长是解题的关

键.

我方侦查员在海岛上发现正东方向有一艘走私船，欲向E北方向急速行驶，侦查员赶紧拿出

红外测距仪,测得走私船与他相距12km,lOmin后,走私船与侦查员相距13km,你能算出

走私船的行驶速度吗？

【考点】勾股定理的应用.

【分析】首先由勾股定理求出AB,再由速度;路程+时间，即可得出结果.

【解答】解：能算出走私船的行驶速度为30km/h；理由如下：

如图所示：

根据题意得：ZOAB=90°,OA=l2km,OB=l3km,

AAB=7OD2-OA^VlS2-122=5（km），

，走私船的行驶速度=5+10=0.5(km/min)=3()km/h,

即走私船的行驶速度为30km/h.

八北

【点评】木题考查了勾股定理的应用、速度的求法；熟练掌握勾股定理，根据题意画山图形,

善广挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键.

如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的

一点B取NABD=140。,BD=520m,ZD=50°,那么另一边开挖点E离D多远正好使A,C,

E三点在一直线上(结果保留小数点后一位)？

【考点】勾股定理的应用.

【分析】先判断出ABED的形状，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可.

【解答】解：・・・NABD=140。

，NDBE=180°-140°=40°,

•/ZD=5O%

:.ZE=1800-ZDBE-ZD=180°-40°-50°=90°,

/.DE=COSD,

BD

即_Pl=0.6428,

520

解得DE=334.3m.

故另一边开挖点E离D334.3米正好使A,C,E三点在一直线上.

【点评】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运月，涉及到三角形内角和定理及锐角

三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键.

如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点;

当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点，已知NBAC=60。，NDAE=45。，点D到地面

的垂直距离DE=8cm,求点B到地面的距离.

【考点】勾股定理的应用.

【分析】在RSADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt^ABC中，根据已知条

件再次运用勾股定理可求出BC的长.

【解答】解：在RSDAE中，

•・•ZDAE=45°,

/.ZADE=ZDAE=45°

AE=DE=8,

/.AD2=AE2+DE2=82+82=128

・・・AD=8血，即梯子的总长为8血米.

，AB=AD=8亚

在RIAABC中，

VZBAC=60°,

/.ZABC=30°；

，AO」AB=4亚；

2

ABC2=AB2-AC2=(8^2)2-(4^2)2=96;

,\BC=V96=4V6m；

・••点B到地面的垂直距离BC=4V6m.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股

定理是解决此类题Id的美健.

如图所示，在四边形机器零件ABCD中，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=IO,CD=6,求这

个四边形的面积(提示：在直角三角形中，3()。的角所对的直角边等于斜边的一半).

【考点】勾股定理的应用；含30度角的直角三角形.

【分析】延长AD、BC交于E,根据直角三角形两锐角互余求出NE=30。，然后根据直角三

角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出AE、CE,再利用勾股定理列式求出BE、DE,

然后根据四边形的面积等于两个直角三角形的面积的差列式计算即可得解.

【解答】如图，延长AD、BC交于E.

VZB=90°,ZA=60°,

/.ZE=90°-60°=30°,

在RSABE和RlZkCDE中，VAB=10,CD=6,

AAE=2AB=20,CE=2CD=2x6=12,

由勾股定理得，BE=^2Q2-1Q2=10VS*

DE=V122-62=^

AS四边形ABCD二1x10^3x10-1x6^3x6

22

=50A/3-18A/3

=32后

【点评】本题考杳了二次根式的化简，勾股定理，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边

的一半的性质，二角形的面积，作辅助线构造出直角二希形是解题的关键.

古诗赞美荷花："竹色溪下绿，荷在镜里香平静的湖面上，一朵荷花婷婷玉立，露出水面

10cm,忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面.仔细观察，发现荷花偏离原地40cm(如图),

请问水深多少？

【考点】勾股定理的应用.

【分析】设水深为h,则荷花的高h+10,因风吹花朵齐及水面，且水平距离为40cm,那么

水深h与水平40组成一个以h+10为斜边的直角三角形：根据勾股定理即可求出答案.

【解答】解：设水深为h,则荷花的高h+10,且水平距离为40cm,

贝ij(h+10)2=402+h2,

解得h=75.

答：水深75cm.

【点评】此题主要考查学生对勾股定理的应用这一知识点的理解和掌握，此题的关键是“水

深h与水平40组成一个以h+10为斜边的直角三角形〃这是此题的突破点，此题难度不大，

属于中档题.

如图，学校A位于工地0的正西方向240米，拖拉机从O出发，沿大路以5