格林公式及其应用

§10.3格林公式及其应用

一、格林公式

一元微积分学中最基本的公式一牛顿、莱布尼兹公式

b

^Fr(x)dx=F(b)-F(a)

a

表明：函数b’(％)在区间［°，“］上的定积分可通过原函数产(工)在这个区间的两个端点

处的值来表示。

无独有偶，在平面区域Q上的二重积分也可以通过沿区域D的边界曲线L上的曲线

积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。

1、单连通区域的概念

设D为平面区域,如果。内任一闭曲线所围的部分区域都属于D,则称D为平面单

连通区域；否则称为复连通区域。

2、区域的边界曲线的正向规定

设L是平面区域。的边界曲线，规定L的正向为：当观察者沿L的这个方向行走

时，O内位于他附近的那一部分总在他的左边。

yy

简言之：区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。

3、格林公式

【定理】设闭区域。由分段光滑的曲线L围成，函数P（XQ'）及。（X,y）在。上具有

一阶连续偏导数,则有

11（学-"）dxdy=jPdx+Qdy

。灰纱L

⑴

其中L是。的取正向的边界曲线。

公式（1）叫做格林（green）公式。

【证明】先证

假定区域。的形状如下（用平行于）'轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多

两点）

尸。2（式）

।尸町⑺।

-1I

JI~abx

图二

易见，图一所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的

区域。给予证明即可。

D:a<x<b,0］（x）〈y〈02（x）

-\\—dxdy=-\dxJ为办=—，［P（x,y）常（（：）“

Dcya例*）67〉a

b

=-j{P［x,（p2（x）］-P［x,（p^x）］}dx

a

另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有

|Pdx=JPdx+JPdx+JPdx+jPdx

L弧AB~BC弧CEEA

ba

=jP［x,（p^x）］dx+0+JP［x,（P2^x^］dx+0

ab

b

=-J{P［x，92（x）］一尸［x,0i（x）］}公

TJ为公力=中产公

因此。GL

再假定穿过区域0内部且平行于x轴的直线与的0的边界曲线的交点至多是两点,

用类似的方法可证

.

OI

-f

•

。L

综

合有

当区域o的边界曲线与穿过o内部且平行于坐标轴（x轴或y轴）的任何直线的

交点至多是两点时,我们有

6Q,「八j

-泮=JPdx—^dx7dy=^Qdx

LD“人L

同时成立。

将两式合并之后即得格林公式

迎gp

n(——)dxdy=fPdx+Qdy

dx办L

注：若区域不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过

两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域

适合上述条件，仍可证明格林公式成立。

格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛。

些一2=1.(.|)=2

若取尸二-6，则格林公式为

2JJdxdy=fxdy-ydx

DL

A=—jxdy-ydx

故区域。的面积为?L

x-acos~3t

<

_.3

【例I】求星形线［y="Sint所围成的图形面积A。

解：当，从o变到2万时，点(尤丁)依逆时针方向描出了整个封闭曲线乙，故

A=1fxdy-ydx

2L

1273232

=—J(acos，＞(3asintcostdt)-(asin，＞(-3QCOStsintdt)

2o

2乃

JCI4.2.42TJ

=-----JF[cRosZsinE+sin/cost]dt

2o

71

3/242

Jcos2rsin2tdt=6^2Jcos2/sin2tdt

2oo

3加2

=6/总与8

【例2】设是任意一条分段光滑的闭曲线，证明

f2xydx+x2dy=0

L

证明:这里「二2町，。=广

----=2x-2x=0

公3），

f2xydx+x2dy=JJOcbcdy=0

从而LD

这里。是由L所围成的区域。

二、平面曲线积分与路径无关的条件

1、对坐标的曲线积分与路径无关的定义

【定义一】设G是一个开区域，函数尸（阳丁）、Q（%y）在G内具有一阶连续偏导数,

如果对于G内任意两点A、8以及G内从A点到8点的任意两条曲线0、”,等式

JPdx+Qdy=JPdx+Qdy

JPdx+Qdy

恒成立，就称曲线积分L在G内与路径无关；否则，称与路径有关。

定义一还可换成下列等价的说法

若曲线积分与路径无关，那么

JPdx+Qdy=-JPdx+Qdy

o\Pdx+Qdy+JPdx+Qdy=0

<=>JPdx+Qdy=0

<^>jPdx4-Qdy=0（L=L[+L^）

L

即：在区域G内由力+4所构成的闭合曲线上曲线积分为零。反过来，如果在区域G内沿

任意闭曲线的曲线积分为零，也可方便地导出在G内的曲线积分与路径无关。

JPdx+Qdy

【定义二】曲线积分心在G内与路径无关是指，对于G内任意一条闭曲线

C恒有

fPdx+Qdy-0

c。

2、曲线积分与路径无关的条件

【定理】设开区域G是一个单连通域,函数尸（尤，y）、Q（%，y）在G内具有一阶连续

jPdx+Qdy

偏导数，则在G内曲线积分L与路径无关的充分必要条件是等式

Py=QX

在G内恒成立。

证明：先证充分性

在G内任取一条闭曲线C,因G单连通,故闭曲线C所围成的区域D全部在G内。

由格林公式，有

fPdx+Qdy

c

=JJ[Qx-Py]dxdy=J]Odxdy=0

JPdx+Qdy

依定义二，在G内曲线积分L与路径无关。

再证必要性（采用反证法）

假设在G内等式弓一0工不恒成立,那么G内至少存在一点死，使

口一单％。。

[^"^]L=Z7>0

不妨设0

与在内连续，在内存在一个以

由于Q46G为圆心,半径充分小的圆域K,使得

在K上恒有

Q「P、吟

由格林公式及二重积分性质有

fPdx+Qdy=Jj[Qx-Py}dxdy>JJ^-dxdy=dxdy=^-^>0

rKK22K2

这里「是K的正向边界曲线，b是K的面积。

这与G内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾。故在G内等式

4=Qx

应恒成立。

注明：定理所需要的两个条件

4区域G为单连通域

》《函数P(x,y),Q(x,),)在G内具有一阶连续偏导数

缺一不可。

/_fxdy~ydx

【反例】讨论L厂+»，其中心是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针

的。

尸=，\，Q=2"，

这里厂+)广X+)厂

_-(x2+/)+y(2j)y2-x2(x2+y2)-x(2x)y2-X-

5-以一(F+y2)2-(/十/2

除去原点外，py92在L所围成的区域内存在、连续，且py=Qx。

「.22_2

在£内，作一半径充分小的圆周1：x+)，=£

在由人与「所围成的复连通域内使用格林公式有

JPdx+Qdy-jj[Qx-Py]clxdy-JjQdxdy=0

L+v~DD

J+1=。，J=J

Lv-Lr

x=*8cos

gxdy-ydx_jxdy-ydx(\\

~L/+产_?+y2[y=£sin。

cos8(£cos0)d6-esina—esin3)d0

"J

o8

24

=^d0=2万W0

0

三、二元函数的全微分求积

/=fPdx+Qdy

若曲线积分，在开区域G内与路径无关，那它仅与曲线的起点与终点

的坐标有关。假设曲线L的起点为4（工，光）,终点为8（$,力），可用记号

（司，乃）B

JPdx+QdyjPdx+Qdy

（%，曲）或A

来表示,而不需要明确地写出积分路径。

显然,这一积分形式与定积分非常相似，事实上,我们有下列重要定理

【定理一】设G是一个单连通的开区域，函数P（x，）'）、QCay）在G内具有一阶连续偏导

dP=dQ

数，且②dx,则

（XJ）

U（x,y）=jPdx+Qdy

（所，为）

是（羽丁）的单值函数,这里（的，No）为G内一固定点,且

亦即dU=Pdx+Qdy

【证明】依条件知，对G内任意一条以点4(兀0，)’0)为起点，点为终点的曲线

JPdx+Qdy

L,曲线积分L与路径L无关，仅与L的起点和终点的坐标有关，亦即,

。(x，y)确为点(了，力的单值函数。

下面证明

(")

JPdx+Qdy

由于“0，%)可以认为是从点A(x。，为)沿G内任何路径到点B(x,y)的

曲线积分，取如下路径，有

(x+Ar,y)

U(x+Ar,y)=JPdx+Qdy

(Xo，)'o)

=JPdx+Qdy+[Pdx+Qdy

LBB'

=U(x,y)+jP(x,y)dx

X

=U(x,y)+P(x+夕Ar,y)・Ax(0<6^<1)

次J[.U(x+Ar,y)-U(x,y)

-^―=lim---------------------------------

dxAxfoAr

=lim尸(x+夕Ar,y)=P(%,y)

AY5)

2(x,y)

类似地可证明

du=—dx+—dy=Pdx+Qdy

因此私办

【定理二】设G是单连通的开区域，尸（x，y）、Q（x，y）在G上具有一阶连续偏导数,

则Pdr+Qdy在G内为某一函数U（x,y）全微分的充要条件是

dydx

在G内恒成立。

【证明】显然，充分性就是定理一

下面证明必要性

若存在U（x，V）使得dU=Pdx+Qdy则

”,"Q

dxdy

济U/P/Q

dxdydydydxdx

dPdQ

由于、dx在G内连续，则二阶混合偏导数适合等式

济U二济U

dxdydydx

aP=3Q

dydx

从而

【定理三】设G是一个单连通的开区域，函数尸（占）’）、Q（%，y）在G内具有一阶连

续偏导数，若存在二元函数/使得

dF=Pdx+Qdy

*i，M）

JPdx+Qdy=F（x,y）|熏，0））=/（R,%）-尸（湎,％）

则（工0，）’0）

其中（殉，为）、（和升）是G内的任意两点。

（x,y）

U（x,y）=JPdx+Qdy

【证明】由定理1知，函数“0，为）

适合dU-Pdx+Qdy

于是dU=dF或d（U-F）=O

因此U-F=C（C是某一常数）

。（和M）-网和H）=C

0（内,如）-尸（而,％）=。

即。（司，凹）一。（闻，％）=FQI，凹）一FQo,%）

（孙力）

。（孙力）=JPdx4-Qdy

而“0，%）

（珀先）

。（和，％）=[Pdx^Qdy=0

（x（Qo）

这是因为由点（*0,）'o）沿任意G内的路径回到点（x。，）'o）构成一条封闭曲线，故

。（%0»0）=。

（和州）

JPdx+Qdy=F（xb%）-F（x0,%）

因此（Xo，）'o）□

【确定P小+Qdy的全微分函数"（X，）'）的方法】

（占y）

（/（%,y）=jPdx+Qdy

因为（工0，凡）），而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,

可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径（当然折线应完全属于单连通区

域）。

“s（xo>?）

□

心0，.0）灭（？0）

xy

U（x,y）=jP（x