2025年高等数学数值解法题库微分方程求解习题集

《常分方程数值解法》试题一及答案

1.用欧拉法解初值问题卜二一)'一江(0JW0.6),取步长乐0.2.计算

卜(0)=1

过程保留4位小数。

解：底0.2,F(x)二一/一彳丸首先建立欧拉迭代公式

儿+i=%+xk,yk)=yk-hyk-hxky-=O.2yk(4-xkyk)(k=0,1,2)

当A=0,汨=0.2时,已知%0=0,为=1,有

y(0.2)«/1=0.2X1(4-0X1)=0.8000

当4=1,至=0.4时，已知x=O.2,乂=0.8,有

y(0.4)^=0.2X0.8X(4-0.2X0.8)=0.6144

当A=2,为=0.6时，已知在=0.4,%=0.6144,有

-0.6)才必=0.2X0.6144X(4-0.4X0.4613)=0.8000

2.对于初值问题卜'=万试用⑴欧拉法；(2)欧拉预报一校正公式；

1y(0)=i

(3)四阶龙格一库塔法分别计算y(0.2),y(0.4)近似值.

3.证明求解初值问题梯形公式是

分产乂+勺/区，以)+/(%，»)］，底Xm-Xk

(HO,1,2,…，〃-1),

4.将下列方程化为一阶方程组

y"-4y'+3y=0

(1)L，(O)=l,y'(O)=O

x2y*-2xyr+2y=x3Inx

(2)y(1)=l,y(l)=O

)尸=6)少

(3)b<0)=l,y(0)=-l,/(0)=2

5.取步长力二0.2再用四阶龙格一一库塔措施解初值

y'=x+y0<x<l

\>'(O)=1

并用前题比较成果。

6.下列各题先用龙格一一库塔法求表头，然后用阿当姆斯法继续求

后来各值

l<x<1.5

(1)

义1)=3/z=0.1

)，,+一1),=r1

(2)I<x<1.5

y(D=l/?=0.1

?

7.试确定公式Jn+1=矶+蛆4+On-2+h(力工+吼+力3)中系数

〃力Cd,ej,使之成为一种四阶措施.

8.半=2孙，并求满足初始条件:x=0,y=l特解.

dx

解：对原式进行变量分离得

—dy=2xdx,两边同时积分彳导4nLy|=X?+c•，即y=c/把x=0,y=1代入得

y

x

c=1,故它的特解为y=e\

9..y*+(x+l)d)，=0,并求满足初始条件：x=0,y=1特解.

解：对原式进行变量分离得：

-----!—dx=，dy当y工两，两边同时积分得Jn|x+=，+c,即y=-------\-------,

x+1y~yc+ln|x+l|

当)，=(M显然也是原方程的辘当x=0,y=l时，代入式子球=1,故特解是

I

V=j7O

1+ln|l+^|

《常分方程数值解法》试题二及答案

1.用欧拉预报一校正公式求解初值问题[)''+1'+)''如"二°,取步长

[XD=1

斤0.2,计算/(0.2),9(0.4)近似值，计算过程保留5位小数.1

解：步长h=0.2,此时f(x,y)=-y—^six\x.

欧拉预报一校正公式为：

预报值),《.产M+hfg,以)

'J]—

校正值yk+l=y*+-[f(xktyk)+f(xk+ltyk+l)]

有迭代公式：

预报值,y*.+l=yk+fi(-yk-ylsinxk)

=yk(0.8-().2ytsinxk)

*h-2

校正值yk+l=yk+-[(-yk-ylsinx^+^j^-yA+1sin%[)]

=y*(0.9-O.l.y*sinxk)-OA(yk+l-sin%)

当A=0,%0=l,此=1时，%i=l.2,有

M=Jo(08-0.2/sinx0)=1x(0.8-02xIsin1)=0.63171

y(l.2)«y,=1x(0.9-O.lxlxsinl)-0.1(0.63171+0.631712sin1.2)=0.71549

当A=l,%]=1.2,y尸0.71549时'，%2=1.4,有

)'2="(0.8-0.2%sinxj=0.7l549x(0.8-02x0.71549sin1.2)

=0.47697

y(1.4)«y2

=0.71549x(0.9-0.1x0.71549xsinl.2)-0.1(0.47697+0.476972sin1.4)

=0.52608

2.试写出用欧拉预报一校正公式求解初值问题=°计算公式，

ly(0)=1

并取步长/F0.1,求y(0.2)近似值.规定迭代误差不超过10-5.

3.证明求解初值问题梯形公式是

次尸以+刍/(4，以)+/(%,»)］，乒Xg~Xk

30,1,2,…，〃-1),

4.求出梯形格式绝对稳定性区域.

5.取步长h=0.2再用四阶龙格一一库塔措施解初值

y'=x+y0<x<l

\>'(0)=1

并用前题比较成果。

6.用差分法求方程

>'*+y=0

>'(0)=0_y(l)=l

数值解数=0.2)

7dy=1+J

dx%，+仆

解：原式可化为：

22

包=上上显然上工工0,故分离变量得上公

dxyx+xy1+y-v+x

两边积分得/In\+y~=ln|x|--ln]+12+皿(<?w0),即(1+y*)(l+x)-cx

故原方程的解为(1+y)([+x)=cx

8：(1+x)ycbc+(l-y)必，=0

解：由)，=0或r=0是方程的解，当孙工附，变量分离上匕公=上24=0

两边积分In|.v|4-x4-ln|y|-y=c,即In\xy\+x-y=c,

故原方程的解为hi\xy\=x-y=c;y=0;x=0.

《常分方程数值解法》试题三及答案

1.写出用四阶龙格一库塔法求解初值问题上'=8-3)，计算公式，取步

[y(0)=2

长F0.2计算y(0.4)近似值.计算过程保留4位小数.

解：此处/5,0=8一3匕四阶龙格一库塔法公式为

%=%(勺+2七+2K3+3)

O

其中K\-f{xki7A);股=%+!力长)；KFf(x"^h,

222

y^-hK^)；KL/'(&+/?,yk+hK)

2

本例计算公式为：

0.2rc

加=以+T(勺+2K2+2K3+弓)

O

其中K尸8—3%；K2=5.6—2.1匕.：K3=6.32—2.37yk\K.I=4.208

+1.578%

02

y=y+—(8-3y+2(5.6-2Ay)+2(6.32-2.37%)+(4.208-1.578%))

k+lk6tk

=1.2016+0.5494丸(k=0,1,2,...,n-1)

当Ab=0,y0==2,

y(0.2)£y=1.2016+O.5494yo=1.2016+0.5494x2=2.3004

y(0.4)«y2=1.2016+0.5494v,=1.2016+0.5494x2.3004=2.4654

2.对于初值问题卜'=")'试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报一校正公式;

b<o)=1

(3)四阶龙格一库塔法分别计算y(0.2),y(0.4)近似值.

yr=ax+b

3.使用措施Euler解初值问题i义0)=0，证明：其截断误差为

)*”)-)“铲比；这里-=叫”是Euler法近似解.

4.求出梯形格式绝对稳定性区域.

5.取步长力二0.2再用四阶龙格一一库塔措施解初值

y'=x+y0<x<1

\y(o)=i

并用前题比较成果。

6.用差分法求方程

/+y=0

j(0)=0y(l)=l

数值解(A=0.2)

7.试确定公式)‘田=矶+如T+%-2+力(力：“+W+力％)中系数

Cd,",使之成为一种四阶措施.

8.

dy_2x-y-\

dxx-2y+\

解：方程组2“一y一1=0,x-2>,+l=0；的解为x=-』,)，=■!•

33

令工=乂-])，=丫+!，则有?=2X-Y,

33(IXX-2Y

令工=U,则方程可化为：X半=2-24/：2,

XaX1-2t/

变量分离

9.

dyx-y+5

dxx-y-2

解：令x-y=5=f,则包=1一包，

dxdx

原方程化为=变量分离(-7)力-7公

dxt-1

两边积分;广-7/=-7x+c

代回变量T(X—>+5)2-7(x-y+5)=-7x+c.

《常分方程数值解法》试题四及答案

1.设初值问题了+)，=0,)，(0)=1,证明用梯形公式求解该问题近似解为

(1-hX

证明：解初值问题梯形公式为

y*+i=)+)11>2,…，〃—1)

f(xfy)=-y

•力，

+7

・・yk+i=yk-[-yk-y^i]

整顿成显式

=(总加(k。,1,2,…,/?-1)

用k=n,z?—1,z?-2,­­•,1,0反复代入上工3得到

(2-h\(2-/1^(2-h^(2-h\，+i

打+仪-N=|.G卜，卜〜。.=[一)凡

(2-hX

x)=i

2.试写出用欧拉预报一校正公式求解初值问题p+y=°计算公式,

),(0)=1

并取步长/FO.1,求y(0.2)近似值.规定迭代误差不超过10「

3.将下列方程化为一阶方程组

y"-4y'+3y=0

(1)L，(O)=l,y'(O)=O

x2yH-2xy'+2y=JC3Inx

(2)y(1)=1,y(l)=O

)尸=6)2y

(3)[)，(0)=l,y(0)=-l,y"(0)=2

4.取步长力二0.2用四阶龙格一一库塔措施解

y'=x+y0<x<l

'>'(O)=1

5.求出梯形格式绝对稳定性区域.

6.用经典四阶Rung-Kulta公式解初值问题

y，=x+y

\y(o)=1

取6=0.2.

7.用二阶Taylor展开法求初值问题

y=x~+y~

y(D=l

解在x=L5时近似值(双步长力=。25,小数点后至少保留5位).

—=(x+1)2+(4)，+1y+Sxy+1

•dx

解：方程化^乒=/+2了+1+16)，2+8)，+1+8冷，+1=(工+4>+1)2+2

dx

令l+x+4,，=〃，则关于x求导得"4包=包，所以>［包=/+?,

dxdx4dx4

i9?R

分离变量一；---du=dx,两边积分得"。吆(—+—x+-y)=6x+c,是

4〃~+9333

原方程的解。

9.八八2±

dx2xy5+x~y~

dy(V)2—2门dyy架一1―2/]

解:电3=〃,则原方程化为

dxy2(2xy3+x2dx2xy^+x2

3<_6

du3U2-6X25

___________________________人________________这是齐次方程，令

2M

clx2xu+x2+]

x

mildudzt-rIM322-6dzdzz2-z-6八、

，所以------=2+X—,x—=--------,.......(I)

xdxdx2z+1dx心2z+1

当Z2—Z-6=0,得z=3或z=-2是(1)方程的解。即=3x或)*=-2无是方程的解。

当z2-z-6工洞，变量分离产+1dz=Ldx,两边积分的(Z-3)7(Z+2)3=X5C,

z~-z-dx

即(/-3x)7(/+2x)3=?c,乂因为y，3=31或),3=—2x包含在通解中当好0«寸。故原方程

的解为(V_3x)7(V+2x)3=/c

《常分方程数值解法》试题五及答案

1选择填空题:

『y

1.取步长乐0.1,用欧拉法求解初值问题，=”计算公式是.

）。）=1

答案：yk+i=>'J1.1+..-—7］,k=0,1,2..n-1,yQ=1

解答：欧拉法公式

［），（%）"）"="+"6M％=0/2...八1）

x,=xQ+kh

此处/«），）=彳+），，迭代公式为

x

加二儿十+川=%°•1+k=％=1

2.对于初值问题卜'二92试用（1）欧拉法；（2）欧拉预报一校正公式；

ly（o）=1

（3）四阶龙格一库塔法分别计算y（0.2）,y（0.4）近似值.

3.证明求解初值问题梯形公式是

%】二次+刍/5，儿）+/（%|,九+|）］，炉粉।—Xk

(A=0,1,2,•••,/7—1),

y'=ax-\-b

4.使用措施Euler解初值问题t义0）=。，证明：其截断误差为

gf这里士=叫尤是Euler法近似解.

5.用改善Euler公式

%+1="+5/区，以）+/（­，”+"（2”））〕

.+y=o=p-/?Y

求解初值问题⑼=i,证明其近似解为"=1用1,并证明当时

〃一。，它收敛于原初值问题对的解尸广

6.取步长力二0.2用四阶龙格一一库塔措施解

y'=x+y0<x<1

‘）（0）=1

7.用Adams四步显式公式求解初值问题

yr=3x-2y

\y（o）=1

取步长力=0」.小数点后至少保留六位.

8dy_2xy+3xy+x

dx3x2y+2yy-y

解：原方程化为止「空+3)：+1)至=2x：+3)：+1

dxX3X2+2/-1)dx~3/+2)J

令)；=W,；；；；；X2=%；；；；；；贝畔=?+：.......()

dv3V+2H-1

2v+3M4-1=0,,5、i,、.

士由用L八，八的解为（1,-1）；令2=^-1,，Y=u+L

方程组［3v+2w-l=0

2_|_3）

则有，,,从而方程o化为孚=--

3z+2y=0dz&衣

z

令

1=2,,则有包=/+z或，，所以/+2包=红包，，z包=”空■,....（2）

zdzdzdz3+2/dz3+2/

当

2-2/=01寸，，即，=±1,是方程（2）的解。得），2=/-2或），2=--是原方程的解

当

2-2广。附，，分离变量得|券,〃=（小两边积分的），2+/=（丁-/+2），。

此外

y2=x2-2,或/=_/,包含在其通解中，故原方程的解为），+/=（）,2一/+2），

9.

.证明方程2=芈=/（叼，）经变换岁=〃可化为变量分离方程，并由此求解下列方程

yax

（l）.y（l+x2y2）dx=xdy

⑵.*=*4

yax2一广）厂

❷*♦❷*xy=u.❷❷+=&4Adydu

.♦❷x­=—-y

dxdxdxdx

..1du,~、du

❷❷---------1=f(u),=—(f(u)+1)=~(uf(u)+u)

ydxdx=y(f(u)+1)

❷(I):。x=(Mky=0❷y“Oxy*►❷♦。:^-=1+y~

♦xy=u-♦卬=—(2u+[').♦♦♦♦♦♦———,=—dx

dxx2u+ux

2J

❷―2❷7—=CX',♦—7^—=cx\y=

u-+2x2y*+2

2

y2

❷y❷30^2------=cX,x=0.

X?~+2

解.(2)令xy=u,则原方程化为曳=-(u2=+w)=-二匕

dxx1-irx2-ir

分离变量得上式疝=,公，两边积分得皿2=空+的这也就是方程的解。

4uxx4

《常分方程数值解法》试题六及答案

1.改善欧拉法平均形式公式是（）

%=九+妙（/，打）%=九+/（%,以）

（A）<久="+”（々,）））⑻，”=”+〃（%,%）

1.、1,、

%X=］（%+£）”+、（为+K）

%=以+好区，儿)

yP=yk+/（5，力）

©.），”以+好（%”(D)・儿=)、+"(•%,%)

h)1=；("+%)

”+i=5（力+九）

2.试写出用欧拉预报一校正公式求解初值问题?'+>=°计算公式,

b<0)=1

并取步长生0.1,求y(0.2)近似值.规定迭代误差不超过10-5.

3.试证线性二步法

5+ST)”T-3=(【S+3)加+(%+DZJ

当时入措施为二阶，当时."=7措施为三阶.

4.取步长力二0.2用四阶龙格一一库塔措施解

y'=x+y()4x41

\>'(0)=1

5.用差分法求方程

/+y=0

\y(0)=0XD=1

数值解(方=0.2)

6.用Adams四步显式公式求解初值问题

/=3x-2y

y(0)=1

取步长力=0」.小数点后至少保留六位.

7.用经典四阶Rung-Kutta公式解初值问题

y1=x+y

\y(0)=1

取〃=0.2.

8.已知f(x)j/(x)力=1,xw0,试求函数〃x)的一般表达式.

_1,

解：设f（x）=y,则原方程化为j/Q）流」两边求导得)一—了，

oy

一y3=~~；；；；；；；；；；dx=---p-;;;;;;;;;;;;两边积分得x+c=q--;;;;;所以y=±/

dxydy2yJ2x+c

把)，=±~7=।代入［f(x)dt=—

V2x+cfy

■*II

±f-------di=±j2x+c;;;;;;;;;;±(j2x+c一五)=±5/2犬+6>得0=0,所以上=±-^

o>j2t+c\J2X

9.求具有性质二小函数xM已知x'（。）存在.

解：令y。x（。）二喏萨匚瑞而若得x』l矛

盾。

因此x(0)=0.

，x[t+Az)—x{t}..x(4)(l+/(/))

x(t)-lim------------------=hm=x'(0)(1+/⑺)

ArAr[l-x(r)x(Ar)

京—〃两边积分得arctg

x(t)=x,(0)t+c因此x(t)=tg[x'(0)t+c]当t=0时x(0)=0故

c=0因此

x(t)=tg[x,(0)t]

《常分方程数值解法》试题七及答案

1.求解初值问题I)':/。')')欧拉法局部截断误差是();改善欧拉

)*0)=汽

法局部截断误差是()；四阶龙格一库塔法局部截断误差是()

(A)。(方2)(B)0⑶(C)0(方4)(D)0(庾

2.用平均形式改善欧拉法公式求解初值问题在

b<o)=o

产0.2,0.4,0.6处近似值.

3.将下列方程化为一阶方程组

y"-4y'+3y=0

(1)[xo)=iy(o)=o

x2yH-2xy'+2y=x3Inx

(2)y(l)=l,y(l)=O

ym=()y2y,

(3)b(0)=l»(0)=T,y〃(0)=2

4.取步长力=0.1用改善欧拉法解初值问题

y'=x+y04x41

\>'(0)=1

试将计算成果和对的解相比较。

5.试建立求解初值问题

）&）二）'。

如下数值解法

券+1=X-1+§(0八+4。+力.J

其中工=f(”),"二〃-1,〃,〃+1).

6.用Adams四步显式公式求解初值问题

y=3x-2j

)，(0)=1

取步长〃=。.1.小数点后至少保留六位.

7:(y+x)dy+(y—x)dx=0

解37令£—〃y-ux^L-u+x^L

dxy+xxdxdx

贝ij〃+x"+1，变量分离，得：—“了1du=—dx

dxw+1〃+1x

两边积分得：arctgu+ln(l4-2)=—In|x|-I-c<>

8：吟二丫十6-二2

解：令2=〃，丫=“北生=〃+%四，则原方程化为：

xdxdx

2

du_J%。-上2,分离变量得:

s^nx^-dx

xx

一Lt

两边积分得:arcsinu=sgnIn\x\+c

代回原来变量，得arcsin±=sgnIn凶+c

另夕卜,y2=%2也是方程的解。

《常分方程数值解法》试题八及答案

1.改善欧拉预报一校正公式是

预报值以“=尤+

校正值X+i=X+3【1

改善欧拉法平均形式公式为ytr,y<F

________________

试阐明它们是同一种公式.

2.用平均形式改善欧拉法公式求解初值问题=x在

)(0)=。…

产0.2,0.4,0.6处近似值.

3.试证线性一步法

加+S-Dyn.,-by.=?(b+3)fn+2+(%+1)ZJ

当时/冲-1措施为二阶，当时“=-1措施为三阶.

4.取步长力=0.1用改善欧拉法解初值问题

y'=x+y0<x<l

\>'(O)=1

试将计算成果和对的解相比较。

5.下列各题先用龙格一一库塔法求表头，然后用阿当姆斯法继续求

后来各值

.Xy'=2x-y1<x<1.5

z(1)V

),(])=3A=O.l

(2)=31<x<1.5

y(l)=lh=OA

6.求方程

/+(l+x2).v=-l

\y(-l)=y(l)=O

数值解(取方=0.2)。

7.试建立求解初值问题

如下数值解法

h.,

券+1=yn-i+—(/n+i+4工,+力\

其中£=/(%,M),(i=n—l,n9n+l).

8：tgydx—ctgxcly=O

角车：变量分离，彳导:ctgydy=tgxdx

两边型?分得：In|siny\=—\n|cosx|4-c.

y2+3x

dy=e

9:

dxy

y)i3x

解：变量分离，得--^y=--e+c

y3

e

《常分方程数值解法》试题九及答案

1.设四阶龙格一库塔法公式为

，…+级+2『2…)

其中K\=f(Xk,yj；y^-hK^)；K"(*A+：力，%+17代)；

2222

KI=F(XA+/7,%+方K)

取步长/FO.3,用四阶龙格一库塔法求解初值问题计算公

l.y(0)=0

式

是________________________________________________________

y'=ax+b

2.使用措施Eu丘解初值问题i义。)=。，证明：其截断误差为

)*”)-"=5。而，这里.皿，先是Euler法近似解.

3.取步长/?=0.1用改善欧拉法解初值问题

y'=x+y0sxs1

\>'(O)=1

试将计算成果和对的解相比较。

4.用改善Euler公式

/区，")+/(3，”+"(%”，%))]

求解初值问题【义°)=】，证明其近似解为"=1,并证明当时

hi。，它收敛于原初值问题对的解丁入

5.求方程

y"+（l+_?）），=-l

-y（-l）=>'（l）=O

数值解（取力=0.2）。

6.试建立求解初值问题

力'=/«），）

.）©0）二%

如下数值解法

y”+i=K-i+-（以|+"+Z,_i）

其中£=/（七,凹），（i=〃一1,〃,〃+1）.

7.用二阶Taylor展开法求初值问题