2025年大学生高等数学竞赛真题解析与答案汇编非数学专业适用

前三届高数竞赛初赛试题(非数学类)

(参与高等数学竞赛同学最关键是好好复习高等数学知识，合适看部分教导力及有

关题目，关健是部分各大高校试题。)

第一届全国大学生数学竞赛初赛试卷

一、填空题(每题5分，共20分)

(x+y)ln(l+2)

1.计算---卜('Sidy=___________,其中区域。由直线x十y=1和

两坐标轴所围成三角形区域.

(01)

解：令x+y=〃,x=M,则x==u,drdy=det】1d〃dv=d〃di，，

(x+y)ln(l+—)।।

ff:一心d)，=fj/3小

JJoy/l-x-yJJD

"Inuu「

,(lv——,Invdy)d〃

tJR"JoJ1TMJo

p1u1Inuu{uInu-u),

V1-w

i2

J。，^=d〃(*)

-u

令/=则〃=1—产

d//=-2rdt,u2=\-2r+t4,w(l-w)=/2(l-/)(1+/),

(*)=-2「(1-2t2

+tx)dt

2315T16

24

=2j：(l-2/+r)dr=2t--r+-t=—

35J()15

2

2.设/(x)是持续函数，且满足/(x)=3x-J"(x)dx-2,贝ijf(x)=

解：令A=J：/(x)dr,则/(人)=3A2-A-2,

/=J°(3x“—A—2)dx=8—2(1+2)=4—2/1,

10

解得A=；。因此/(x)=3/一0

3

3.曲面z=++)，2-2平行平面2x+2y-z=0切平面方程是________.

2

解：因平而2x+2y—z=0法向量为(22—1),而曲而z='+y2-2在

UoOo)处法向量为(Zx(Xo，%.),Z,,(Xo，%),T)，故

(Zx(/,yo),zv(%,)，o),-l)和(22-1)平行，因此，由z‘=x,z,=2y知

2=z,(x0,,y0)=工。，2=y°)=2yo，

即工0=2,%=1,又z(Xo，y())=z(2,l)=5,于是曲面2x+2y—z=0在

(%,%,z(x0,%))处切平面方程是2(x-2)+2(y-1)-(z-5)=0,即曲面

z=1+V-2平行平面

2x+2y-z=0切平面方程是2%+2y-z-1=0c

4.设函数y=y(x)由方程/⑴=evln29确定，其中/具有二阶导数，且/'工1,则

d2y

R=----------------

解：方程xe"y)="ln29两边对工求导，得

e/(y)+xfXy)yrefiy)=In29

因e'ln29=xe"y),故工+/()，))/=；/,即)/=-----!-----,因此

VA(1-f(J))

〃.i+ny)y'

2

Z/(]_/，(),))X[1-f(y)]

=/〃(y)___________]=广(y)-U-八加

-x2[\-f(y)]y/(]_/，(),))-x2[\-f\y)]3

x+小+…+泮£

二、(5分)求极限lim(e------匕尸，其中〃是给定正整数.

x-»°n

解：因

Inn(----------------)'=lim(l+-------------------y

.v->0fiXTO/J

故

Iim(---------------------------=e=e2

…n

三、(15分)设函数/(x)持续，g(x)=「/(H)dr,且版=4,A为常数，求

J0x->0X

g'(x)并讨论g'(x)在x=()处持续性.

解：由lim=A和函数f(x)持续知，/(0)=limf(x)=Iimxlim区»=0

.v->0xr-M).v-M).r-M)x

因g（幻二J：/（"）山，故g（0）=J：/（O）dr=/（（））=0,

因此，当时xwO,g（x）=,/。/（〃川〃，故

limg(x)=lim=/(O)=0

.DA->0.ITO]

当时XHO,

=-4-Q(〃)d〃一,

XJoX

，仆].g(x)-g(O)r「J(/⑺dr/a.)4

£(0)=lim---------------=Inn-----------------=lim---------——=lim-——=—

x->0Xx->0X-v->0x-X-M)2x2

..，/、rr1r，/、」/(x),..f(x)..1rx.AA

hm2(x)=lim[——7f(〃)d〃+------1=Iim----------Iim—f(〃)d〃=A------=—

x->06x->0xJoxv->0xD/JO八22

这表明短(x)在工=0处持续.

四、（15分）已知平面区域。=｛（苍），）|0工人4小0工），工乃｝,L为。正向边界，试

证：

(1)fxesinydy-ye-^'dr=fxe~sinydy-yesinrdv；

五、（10分）已知乃+工治=工屋+一""是某二阶常系

数线性非齐次微分方程三个解，试求此微分方程.

解设乃二xe'+F,力=入d+，月=八"+-尸是二阶常系数线性非齐

次微分方程

），〃+〃y'+G，=f（x）

三个解•，则月一X=6、-6标和力-y=所有是二阶常系数线性齐次微分方程

y"+byf+cy=O

解，因此），"+b），'+c），=O特性多项式是（冗一2）（4+1）=0,而），"+b），'+c），=O特性多

项式是

A2+/?2+C=0

因此二阶常系数线性齐次微分方程为-2），=0,由）；-工-2y=/（x）和

），；=ex+xex+2e2x,）；=2ex+xex+4/

知，/（x）=y；-y；—2y,=xex+2ex+4e”—（xe、+ex+2e2x）-2cle'+e2x）

=（1-2x）ex

二阶常系数线性非齐次微分方程为

y"-y1-2y=ex-2xex

六、（10分）设抛物线），=52+加：+21nd过原点.当时0<x<l,），之0,又已知该抛物

线和.V轴及直线x=1所围图形面积为工.试确定a、b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成旋转

3

体体积最小.

解因抛物线），=，优2+尻+2111。过原点，故c=l,于是

8

32

；=a2+Z?x)dl=X+-Xab

2=­H-

o32

即

9

b=-（］-a）

而此图形绕J轴旋转一周而成旋转体体积

V(a)=乃+bx)2dt=%+-(1-4)x)25

=加2,i4dt+乃ga（l+43（1—4）2/工2出

=—7icr+7r—a（\+-（1-a）2

5327

即

V（a）=g/+不；4（1一4）十79（1—4）2

令

Vf（a）=一加+乃一（1-2a）-7r——（1一4）=0,

5327

得

54<7+45-90f/-40+4（kz=0

即

4。+5=0

因此

七、（15分）已知〃“"）满足〃：3=〃“"）+寸％'（〃=12…），且明⑴二二求函数

n

项级数W>”“）之和.

H=1

解

〃:（x）=〃"（x）+x"，

即

由一阶线性非齐次微分方程公式知

），=e，（C+J/&）

即

y=^（C+—）

n

因此

Yn

〃式幻="（C+—）

n

由£e=〃“（l）=e（C+1L）知，C=0,

nn

于是

%（x）=------

n

下而求级数和：

令

800YnpX

s(x)=£"”(x)=£­

则

s\x)=y+—)=s(x)+y/=s(x)+—

Tt〃急I-V

即

yu）-sw-

由一阶线性非齐次微分方程公式知

S(x)=e'(C+J]।dr)

令x=0,得O=S(O)=C,因此级数£〃“(x)和

n=l

S（x）=-e'ln（l-x）

八、（10分）求时，和/等价无穷大量.

〃=0

解令/Q）=x'，则因当0<x<l，，£（0,十冷）时，/"）=21"111工<0,故

JIn­

za）=/=e”在（0,一）上严格单调减。因此

，X

J；/(/)必=£J："/a)d，＜S/(〃)«/(O)+乞工：/Q)d,=1+|(＞/(/)d7

/r=On=Ow=l

即

J：/⑴dK£/(〃)wi+J；/⑺山，

n=O

乂

88

n=0n=0

.11

In———

lim——=lim--=1

XT1-XXTl_|

r+R2r+(»t

L/⑺d"J。Vd"］。edr=

和£,一等价无穷大量是1

因此，当时xf

念2V1-A-

第二届全国大学生数学竞赛初赛试卷

（参与高等数学竞赛同学最关键是好好复习高等数学知识，合适看部分教导书及有

关题目，关键是部分各大高校试题.）

一、(25分，每题5分)

(1)设%=(1+々)(1+。2)…(1+/"),其中匕［<］,求Hm.%

/［、/

(2)求limeA1+—0

XT8IX)

⑶设求/==.…)c

s>0,Jo

（4）设函数/"）有二阶持续导数，r="2+），2,g（x,），）=/（；-gIa2g

/矿

⑸求直线和直线=距离。

解：(1)=(1+々)(1+/>・<1+4)==(1-6/)(1+«)(I+6Z2)•••(1+tz2)/(\-a)

=(l-6Z2)(14-672)-..(l+^2,)/(l-«)=---=(l-tZ-，，l)/(l-^)

limx=)/(1-«)=!/(1-«)

n-^/r

(2)山2(1+口InK」尸.rln(l+-)-x

limex=lime

XT8

X)

令x=l/t,则

原式=lime,2=lime2,=lime2<l+n=e

/->0r->0/->0

Hxv

ln=「mZK=(一3)「/心7=(-l)[xe-I；=

JOg§J。

(3)

心一1)

2Zn-2

二、(15分)设函数/(x)在(-8,”)上具有二阶导数，并且

/〃(幻>0,limf\x)=a>0,lim/'(幻=/<0,且存在一点x,使得/(%)<0。

.r—>+*X>X-0

证明：方程/3)=0在(-8,转)恰有两个实根。

解:二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，由于E(x)有不不小于0值，因此

只需在两边找两不小于0值。

将F(x)二阶泰勒展开：

f(x)=f(0)+f(0)x+^-^x2

由于二阶倒数不小于0,因此

limf(x)-+oo,limf(x)--oo

证明完毕。

c2

三、(15分)设函数v=/a)由参数方程'+'«>-1)所确定，其中狼⑺具有二

y=wQ)

阶导数，曲线⑺和在，=1出相切，求函数-⑺。

解：(这儿少了一种条件?•=…)由)=以。和)，=「""7〃+二在/=1出相切得

dx“2e

32

以1)=不，"(1)=一

2。e

dy_dy/dt_i//(r)

dxdxIdt2+2/

d2y__d(dy/dx)_d(dy/dx)/dt_"(f)(2+2/)-2“(/)

dx2dxdx/dt(2+2/1

上式可以得到一种微分方程，求解即可。

四、（15分）设.证明：

*=1

（1）当时级数收敛；

/»=1\

（2）当。工1且8（〃~8）时，级数£叁发散。

〃=1Er

解：

（1）。“>0,/单调递增

当收敛时，2<2,而3收敛，因此2收敛;

n=lS”45,L

当£%发散时，

lims,,=oo

n=ln

..4二S”一-T=广虫虫

a

'S,1aSnJJ

因此，之2<3生+宁广立="+「生

4一«a「a金几s/几xff

n=1与\

..f'«dxa...s^~a-s^~aa.sj",„,_,

而——=—+11111------:一=—+—1——=k,收敛Zs于k°

aa

xs}\-aa-\

oo

因此，£3收敛。

n=lS"

(2),/Iim.v=oo

H->00n

因此£>“发散，因此存在印，使得%

人I

于是,汾豪年W

依此类推,可得存在1<尢<七2<…

人"〃1J-ai

使得士成立，因此

1

K&rs.>・t2।sn-2

当时〃一>8,N78,因此£之发散

n=l%

五、（15分）设/是过原点、方向为（以人力，（其中。2+〃+/=1）直线，均匀椭球

X2V2Z2

其中（O〈cv〃<a密度为1）绕/旋转。

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量有关方向（a,夕,/）最大值和最小值。

解：

（1）椭球上一点P（x,y,z）到直线距离

d2=(l-ar2)x2+(I-^2)y2+(l-y2)z2-2apxy-2pyyz-lyazx

•「JJj.pdV=JjJyzdV=JJJzxdV=0

Q£2C

2A

JjpWfz2dz乃五

11dxdy=jab(l-")z2dz=一15abc'

n乙舐厂

L

由轮换对称性,

JJjx2dV=—丁24V—Tra^c

a15a15

I=Jjjd2dV=(l-a2)—兀，儿+(1-^2)—兀ab3c+(1-/2)—7rabc3

a151515

4

=4附(—+”£/M-y)c]

(2)-：a>b>c

4,,

当时y=1,Iinax=—^rabc(a+b~)

当时a=I»I.=—7rabc(b2+c2)

六、（15分）设函数o（x）具有持续导数，在围绕原点任意光滑简朴闭曲线。上，曲线积分

$空"驾也值为常数。

；X+J

(1)设L为正向闭曲线。-2)2+丁=1,证明孑至笠竽也=0;

(2)求函数0(x)；

(3)设C是围绕原点光滑简朴正向闭曲线，求$至华驾也。

7人十广

解：

(1)L不绕原点，在L上取两点A,B,将L分为两段乙I，L4、,再从A,B作一曲线

Ly,使之包围原点。

则有

r2xydx+(p(x)dy_r2xydx+(p(x)dyrIxydx+(p(x)dy

L-d+V--X-f+：士)-FT7一

<2)令P=/.Q=总

x+y~y+y~

c\n

由(1)知丁=0,代入可得

dxdy

(P(x)(x4+/)-0(x)4/=2x5-2xy2

上式将两边看做y多项式，整顿得

y2(p[x}+0(x)x4-夕(x)4x'=y2(~2x)+2x5

由此可得

(p(x)=-lx

一以x)4_?=2x'

解得：(p{x}=-x2

(3)取工为f+)，2=f,方向为顺时针

丝一竺=0

dxdy

rIxydx4-(p(x)dy2xydx+(p[x)dyiIxydx+(p(x)dy

•,勺x4+y+4o

~~^+7-?x+y-

第三届全国大学生数学竞赛初赛试卷

（参与高等数学竞赛同学最关键是好好复习高等数学知识，合适看部分教导巾及有

关题目，关键是部分各大高校试题。)

一.计算下列各题（本题共3小题，每题各5分，共15分）

..（sinxA>-cosx

（1）.^lim----

解：（用两个关键极限）：

sinx-x

Sinx[l-cosxSinX-X)sinx-xAJ1-COSA)

limlim1+

.D.DX

sinXT..cos.r-1

sin.v-A-limhm^-----lim

A>0>o

二,。,1

i•.v(l-cos.v)Y'X

=hmevf2,2e3

、

（2）.求lim-------1---------F...H--------

〃一KO、〃+1〃+2n+n)

111

解：(用欧拉公式)令x〃=-----+-------+…+-------

??+1〃+2n+n

由欧拉公式得1+,+•••+L-ln〃=C+o(1),

2n

则1+—+—+'+—-—+…+-!——ln2«=C+o(1)，

2〃〃+12n

其中，0(1)表达〃-8时无穷小量，

二•两式相减，得：xn-ln2=o(1),limxn=ln2.

2

x=ln(l+^')d2y

7

⑶己知彳,求正7

y=t-arctaner

dx_2e2tdy_e1dy]+/_婢一/+1

dt1+e2''df1+e2tdx2e"2e2t

1+Z

/1_/_2[+e“_(l+e"),—2)

~d^^~dl\Zc)~dx~2e2t92e2t4^

dt

二.(本题io分)求方程(2x+y—4)dr+(x+y—l)ay=0通解。

解：设P=2x+y—4,。=工+》一1,则。公+。力，=0

9dP_cQ

=RZx+Qdy=0是一种全微分方程，'设dz=Pdx+Qdy

dydx

z=Jdz=jPdx+Qdy-J；；；(2x+y_4)公+(x+y_1)力

dPcQ

・・•一==,・'.该曲线积分和途径无关

dydx

z=J。(2x―4)公+j；(x+y—1)力=J_4x+孙+gy2—)

三.(本题15分)设函数f(x)在x=0某邻域内具有二阶持续导数，且

均不为0,证明：存在唯一一组实数K，%2，％3，使得

11111、--UQ

证明：由极限存在性：!.［4〃〃）+22/（2〃）+23/（3/2）_/（0）］=0

即生+&+匕-1］/（0）=。又/（0）工0,・・・匕+（+自=1①

由洛比达法则得

1加4〃人）+网〃2力）+&3/（3〃）—/（0）

noh2

=］沛匕/（〃）+2幻/（2〃）+3&/（3〃）=0

D2h

由极限存在性得（/?）+2k2f（2/?）+（3〃）］=0

即（4+242+36）/（0）=0,又/（0）工0,.•・占+2e+3%=0②

再次使用洛比达法则得

所%/（/2）+2%f'（2/?）+3%"3/z）

心。2h

=lim&/"）+4&/（2〃）+9ZJ”幽

D2

.••优+的+9%）/（0）=0・・・/（0）二0

:.k、+%+叫=0③

4+%2+&=1

由①@③得k\,k?、k3是齐次线性方程组＜k[+2k2+3%=。解

K+4k2+9k3=0

1\11

设4=23,x=k2,b=a,则Av=h,

4971^3>⑼

（\11P1003、

增矩阵A*=1230010-3则

J490,0011

R（A»=H（A）=3

因此，方程Ax=〃有唯一解，即存在唯一一组实数4,A2，&满足题意，

且4=3,k?~—3,k、—1o

222

＜%yz[.八

四.（本题17分）设鼻：——H----H-=1,其中。＞人＞。＞0,

crb“c

222

Z2:z=x+y,「为E|和22交线，求椭球而E|在「上各点切平面到原点距离

最大值和最小值。

冗2y2z2

解：设「上任一点M(x,y,z),令尸(x,y,z)=-+—i—L

.2x，2y，2z

则五=—亍，F=—亍，F_=一T，.,.椭球面E]在「上点M处法向量为:

ra2yb2c21

（xyz）

t=在点M处切平面为n：

\abc）

点”-力+本（丫-丫）+5（2-2）=0

1

原点到平面n距离为d令

29?

工+汇十二

a4h4c4

221

+—,则"=

G(x,y,z)=-+-

c小G(x,y,z)

222222

%yzxyz.

A前求G(x,y,z)=—+TT+—T，在条件—+TT+—=•

bc矿b~c~

?22

Z-=x-+y下条件极值,

令

2222z2八

哈+%+亍+4(Ly+4卜2+y2―z2

7+F

则由拉格朗日乘数法得:

0y0v

“；=1+4=+24尢=0

aa"

凡=奈+41+2川=°

,2z2z

",=F+4F—24,Z=O.

cc~

222

5+与+?1=。

a2b2c2

x2+y2-z2=0

22

x=022ac

x—Z=-------------

解得〈22b2c2或<一~a2+c2>

Lb2+c2〔）二。

对应此时G（"z）=/j工严（”z）北右金

此时4

又由于。>b>c>0,则&<d2

因此，椭球面弓在「上各点切平面到原点距离最大值和最小值分别为：

五.（本题16分）已知S是空间曲线1+3）』绕,轴旋转形成椭球面上半部分

Iz=0

（zNO）取上侧，口是s在P（x,y,z）点处切平面，/7（x,y,z）是原点到切平面

n距离，2,/表达s正法向方向余弦。计算：

:(Ax+3//^+vz)t/5

22

解：(1)由题意得：椭球而S方程为X'+3y2+z=l(z>0)

令/二+3y2+z?_1,则尸=

-2x，KJ=6y-,E-=2z,

切平面IT法向量为〃=(x,3y,z)■

n方程为％(x-%)+3y(y--y)+z(Z-z)=0,

X2+3^2+Z21

原点到切平面n距离0(x,y,z)