2025版新高考版高考总复习数学 椭圆

2025版新高考版高考总复习数学9.2椭圆

五年高考

考点1椭圆的定义和标准方程

1.（2021新高考/,5,5分，易）已知F/2是椭圆C：[+[=1的两个焦点，点M在C上，则

94

|M*HMFzl的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

答案C

2.（2023全国甲文,7,5分，中）设几乃为椭圆C：y+/=1的两个焦点，点P在C上，若丽•

所=0,则俨•上尸2|二（）

A.lB.2C.4D.5

答案B

3.（2022全国甲文/1,5分，中）已知椭圆C：三+91（。＞/»0）的离心率为;AA分别为C的

左、右顶点,8为C的上顶点.若西•瓦石=”,则C的方程为（）

5=1力

答案B

4.（2023全国甲理,12,5分，中）设O为坐标原点,分,尸2为椭圆C：^+^=l的两个焦点，点P

在C上,COSNRPBW，则|。尸|二（）

.13D同「14n磁

A—B.——C.—D.—

5252

答案B

5.（2019课标/理。0,5分，中）已知椭圆5的焦点为R（」0）,尸2（1,0）,过22的直线与C交于

A,B两点.若|4B|二2|BB|,|/IB|=|BR|,则C的方程为（）

A.9+y2=l+

C/+^=IDY+^=1

4354

答案B

6.（2019课标m理/5,5分，中）设Fl,B为椭圆。吗+《=1的两个焦点度为。上一点且在

362。

第一象限.若AMFIB为等腰三角形，则M的坐标为.

答案（3,同）

7.（2020课标H理/9/2分，中）已知椭圆。&+，=1（〃法＞0）的右焦点尸与抛物线。2的焦

点重合,G的中心与。2的顶点重合.过尸且与x轴垂直的直线交Ci于A,B两点，交C2于

C,D两点，且|3二引8].

⑴求G的离心率；

⑵设M是G与Ci的公共点.若|MF|=5,求G与C?的标准方程.

解析⑴由已知可设C2的方程为丁=4或其中c=而F.不妨设A,C在第一象限，由题

设得A,B的纵坐标分别为9，-9；C。的纵坐标分别为加,・2「，故|AA仁子,|C力|=4「由

\CD\=^|4B|得4c=*即3x”2-2（£）：解得：=-2（舍去）或==：.所以必的离心率为

1

2

⑵由⑴知"2c,b=后，故C展+9=1.

设则点+善1状=4以。,故篇+空，①

由于。2的准线为户-G所以|MF|=M+G而|MF|=5,故Xo=5-c,代入①得°：；）4-"；一"=I,即

4一3C

42、-3=0,解得c=-l（舍去）或c=3.所以G的标准方程为盘+91,。2的标准方程为y=12v.

36Z7

8.（2019天津文,19,14分滩）设椭圆总+合1（心。＞0）的左焦点为居左顶点为4,上顶点为

A已知百|。4|二2|。用（。为原点）.

⑴求椭圆的离心率；

⑵设经过点尸且斜率为:的直线/与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线

/相切，圆心C在宜线44上，且OC〃AP.求椭圆的方程.

解析（1）设椭圆的半焦距为G

因为V5|OA|二2|OB|,所以遮斫2加

2

又由o242+1消去b得展（,Q）+V解得?=i

所以，椭圆的离心率为:

⑵由⑴知浦=2c力=V5c,故椭圆方程为9+弓=1.由题意内七0）,则直线/的方程为

■CJC

尸

第一步:先由直线与椭圆位置关系求出点P坐标.

（工+E=1

点P的坐标满足（4c23c2'消去）,并化简，得到7亡+6以-13/二0,解得Xi=C,X2=-^.

}=［（…），7

代入/的方程，解得yi=^c,y2=~c.

因为点P在x轴上方，所以P（c,|c）.

第二步:由OC〃AP求得圆心C的坐标.

由圆心C在直线上，可设。（4力.

3

因为OC〃AP,且由（1）知A（-2c,0）,故:=与

4c+2c

解得U2.则C（4⑵.

第三步曲圆与直线/的相切关系求出c的大小，进而求得椭圆方程.

|吐)-|

因为圆C与x轴相切，所以圆的半径长为2,又由圆C与/相切，得T5r=2,可得片2.所

以，椭圆的方程为橙+*1.

161Z

考点2椭圆的几何性质

1.（2018课标I文,4,5分，易）已知椭圆C：g4-^=1的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为

（）

A；B.iC*D第

3223

答案c

2.（2019北京理,4,5分，易）已知椭圆捺+2=1（曲6>0）的离心率为翔（）

A..(r=2b2B.3a2=4/

C.a=2bD.3a=4b

答案B

3.（2023新课标I,5,5分，易）设椭圆G：5+），2=l（a＞l）,C2：?+y2=l的离心率分别为⑨曲若

62二■乃白,则a=（）

A.—B.V2

3

C.V3D.V6

答案A

4.（2023新课标H,5,5分，中）已知椭圆cAy2=l的左、右焦点分别为几尸2,直线尸+，〃

与C交于A,B两点，若△RAB面积是△&A8面积的2倍，则m=（）

D女

A.-2B.—C.---cD.——2

3333

答案C

5.（2022全国甲理,10,5分叶）椭圆。：5+《=1（。＞比＞0）的左顶点为4点P,Q均在。上，且

关于），轴对称.若直线ARA。的斜率之积为:，则C'的离心率为（）

A.更B.在C.1D.1

2223

答案A

6.（2017课标I文,12,5分，中）设A,8是椭圆C：[+尤=1长轴的两个端点.若。上存在点M

3m

满足NAM8=120。,则m的取值范围是（）

A.（0,l]U[9,十8）B.（0zV3]U[9,+co）

C.（0J]U邑+8）D.（0,V3]U[4,+8）

答案A

7.（2021全国乙理,11,5分滩）设8是椭圆4+合1（。＞/»0）的上顶点，若C上的任意一

点户都满足仍8怪2〃,则C的离心率的取值范围是（）

A停1）

c（。，冬D.M

答案C

8.（2021浙江,16,6分，中）已知椭圆《+合1（〃*0）,焦点尸（60）,尸2（6。）（0。）.若过H的直

线和圆（％-夫）2+）,2=1相切，与椭圆在第一象限交于点p,且瞑口轴，则该直线的斜率

是，椭圆的离心率是.

生案正.巡

口禾5z5

9.（2022新高考II,\6,5分滩）已知直线I与椭圆三+（=1在第一象限交于A.B两点，/与x

63

轴、y轴分别交于MN两点，且|MA|=|NB|,|MM=2祗则，的方程为.

答案x+V2y-2^2=0

10.（2022新高考I,16,5分滩）已知椭圆。：[+[=1（g>0）,。的上顶点为A,两个焦点为

Q/y

分后离心率为点过B且垂直于AFi的直线与C交于D,E两点,|Z）E1=6,则“。石的周长

是.

答案13

11.（2022天津,19,15分，难）已知椭圆，+，=1（心/»0）的右焦点为区右顶点为A,上顶点为

B,且满足盟号.

⑴求椭圆的离心率e；

⑵已知直线/与椭圆有唯一公共点M与y轴交于点MN异于M）,记点O为坐标原点，若

|OM=|OM,且△OMN的面积为百，求椭圆的标准方程.

解析（1）•:\BF）=y/c2+b2=a,\AB\=>Ja2+b2.

・.愣=品号，解得。=同

：•c=y/a2—h2=\[2b,离心率e=-=

a3

⑵由⑴知椭圆方程为第+3=1.

由题可知直线/的斜率存在且不为0,设/：）="+〃?（原0）,由椭圆的对称性,不妨设E）,心0,

如图.

则有|OM=|ON1=〃?.

x2y2_

联立得市+应=L

y=kx+m,

则有（3标+1）f+6k〃x+3帆2-3":0,

J=0=>3/>2^+/?2-zn2=0,

由根与系数的关系得坳;悬，代入直线/的方程，有州产获先・•・.|0M|=/溢+%=

•5K+13K+1

嚅。，解得中

设直线0M的倾斜角为优

・•・％”tang曳=-鼻=当,：・630。,故NNOM=60。，

XjvfJKo

**•SoMN=-m2s\nZNOM=—m2=遮,解得m=2,

h24

.匕的“5不。,可得〃=2,

J

・•・椭圆的标准方程为1+t=l.

oL

三年模拟

综合基础练

1.（2023江苏南通-模）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成,我们的“太空之家”遨

游苍穹.太空中，飞船与空间站的对接需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是

以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面近地

点（长轴端点中离地面最近的点）距地面S2,地球的半径为凡则该椭圆的短轴长为（）

A.JS1S?

B.2y[S^

C.J（S[+R）&+R）

D.2J（S1+R）（S?+R）

答案D

2.（2024届广东普宁二中第一次月考,5）已知离心率手的椭圆。的方程为#+”=1（心心0）,

3mn

贝（）

m-n

A.2B.—C.—D.3

55

答案c

3.（2023广东深圳二模）设椭圆仁京+羟=1（〃＞"＞0）的左、右焦点分别为凡后,直线/过点

A若点B关于/的对称点P恰好在椭圆。上，且评•钻='I则C的离心率为（）

1212

-B-C--

A.332D.5

答案c

4.（2024届湖北武汉武钢三中月考,7）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现

了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的

另一个焦点.设椭圆*+*1（〃＞力＞0）的左、右焦点分别为尸户,若从椭圆右焦点B发出

的光线经过椭圆上的点A和点8反射后，满足48_LA?且cosNABC弓则该椭圆的离心

率为（）

答案D

5.（2024届湖北武昌实验中学月考,5）已知椭圆C：1+白1的左、右焦点分别为H后点

1612

P是椭圆C上的动点,〃?=|PFIL〃=|PF2|,则处出的最小值为（）

mn

A.-B.-

84

20-3V720+3万

rv--•L-z・

99

答案A

6.（多选）（2023湖北武汉四调）椭圆捺+冬=1（。＞/»0）的一个焦点和一个顶点在圆f+/5心

4”4=0上，则该椭圆的离心率的可能取值为（）

「反八匹

A.-1B.-10C.—2D.——

2455

答案BCD

7.（多选）（2024届广东深圳开学模考,11）已知椭圆4+烂（公历>0）的离心率为泉左、右

焦点分别为日上顶点为尸,若过Q且倾斜角为3（）。的直线/与椭圆E交于A乃两

点,△P48的周长为8,则（）

A.直线PF2的斜率为一百

B.椭圆E的短轴长为4

C丽•陋=2

D.四边形AP8B的面积为受

JLO

答案ACD

8.（2023江苏省包场高级中学检测，⑶已知椭圆心+J=1的长轴在y轴上.

io-mm-2

若焦距为2a,则in等于.

答案7

9.（2024届河北邢台一中月考』6）设日尸2分别是椭圆C的左,右焦点，过点Fi的直线交椭

圆C于MN两点，若丽=3耳及且cosNMN&W，则cos/MF?%=.

答案|

10.（2024届福建厦门国祺中学第一次月考,22）已知椭圆信+合1（“>/»0）的离心率为号

椭圆。上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设直线l：y=x-2与椭圆C交于两点,O是原点，求△OMN的面积.

f2a=6,（=3

解析⑴由题意得匕=在解得，a=金

所以代/"=3,所以椭圆C的方程为1+：=1.

⑵设M（x\,y\）,N（X2,y2j,

（y=x-2,

联立•小，好消）,得d-12x+3=0,

——=1,

93

J=（-12）2-4X4X3>0,

由根与系数的关系得Xl+X2=3XIX2=7，

/4

所以-J（%+亚）2-4%1型=J2X（32_4xg=2A

又O到直线l：x-y-2=0的距离a」。：?.=V2,

所以△OMN的面积为之|Af/V|-d=1x2V3xV2=V6.

综合拔高练

1.（2023广东广州阶段测试,3）记p：“方程（加-1*+（3-〃。户1表示椭圆，词：”函数

+工无极值”，则〃是。的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

2.（2024届湖北武汉华中师大附中开学考,6）已知HE分别是椭圆懵+合1（心心0）的

左、右焦点,M是。上一点且MB与x轴垂直，直线与。的另一个交点为N,若

而弓=3不7,贝I」C的离心率为（）

.V31242

A.——BD.-C.——Dn.——

3323

答案A

3.（多选）（2023广东汕头二模,9）已知曲线C.r+y2cos。=1,。£[0,兀],则下列结论正确的是

（）

A.曲线C可能是圆,也可能是直线

B.曲线。可能是焦点在），轴上的椭圆

C.当曲线C表示椭圆时簿越大，椭圆越圆

D.当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值,且最小值为企

答案ABD

4.（多选）（2024届云南师范大学附中月考,10）已知点尸为椭圆C：1+的左焦点，点P

■3

为C上的任意一点，点A的坐标为（1,3）,则下列正确的是（）

A.|PA|+|尸F］的最小值为0m

B.|PA|+|PF|的最大值为7

CJPFHPAI的最小值为房

D.|P印|P4|的最大值为I

答案ABD

5.（2023山东潍坊二模）如图,菱形架A3C。是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用

较链首尾连接而成.己知4c可在带滑槽的直杆/上滑动;另一根带滑槽的直杆。〃的长

度为4,且一端记为”,另一端用钱链连接在。处，上述两根带滑槽直杆的交点尸处有一栓

子（可在带滑槽的直杆.上滑动）.若将H,B固定在桌面上，且两点之间距离为2,转动杆HD,

则点夕与点8距离的最大值为.

答案3

6.（2023江苏扬州中学开学考,15）已知椭圆卷+\=1俗">0）的左、右焦点分别为Fi（-

G0）,B（c,0）,若椭圆上存在点P（异于长轴的端点），使得csinNPQB:asinNPBQ,则该椭

圆离心率e的取值范围是.

答案（鱼」1）

7.（2024届广东四校第一次联考,21）过原点O的直线与椭圆4+91（/»0）交于A,8两

点,R（2,0）qABR面积的最大值为2V5.

⑴求椭圆E的方程；

⑵直线AR交椭圆于另一个交点C/C，m）（〃¥0）,分别记PA,PR/C的斜率为将，bh求

岳的直

七+心

解析⑴由题知S△八k2sMR=2x9|OR|x|ya|=2M区2|优又5心防的最大值为2低

所以"其故椭圆E的方程为=+《=1.

(2)设直线AC的方程为x=2+ty,A(x।1),C(x2,y2),

俨=2+ty,

由卜—2=>(5/2+9)y2+20ry-25=0,

——=1

95

20C_25

：,+y=-r2_-

y]25t2+9*>>5t2+9-

由