空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习（含解析）

必修第二册8.4空间点、直线、平面之间的位置关系

一、单选题

I.已知空间中有人仇。,。,£五个点，如果点儿氏仁。在同一个平面内，点、B,C,D,E

在同一个平面内，那么这五个点（）

A.一定共面B.不一定共面C.一定不共面D.以上都不对

2.若皿〃是两条不同的直线，%力是两个不同的平面，则下列命期正确的是

（）

A.若〃?〃几〃〃a,则/〃〃aB.若〃?〃a,〃?〃/，则a〃/

C.若〃?则加〃4D.若加_La/"_L夕，则a〃/

3.下列说法中正确的是（）

A.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行

B.平面夕内AABC的三个顶点到平面夕的距离相等，则夕与夕平行

C.aMB,alia,则

D.a!lb,alia,beta,则b〃a

4.设b,。表示两条直线，a,夕表示两个平面，则下列命题正确的是（）

A.若力.cua,则力,"0

B.若bua,bi/c,则cua

C.若c〃a,,则c_L〃

D.若c〃a,eLfi,则a_L/?

5.在空间四边形ABC。中，在4及BCCDD4上分别取，F,G,，四点，如果

GH,EF交于一点P,则（）

A.尸一定在直线30上

B.P一定在直线AC上

C.P在直线AC或3。上

D.P既不在真线/?。上.也不在直线ACI;

6.某圆柱的高为2,其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A,B,D,

F,。在正视图中分别对应点A,B,E,F,C,且AF=4EF,CF=BC,异面直线

4注8所成角的余弦值为:，则该圆柱的外接球的表面枳为（）

B

A

A.20/rB.\6TTC.T2兀D.10^

7.下列叙述错误的是()

A.若且则〃£/.

B.若直线则直线。与力能确定一个平面.

C.三点A,B,C确定一•个平面.

D.若AWI,，且A£a,贝jI/Ua.

8.正方体AHCO-A片GR的枝长为2,£是核。口的中点，则平面AC遂截该正方体

所得的截面面积为()

A.5B.2>/5C.4#D.26

9.已知两条不同的直线/,小和不重合的两个平面且/J■尸，有下面四个命题：

①若m"L〃，则〃/〃?；②若a〃〃，则/la：③若a_L〃，则〃/a；④若/1m,则

〃〃/4.其中真命题的序号是()

A.(D®B,②③C.(§X§)④D.(D®

10.如果直线/，机与平面a，〃,y满足/=〃0%〃/以机匚。和〃11.人那么必有

()

A.a-L/fi/lwB.a工y且沿〃夕

C.〃"/"且/_L〃？D.a1甲旦a工7

11.如图，长方体A8C。—中，ND4R=45,ZCDC,=30,那么异面直线

AQ马。G所成角的余弦值是

A.也B.遮C.也D.正

4848

12.在长方体ABCO-ABC"中，AB=BC=\,例=6,则异面直线八。与。片所

成角的余弦值为

A1R0「石口五

A.-K.V.D.

5652

二、填空题

13.如图，正方体的校长为1,线段8Q上有两个动点£F,且

EF厘,则下列结论中正说的结论序号是.①ACJL8E：②EFH平

面A8CO；③异面直线4E,M所成的角为定值；④直线A8与平面麻尸所成的角为

定值：⑤以4夕即为顶点的四面体的体积不随石尸位置的变化而变化.

14.在如图棱长为2的正方体中，点M、N在棱48、8c上，且AM=8N=1,P在

棱AA上，a为过何、N、P三点的平面，则下列说法正确的是.

①存在无数个点P,使面々与正方体的截面为五边形;

②当人尸=1时，面。与正方体的截面面积为36；

中点则异面直线AG与8K所成角的大小为

三、解答题

18.参照学习引导4中的关系，用符号表示点、线、而的位置关系:

19.己知直线平面/夕，且〃ua,bu0,a/甲.判断直线。力的位置关系，

并说明理由.

20.如图，在正四而体A-BCO中，点E,“分别是A8,的中点，点G,〃分别

在CD,AO上，且。”=!八。，DG=\CD.

A

C

（1）求证：直线E”，柘必相交于一点，且这个交点在直线上：

（2）若45=2,求点A到平面EPG”的距离.

21.如图，四极锥P-人8。的底面是边长为1的正方形，侧极丛是四棱锥

P-ABCQ的高，且E4=2,E是侧棱抬上的中点

（1）求三棱锥P-3C。的体积；

（2）求异面直线EB与PC所成的角:

参考答案:

1.B

根据点、线、面关系，根据题意五点可以共面也可能不共面，即可得解.

【详解】

设点ARC,。在同一个平面。内，

若Eea,则五点共面，

若BCD0,且E壬。，这种情况五点不共面，

故选：B

2.D

.若m〃n、n〃a,有可能用ua,可判断选项A：若，〃〃&，用〃尸，则々与夕也可能相

交，可判断选项B若d”,有可能，〃u6,可判断选项C：由线面垂直的定义和

面面平行的判定定理可以判断选项D.

【详解】

对于选项A,有可能〃Iua,故选项A为假命题；

对于选项B,若〃?〃a,，“〃/?,则a与/T也可能相交，故选项B为假命题：

对于选项C,有可能〃?U/V,故选项C为假命题：

对于选项D,过山的平面/与平面夕的交线分别为a，b,则用则a〃），

过小的另一个平面3与色交线分别为a"',同理可得,

进而可证得a〃/，故选项D为真命题.

故选：D.

3.D

根据线面关系，逐一判断每个选项即可.

【详解】

解：对于A选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平

答案第1页，共18页

行，而不是任意的直线平行，故错误：

对于B选项，如图1,。，E,F,G分别为正方体中所在棱的中点，平面OEAG设为平

面夕，易知正方体的三个顶点A,B,C到平面夕的距离相等,但AABC所在平面。与夕

相交，故错误：

对于选项C,〃可能在平面夕内，故错误：

对于选项D,正确.

故选：D.

4.D

利用线面平行的位置关系可判断A：根据线面之间的位置关系可判断B、C：利用面面垂直

的判定定理可判断D.

【详解】

A错，•.•线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面，

6错，二•与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行，

C错，.••两面垂直，与其中一而平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂

直：

”对，•・•线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直，

故选：D.

5.B

由题设知G〃u面AQC,结合已知条件有Pe而从DC、而A8C,进而可判断户所在

的位置.

【详解】

答案第2页，共18页

由题意知：G”u面A0C,又G〃,E户交于一点P,

Pe面ADC,同理，PG面ABC,又面ABCf)面ADC=AC,

由公理3知：点。一定在直线AC上.

故选：B.

6.A

根据给定正视图及相关信息，还原几何体，用几何法确定异面直线的夹角,

求出圆柱底面圆半径，再确定其外接球半径即可计算作答.

【详解】

依题意，圆柱的直观图如图所示，

连接行，设圆柱底面圆的圆心为。，半径为「，由Ab=4EEC尸=8。知，£为O尸的中

点，C为B产的中点,

连接。C,则OC//AB,即异面直线八及6所成角为/OCO或其补角，连接DKDE,

由正视图知贝IJQ尸一。£＞一/,在RtaOFC中，CF=l.即oc=J7W，

在RtZXC。/中，有CD=G7i，而异面直线人氏。所成角的余弦值为g,即

3

cosZOCD=-,

5

在△CO。中，由余弦定理得：OD2=OC2+DC2-2OCDCcosZOCD,即

3

r=(/+1)+(/+1)-2(产+l)j,

角平得r=2,该圆柱的轴截面矩形对角线AB=J=尸+BF，=2&，

又圆柱的轴截面矩形是其外接球截面大圆的内接矩形，则该圆注的外接球的半径

R=、AB=K,

2

所以该圆柱的外接球的表面积为S=4TTR2=207r.

答案第3页，共18页

故选：A

7.C

由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可.

【详解】

选项A,点。在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；

选项8,由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正照；

选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误：

选项。，由公理1,直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内.

故选：C

8.D

作出示意图，设r为的中点，连接AAFC-E广，易得平面AGE截该正方体所得的截

面为AFCE，再计算其面积.

【详解】

如图所示，设尸为的中点，连接ARFG，设G为CG的中点，连接EG,G8,

由EG//八8且EG=AB,得八月GK是平行四边形，则他〃BG且AE=5G,

又BG"GF且BG=C、F,得八£7£尸且4E=。/，则4,E,C”共而,

答案第4页，共18页

故平面AGE截该正方体所得的截面为AFC.E.

又正方体ABC。—的楂长为2,AF=FC,=EC,=EA,AQ=2yf3,EF=2近，

EF_LACX,

故AFC}E的面积为S=[x2Gx2石=26.

2

故选：D.

9.A

由直线与平面垂直的性质判断①②；由线面垂直及面面垂直判断直线与平面的位置关系判

断③；由线线垂直及线面垂直判断直线与平面的位置关系判断④.

【详解】

解：对干①,由/_L£,〃?_!_/?.可得///〃？,故①正确：

对于②，若1工0,a"B，可得/J.a,故②正确；

对于③，若I工0,a'B,则或/ua,故③错误；

对于④，若U0,11m，则〃〃/4或，〃u〃，故④错误.

综上，真命题的序号是①②.

故选：A.

10.A

根据题设线面关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置关系.

【详解】

由〃?甄a,6/,则a_Ly；由/=〃ny,〃/a,贝”1〃?：由上条件，切与夕可能平行、相

交，。与夕有可能平行、相交.

综上，A正确；B,C错误，机与月有可能相交；D错误，a与夕有可能相交.

故选：A

II.A

答案第5页，共18页

可证得四边形AOCM为平行四边形，得到A8J/G。，将所求的异面直线所成角转化为

N";假设O"=CC|=a,根据角度关系可求得刖4。的三边长，利用余弦定理可求

得余弦值.

【详解】

连接4片，BR

人£＞，4G•••四边形八0a用为平行四边形.•.ABJCQ

二异面直线AQ与OG所成角即为4A与人与所成角，即/4阴

设。〃=CG=a

,/4DAD、=45,4cpe=3()/.AD=a,CD=拒a

ADt=41a,AB】=2a,BR=2a

在AA4A中，由余弦定理得：

A8：+4Q：―4用4a2+%?_荷_V2

cos=

2ABi-AD12x2ax42a一4

二异面直线AD|与。G所成角的余弦值为：旦

4

本题止确选项：A

本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所

成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值.

12.C

答案第6页，共18页

【详解】

分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量艰求向量夹角，再根据向量

夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DCDDi为x.y,z轴建立空间直角坐标系，则

zxo,0,0）,4（i,o,o）,6）,A（o,o,石），所以月〃=（-1.0,石）,。4=（1」,百），

因为cos（酝函”篇周=自看=与,所以异面直线叫与所成角的余弦值为

选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系美”，构建恰当的空

间直角坐标系：第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标：第三，破“求法向量关”，

求出平面的法向量：第四，破“应用公式关

13.①②©（§）

连接3D交AC于0,由正方体的性质结合线面垂直的判定与性质可判断①：由正方体的

性质结合线面平行的判定可判断②：作出异面直线所成的角即可判断③：由线面角的概念

可判断④：由三极锥体枳公式可判断⑤：即可得解.

【详解】

对于①，连接8。交AC于0,如图，

由正方体的性质可得84_1平面48。。,

所以B与J.4C,所以AC_L平面82）冏，所以AC_LM,故①正确;

答案第7页，共18页

对于②，由正方体的性质可得日M/BD,所以所〃平面ABC。，故②正确;

对于③，连接如图，

由题意结合正方体的性质可得EF//B0且EF=BO,

所以四边形为平行四边形，所以BF//EO,

所以NO"或其补角即为异面直线AE,B尸所成的角，

由tan/OE4==不为定值，可得异面直线AE,竹所成的角不为定值，故③错误；

OE

对于④，直线A4与平面区所所成的角即为直线AB与平而6。,2寓所成的角，为定值,

故④正确；

对于⑤，因为匕阳■=匕.诋，

凡度为定值，点A到平面弼即平面BDDM的距离为定值，

所以以八8所为顶点的四面体的体积不随所位置的变化而变化，故⑤正确.

故答案为：①②④⑤.

本题考查了正方体几何特征、异面直线的夹角、线面位置关系及几何体体积，考查了空间

思维能力，属于中档题.

14.①②④

让-从A开始逐渐向A运动变化，观察所得的截面，从而可得上确的选项.

【详解】

由题设可得M，N为所在校的中点.

答案第8页，共18页

图(1)

直线MV分别交A。,。。与73,连接7P并延长。。于G,

连楂GS交CG干〃.则。与正方体的截面为石边形,故①正确

当4P=1,如图(2),此时a与正方体的截面为正六边形，其边长为后，

其面积为6x~^x(&)=373»故B正确.

当AP重合或&P重合时，如图(3),a与正方体的截面均为四边形，故③错误.

答案第9页，共18页

0

Di

在平面。内，设PMcHN=S,则SwPM,而PMu平而AS8A,

故Sw平面4隹班，同理.Sw平面G48C,

故SG平面4用用Ac平面C圈BC=84即月W、HN、三条直线交于一点.

故答案为：①②④.

思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证

明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用

公理2来处理.

15.A

答案第10页，共18页

由题意设第〃次运动前起始点为A,分析第〃+2次运动后所在的位置与A的位置关系即可.

【详解】

由题，不妨设第〃次运动前质点在点A处，则第〃次运动经过的48或A。，

当第八次运动经过八8时，第〃+1次运动经过或8C,又第〃+2次运动所经过的棱与第

〃次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，故第〃+2次运动只能经过4G或CG，即第

〃+2次运动后只可能在&处，同理当第〃次运动经过时也有第〃+2次运动后只可能在

C处，故从A开始第3次运动后必定在G，第6次运动后必定回到A,即6次运动为一个周

期，又2021+6=336...5,故经过2021次运动后与经过5次后的，立置相同,即A处.

故答案为：A.

16.①③

连接八。、BD交于点M,取/龙的中点N,证明四边形人FNM为平行四边形，可判断命

题①的正误：利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误：连接

DF,证明出。尸人律，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设

平面3CE与平面4b垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结

论.

【详解】

对于命题①，连接八。、BD交于点M,取BE的中点M、N,连接MN、FN,如下图所

示：

B

答案第11页，共18页

则AF=QOEFLA^〃O£,四边形A8CO是矩形，且ACnB0=M,为8。的中点,

QN为冷:的中点，:.MNHDE且MN=；DE,:.MNHAF旦MN=AF,

二四边形八F7VM为平行四边形，.•//〃1TV,BPACHFN,

•.•ACa平面4斤，FNu平面跳下，「.人。〃平面4四，命题①正确：

对于命题②，QBC//AD,BCO平而AOEF,八。＜=平而其。石尸，..8。〃平面/\£＞石/，

若四点4、C、E、”共面，则这四点可确定平面a,则5Cua,平面af］平面

AOEV=E〃，由线面平行的性质定理可得BC//EF,

则“7/AO,但四边形相）所为梯形且AO、b为两腰，AO与稗相交，矛盾.

所以，命题②错误；

对于命题③，连接。"、CF,\^AD=AF=a,则OE=2a,

在用A4。"中，AD=AF=a,NDA产=］,则A4O广为等腰直角三角形，

^.ZAFD=ZADF=-,DF=&i，：2EDF=J且。E=2a,

44

2222222

由余弦定理得EF=DE+DF-2DEDFCOS/EDF=2a，DF+EF=DE，

:.DF±EF,又・；EF工CF,DFRCF=F,EF工平面CDF,

•：CDu平面CDF,:.CD工EF,

-CDLAD,AD、石厂为平面AOM内的两条相交直线，所以，CD_L平面ADE”,

•.•6＜=平面"。3,二平面4。后尸"1_平面相8,命题③正确：

对于命题④，假设平面BCE与平面班尸垂直，过点尸在平面8瓦■内作/G_L3E,

•••平面8CE_L平面BEV,平面BCEf］平面=FG±BE,FGu平面BEF,

..AGJ■平面BCE,

•.•8Cu平面BCE,BC上FG,

答案第12页，共18页

•/ADA.AB,AD±AF,Bd/AD,：.BCLAB,BC1AF,

又QABIAF=A,.•.3。_1平面人8尸，;所匚平面八8尸，「.3。_14/7.

'：FGV\BF=F,.•.8C_L平面MF,平面成尸，.,.3C_LEF.

•;AD〃BC,EFlAD,显然瓦'与A/）不垂直，命题④错误.

故答案为：①③.

本题考查立体几何综合问题，涉及线向平行、【所向垂直的证明、以及点共向的判断，考查

推理能力，属于中等题.

17.45°

取BC中点为F,将直线E8平移至尸G，找到夹角，在三角形中求解即可.

【详解】

根据题意，取3C中点为凡连接作图如下：

在四边形E8FG中,

因为EG〃M，且改?产3”

故该四边形EBFG为平行四边形,

答案第13页，共18页

则BE〃GF,

故4cL为直线AG与BE所成角或其补角.

在A4CL中，根据题意可知

AF=V22+12=>/5

〈尸=J/+『=立

AC,=V22+22+l2=3

由余弦定理可得：

2:

/scAC-+CtF-AF叵

cosNAGF=——!---!---------=——

2AG<”2

又异面直线夹角的范围为：［o,1

故』人£尸=45。

即直线AG与跳:所成角的大小为45°.

故答案为：45。.

本题考查异而直线夹角的求解，关键的步骤是平移至直线相交，再在三角形中求解角度.

18.答案见详解

根据空间中点、线、面的位置关系，依次填写即可

【详解】

（1）点与直线、点与平而：用符号。表示点，/表示直线，。表示平面

点与直线存在两种位置关系：

①点在直线上：Pel

②点不在直线上：P史I

点与平面存在两种位置关系：

③点在平面内：Pea

④点不在平而内：P《a

答案第14页，共18页

（2）直线与直线：用符号44表示直线，符号。表示点

直线与直线存在三种位置关系

①相交直线：

②异面直线

③平行直线：

（3）直线与平面：用符号〃表示点，/表示直线，〃表示平面

直线与平面存在两种情况，三种位置关系：

①直线与平面无交点：〃

②直线与平面有交点：

直线与平面相交：/fla=P

直线在平面内：lua

（4）平面与平面：用即见表示平面，/表示直线

平面与平面存在两种位置关系：

①平面与平面有交点：

r\a2=/

②平面与平面无交点：

平面与平面平行：0〃4

19.它们是平行直线或异面直线：答案见解析.

利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系：

【详解】

直线。，〃的位置关系是平行直线或异面直线；

理由如下：由切0,直线分别在平面a,0内,

可知直线〃为没有公共点.

因为若。，人有公共点，那么这个点也是平面。，"的公共点，

这与是平面。，/平行矛盾.

因此直线〃力不相交，它们是平行直线或异面直线.

答案第15页，共18页

20.(I)证明见解析：(2)显.

3

(1)由可证得E,F,G,〃四点共面，结合平面ABDc平面

=2

BCD=BD,即可证得；

(2)由%一姓；=匕_£松，分析得△BAG的面积与△BAG的面积相等，进而由£到平面3尸G

的距离为亚可得解.

3

【详解】

(1)因为£72工AC,GH心AC,所以GH^gEF,故E,F,G,，四点共面，且直

线EH,FG必相交于一点，设切口户G=M,因为MeEH,EH平面AAQ,所以Ms

平面同理：Ms平面BCD,而平面A40c平面BCD=B£),故MwBO,即直线

EH,尸G必相交于一点，且这个交点在直线8。上：

(2)连结EG,BG,点A到平面EFGH的既离为d,止四曲体的棱长为2,

则该正四面体的高为亚一(|")2=当，所以后到平而3AG的距离为半，

3

在△C"G中，CF=1,CD=Q,

由余弦定理可得：FG=VCF2+CG2-2xCFxCGxcos600=—,