抽象函数求解中如何使用对应法则和题设条件-高中-数学-论文

抽象函数求解中如何使用对应法则和题设条件刘立军西安铁一中滨河学校抽象函数是高中函数常考的一个知识点。刻画抽象函数本质属性，就是其对应法则和题设条件，如何使用对应法则和题设条件已成为求解的关键。1、由“函数单调性定义”创造使用法则和题设条件【例1-1】已知定义在实数上的函数f(x)满足f(a+b)=f(a)+f(b)，f(1)=-2，且x>0时，f(x)<0，求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值。简析：注意对应法则和题设的特值，易猜此函数为减函数，巧用定义和性质判断奇偶性和单调性，推理求最值，赋值有f(0)=0，则f(x)为奇函数。由对应法则易有f(3)=-6，f(-3)=6，用定义法证减函数，注意对应法则的逆用，设-3≤x1<x2≤3，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)，由f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)<0，故x<0时，f(x)>0，即f(x1-x2)>0，故f(x)在[-3，3]上是减函数，易知最大值和最小值分别为6，-6。注：定义法证明中如何使用x>0时，f(x)<0和对应法则是证明的关键。【例1-2】定义域为正实数的函数同时满足下列条件=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵当x>1时，f(x)>0;=3\*GB2⑶当试确定函数的单调性。简析：注意对应法则和赋值f(1)=0，易猜此函数为增函数，如何证明？定义法出发创造使用法则和题设条件．注：定义法出发，为用当x>1时，f(x)>0，变形是证明的关键。2、由“单调性转化”赋值创造使用法则和题设条件。【例2】若f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且对一切x＞0满足，且f(6)=1，解不等式f(x+3)-f(1/x)＜2。简析：抽象函数研究方法，赋值和创造使用对应法则及用单调性转化求解。令x=y=1可得f（1）=0；反复用对应法则f（x+3）-f（）=f（x2+3x），而2=2f（6），且x＞0于是有f（x2+3x）-f（6）＜f（6）；即f（）＜f（6），可得0＜＜6，解之，0＜x＜。3、构造辅助函数转化使用对应法则和题设条件【例3】已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足.=1\*GB2⑴求，的值；=2\*GB2⑵判断的奇偶性，并证明你的结论；=3\*GB2⑶若，（n∈N），求数列｛Un｝的前n项和Sn。简析：赋值求值和研究奇偶性。=1\*GB2⑴令，则f(0)=0。f(1)=f(1·1)=f(1)+f(1)=2f(1)，f(1)=0；=2\*GB2⑵f(x)为奇函数；f(1)=f〔(-1)2〕=-f(-1)-f(-1)=0，f(_-1)=0，于是f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)，即为奇函数；若注意到目标，整体思维，构造辅助函数，因所以于是，构造的整体抽象函数，满足，，注：试回味整体思想在处理抽象函数问题中的指导作用，学会整体思维，构造辅助函数研究其性质简化求解的方法。4、类比数列求和的方法创造使用对应法则和题设条件【例4】已知定义在R上的函数满足：①值域为，且当时，；②对于定义域内任意的实数，均满足：（1）试求；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若函数存在反函数，当时，求证：．简析:本题关键是如何求反函数的对应法则的关系?注意互为反函数的对应关系，用换元法推导反函数的对应发则，再类比数列裂项求和的方法，使用题设条件完成不等式的证明。（1）令，则有，或．∵函数的值域为，∴．（2）令，得．所以函数为奇函数．设任意的，且，则，故．∴，∴函数在R上单调递减．（3）∵函数在R上单调递减，∴函数必存在反函数，且也为奇函数，在上单调递减；且当时，