例谈不等式部分易错题型及解法探讨

不等式是高中数学的重要内容，在高考中很多时候会结合数列或导数以压轴题的形式出现，并且其在填空题和选择题中占有不少分值。下面笔者将以四类易错题型为例，对其解法进行探讨，力求为高中数学不等式教学提供有益的理论借鉴。一、端点取舍类问题利用命题的充分必要条件求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象。实例分析1.若关于x的不等式|x-1|<a成立的充要条件是0<x<4，则实数a的取值范围是a.(-∞，1)，b.(-∞，1)，c.(3，+∞)，d]3，+∞)。<=""p="">此题常用数轴法求解，大部分学生会这样做：由题意知0

<x<x<a+1=""是大范围，由小范围推出大范围，得，取交集从而得到a="">3，由此选C。但本题的正确不等式组的写法是，正确答案是D。产生错误的原因：没有注意区间端点值的检验，如果学生注意了端点值的取舍，就会举一反三，从而获得准确答案。若把不等式“|x-1<a|”改为“|x-1≤a|”，则这个变式两个端点都可取；若把充分条件是“0=""<x<4”改为“0=""≤x≤4”，则这个变式两个端点都不可取；把充分条件是“0=""≤x<4”或“0=""<x≤4”，则这个变式左端点不可取，右端点可取或左端点可取，右端点不可取。<=""p="">二、基本不等式类问题利用基本不等式求最值，使用前提是必须同时满足“一正，二定，三相等”。学生的第一反应就是利用基本不等式解得最小值为2，判断选正确，本题的正确答案是判断为错误。产生错误的原因：忽略了使用基本不等式的前提是要满足a>0,b>0。实例分析3.若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为()。A.0，B.-2，C.。此题学生首先分离参数a，得到，然后令，利用基本不等式求函数，由此得出a≥2，得出错解B，本题正确的答案是C。产生错误的原因：学生没有考虑到使用基本不等式的前提为当且仅当“a=b”时，“＝”成立。而本题当且仅当“时，解得x=±1不在的范围之内，所以“＝”不成立，本题不能利用基本不等式求解，可以使用其他方法，如利用二次函数图像，通过数形结合对a进行分类讨论求解。三、参数不等式类问题参数不等式是解不等式中比较难的一种题型，解决参数不等式的关键是对不等式中的未知参数进行具体分析，高中数学教师要引导学生形成分类讨论的数学思维，要向学生强调讨论结果必须涵盖所有的情况，做到不重不漏。实例分析4.对任意的实数x，不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，求实数a的取值范围。A.(-∞,2)，B.(-∞,2]，C.(-2,2)，D.(-2,2]。对任意的x，y<0恒成立，所以函数的图像开口向下，图像都在x轴下方，这告诉我们图像与x轴没有交点，所以满足，得到-2<a<2，从而选出错误的答案c。产生错误的原因：忽略了最核心和重要的部分，题设中的函数未必是二次函数，此题要对a进行分类讨论，当a-2=0时，-4=""<a<2，正确答案为d。<=""p="">实例分析5.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R)。第一步，需要先对二次项系数进行讨论。(1)当a=0时，原不等式化为x+1≤0，解得x≤-1。(2)当a>0时，原不等式化为，解得或x≤-1。(3)当a<0时，原不等式化为。第二步，再比较(相应方程)根的大小，当，即a<-2时，解得，即a=-2时，解得x=-1满足题意；当，即-2<a<=""p="">四、高次不等式类问题学生在求解高次不等式的解集时往往无从下手，主要原因是未掌握“穿针引线法”的函数升降规律。实例分析6.求不等式(x+1)(x-2)(x-3)>0的解集。教师可以引导学生先求出不等式对应方程的三个根x1=-1,x2=2,x3=3，利用三个根把区间分成四个部分，再利用穿针引线法，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根，教师注意引导学生在草稿纸上标注好代表不等式大于零的区域以及小于零的区域，可以通过正负号表示出来。本题大于零的区域为，小于零的区域为，所以本题不等式的解集为。若两个解都是同一个数字，如，那么穿的时候不要透过根1，口诀为“自上而下，从右至左，奇次根一穿而过，偶次根一穿不过”。五、结束语不等式虽然是高中数学的重难点，但是只要我们肯对不等式易错题型进行归纳与总结，并针对