29上篇 第二部分 单元四 专题四 高三数学第二轮总复习

单元四概率与统计第2部分

大单元突破——系统性复习上篇

大单元导学方案破难点

师生共研专题四统计与概率中的递推关系统计与概率内容是数学知识的综合应用，也是中学数学一个重要的交汇点，已经成为联系多项知识内容的媒介；

数列是高中数学的重点内容，易与其他内容交汇融合．由于此类考题条件多，背景新颖，成为近年各种考试的一个热点问题，其所考查的数学知识和思想方法相当深刻，难度也较大．D解析：记n(n≥2，n∈N)个人坐座位且自己不坐自己的座位的方法数构成一个数列{an}，易得a2＝1，a3＝2，首先，让A1选位，A1不选B1，则共有(n－1)种方法，不妨设A1选了Bk(k≠1)，然后再让Ak

选位，①当Ak选B1时，则余下的(n－2)个人和(n－2)个座位，共有an－2种坐法；②当Ak不选B1时，则余下的(n－1)个人都有一个不能选的座位，则共有an－1种坐法，所以an＝(n－1)(an－2＋an－1)，所以a4＝3(a2＋a3)＝9，a5＝4(a3＋a4)＝44，a6＝5(a4＋a5)＝265.在计数原理的应用中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难．如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题．D1．有9级台阶，每次只能向上走1级、2级或3级台阶(不能往回走)，则走完9级台阶的方法种数为(

)A．24

B．44C．81 D．149解析：记走完n级台阶的方法种数构成数列{an}，易得a1＝1，a2＝2，a3＝4.走完这n级台阶可考虑最后一步走的是1级、2级或3级这三种情况，则an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4).所以a4＝a3＋a2＋a1＝7，a5＝a4＋a3＋a2＝13，a6＝a5＋a4＋a3＝24，a7＝a6＋a5＋a4＝44，a8＝a7＋a6＋a5＝81，a9＝a8＋a7＋a6＝149.2．如图，一个环形的大会场被分成了n个区域，现有k种不同颜色的服装提供给n个区域的观众，要求同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同．当k＝5，n＝6时，共有________种不同的着装方法．4100解析：设提供k种颜色来给排成环形的n个区域涂色且相邻区域不同色，记方法数为fk(n)，若先考虑给n个排成一行的区域涂色且相邻区域不同色，则方法数应为k·(k－1)n-1，①当首尾区域不同色时，方法数为fk(n)；②当首尾区域同色时，方法数为fk(n－1)，则fk(n)＝k·(k－1)n-1－fk(n－1)，解析：当k＝5，n＝6时，f5(6)＝5×45－f5(5)，同理可得f5(5)＝5×44－f5(4)，f5(4)＝5×43－f5(3).f5(3)即为提供5种不同颜色来给排成环形的3个区域涂色且相邻区域不同色，则f5(3)＝CA＝60，则f5(4)＝5×43－f5(3)＝260，f5(5)＝5×44－f5(4)＝1020，f5(6)＝5×45－f5(5)＝4100.所以当k＝5，n＝6时，共有4100种不同的着装方法．考点二递推数列在概率、统计中的应用[例2]

(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；解：解：解：解：ABD解析：解析：2．(2025·黄冈二模)在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入了比赛决胜局，且在该局中的比分为10∶10，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利．已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6.比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为p(0<p<0.8).记甲运动员在第n球比赛中获胜的概率为Pn.(1)求甲以12∶10的比分赢得比赛的概率；(2)求Pn与Pn＋1的关系；(3)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6，求p的取值范围．(参考数据：当c∈(0，1)时，若n→＋∞，则cn→0)解：(1)记第一球比赛甲运动员获胜的事件为A，第二球比赛甲运动员获胜的事件为B，由题意知P(B|A)＝0.8，且P(A)＝0.6，可知P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.48，即甲以12∶10的比分赢得比赛的概率为0.48.(2)记甲运动员在第n球比赛中获胜的概率为Pn，则乙运动员在第n球比赛中获胜的概率为1－Pn，所以Pn＋1＝0.8Pn＋p(1－Pn)＝(0.8－p)Pn＋p，即Pn＋1＝(0.8－p)Pn＋p.解：解：解：依题意，只需P2>0.