分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版）

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

【知识点梳理】

知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理）

1.分类加法计数原理：

完成一件事，有"类办法.在第I类办法中有叫种不同方法，在第2类办法中有叫种不同的方法,……，在第

〃类办法中有也,种不同方法,那么完成这件事共有N=,%+利+…+风,种不同的方法.

2.加法原理的特点是：

①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；

②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事：

③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.

知识点诠释：

使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是

确定各类的方法数，第三步是取和。

知识点二、分步乘法计数原理

1.分步乘法计数原理

“做一件事，完成它需要分成n个步喉”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要

完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才凫完成.

2.乘法原理的特点：

①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；

②完成每一步有若干种方法：

③把每•步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.

知识点诠释：

使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步

的方法数，第三步是求积。

知识点二、分类计数原埋和分步计数原埋的区别：

1.分类计数原理和分步计数原理的区别：

两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.

完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方

法都能单独完成这件事，则用加法原理:

若完成某件事需分n个步骤，这r-个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，

这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算.

知识点四、分类计数原理和分步计数原理的应用

1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：

（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？

<2）然后考虑如何完成？主要有三种类型

①分类或分步。

②先分类，再在每一类里再分步。

③先分步，再在每一步里再分类，等等。

（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？

【典型例题】

类型一、分类加法计数原理

例1.（2022•山西・芮城中学高二阶段练习）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同

的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取1本书，有（）种不同取法？从书架的第1层、

第2层、第3层各取1本书，有（）种不同取法？

A.9,20B.20,9C.9,24D.24,9

【解题总结】

应用分类计数原理，应注意：

①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类：

②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束；

例2.（2022•江苏南通••模）某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加.学校规定：（1）每位学生

每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次.学校提供的安排表如下:

时

周一周二周三周四周五

间

课

音乐、阅读、体口语、阅读、编手工、阅读、科口语、阅读、体音乐、口语、美

后服

育、编程程、美术技、体育育、编程术、科技

务

若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有（）

A.6种B.7种C.12种D.14种

类型二、分步乘法计数原理

例3.（2022・全国•高三专题练习）将1,2,3,…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一

行从左到右，每一列从，到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有（）

34

A.6种B.12种C.18种D.24种

【解题总结】

解决这类问题的关键是搞清分类还是分步.用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，

确定一个分步的可行标准：其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才第

圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理.同时，要弄清每•步骤中完成本步骤的方法种数.

例4.（2022・辽宁•大连八中高二期末）2021年12月02日，很多人的嗷信圈都在转发这样一条微信：

“20211202,所遇皆为对，所做皆称心"”.形如“20211202”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读

都一样的正整数，则8位的回文数共有（）

A.90B.900C.9（XX）D.9（XXX）

例5.（2021上海静安・一模）已知直线办+力+。=0的斜率大于零，其系数4、氏。是取自集合｛-2,-1,04,2）

中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（）

A.11B.12C.13D.14

例6.（2022・陕西武功•二模（理））假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4

名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站，则不同的安排

方法共有种.

类型三、两个原理的对比应用

例7.（2022・全国•高三专题练习）古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、

庚、壬''和地支的“子、寅、辰、午、申、戊”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸''和地支的“丑、卯、巳、

未、西、亥”相配，共可配成组.

【解题总结】

在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有，I类办法还是需分成n个步骤.应用分类

加法计数原理必须要求各类中的每一种方法都保证完成这件事.应用分步乘法计数原理则是需各步均是完

成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤.

例8.（2021・全国•高二课时练习）王华网学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的

数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.

（1）若他从这些参考刊中带I本去图仿馆，则有种不同的带法；

（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有种不同的带法：

（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有种不同的带法.

类型四、涂色问题

例9.（2022•吉林・东北师大附中高二期末）如图，用四种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,

相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为（用数字作答）

AB

CD

例10.（2021・全国•高二单元测试）如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意

图，现提供5种颜色给其中5个小区域A,If,C,D,E涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域

颜色不相同，则不同的涂色方案共有种.

例11.（2021•全国•高二课时练习）如图，用4种不同的颜色涂入图」的矩形A,B,C,。中，要求相邻

的矩形涂色不同，则不同的涂法有种.

/B

类型五、数字排位问题

例12.（2021・全国•高二课时练习）如果一个三位正整数如“402a3”满足4且内＞《，则称这个三

位数为“凸数”（如120,343,275等），那么所有三位数中“凸数”的个数为.

例13.（2021•上海市建平中学高二期末）从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张（数

字6的卡片可以倒过来当9用），可以组成个无重复数字的被4整除的四位数.

例14.（2021・全国•高二课时练习）从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有

个.

类型六、占位模型中标准的选择

例15.（2022・全国•高三专题练习）有六名同学报名参加三个智力项目，每项必报且限报一人，且每人至

多参加一项，则共有种不同的报名方法.

例16.（2021•北京市景山学校通州校区高二期中）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其

中一个小组，则不同的报名方法有种.（用具体数字作答）

例17.（2017•重庆市合川实验中学高二期中（理））加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二

道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有种.

类型七、列举法

例18.（2022・全国•高三专题练习）小明有4枚完全相同的硬币，每人硬币都分正反两面.他想把4个硬币

摆成--摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对：不同的摆法有种.

例19.（2019•江苏连云港•高二期末（理））已知x,）*N*,满足｝一；=3历，则所有数对（工力的个数

是一.

例20.（2020・全国•高三专题练习）从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，

则所有不同的对数值的个数为一.

【同步练习】

一、单选题

I.（2022•山西・芮城中学高二阶段练习）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的

文艺书，第3层放有2本不同的体育打，从竹架上任取1本书，有（）种不同取法？从书架的第I层、

笫2层、笫3层各取1本书，有（）种不问取法？

A.9,20B.20,9C.9,24D.24,9

2.（2022・辽宁•大连八中高二期木）2021年12月02日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：”20211202,

所遇皆为对，所做皆称心形如“2Q211202”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正

整数，则8位的回文数共有（）

A.90B.900C.9000D.90000

3.（2022•全国•高三专题练习）将1,2,3,…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行

从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有（）

34

A.6种B.12种C.18种D.24种

4.（2022•辽宁葫芦岛•高二期末）算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘（如图1）,共两档，自

右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5,梁下五珠，上拨一珠记作数字I「如

图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）

A.8B.10C.15D.16

5.（2022•江苏通州•高三期末）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分

数依次为10,5,3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（）

A.第二名、第三名的总分之和为29分或31分

B.第二名的总分可能超过18分

C.第三名的总分共有3种情形

D.第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名

6.（2022・湖南师大附中高二期末）如图，用4种不同的颜色对A,B,C,。四个区域涂色，要求相邻的

两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）

C.72种D.96种

7.（2022・全国•高二）甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到人爪。三个路口协助交警值勤，他

们申请值勤路口的意向如下表:

交通路

ABC

□

甲、乙、丙、甲、乙、丙、

志愿者

T丙T

这4名志愿者的申请被批准，且值圜安排也符合他们的意向，若要求48,C三个路口都要有志愿者值勤，

则不同的安排方法数有（）

A.14种R.11种C.8种D.5种

8.（2022・全国•高三专题练习）已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不

同的走法种数为（）

A.32B.23

C.43D.24

9.（2022・全国•高三专题练习）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人

分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（）

A.28种B.30种

C.27种D.29种

二、多选题

10.（2022・全国•高二课时练习）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分

段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：

乘坐站数X0<xW33<xW66<xW9

票价/元234

现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在

每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是（）A.若小花、小李两人共花费5元，则小花、

小李下地铁的方案共有9种

B.若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种

C.若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种

D.若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的概率为］

II.（2022・全国•高二课时练习）现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（）

A.从中任选1个球，有15种不同的选法

B.若每种颜色选出I个球，有120种不同的选法

C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法

D.若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法

12.（2022・全国•高三专题练习）某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说

法正确的是（）

A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法

B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各I人，共有21种不同的选法

C.从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法

D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的I个队，共有100种不同的报名方法

13.（2022•全国♦高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足

下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝"

E,F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,4,C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝8,。，H；

（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝/,C,E,则下列结论正确的是（）

A.最高处的树枝为G,/中的一个

B.最低处的树枝一定是“

C.这九根树枝从高到低不问的顺序共有33种

D.这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种

三、填空题

14.（2022•吉林・东北师大附中高二期末）如图，用四种不同的颜色分别给A,B,C,。四个区域涂色，

相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为（用数字作答）

AB

CD

15.（2022・陕西武功•二模（理））假期电，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名

同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站，则不同的安排方

法共有种.

16.（2022•上海市复兴高级中学高二期末）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数I,用灯不亮表示数0,每

一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是

17.（2022・全国•高三专题练习）有4,B,C型高级电脑各一台，甲.乙.丙.丁4个操作人员的技术等级不

同，甲.乙会操作三种型号的电脑，内不会操作C型电脑，而丁只会操作人型电脑.从这4个操作人员中选3

人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有种（用数字作