高二数学上学期期末真题分类汇编《抛物线》含答案

高中数学专题05抛物线（2种经典基础练+4种优选提升练）抛物线及其标准方程（共15题）一、单选题1．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖南永州·期末）抛物线C：上的点与焦点F的距离是2，则（

）A．1 B． C． D．23．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（

）A．5 B．6 C．7 D．5．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（

）A． B． C．1m D．6．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高二上·浙江温州·期末）以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（

）A．与 B．与C．与 D．与三、填空题8．（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线的准线方程为.9．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是抛物线上纵坐标为4的点，则与的焦点的距离为.10．（23-24高二上·河北保定·期末）已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为．11．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则.12．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为.（写出一个即可）四、解答题13．（22-23高二上·青海西宁·期末）已知双曲线的渐近线为，抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，抛物线交双曲线的两条渐近线于O，A，B三点．(1)求双曲线的离心率；(2)求的面积．14．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点．(1)求的值；(2)若上存在点，使的重心恰为，求的值及点的坐标．15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若是上两点，且线段的中点为，求．抛物线的简单几何性质（共16题）一、单选题1．（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（

）A．4 B．2 C． D．12．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（

）A．3 B．2 C． D．3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（23-24高二上·广东茂名·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（22-23高二上·重庆·期末）已知，则方程表示的曲线可能是（

）A． B．C． D．二、多选题6．（24-25高二上·广东江门·期末）已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则（

）A．的面积的最大值为2 B．C． D．7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线，为C上一点，则下列说法正确的是（

）A．曲线C关于y轴对称 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．三、填空题8．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为.9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则．10．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）过点作倾斜角为的直线与交于，则．四、解答题11．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．12．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上．(1)求的标准方程(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．13．（23-24高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的方程；(2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.14．（23-24高二上·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点.(1)求的焦点坐标及准线方程；(2)求的面积.15．（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线：，过点作直线．(1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程．(2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长．16．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？抛物线焦点弦有关综合题（共5题）1．（23-24高二上·辽宁·期末）在直角坐标系中，已知点F1,0，直线，过外一点作的垂线，垂足为，且，记动点的轨迹为，过点作的切线，该切线与轴分别交于两个不同的点，则下列结论正确的是（

）A．动点的轨迹方程为B．当时，三点共线C．对任意点（除原点外），都有D．设，则的最小值为42．（23-24高二上·云南昆明·期末）过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（

）A．为定值B．存在直线，使得（为坐标原点）C．若经过点和抛物线的顶点的直线交准线于点，则D．若，则3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是（

）A．直线的斜率之积为定值B．直线交抛物线的准线于点，若，则直线l的斜率为C．若，则抛物线的准线方程为D．直线交抛物线的准线于点，则直线轴4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（

）A．若直线的斜率为，则B．的最小值为C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为D．若点，则的周长最小值为5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则的最小值为.抛物线中与面积有关综合题（共5题）1．（23-24高二上·山东菏泽·期末）为坐标原点，以为准线，为焦点的抛物线的方程为：.过的直线交于两点，于于为线段的中点.下列选项正确的有（

）A．面积的最小值为4B．C．直线与轴交于点，过点作的垂线与轴交于点，则D．，当且仅当轴时取等号2．（23-24高二上·四川乐山·期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（

）A．点在抛物线（）的准线上B．存在点，使得C．D．面积的最小值为3．（24-25高二上·云南文山·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条B．以为直径的圆与相切C．设，则D．若，则的面积为4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴左侧，分别为的中点，且直线过定点.(1)求抛物线的方程；(2)设为直线与直线的交点;（i）证明在定直线上；（ii）求面积的最小值.5．（23-24高二上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，已知点，、为抛物线上不同的两点，，且于点．(1)求的值；(2)过轴上一点的直线交于、两点，、在的准线上的射影分别为、，为的焦点，若，求中点的轨迹方程．直线与抛物线交点综合题（共8题）1．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（

）A．的最小值为2B．以线段为直径的圆与轴相切C．D．当时，直线的斜率为2．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线交于两点，设点M在抛物线的准线上，若是等腰直角三角形，则.3．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，曲线，曲线．经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，则的取值范围为．4．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图所示），则四边形面积的最小值为．5．（23-24高二上·山东济南·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为．6．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值.7．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2．(1)求抛物线的方程；(2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值．8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线．抛物线中定值、定点问题（共6题）1．（23-24高二上·湖北武汉·期末）如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．

(1)求证：直线的斜率为定值；(2)设焦点到直线的距离为，求的取值范围．2．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；(2)已知，设x轴上一定点，过T的直线交轨迹C于两点（直线与轴不重合），求证：为定值.3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值.4．（23-24高二上·河南漯河·期末）动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点1,0的距离小.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知点，过1,0的直线与交于两点，分别与交于点.①求证：直线过定点；②求与面积之和的最小值.5．（23-24高二上·湖北孝感·期末）动点G到点的距离比到直线的距离小2.(1)求G的轨迹的方程；(2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由.6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知抛物线，为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于点，D．且当点P的坐标是时，线段的中点是(1，)．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：直线过定点，并求出定点的坐标．

专题05抛物线（2种经典基础练+4种优选提升练）抛物线及其标准方程（共15题）一、单选题1．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由抛物线的标准方程即焦点的定义计算即可.【详解】，此时焦点在纵轴上，为.故选：D2．（23-24高二上·湖南永州·期末）抛物线C：上的点与焦点F的距离是2，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由抛物线的定义，列方程求解的值.【详解】由抛物线的方程可得准线方程为，根据抛物线定义有，可得.故选：D3．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线的定义即可得解.【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大，所以动点到定点的距离等于到的距离，所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是.故选：B.4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（

）A．5 B．6 C．7 D．【答案】A【分析】由圆的切线的性质可求得PC，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离.【详解】如图所示：设切点为Q，则|CQ|=1,|PQ|=26则PC=设Px,y，则由两点间距离公式得到(x−4)解得，因为y2=8x≥0，所以，因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为3−−2=5.故选：A.5．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（

）A． B． C．1m D．【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为y2=2pxp>0，代入点求出【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上，设抛物线的标准方程为y2由已知得在抛物线上，所以，得，其顶点到焦点的距离等于.故选：A.6．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点在抛物线上及焦半径公式列方程组求出，进而可得准线方程.【详解】由已知，解得，故抛物线的准线方程为，故选：A.二、多选题7．（23-24高二上·浙江温州·期末）以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】CD【分析】根据椭圆、双曲线以及抛物线的离心率公式，分别求出各个圆锥曲线的离心率，即可得出答案.【详解】对于A项，双曲线的离心率为；椭圆的离心率为，故A错误；对于B项，双曲线的离心率为；双曲线的离心率为，故B错误；对于C项，椭圆的离心率为；椭圆的离心率为，故C项正确；对于D项，方程可化为抛物线，方程可化为抛物线，而且抛物线的离心率均为1，故D项正确.故选：CD.三、填空题8．（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线的准线方程为.【答案】【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴上，从而可求准线方程.【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴上，且，所以，所以抛物线的准线方程为.故答案为：.9．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是抛物线上纵坐标为4的点，则与的焦点的距离为.【答案】【分析】求出点P的坐标及焦点坐标，然后由抛物线的定义可得.【详解】由C：可得的横坐标为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：由抛物线的定义可得，与的距离．故答案为：．10．（23-24高二上·河北保定·期末）已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为．【答案】/【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】由题可知为抛物线C的焦点，C的准线方程为．设d为点M到C的准线的距离，则．又，所以周长的最小值为．故答案为：.

11．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则.【答案】5【分析】由的面积可得点的横坐标，再由抛物线定义可求.【详解】由题意，F1,0，，，，所以，则，由抛物线的定义知，.故答案为：5.12．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据即可得答案.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为2，即，，当焦点在轴正半轴时，抛物线的标准方程为，当焦点在轴负半轴时，抛物线的标准方程为，当焦点在轴正半轴时，抛物线的标准方程为，当焦点在轴负半轴时，抛物线的标准方程为，故答案为：.四、解答题13．（22-23高二上·青海西宁·期末）已知双曲线的渐近线为，抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，抛物线交双曲线的两条渐近线于O，A，B三点．(1)求双曲线的离心率；(2)求的面积．【答案】(1)(2)48【分析】（1）结合抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可得到本题答案；（2）联立渐近线方程和抛物线方程，求得点和点的坐标，即可得到本题答案.【详解】（1）由题意．双曲线的渐近线为，所以，所以双曲线的离心率．（2）抛物线的准线方程为，所以，解得，所以的方程为，焦点为，不妨设A在左侧，B在右侧，联立得，所以，直线的方程为，所以点F到直线的距离为8，所以的面积为．14．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点．(1)求的值；(2)若上存在点，使的重心恰为，求的值及点的坐标．【答案】(1)(2)，【分析】（1）联立直线和抛物线方程利用韦达定理即可得出结果；（2）根据抛物线焦点坐标及重心坐标公式可求得，代入抛物线方程即可求得及.【详解】（1）联立方程：和，消去得得，则．（2）设点，易知，如下图所示：由（1）可得，由的重心恰为可得，即；且，可得由点在上，满足，可得，解得，所以，，即点为．15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若是上两点，且线段的中点为，求．【答案】(1)(2)16【分析】（1）根据点点距离公式即可求解，（2）根据点差法求解直线的斜率，即可由焦点弦公式即可求解.【详解】（1）设，则．由，可得，整理得的方程为．（2）设Ax因为线段的中点为，所以，则，则．所以，则直线的方程为，显然直线经过点．由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以．抛物线的简单几何性质（共16题）一、单选题1．（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（

）A．4 B．2 C． D．1【答案】A【分析】利用代入法进行求解即可.【详解】把代入抛物线方程中，得，因为该抛物线的对称轴为纵轴，所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4，故选：A2．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，，则由解得，所以点的横坐标为3.故选：A3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长.【详解】抛物线的准线方程为，因为直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点Ax1,y则.故选：D.4．（23-24高二上·广东茂名·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由中点坐标公式结合定义法求解抛物线焦点弦即可.【详解】由题意，所以.故选：C.5．（22-23高二上·重庆·期末）已知，则方程表示的曲线可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可.【详解】方程，得或，当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合；当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合，综上，方程表示的曲线可能是C.故选：C.二、多选题6．（24-25高二上·广东江门·期末）已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则（

）A．的面积的最大值为2 B．C． D．【答案】BCD【分析】对A，设直线，联立抛物线方程可得，根据结合韦达定理求解即可；对B，根据韦达定理判断即可；对C，根据韦达定理结合抛物线方程判断即可；对D，根据题意结合平面向量的坐标运算可得，再代入韦达定理求解即可.【详解】设直线，由得：，则；选项A：应是最小值为2，故A错误；选项B：，故B正确；选项C：，，则，故C正确；选项D：由，，得：,，∴，故D正确.故选：BCD7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线，为C上一点，则下列说法正确的是（

）A．曲线C关于y轴对称 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．【答案】ABD【分析】令替换看方程是否变化可判定A，利用曲线方程结合消元法转化可判定B、C、D.【详解】对于A，令替换，显然原曲线方程不变，故曲线C关于y轴对称，A正确；对于B，由原曲线方程可得，显然，上式恒成立，若，，综上所述的取值范围为，B正确；对于C，结合上一选项知，显然时，故C错误；对于D，易知时，恒成立，而时，，显然也成立，D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：对于曲线的对称性可利用坐标的对称互换来验证曲线方程是否成立判定，一些量的范围及可根据曲线方程的等量关系消元转化来计算.三、填空题8．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为.【答案】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，过点作垂直准线交于点，由抛物线的定义可得，即可得到平行于轴时取最小值，从而求出点坐标.【详解】抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，过点作垂直准线交于点，则，所以，当且仅当、、三点共线时取等号，即平行于轴时取最小值，此时，则，即，所以.故答案为：9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则．【答案】【分析】设出的方程，与抛物线方程联立，可得，横坐标的积，结合已知向量等式求解，的坐标，即可由面积公式求解.【详解】由题意可知直线有斜率且不为0,设所在直线方程为，联立，得．不妨设在第一象限，,，,，则，又，，即，联立，解得或（舍，则，即，进而可得所以解得，故答案为：

10．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）过点作倾斜角为的直线与交于，则．【答案】【分析】写出直线方程并与抛物线联立，再由焦点弦公式计算可得结果.【详解】易知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线斜率为，所以直线方程为，不妨设，联立消去整理可得；所以可得，由焦点弦公式可得.故答案为：四、解答题11．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；（2）设，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算得即可.【详解】（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知，点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线，故点P的轨迹C的方程为：．（2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：．由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设，由得：，，设Ax1,y1，B所以，，故即．12．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上．(1)求的标准方程(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据点的坐标可得抛物线也关于轴对称，将点代入抛物线方程即可求解；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，即可求定点坐标．【详解】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称，所以点，在上，将点代入抛物线得，，即，所以抛物线的方程为：；（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为，由消得：，由韦达定理得，所以直线，显然恒过定点0,1．

13．（23-24高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的方程；(2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p的值，即得答案；（2）设出直线CD的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简，即可证明结论.【详解】（1）由题意点为抛物线：y2=2pxp>0的焦点，点在抛物线上，且.得，解得，故抛物线的方程为.（2）证明：设直线的方程为，，，由，得，，.

，，即直线关于x轴对称，故.14．（23-24高二上·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点.(1)求的焦点坐标及准线方程；(2)求的面积.【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为(2)【分析】（1）利用抛物线的方程可直接求出该抛物线的焦点坐标与准线方程；（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式结合韦达定理可求出的值，并求出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）解：对于抛物线，，则，，所以，抛物线的焦点坐标为1,0，准线方程为.（2）解：设点Ax1,y1、B联立可得，由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得，原点到直线的距离为，因此，的面积为.15．（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线：，过点作直线．(1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程．(2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长．【答案】(1)或；(2)【分析】（1）设直线的方程为y=kx−1，联立直线与抛物线方程，消元，由求出的值，即可得解；（2）首先得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式计算可得.【详解】（1）设直线的方程为y=kx−1，联立，消去整理得，则，解得或，故直线的方程为或；

（2）抛物线的焦点为F0,1，则直线的方程为，设Ax1,联立，消去得，显然则，故．

16．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？【答案】(1)(2)(3)4.0米【分析】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案；（2）直线与抛物线联立求出、可得答案；（3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案.【详解】（1）如图所示.依题意，设该抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，，所以该抛物线的方程为；（2），焦点，，设，Qx2,y2，则，由解得，，，所以，则；（3）设车辆高为h，则，故，代入抛物线方程，得，解得，所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米.抛物线焦点弦有关综合题（共5题）1．（23-24高二上·辽宁·期末）在直角坐标系中，已知点F1,0，直线，过外一点作的垂线，垂足为，且，记动点的轨迹为，过点作的切线，该切线与轴分别交于两个不同的点，则下列结论正确的是（

）A．动点的轨迹方程为B．当时，三点共线C．对任意点（除原点外），都有D．设，则的最小值为4【答案】ABC【知识点】抛物线定义的理解、求抛物线的切线方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质【分析】根据抛物线的定义易得点的轨迹方程，得A项；利用求得点和点坐标，再求出过点的切线方程，得到点，即可判断B项；设出过点得切线方程，利用判别式推得，将点坐标用表示，斜率判断即得C项；利用抛物线定义转化，利用三点共线时距离之和最小即得D项.【详解】易知动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以的方程为，故选项A正确；当时，记点，由，所以.不妨设，则.设过点的切线方程为，联立方程组消去得：.由解得：，所以过点的切线方程为且，因，所以三点共线，故选项B正确；设过点的切线方程为，联立方程组消去得：，由可得：.因为，所以，化简得：.则，故，又，故，所以，故选项C正确；因为，点为抛物线上任一点，故当且仅当三点共线时，最小，即的最小值为点到直线的距离，所以，故选项D错误.故选：ABC.2．（23-24高二上·云南昆明·期末）过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（

）A．为定值B．存在直线，使得（为坐标原点）C．若经过点和抛物线的顶点的直线交准线于点，则D．若，则【答案】ACD【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数【分析】依题意设直线方程为，联立直线与抛物线方程，运用韦达定理可判断AB；求得直线方程和准线方程联立，求得交点C，从而判断C；由向量的坐标运算得到，结合韦达定理与抛物线的焦半径公式可判断D．【详解】对于A，依题意，直线的斜率不等于0，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，消去得，易知，则，，故，所以为定值，故A正确；对于B，因为，所以不可能，故B错误；对于C，经过点和抛物线的顶点的直线的方程为，则其与准线的交点的坐标，因为，所以，即轴，故C正确；对于D，因为，，则，所以，由，得，由，得，即，则，则由抛物线定义得，故D正确.故选：ACD．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是（

）A．直线的斜率之积为定值B．直线交抛物线的准线于点，若，则直线l的斜率为C．若，则抛物线的准线方程为D．直线交抛物线的准线于点，则直线轴【答案】ACD【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题【分析】对于选项A:设直线：并与抛物线联立，借助韦达定理即可判断；对于选项B:利用，求出，结合斜率公式即可判断；对于选项C:结合题意可得，利用抛物线的定义即可判断；对于选项D:计算点的纵坐标与点的纵坐标，即可判断.【详解】对于选项A:结合题意：连接，易知直线的斜率不为，故可设直线：，且设两点的坐标分别为联立可得，所以，所以，所以.故选项A正确；

对于选项B:过点作垂直准线于,设准线与轴的交点为，易得,因为，所以,由，由抛物线的定义可知：,所以，直线l的斜率为,同理结合抛物线的对称性可知：直线l斜率，故选项B错误；

对于选项C:过点作垂直轴于点，过点作垂直准线于点,因为，所以,所以点，结合抛物线的定义可知解得，故抛物线的准线方程为，故选项C正确；

对于选项D:设两点的坐标分别为因为点在抛物线上，所以，所以点，所以，故直线的方程为，联立，解得，所以点，所以点的纵坐标为，结合选项A可知，所以，所以点的纵坐标为，因为点的纵坐标与点的纵坐标相等，所以直线轴.故选项D正确.

故选：ACD.【点睛】方法点睛：1.根据抛物线的定义，可以得出一个结论：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离都等于点P到准线的距离，这个结论是抛物线最重要的一条性质，很多有关抛物线的填空题和选择题都是围绕这条性质设计；2.何时使用定义：一般情况下，当题意中出现了"抛物线上的点与焦点的连线”或者出现了“抛物线上的点到准线（或垂直于抛物线对称轴的直线）的距离”的时候，都要优先考虑使用抛物线的定义来解题；3.抛物线的标准方程的表达式中含有一次项，根据这个特点，设抛物线上的点P的坐标就可以用一个变量进行表示，再结合相关的已知信息进行运算.4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（

）A．若直线的斜率为，则B．的最小值为C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为D．若点，则的周长最小值为【答案】BCD【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质【分析】求出抛物线的方程，得焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立方程组应用韦达定理求弦长判断A，再根据韦达定理得出焦点弦的性质，然后利用基本不等式求解后判断B，作出大致图象，过点作准线的垂线，结合抛物线的定义判断C，过作准线的垂线（是垂足），写出三角形的周长，结合抛物线的定义转化后得出不等关系，从而可得最小值判断D．【详解】抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，则第一象限内的交点的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为1，即，所以，，即抛物线方程为，焦点为，对选项A，设直线方程为，由得，设，则，，，直线的斜率为时，，所以，A错误；对选项B，由抛物线定义得，所以，当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，B正确；对选项C，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点，过作轴垂线，垂足为，则，是梯形的中位线，由抛物线定义可得，所以，所以以为直径的圆与轴相切，因此为切点，所以点纵坐标为1，又是中点，所以点纵坐标为2，而是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确；

对选项D，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，所以的周长为，当且仅当点的坐标为时取等号（即与准线垂直），D正确．故选：BCD．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则的最小值为.【答案】/【知识点】基本不等式求和的最小值、根据抛物线上的点求标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数【分析】由已知可求得抛物线方程，设直线与抛物线联立方程组可求得，进而根据基本不式求|的最小值即可.【详解】抛物线与圆交于两点，且，得到第一象限交点(1，2)在抛物线上，所以，解得，所以C：，则，设直线，与联立得，设，所以，，，，当且仅当时等号成立.即的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．抛物线中与面积有关综合题（共5题）1．（23-24高二上·山东菏泽·期末）为坐标原点，以为准线，为焦点的抛物线的方程为：.过的直线交于两点，于于为线段的中点.下列选项正确的有（

）A．面积的最小值为4B．C．直线与轴交于点，过点作的垂线与轴交于点，则D．，当且仅当轴时取等号【答案】BC【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，可得，，对A，，而，得解；对B，易得，又，可判断；对C，设直线的方程求出点的横坐标，同理求出点的横坐标，结合，，计算可得可判断；对D，计算，，从而可判断.【详解】根据题意，F1,0，准线，设直线的方程为，Px1,y1联立，消去整理得，，，，，当且仅当时等号成立，，故A错误；又，，，，，，又，，故B正确；易知，则直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得，因为直线与直线垂直，所以直线的方程为，令，求得，又，，，所以，故C正确；，，，即恒成立，故D错误.故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，综合性强难度大.选项A，由于，所以只要求出的最小值即可判断；选项B，由三角形面积公式结合抛物线定义可得，又，即可判断；选项C，设出直线与直线的方程求出，结合，，化简计算得可判断；选项D，利用韦达定理分别计算，可判断.2．（23-24高二上·四川乐山·期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（

）A．点在抛物线（）的准线上B．存在点，使得C．D．面积的最小值为【答案】ACD【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2，联立直线和抛物线，利用韦达定理得到，设出过和过【详解】设Ax设直线：，联立得，则，设过点的切线为，联立得，由，可得，同理可得过点的切线斜率为，所以处切线方程分别为，联立可得，故A正确；又即，，所以，，所以，，即，C正确；又，所以，，所以，B错；由上述知，，又因为直线斜率为，所以，设准线与轴的交点为，则面积，当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），此时面积取最小值，D正确.

故选：ACD【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直线与抛物线相切问题；（2）焦点弦问题的计算能力；（3）数形结合思想.3．（24-25高二上·云南文山·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条B．以为直径的圆与相切C．设，则D．若，则的面积为【答案】ACD【知识点】由弦长求参数、求抛物线上一点到定点的最值、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线定义的理解【分析】分别求出过点与抛物线相切以及斜率为0的直线，可得A正确，根据抛物线定义和梯形中位线性质求得，得出B错误，由抛物线定义可知，利用三点共线求距离之和最小值，可得C正确，设的直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和弦长公式求解可得D正确.【详解】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有；当直线斜率存在时，可设直线方程为，当直线与抛物线有且仅有一个公共点，联立整理可得，所以；解得，所以切线方程为，综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，即A正确；对于B，如下图所示：设点在上的射影为，取的中点为，的中点为，由抛物线定义可知，在梯形中，有，所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误；对于C，易知F1,0，由抛物线定义可知，所以，当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确；对于D，设的方程为，联立整理可得，可得，因此；可得，因此，又可得，解得；易知到直线的距离为，所以的面积为，即D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线定义，将焦半径与到准线距离互相转化，再由三点共线求得距离最值问题.4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴左侧，分别为的中点，且直线过定点.(1)求抛物线的方程；(2)设为直线与直线的交点;（i）证明在定直线上；（ii）求面积的最小值.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数【分析】（1）设出直线，和的方程，联立直线与抛物线方程，得出，，从而求出直线为，再利用条件，即可求出结果；（2）（i）根据条件得出和，联立方程，结合（1）中的韦达定理，即可求出结果；（ii）过点作轴，交直线于点，得出的面积为，再利用几何关系及基本不等式即可求出结果.【详解】（1）易知直线，直线斜率均存在，且不为，设，，，由，消得到，由韦达定理得到，所以，得到，同理可得，，所以，故直线为，又直线过定点，所以，得到，故，所以抛物线的方程为.（2）（i）因为，则，又，所以，同理可得，由，消得到，又由（1）知，所以，故点在定直线上，（ii）过点作轴，交直线于点，则的面积为，由，，知，当且仅当时，取等号，下证，由抛物线的对称性，不妨设，则，当时，，则点在轴左侧，点也在轴左侧，有，又直线过定点，此时，同理，当时，，则点在轴右侧，点也在轴右侧，有，则，当且仅当时，，，故恒成立所以，当且仅当时，取等号.【点睛】关键点点晴：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点的纵坐标恒为，再根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.5．（23-24高二上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，已知点，、为抛物线上不同的两点，，且于点．(1)求的值；(2)过轴上一点的直线交于、两点，、在的准线上的射影分别为、，为的焦点，若，求中点的轨迹方程．【答案】(1)(2)【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数【分析】（1）求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可求出的值；（2）设的准线与轴的交点为，根据可求出的值，设的中点的坐标为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合斜率公式可求得点的轨迹方程.【详解】（1）解：由及，得直线的斜率，则直线的方程为，即，设、，联立可得，则，由韦达定理得，于是，由，得，即，即，解得．（2）解：由（1）得抛物线的焦点，设的准线与轴的交点为，因为点Mx1,y1，由，得，所以或，又因为，所以．

设的中点的坐标为，当与轴不垂直，即时，由，可得，即，即，即，即，当与轴垂直时，点与点重合，所以，综上，中点的轨迹方程为．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.直线与抛物线交点综合题（共8题）1．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（

）A．的最小值为2B．以线段为直径的圆与轴相切C．D．当时，直线的斜率为【答案】BC【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题【分析】根据题意设直线，Ax1,y1，Bx2,y2【详解】由题意可知：拋物线：的焦点F1,0，准线为，且直线的斜率可以不存在，但不为0，设直线，Ax1联立方程，消去x可得，则，可得，可得，，对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，故A错误；对于选项B：因为线段的中点为，AF=x1则到轴的距离，以以线段为直径的圆的半径为，即圆心到轴的距离等于该圆半径，故轴与该圆相切，故B正确；对于选项C：因为，所以，故C正确；对于选项D：因为，且，则，即，联立，解得，代入可得，解得，所以直线的斜率为，故D错误.故选：BC.2．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线交于两点，设点M在抛物线的准线上，若是等腰直角三角形，则.【答案】或【知识点】抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，分别对直角顶点进行分类讨论，利用三角形相似以及焦点弦公式列方程即可解得的取值为或.【详解】如下图所示：易知抛物线的焦点为，准线方程为，设直线的方程为，，设的中点为；联立直线与抛物线方程可得，显然，则，则；可得，因为是等腰直角三角形，当点为直角顶点时，过点作轴的垂线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图所示：

易知，，，所以，可得，，可得；又，，所以，即，解得，可得，所以；同理可得当点为直角顶点时，；当点为直角顶点时，点在以为直径的圆上，如下图所示：

易知线段的中点为，可得以为直径的圆的方程为，当时，解得；即，此时与轴平行，又是等腰直角三角形，所以，即直线与轴垂直，显然此时，满足题意；故答案为：或【点睛】方法点睛：求抛物线中弦长问题时往往利用焦点弦公式，利用韦达定理以及等腰直角三角形性质，根据圆周角性质列方程可得结果.3．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，曲线，曲线．经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，则的取值范围为．【答案】【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的参数范围问题、根据韦达定理求参数【分析】设，则直线的方程为，将直线方程与曲线方程联立，由可得t的取值范围，设的横坐标分别为，，结合的倾斜角为，结合弦长公式可将表示为关于t的函数，从而求得其取值范围．【详解】设，则直线的方程为，代入曲线的方程，得，化简可得：，①由于与交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式，即，解得，②设的横坐标分别为，由①知，，因此，结合的倾斜角为可知，，由②可知，，故，从而得，故答案为：．【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．4．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图所示），则四边形面积的最小值为．【答案】【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题【分析】先由条件求得椭圆方程，再分类讨论直线斜率存在与否，联立直线与椭圆方程求得，联立直线与抛物线方程求得，从而得到四边形面积关于的表达式，由此得解.【详解】由题意得，即，又，所以，由，得，所以椭圆的方程为.由题意得过点的直线的斜率不为零，当直线的斜率存在时，设直线方程为，设，，，，联立，消去得，易知，则，，所以，抛物线的方程为，直线方程为，联立，消去得，则，所以，所以，因为，所以，，；当直线的斜率不存在时，，，所以；综上，，所以四边形面积的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.5．（23-24高二上·山东济南·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为．【答案】2【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线的中点弦【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理求以及点M的坐标，即可得结果.【详解】由题意可知：抛物线的焦点F1,0，可知直线l与抛物线必相交，设直线，Ax1,y联立方程x=my+1y2=4x，消去x则，可得，，且，即线段的中点，则线段的中垂线方程为，由题意可知：点M在x轴上，令，可得，即，则，所以.故答案为：2.【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．6．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值.【答案】(1)(2)【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数【分析】（1）关键抛物线的定义可得，求出p即可求解；（2）设，将直线和直线BD，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示，，进而可得、，由中点坐标公式与斜率公式可得和，则，当时最大，由两角差的正切公式和换元法可得，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）抛物线的准线为，由抛物线的定义知，，又，所以，所以抛物线C的方程为；（2）由（1）知，，设，则，设直线，由可得，，则，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，由斜率公式可得，，又因为直线OP、OQ的倾斜角分别为，所以，若要使最大，需使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为.【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直线的关系后，设，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于难题.7．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2．(1)求抛物线的方程；(2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值．【答案】(1)(2)【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题【分析】（1）利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可.（2）利用焦半径公式结合两点间距离公式求解边长，建立方程求解参数即可.【详解】（1）因为点到焦点F的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为2，抛物线的准线方程为，点的横坐标为，，解得，抛物线的方程为．（2）如图，易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为y=kx−联立y=kx−12y2设，又，∵，则直线OP的方程为，联立y=kxy2=2x，消得令，则，，故的值为．【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用焦半径公式结合距离公式表示边长，然后建立方程，得到所要求的参数值即可．8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线．【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】求抛物线的轨迹方程、求直线与抛物线的交点坐标、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数【分析】（1）由题意得点到点的距离与到直线的距离相等，设，则，化简可得结论；（2）设直线的方程为，设点Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理求解【详解】（1）由题意可知是线段的中点，因为，所以为的中垂线，即，又因为，即点到点的距离与到直线的距离相等，设，则，化简得，所以动点的轨迹的方程为．（2）证明：设直线的方程为，设点Ax1,y1联立，得，显然，由韦达定理可得，，又因为直线的方程为，将代入，可得，即点，所以，因为，则，所以直线的方程为，联立，得，则，故，，故G，，三点纵坐标相同，即三点共线．【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．抛物线中定值、定点问题（共6题）1．（23-24高二上·湖北武汉·期末）如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．

(1)求证：直线的斜率为定值；(2)设焦点到直线的距离为，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】求点到直线的距离、抛物线中的定值问题【分析】（1）设出直线方程，联立后得到点纵坐标，同理得到点纵坐标，从而求出直线AB的斜率，即可证明结果；（2）根据（1）中结果，得出直线的方程，从而得到，再根据的范围，即可求出结果.【详解】（1）将点代入抛物线方程得，所以抛物线,设，，由，消得，由韦达定理得，又，得到，又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：，因此，又，所以为定值．（2）由（1）可知，，，，因此，整理得，所以到直线的距离，因为，得，所以，故．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.2．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；(2)已知，设x轴上一定点，过T的直线交轨迹C于两点（直线与轴不重合），求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析．【知识点】利用椭圆定义求方程、利用抛物线定义求动点轨迹、椭圆中的定值问题【分析】（1）是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，由，利用椭圆定义可得轨迹方程；（2）设直线的方程为，设，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，然后计算，代入化简可得．【详解】（1）如图，是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，又是中点，则是直角梯形的中位线，，设是以为准线的抛物线的焦点，则，，所以，所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为8，，则，因此，所以抛物线的焦点轨