七年级数学上册专题15 有理数的乘方（人教版）

专题1.5有理数的乘方

考点1：乘方的定义及计弓

考点2:非负数扁蔡

考点3:含有乘方的四则混合运算

考点4:科学计数

考点5:近似数

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1.乘方的概念

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做靠。在中，a叫做底数，n叫做指数。

2.乘方的性质

（1）负数的奇次累是负数，负数的偶次幕的正数。

（2）正数的任何次幕都是正数，0的任何正整数次辕都是0。

3.有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算，从左到右进行；

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

4.科学记数法

把一个大于10的数表示成々Xi。”的形式（其中n是正整数），这种记数法是科学记数法。

5.近似数的精确位：

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字

册:考点精讲

考点1:乘方的定义及计算

典例：(1)(2022•全国•七年级)把式子(-2)x(-2)x(-2)x(-2)写成乘方的形式

【答案】(-2)4

【解析】

【分析】

根据乘方的定义运算即可.

【详解】

解：(-2)x(-2)x(-2)x(-2)=(-2)4,

故答案为：(・2)4

方法或规律点拨

本题考查了乘方的定义：一般地，几个相同的因数a相乘，记作an,这种求n个相同因数的积的运算，叫

做乘方，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次寤.

(2)(2022•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校期中)下列各组数中，数值相等的是().

A.3?与23B.-23与(-2丫C.一3?与(-3『D.3x2?与(3x2『

【答案】B

【解析】

【分析】

各选项计算出两数的结果，即可做出判断.

【详解】

A.32=9,23=8数值不相等，故A错误；

B.-23=-8,(-2尸=-8,数值相等，故B正确；

C.-32=-9,(-3尸=9,数值不相等，故C错误；

D.3?2212，(3X2『=36,数值相等，故D错误.

故选:B.

方法或规律点拨

此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键.

巩固练习

1.(2022,黑龙江•哈尔滨德强学校期中)下列计算正确的是()

A.-22=-4B.-(-2)?=4C.(-3)2=6D.(-1)3=1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据幕的运算法则计算判断即可.

【详解】

V-22=-4.

・•・符合题意；

'：-(-2)2=-4,

・••不符合题意；

・・•(--，

・•・不符合题意；

・•,(T)0l，

，不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查了曷的综合计算，熟练掌握运算的法则是解题的关键.

2.(2022•黑龙江绥化•期末)-2?的倒数等于()

11

A.-4B.4C.-D.——

44

【答案】D

【脩析】

【分析】

根据乘方法则和倒数的性质化简计算即可.

【详解】

解：・・・-22=-4，

・J的倒数为T

的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据有理数的乘方法则、绝对值的性质计算，判断即可.

【详解】

解：（-1）2=|,一2'=-16,-f+-T=--»-1一3|二-3,0既不是正数，也不是负数，-（一5）=5,（—2）、一8,

I2）8

所以正数的个数有2个

故选：B.

【点睛】

本题考查的是有理数的概念、有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则、有理数的概念是解题的关键.

6.（2022・全国•七年级）小人互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（）

A.凉与炉B.〃与护C.次〃与炉〃（〃为正整数）。.而?+/与岳〃+/[〃为正整数）

【答案】D

【解析】

【分析】

由小力互为相反数，则。=-力，再根据乘方的含义逐•进行判断即可.

【详解】

解：A、a,〃互为相反数，则层=/落故A不符合题意；

B、m人互为相反数，则〃3=一〃，故/与〃不一定互为相反数，故B不符合题意；

C、4,6互为相反数，则屏〃=〃2“，故C不符合题意；

D、m〃互为相反数，由于2〃+1是奇数，则。2〃，/与互为相反数，故D符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查的是相反数的含义，乘方的含义，理解相反数的含义及乘方运算的符号确定是解本题的关键.

7.（2022・上海•位育中学期中）-6’的底数是.

【答案】6

【解析】

【分斤】

根据暴的定义解答即可：在。"中，。叫底数，〃叫做指数；

【详解】

解：-65的底数是6,

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了（-。）"与-a"两者的区别：（-〃）"的底数是-a,表示〃个-a相乘的积；-"底数是“，表示〃个

相乘的积的相反数.

考点2：非负数的和为零

典例：（2022•河北邢台•一模）若（a-1）2+|/?-«+3|=0,则。=,b-.

【答案】1-2

【解析】

【分析】

根据偶次方和绝对值的非负数的性质列方程即可求出。、〃的值.

【详解】

解：•・•（。-1）2+1^+3|=0,而（〃-1）2>0,\b-a+3\>Q,

/.a-l=0,Z?-a+3=0,

解得a=l,b=-2,

故答案为：1,-2.

方法或规律点拨

本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为。是解答此题关键.

巩固练习

1.（2022•湖南长沙•七年级期末）已知|2x-6|+（5+），『=0,则的值为（）.

A.15B.-15C.-125D.125

【答案】C

【解析】

【分析】

根据绝对值和平方的非负性，可求/户代入求解即可.

【详解】

解：根据题意得，2x-6=0,5+y=0,

x=3,，=-5,

/=(-5)3=-125.

故选C.

【点睛】

本题考查了非负数，解题的关键是熟练掌握三种非负数：绝对值、偶次方、算术平方根.

2.(2022•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校期中)若k+q+(3-》『=。，则d=.

【答案】-27

【解析】

【分析】

由非负数的性质可得。+人=0且3.方=0,再求解〃的值，代入计算即可得到答案.

【详解】

解：Q|a+U+(3-〃『=0,

.•.。+〃=0且3-b=0,

解得：〃=-3,〃=3,

\t?=(-3)3=-27.

故答案为：-27.

【点睛】

本题考查的是非负数的性质，乘方的含义，求解1=-3,。=3是解本题的关键.

3.(2022•广西崇左•七年级期末)若|x-1|+()，+2产=。，则(x+y严2=

【答案】1

【解析】

【分析】

根据非负数的性质分别求出X、儿根据有理数的乘方法则计算，得到答案.

【详解】

.|x-l|>0,(.y+2)2>0M|x-l|+(y+2)2=0

/.x-l=0,>'+2=0,即x=l,丁=-2,

.\(x+y)2O22=(l-2)2O22=l.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了非负数的性质，掌握绝对值和偶次方的非负性是解题的关键.

4.(2022•上海市闵行区颛桥中学期中)己(切-4户+|/7+3|=0知，则〃利的值是

【答案】81

【解析】

【分析】

根据非负数的性质：若两个非负数的和是0,则这两个数•定都是0,据此求得〃?和〃，进而即可计算求解.

【详解】

解：V(/n-4)2+|/?+3|=0,

・二〃L4=0,〃+3=0,

解得：tn=4,〃=一3,

:.n'"=(-3)4=81.

【点睛】

本题考查非负数的性质：若两个书负数的和是0,则这两个数一定都是0,解题的关键是运用非负数的性质

求得m和n的值.

考点3：含有乘方的四则混合运算

典例：(1)(2022•陕西渭南•七七级期末)计算：-(-1)故，(-5)、(一»+|1-5].

【答案】：2

【解析】

【分析】

先计算乘方运算，绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案.

【详解】

解：-(-I)2022+(-5)2+1,-51

=-l+25x卜|)+卜4|

=-1-15+4

=-12.

【点睛】

本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解题的关键.

(2)(2022•江西赣州•七年级期末)计算：(-1产”x2-(-2)，+4+卜3|

【答案】-3

【解析】

【分析】

根据求绝对值、含乘方的有理数混合运算法则计算即可；

【详解】

解：原式:-2-4+3

=-3

方法或规律点拨

此题考查了有理数的混合运算，绝对值、解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则以及运算顺序.

巩固练习

1.(2022•黑龙江•哈尔滨工业大学附属中学校期中)计算：

(2)-32+一一+

6412

【答案】(D-9

(2)-22

【解析】

【分析】

(1)根据有理数的混合运算法则进行计算即可；

(2)根据有理数的混合运算法则进行计算即可.

⑴解：原式二一1一(一8)+4x[5—9]

=-1-(-8)4-4X(M)

=-1-8+4x4

=-1-8

=-9

=-9+(->12

=-9+(-13)

=-22

【点睛】

本题主要考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键.

2.(2022•内蒙古•七年级期末)计算：

(1、1

⑴<-1)、---3x--

\J

(2)0.25x(-2/-+1+(-»

⑶_12_[2X(-6)+(-4)2]+(T

【答案】⑴-3

(2)-13

⑶15

【解析】

【分析】

根据有理数的混合运算进行计算，注意运算顺序，先计算括号内的,然后按照先乘方，后乘除，再加减的

顺序进行计算即可求解.

⑴解：原式=1x(—2)—3x；

=-2-1

=-3

1,、，9、

(2)解：原式=工、(-8)-4x-+1-1

=-2-10-1

=-13

(3)解：原式=-l—(—12+16)x(-4)

=-1+16

=15

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键.

3.(2022•河南南阳•七年级期末)计算

⑴卜(+|一野(-36)+(-2),

(2)-l4-(l-0.5)xlx|l-(-5)2|+(-33)x(-2)-r-

32

【答案】⑴-7

(2)7

【解析】

【分析】

(1)利用乘法分配律，根据有理数的混合运算法则计算即可.

(2)根据有理数的混合运算法则计算即可.

753

(1)原式=——x(―36)+—x(—36)——x(—36)—32

=28-30+27-32

=-7.

1]2

⑵原式=-1—x—x24+27x2x—

239

=-1-4+12

=7.

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键.

4.(2022・全国•七年级)定义一种新运算”☆明规则为：机例如:2*3=23+2X3-3=8+6

-3=11,解答下列问题：

⑴(-2)

⑵(-1)☆[(-5)☆2].

【答案】(1)4；

⑵"7：

【解析】

【分析】

(1)根据=〃，代入数字求值即可:

(2)根据〃?☆〃=〃?〃+〃〃?・〃，先计算中括号里,再计算中括号外即可;

⑴解：•・•〃?☆〃=〃?〃+♦〃〃-〃，

:.(-2)^4

=(-2)4+(-2)x4-4

=16+(-8)+(-4)

=4；

(2)解:•，〃☆〃=mn+mn-n,

:.(-1)☆[(-5)*2]

=(-1)☆[(-5)2+(-5)x2-2]

=(-1)☆(25-10-2)

=(-1)*13

=(-1)13+(-1)xl3-13

=(-1)+(-13)+(-13)

=-27；

【点睛】

本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键.

考点4：科学计数法

典例：(1)(2022•河北沧州•七年级期末)2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射升空，三位航天员入

驻距离地球约400000米的中国空间站，开启为期半年的太空任务.将400000川科学记数法表示应为()

A.4xl06B.0.4x10'C.4xi05D.0.4xIO6

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为axlO〃的形式，其中1引a|V10”为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，〃是正数；当原数的绝

对值VI时，〃是负数.

【详解】

解：400000=4xI05，

故选:C.

方法或规律点拨

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中k|a|V10,n为整数，表

示时关键要正确确定a的值以及n的值.

（2）（2022•河北•石家庄市第四十一中学模拟预测）一个整数x用科学记数法表示为1.381x10”，则x的位

数为（）

A.27B.28C.29D.30

【答案】C

【解析】

【分析】

将科学记数法表示的数的指数加上1得到原来的数的整数位，由此解答即可.

【详解】

x的整数数位少1位为28,则x的位数为29.

故选C.

方法或规律点拨

本题考查了把科学记数法表示的数整数位勺指数的关系.

巩固练习

1.（2022•宁夏•银川市第三中学模拟预测）2021年5月"日，我国第七次人口普查结果发布.宁夏回族自

治区总人口达到720万这个数字用科学记数法表示为（）

A.7.2x106B.7.2xl05C.0.72xl07D.0.72xl06

【答案】A

【解析】

【分析】

根据科学记数法的形式亦10〃（1“<10）,确定。和〃的值即可.

【详解】

解：由题意可知：720万=7200000=7.2X106.

故选:A.

【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法，熟记科学记数法的形式：axl0n（l<O<10）,确定。和n的值即可.

2.（2022・浙江绍兴•二模）据人民日报报道，截至2022年4月5日，15省份38000多名医务人员驰援上海.其

中38000用科学记数法表示为（）

A.3.8x103B.3.8x104C.0.38xl05D.0.38xl06

【答案】B

【解析】

【分析】

根据科学记数法进行改写即可.

【详解】

38C00=3.8xl04,

故选：B.

【点睛】

本题考查了科学记数法，即把一个数表示成4X10"的形式，其中1«时<10,〃为整数，正确确定。的值是

解题的关键.

3.（2022•河南南阳•二模）华为最新款手机芯片“柳麟990"是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，

它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（）

A.0.2022xlO14B.20.22xIO12C.2.022x10"D.2.022xlO14

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1引。卜10,〃为整数.确定"的值时，要看把原数变成。时，

小数点移动了多少位，〃的值与小数点移动的位数相同，题中：1亿=10「

【详解】

解：100亿=10地，l（y°x2022=2.022x10",

故选:C.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值.

4.（2022•北京•中考真题）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83

亿千瓦时，相当于减排二氯化碳约2.2亿吨.将262883000000川科学记数法表示应为（）

A.26.2883xlO10B.2.62883x10"C.2.62883xIO12D.0.262883xIO12

【答案】B

【解析】

【分析】

将262883000000写成ax10”（1W同<10）,〃为正整数的形式即可.

【详解】

解：将262883000000保留1位婺数是2.62883,小数点向左移动了11位，

:.262883000000=2.62883xlO">

故选B.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握axl0"（lw|M<10）中〃的取值方法是解题的关键.

5.（2022・全国•七年级）一个整数81550…。用科学记数法表示为8.155x10%则原数中“0”的个数为（）

A.4B.6C.7D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

把8.1555x10］。写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得.

【详解】

解：•••8.155x101。表示的原数为81550000000,

・•・原数中“0"的个数为7,

故选：C.

【点睛】

本题考直了把科学记数法表示的数还原成原数，当〃>0时，〃是儿，小数点就向后移几位.

6.（2022•全国•七年级课时练习）全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之

路.某地枳极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.023x10*元资金.数据1.023x10"可

表示为（）

A.0.1023亿B.1.023亿C.10.23亿D.102.3亿

【答案】B

【解析】

【分析】

把1.023的小数点向右移动八位即得到科学记数法表示的原数，再改写为以亿为单位的数即可.

【详解】

1.023x108=102300000=1.023亿，

故选：B.

【点睛】

本题考查j‘把用科学记数法表示的数化为原数，解题的关键是掌握当科学记数法表示的数"10"（1引4<1。）

中的指数n为正整数时，把数。的小数点向右移动n位即得原数.

考点5：近似数与有效数字

典例：（1）（2022・全国•七年级课时练习）近似数37.5的实际值表示大于或等于—而小于_的数.从

2020年7月23日发射，到2021年2月10日，“天问一号”探测器飞行了7个月才进入环火星轨道总飞行里

程约475490000千米，数据475490000精确到百万位并用科学记数法表示为—.

【答案】37.4537.554.75xlO8

【解析】

【分析】

根据“四舍五入”法则判断近似数37.5对应的实际值即可;科学记数法的表示形式为axlOc的形式，其中1引可

<10,〃为整数，确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的

位数相同.当原数绝对值“0时，。是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【详解】

解：近似数为37.5,则对应实际值应该大于或等于37.45而小于37.55；

475490000精确到百万位为475000000,用科学记数法表示为4.75x10',

故答案为:37.45；37.55；4.75xl（）8.

方法或规律点拨

本题考杳近似数以及科学记数法的应用，理解“四舍五入”法则，并且掌握科学记数法中指数的确定是解题关

键.

（2）（2022・全国•七年级课时练习）数〃四舍五入后的近似值为1.30,则〃的取值范围是（）

A.1.295<«<1.305B.1.295<«<1.305

C.1.2951.305D.1.295<^<1.305

【答案】B

【解析】

【分析】

利用四舍五入法的原则直接判断口］可.

【详解】

根据四舍五入法的原则，保留两位小数的情况下，大于或等于1.295且小于1.305的数四舍五入后的近似值

是1.30,

故答案为：B

方法或规律点拨

四舍五入是求近似值的方法，原则是：被舍的部分首位数字小于五时就舍去，而被舍去的部分首位数字等

于五或大于五时就入，即在保留部分的末位上加1.

巩固练习

1.（2022•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校期中）数3.14159精确到百分位约为（）.

A.3.14B.3.15C.3.141D.3.142

【答案】A

【解析】

【分析】

精确到百分位看百分位后面的千分位上的数按四舍五入的方法直接得到答案，

【详解】

解：3.14159^3.14.

故选A.

【点睛】

本题考查的近似数的精确度，掌握四舍五入的方法是关键.

2.（2021•云南•景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）用四舍五入法对0.07011取近似值，其

中错误的是（）

A.0.1（精确到0.1）B.0.07（精确到千分位）

C.0.07（精确到0.01）D.0.0701（精确到0.0001）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据近似数的精确度把0.07011精确到O1得到O1,精确度千分位得0.070,精确到0.01得0.07,精确到

0.0001得0.0701,然后依次进行判断即可

【详解】

解：A、0.07011=0.1（精确到0.1）,所以A选项正确;

B、0.07011=0.070（精确到千分位），所以B选项错误；

C、0.07011=0.07（精确到0.01）,所以C选项正确；

D、0.07011=0.0701（精确到0.0001）,所以D选项正确.

故选:B.

【点睛】

本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；掌握四舍五入法则是解题关键.

3.（2022・全国•匕年级）在近似数0.0270中，共有（）有效数字.

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据有效数字的定义解答即可；

【详解】

解：近似数0.0270中，有效数字为：2,7,0,共有3个有效数字，

故选：C.

【点睛】

本题考查了有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有

效数字.

4.（2022•江苏苏州•二模）截止2021年1月10日14：26,美国新冠疫情累计确诊人数为22699938,精确

到万位，用科学记数法表示为（）

。7

A.22.699938x108322.7x101C.2.27x108D.2.270xl0

【答案】D

【解析】

【分

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为610〃，其中141al<10,n为整数.

【详解】

解：22699938=2.2699938x107=2.270x107.

故选：D.

【点睛】

本题考查了科学记数法近似数，科学记数法的表示形式为310〃的形式，其中141al<10,。为整数.确

定〃的值时，要看把原来的数，变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数，确定a与〃的值是解题的关键.

5.（2022・河北•平泉市教育局教研室七年级期末）下列对圆周率力的取值说法《肯送的是（）

A.乃=3.（）（精确到个位）B.不才3.1（精确到十分位）C.4心3.1（精魂到0.1）

D.开士3.14（精确到百分位）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据近似数的知识逐项进行判断即可.

【详解】

A.万之3.（）是精确到十分位，故A错误，符合题意；

3.1是精确到十分位，故B正确，不符合题意：

C.〃a3.1是精确到十分位，即精确到0.1,故C正确，不符合题意；

»万丈3.14是精确到百分位，故D正确，不符合题意.

故选：A.

【点睛】

本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个

有效数字等说法，是基础题，比较简单.

6.（2022・全国•七年级课时练习）近似数4.50所示的数a的取值范围是（）

A.4.495<«<4.505B.4.040Wa<4.60

C.4.495<«<4.505D.4.500<a<4.5056

【答案】A

【解析】

【分析】

根据近似数的精确度求解.

【详解】

解：近似数4.50所表示的准确值0的取值范围是4.495<o<4.505.

故选:A.

【点睛】

本寇考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为。的数

数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字.

7.（2022•上海市西南模范中学九年级阶段练习）长江的长度约为6211300米，用科学记数法并保留三个有

效数字可表示为米.

【答案】6.21X106

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为。xl0〃的形式，其中14|a|V10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10时.，〃是正整数；当原数的

绝对值VI时，〃是负整数.有效数字的计算方法是：从左边第一个不是。的数字起，后面所有的数字都是

有效数字.

【详解】

解：将6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为6.21x106米.

故答案为:6.21X106

【点睛】

本题考行科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.熟练掌握科学记数

法是解题的关键.

8.（2022•黑龙江•哈尔滨市萧红中学期中）按四舍五入法取近似数：2.704。（精确到0.01）.

【答案】2.70

【解析】

【分析】

把千分位上的数字4进行四舍五人即可.

【详解】

解：近似数2.704。2.70.

故答案为：2.70.

【点睛】

本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确到哪一位，

保留几个有效数字等说法.从一个数的左边第一个不是。的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数

的有效数字.

9.12021•全国•课时练习）对非负有理数数X"四舍五入"到个位的值记为Vx>.例如：<0>=<0.48>=0,

<C.64>=<1.493>=1,<18.75>=<19.499>=19,....解决下列问题：

（1）<n>=（TT为圆周率）；

（2）若Vx>=6,则x的取值范围是.

【答案】（1）3：（2）5.5<x<6.5

【解析】

【分析】

【详解】

【分析】（1）利用近似数的精确度和新定义求解；

（2）利用近似数的精确度按5Vx<6,但x的小数部分小于0.5；6<x<7,但x的小数部分小于0.5两种情

况分析求解.

（1）71=3.1415…

VC.1415...<0,5,

A<n>=3,

故答案为:3；

（2）若Vx>=6,

①当5VxV6,但x的小数部分小于05时,即x>5.5,

②当6VxV7,但x的小数部分小于0.5时，即XV6.5,

:、x的取值范围是5.5VXV6.5,

故答案为：5.5<x<6.5.

羔能力提升

二T单选题写题3^）

1.（2022•福建厦门•七年级期末）下列式子可以表示2的3次方的是（）

A.2+2+2B.23C.3+3D.32

【答案】B

【解析】

【分析】

根据乘方的意义可得答案.

【详解】

解：表示2的3次方的是23,

故选:B.

【点睛】

本题考查乘方的意义及表示方法，解题的关键是掌握乘方运算的定义及表示方法.

2.（2022・全国•七年级课时练习）据科学家估计，地球的年龄大冽是4.6x109年，4.6x109是一个（）

A.7位数B.8位数

C.9位数D.10位数

【答案】D

【解析】

【分析】

把科学记数转化为原数即可求得答案.

【详解】

解：4.6xlO9=4600000000,

故选D.

【点^青】

本题考查了把科学记数法转化为原数，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式.

3.（2022・天津南开•二模）今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，

三位航天员顺利返回地面，神舟十三号载人匕行任务取得圆满成功.已知神舟十三号£行过程中近地距离

200000m,远地距离356000m.将“356000”用科学记数法表示为（）

A.35.6xlO4B.3.56xlO5C.3.56xlO6D.0.356xIO6

【答案】B

【解析】

【分

运用科学记数法，把一个数表示成。与10的〃次哥相乘的形式(1引。|<10,。不为分数形式，〃为整数).

【详解】

解：356000=3.56X105,

故选：B.

【点睛】

本题考查科学记数法，把一个数表示成。与10的〃次察相乘的形式(左|〃|<10,〃不为分数形式，〃为整数).

4.(2022•河南南阳•七年级期末)对于有理数a,b,规定了一种运算:=2-南如I®2=12_]X2=-1,

则计算-5僦3。(-2)]的值是()

A.-KX)B.100C.-1D.90

【答案】B

【解析】

【分析】

原式利用题中的新定义计算即可得到结果.

【详解】

根据题中的新定义得：

原式=-5®[32-3X(-2))

=-5®15

=(-5)2-(-5)xl5

=25+75

=1CO.

故选：B.

【点睛】

此趣考杳了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

5.(2022•福建•厦门双十中学七年级期末)观察下列三组数的运算：(-2)3=-8,-23=-8;(-3)5=-27,=-27;

(-4)3=-64,-4?=-64.联系这些具体数的乘方，可以发现规律.下列用字母。表示的式子：①当时，

«3=(-«)3;②当。>。时，=(-«)3.其中表示的规律正确的是()

A.①B.@C.①、②都正确D.①、②都不正确

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三组数的运算的规律逐个判断即可得.

【详解】

解：由三组数的运算得：(―2)3=-8=-23=-[-(—2)]',

(-3)3=-27=-33=-[-(-3)]\

3

(-4)3=_64=_43=_[,(-4)],

归纳类推得:当。＜0时,式子①错误;

由三组数的运算得：-23=-8=(-2)3,

-33=-27=(-3)3,

-4-=-64=(-4)3,

归纳类推得：当时，—。3=(-/3,式子②正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键.

6.(2022•江苏扬州•二模)任取一个正整数，若是奇数,就将该数乘3加1；若是偶数,就将该数除以2.反

复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈1-4-231.这就是数学史上著名的"冰雹猜想"

(又称“角谷猜想”).如果对于正整数机，经过〃步变换，第一次到达1,就称为〃步“雹程如取m=3,

由上述运算法则得出：3-10-5-16-8-4-2-1,共需经过7个步骤变成1,得〃=7.则下列命题

错误的是()

A.当加=7时，〃=16B.若〃=5,则〃?只能是5

C.若〃=2,则m只能是4D.随着〃?的增大，〃不一定也增大

【答案】B

【解析】

【分析】

根据“冰雹:猜想”进行推理即可得到答案.

【详解】

解：A.当〃?=7时，

则7->22m1134fl7玲52->26毋3340-20-10^5-8->4五八

••n—16，

故选项正确，不符合题意；

B.若，=5,

则玲8-4-211,

・•・/»既可能是32,也可能是5,

故选项错误，符合题意；

C.若〃=2,

则加32->1,

m只能是4,

故选项正确，不符合题意；

D.当，〃=3时,77=7；当〃?=4时,n-2,

，随着，〃的增大，〃不一定也增大

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了合情推理，审清题意，理解“冰包猜想〃的概念是解题的关键.

二、填空题（每题3分）

7.（2022•福建•模拟预测）计算：（-IJ,+I-2|=.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据有理数的乘方，化简绝对值进行计算即可求解.

【详解】

解：原式=-1+2=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考杳了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键.

8.（2022•江苏镇江•七年级期末）一个整数6250...0用科学记数法表示为6.25x103则原数中“0〃的个数为

【答案】7

【解析】

【分析】

把用科学记数法表示的大数还原，即可得出结果.

【详解】

川科学记数法表示为625x1（）9的原数为6250000000,所以原数中"0"的个数为7,

故答案为：7

【点睛】

此题考查了科学记数法,把用科学记数法表示的大数还原是解答此题的关键.

9.（2020•浙江•七年级期末）把〃精确到千分位得到的近似数是6.010,则"的范围是.

【答案】6.0095^a<6.0105

【解析】

【分析】

根据近似数的精确度即可得到结果.

【详解】

解：•・♦〃精确到干分位得到的近似数是6.010,

.\6.0095<«<6,0105,

故答案为：6.0095<a<6.0105.

【点睛】

本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数.

10.（2022・北京大兴•二模）某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出

【答案】84

【解析】

【分析】

求出每种类型下的茶叶的单价，从每袋茶叶价格最低的种类开始购买6袋，分别计算即可得到答案.

【详解】

解：当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，即买

A类则一袋茶的单价是20元/袋，

B类:每袋茶的单价是36+2=18（元/袋），

。类：每袋茶的单价是42+3=14（元/袋），

。类：每袋茶的单价是65+5=13（元/袋），

E类：每袋茶的单价是90+7=三（元/袋），

当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，尽量选择每袋单价最低，

①单价最低的是E类含有7袋茶叶，则需要90元，

②买一个D类和一个A类共六袋，则费用为65+20=85（元）

③买两个C类,则费用是42x2=84（元）

V84<85<90/

购买茶叶的总费用最低为84元.

故答案为：84.

【点睛】

本趣主要考查了有理数混合运算的应用，正确列出版式是解答本题的关键.

11.（2020•浙江杭州•七年级期中）己知〃和〃都是正整数，且#=16,则。可能取的值是.

【答案】4或2或16

【解析】

【分析】

运用有理数乘方法则计算即可.

【详解】

解：・・•优=16,。和〃都是正整数,

***42=16,或2,=16,或16,=16，

••a=4,n=2口戈a=2,n=4JJJCa-16»n=l,

故答案为：4或2或16.

【点睛】

此题考查了乘方运算，解题的关键是熟记有理数乘方法则.

12.（2022・广东梅州•一模）己知某快递公司的收费标准为；首重10元/千克，续重6元/千克，即；寄一件

物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元.小明在该快递公司寄一件4千克

的物品，需要付费元.

【答案】2