高三二轮高效复习讲义数学专题突破函数与导数微点突破2导数中函数的构造问题

微点突破2导数中函数的构造问题▶对应学生用书P17【考情分析】导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.1.(2022·全国甲卷)已知a＝3132，b＝cos14，c＝4sin14，则A.c＞b＞a B.b＞a＞cC.a＞b＞c D.a＞c＞b解析：选A.因为cb＝4tan14，因为当x∈0，π2，sinx＜x所以tan14＞14，即cb＞1，所以c设f(x)＝cosx＋12x2－1，x∈(0，＋∞)f'(x)＝－sinx＋x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增，则f14＞f(0)＝0，所以cos14－3132所以b＞a，所以c＞b＞a.2.(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln0.9，则(A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.a＜c＜b解析：选C.设f(x)＝ln(1＋x)－x(x＞－1)，因为f'(x)＝11+x－1＝－当x∈(－1，0)时，f'(x)＞0，当x∈(0，＋∞)时，f'(x)＜0，所以函数f(x)＝ln(1＋x)－x在(0，＋∞)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，所以f19＜f(0)＝0，所以ln109－19＜0，故19＞ln109＝－ln0.9，所以f－110＜f(0)＝0，所以ln910＋110＜0，故910＜e－110，所以1设g(x)＝xex＋ln(1－x)(0＜x＜1)，则g'(x)＝(x＋1)ex＋1x-1令h(x)＝ex(x2－1)＋1，h'(x)＝ex(x2＋2x－1)，当0＜x＜2－1时，h'(x)＜0，函数h(x)＝ex(x2－1)＋1单调递减，当2－1＜x＜1时，h'(x)＞0，函数h(x)＝ex(x2－1)＋1单调递增，又h(0)＝0，所以当0＜x＜2－1时，h(x)＜0，所以当0＜x＜2－1时，g'(x)＞0，函数g(x)＝xex＋ln(1－x)单调递增，所以g(0.1)＞g(0)＝0，即0.1e0.1＞－ln0.9，所以a＞c.3.(2021·全国乙卷)设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝1.04－1.则(A.a＜b＜c B.b＜c＜aC.b＜a＜c D.c＜a＜b解析：选B.a＝2ln1.01＝ln1.012＝ln(1＋0.01)2＝ln(1＋2×0.01＋0.012)＞ln1.02＝b，所以b＜a；下面比较c与a，b的大小关系.记f(x)＝2ln(1＋x)－1+4x＋1，则f(0)＝0，f'(x)＝21+x－2由于1＋4x－(1＋x)2＝2x－x2＝x(2－x)，所以当0＜x＜2时，1＋4x－(1＋x)2＞0，即1+4x＞1＋x，f'(x)＞0所以f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(0.01)＞f(0)＝0，即2ln1.01＞1.04－1，即a＞令g(x)＝ln(1＋2x)－1+4x＋1，则g(0)＝0，g'(x)＝21+2x－2由于1＋4x－(1＋2x)2＝－4x2，在x＞0时，1＋4x－(1＋2x)2＜0，所以g'(x)＜0，即函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以g(0.01)＜g(0)＝0，即ln1.02＜1.04－1，即b＜综上，b＜c＜a.重点1导数型构造函数抽象函数的构造技巧已知函数构造函数f(x)＋f'(x)g(x)＝exf(x)f(x)－f'(x)g(x)＝ff(x)＋xf'(x)g(x)＝xf(x)f(x)－xf'(x)g(x)＝fnf(x)＋f'(x)g(x)＝enxf(x)nf(x)－f'(x)g(x)＝fnf(x)＋xf'(x)g(x)＝xnf(x)nf(x)－xf'(x)g(x)＝ff(x)x＋f'(xg(x)＝f(x)lnxf(x)x－f'(xg(x)＝f(lna)f(x)＋f'(x)g(x)＝axf(x)(lna)f(x)－f'(x)g(x)＝f(xf'(x)cosx－f(x)sinxg(x)＝f(x)cosxf'(x)sinx＋f(x)cosxg(x)＝f(x)sinxf(x)＋f'(x)tanxg(x)＝f(x)sinxf'(x)－f(x)tanxg(x)＝f(x)cosx角度1利用f(x)与x构造已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf'(x)－f(x)＜0，且f(－2)＝0，则不等式f(x)x＞0的解集是(A.(－2，0)∪(0，2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－2，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(0，2)解析：选D.设g(x)＝f(x)x，x≠0.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f因为g(－x)＝f(-x)-x＝－f(x)x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g因为f(－2)＝0，所以g(－2)＝g(2)＝0.当x＞0时，g'(x)＝xf'(x所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，此时不等式f(x)x＞0的解集是(0因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以当x＜0时，不等式f(x)x＞0的解集是(综上所述，不等式f(x)x＞0的解集是(－∞，－2)∪(0角度2利用f(x)与ex构造已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＜f'(x)－2，则()A.f(2025)－ef(2024)＜2(e－1)B.f(2025)－ef(2024)＞2(e－1)C.f(2025)－ef(2024)＞2(e＋1)D.f(2025)－ef(2024)＜2(e＋1)解析：选B.令g(x)＝f(x)+2ex，则g'(x)＝f'(x)-f(x)-2ex＞0，因此函数g(x)是增函数，于是得g(2025)＞g(2024)，即f(2025)+2e角度3利用f(x)与sinx，cosx构造设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f'(x)，且当x∈(0，π)时，f'(x)sinx－f(x)cosx＜0，则关于x的不等式f(x)＜2f(π6)sinx的解集为.解析：令g(x)＝f(x)sinx，x∈(－π，0)∪(则g'(x)＝f'∵当x∈(0，π)时，f'(x)sinx－f(x)cosx＜0，∴在(0，π)上，g'(x)＜0，∴函数g(x)在(0，π)上单调递减.∵y＝f(x)，y＝sinx是奇函数，∴函数g(x)是偶函数，∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增.当x∈(0，π)时，sinx＞0，则不等式f(x)＜2f(π6)sinx可化为f(x)sinx＜f(π6)sinπ∴π6＜x＜π；当x∈(－π，0)时，sinx＜0则不等式f(x)＜2f(π6)sinx可化为f(x)sin即g(x)＞g(－π6)，∴－π6＜x＜0.综上可得，不等式的解集为(－π6，0)∪(π6答案：(－π6，0)∪(π6，[规律方法](1)根据条件中关于f'(x)的不等式结构，逆用导数的运算法则构造原函数，进而利用其单调性.(2)熟悉抽象函数的构造技巧，以便于构造原函数.对点练1.(1)已知定义域为{x｜x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f'(x)，对任意正实数x满足xf'(x)＞2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是()A.(－∞，1) B.(－1，1)C.(－∞，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(0，1)解析：选D.令g(x)＝f(x)x2且x≠0，则g'(又对任意正实数x满足xf'(x)＞2f(x)，即当x＞0时，g'(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由f(x)为偶函数，则g(－x)＝f(-x)(-x)所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，则g(－1)＝g(1)＝f(1)1＝0，且f(x)＜0等价于g(x)＝f(x)x所以x∈(－1，0)∪(0，1).(2)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且3f(x)＋f'(x)＜0，f(ln2)＝1，则不等式e3xf(x)＞8的解集为()A.(－∞，2) B.(－∞，ln2)C.(ln2，＋∞) D.(2，＋∞)解析：选B.令g(x)＝e3xf(x)，函数g(x)的定义域为因为3f(x)＋f'(x)＜0，所以g'(x)＝[e3xf(x)]'＝e3x[3·f(x)＋f'(x)]＜故g(x)为减函数，又因为f(ln2)＝1，所以g(ln2)＝e3ln2·f(ln2)＝8，所以不等式e3xf(x)＞8可化为g(x)＞g(ln2)，所以x＜ln2，所以e3xf(x)＞8的解集为(－∞，ln2).重点2根据数值特征构造函数根据数值特征构造函数的类型：(1)构造相同的函数，利用其单调性解决问题；(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值确定大小.已知a＝etan0.2－1，b＝1.4－1，c＝2ln1.1，则(A.a＞b＞c B.c＞a＞bC.a＞c＞b D.c＞b＞a解析：选C.令f(x)＝tanx－x，x∈0，则f'(x)＝1cos2x－即函数f(x)在0，π2上单调递增，所以f(x)＞tan0－0即当x∈0，π2时，tanx＞x，又y＝ex是增函数，所以a＞e0.2令g(x)＝ex－1+2x，x∈0则g'x＝ex－11+2x≥即函数g(x)在0，0所以g0.2＞g0＝则e0.2＞1.4，即e0.2－1＞1.4－1，所以令hx＝2ln1+x－1+4x－1，x∈[0，0则h'x＝21+x－21+4x＝2(即函数hx在0，0所以h0.1＞h0＝0，即2ln1.1＞1.4－1，即令tx＝e2x－1－2ln(1＋x)，x∈0，则t'x＝2e2x－21+显然t'x在[0，0.1]上单调递增，且t'0＝0，所以当x∈0，0.1时，t'x≥0，即tx所以t0.1＞t0＝即e0.2－1＞2ln1.1，即a＞c.综上可知，a＞c＞b.[规律方法](1)观察实数的结构，对实数适当变形寻找实数间的联系.(2)放缩法的应用：①用基本初等函数单调性放缩；②用切线不等式：ex≥x＋1，lnx≤x－1(x＞0)，sinx＜x＜tanx(0＜x＜π2)等放缩；③用二项展开式放缩对点练2.已知a＝ln1.1，b＝e0.1－1，c＝sin0.1，则a，b，c的大小关系为()A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.b＞c＞a D.c＞b＞a解析：选C.令f(x)＝ex－1－sinx，∴f'(x)＝ex－cosx，当x＞0时，ex＞1，∴ex－cosx＞0，∴f'(x)＞0，f(x)单调递增，∴f0.1＞f0，即e0.1－1－sin0.1＞0，∴e0.1－1＞sin0.1，即b＞令g(x)＝ln(x＋1)－sinx，∴g'x＝1x+1－cosx＝1-令hx＝1－xcosx－cosx，∴h'x＝x+1sinx－cosx令φx＝x+1sinx－cosx∴φ'x＝2sinx＋x+1cosx当0＜x＜π6时，φ'x＞0，∴h'x单调递增∴h'x＜h'π6＝π6+1sinπ6－cosπ6∴hx在x∈0，0.1上单调递减，∴hx＜h∴g'x＜0，∴g(x)在x∈0，0∴g0.1＜g0＝0，即ln1.1－sin0.1＜0，∴c＞综上所述，b＞c＞a.[课下巩固检测练(九)]导数中函数的构造问题(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f'(x)－2x＞0，且f(1)＝3，则f(x)＞x2＋2的解集是()A.(－1，0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1，0)∪(0，1)D.(－∞，－1)∪(0，1)解析：选B.令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是偶函数，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g'(x)＝f'(x)－2x，因为当x≥0时，g'(x)＝f'(x)－2x＞0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)＞x2＋2即为不等式g(x)＞2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)＞g(1)，所以｜x｜＞1，解得x＞1或x＜－1，所以f(x)＞x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).2.已知可导函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意的x∈R，都有f'(x)－f(x)＜1，且f(0)＝2024，则不等式f(x)＋1＞2025ex的解集为()A.(－∞，0) B.(0，＋∞)C.(－∞，1e) D.(－∞，1解析：选A.构造函数F(x)＝f(x)+1ex，则F'(x因为f'(x)－f(x)＜1，所以F'(x)＜0恒成立，故F(x)＝f(x)+1ex在R上单调递减，f(x)＋1＞2025ex可变形为又f(0)＝2024，所以F(0)＝f(0)+1e所以F(x)＞F(0)，解得x＜0.3.已知偶函数f(x)的定义域为(－π2，π2)，其导函数为f'(x)，当0＜x＜π2时，有f'(x)cosx＋f(x)sinx＜0成立，则关于x的不等式f(x)＜2f(π3)cosx的解集为A.(－π2，－π3)∪(π3B.(－π3，πC.(－π2，－πD.(π3，π解析：选A.因为偶函数f(x)的定义域为(－π2，π2)，所以设g(x)＝则g(－x)＝f(-x)cos(-x)＝当0＜x＜π2时，根据题意g'(x)＝f'(则g(x)在(0，π2)上单调递减，且为偶函数，则g(x)在(－π2，0)所以f(x)＜2f(π3)cosx⇔f(x)cosx＜f(π3)cosπ3解得x∈(－π2，－π3)∪(π3，4.(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－1＞0，则下列结论正确的是()A.f(2)－ln2＞f(1)B.f(4)－f(2)＞ln2C.f(2)＋ln2＞f(e)＋1D.f(e2)－f(e)＞1解析：选ABD.构造函数g(x)＝f(x)－lnx，x＞0，则g'(x)＝f'(x)－1x＝xf因为xf'(x)－1＞0，所以g'(x)＞0，故g(x)是增函数，由g(2)＞g(1)得，f(2)－ln2＞f(1)－ln1，即f(2)－ln2＞f(1)，故A正确；由g(4)＞g(2)得，f(4)－ln4＞f(2)－ln2，即f(4)－f(2)＞ln4－ln2＝ln2，故B正确；由g(e)＞g(2)得，f(e)－lne＞f(2)－ln2，即f(e)＋ln2＞f(2)＋1，故C错误；由g(e2)＞g(e)得，f(e2)－lne2＞f(e)－lne，即f(e2)－2＞f(e)－1，即f(e2)－f(e)＞1，故D正确.5.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意实数x，有f(x)＞f'(x)，且f(x)＋2025为奇函数，则不等式f(x)＋2025ex＜0的解集是()A.(－∞，0) B.(－∞，ln2025)C.(0，＋∞) D.(2025，＋∞)解析：选C.设g(x)＝f(x)ex，则g'(因为f(x)＞f'(x)，所以g'(x)＜0，所以g(x)为定义在R上的减函数，因为f(x)＋2025为奇函数，所以f(0)＋2025＝0，f(0)＝－2025，g(0)＝f(0)e0＝－2025，f(x)＋2025ex＜0，即f(x)ex＜－2025，即g(x)＜6.已知函数y＝f(x)对任意的x∈(－π2，π2)满足f'(x)cosx－f(x)sinx＞0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(A.f(－π3)＞2f(－πB.f(π3)＜2f(πC.2f(0)＜f(π3D.f2(0)＞f(π4解析：选C.构造函数g(x)＝f(x)cosx，x∈(－π2，π2则g'(x)＝f'(x)cosx－f(x)sinx＞0，所以g(x)在(－π2，π2)则g(－π3)＜g(－π4)，所以f(－π3)cos(－π3)＜f(－π4)cos(－π4)，即f(－π3)＜2f(－则g(π3)＞g(π4)，所以f(π3)cosπ3＞f(π4)cosπ4，即f(π3)＞2f(则g(0)＜g(π3)，所以f(0)cos0＜f(π3)cosπ3，即2f(0)＜f(π3)，则g(0)＜g(π4)，所以f(0)cos0＜f(π4)cosπ4，即2f(0)＜f(π4)，7.已知a＝ln1.01，b＝1.01，c＝e0.01，则()A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析：选A.易知a＝ln1.01＜1，c＝e0.01＞1，构造函数f(x)＝ex－x+1求导得f'(x)＝ex－1，易知当x≥0时，f'(x)＝ex－1≥0，f(x)