2025-2026学年天津静海区北京师范大学静海实验学校度高一年级第二册第一次阶段性评估 数学试题 含答案

/北京师范大学静海实验学校2025-2026学年度高一年级第二学期第一次阶段性评估数学试题1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.3.祝各位考生考试顺利！第I卷（选择题）注意事项：1.每小题选出答案后，请填写在答题卡上，答在本试卷上无效.2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题只有一个正确答案．）1.为虚数单位，若，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算求出复数，结合复数的概念可得出结果.【详解】因为，则，故复数的虚部为.故选：B.2.在中，若，，，则等于（）A.105° B.60°或120° C.15° D.105°或15°【答案】D【解析】【分析】首先利用正弦定理得到，从而得到或，即可得到或.【详解】由题知：，所以，又因为，，所以或.所以或.故选：D3.在中，角的对边分别为，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由诱导公式结合有，由余弦定理结合有，再结合余弦定理以及平方关系即可运算求解.【详解】，所以，所以，即，解得，由余弦定理有，而，所以.故选：C.4.若是非零向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得.【详解】如图作，设，，由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形，因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立；又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等，故也不一定成立，即必要性不成立.故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.5.已知平面向量，则下列说法不正确的是（）A.与共线的单位向量的坐标为或B.在方向上的投影向量为C.若向量与向量垂直，则D.与垂直的单位向量的坐标为或【答案】D【解析】【分析】借助共线、垂直、单位向量，投影向量等知识，对选项逐一判断即可.【详解】对于A选项：与共线的单位向量为，因为所以所以与共线的单位向量的坐标为或，正确；对于B选项：在方向上的投影向量为，正确；对于C选项：由题：即，正确；对于D选项：设与垂直的单位向量为，则，解得：或，故不正确.故选：D.6.如图，已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基底表示即可求出.【详解】因为，所以，则，因为，所以，即，则.故选：C7.已知满足(其中是常数)，则的形状一定是A.正三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】C【解析】【详解】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.详解：如图所示，在边(或取延长线)上取点，使得，在边(或取延长线)上取点，使得，由题意结合平面向量的运算法则可知：，，而，据此可得：，从而：，结合平面几何知识可知：，而，故.即△ABC为等腰三角形.本题选择C选项.点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18【答案】C【解析】【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.【详解】由题意，，又共线，则，且，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C9.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解.【详解】

以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则过作的垂线，垂足为，正八边形中，边长为4，所以，所以，所以，所以，设，则，所以，因为是正八边形内的动点（含边界），所以的范围为，所以，故选：A.第II卷（非选择题）注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上.）10.已知复数满足：（为虚数单位），则_________【答案】【解析】【分析】首先化简复数，再求，进而结合复数模的公式求解即可.【详解】因为，所以，则.故答案为：.11.在中，若，则的外接圆半径为__________.【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式可得，再由余弦定理计算可得，根据正弦定理可得外接圆半径.【详解】易知，即，解得，由余弦定理可知，可得，设外接圆半径为，所以，可得.故答案为：12.已知与是两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______．【答案】3【解析】【分析】根据向量减法运算求出的表达式，根据，，三点共线，可得存在实数k，使得，由此列出关于参数的方程，即可求得答案.【详解】由题意得，,由于，，三点共线，故存在实数，使得，即，则，消去，解得，故答案为：313.已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.【详解】在中，由及正弦定理可得：.∵有两解，，即.故答案为：.14.已知正方形的边长为，，若，其中，为实数，则__________；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为_________.【答案】①.##②.【解析】【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得，再根据平面向量基本定理求，，由此可得；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得，结合图形确定的最小值，由此可求的最小值.【详解】因为，所以，因为，，所以，，所以，因为为线段的中点，所以，又，所以，又，所以，因为设是线段上的动点，又为钝角，所以，因为正方形的边长为，，所以，所以，所以当点与点重合时，取最小值，最小值为.故答案为：；.15.如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得；作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果.【详解】，，，，，，又，；作，垂足为，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，，设，，，解得：，，，，，，则当时，取得最小值，最小值为.故答案为：.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.已知向量，且与的夹角为.（1）求的值；（2）求；（3）若与平行，求实数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据条件计算，利用向量的夹角公式计算可得结果.（2）计算的坐标，根据模长公式可得结果.（3）根据向量平行的坐标公式计算可得结果.【小问1详解】（1）∵，∴.∵与的夹角为，，∴，解得或，∵，∴.【小问2详解】由（1）得，，∴，∴.【小问3详解】由题意得，a+又与平行，∴−1+λ=λ，解得17.已知，，与的夹角为．（1）求；（2）求；（3）若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）（3）且.【解析】【分析】（1）先由数量积公式求出，故；（2）利用数量积运算法则计算出的值；（3）且与不同向共线，从而得到不等式，求出且..【小问1详解】，故；【小问2详解】；【小问3详解】由题意得且与不同向共线，，解得令，即，解得，则，综上，且.18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求角A的值；（2）若，，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得，由余弦定理即可求出；（2）（ⅰ）由正弦定理可求出的值；（ⅱ）由同角三角函数的基本关系可求出，再由二倍角的正弦和余弦公式求出，最后由两角差的余弦公式求出的值．【小问1详解】由正弦定理得：，化简得：，由余弦定理得：，又，所以.【小问2详解】（ⅰ）由（1）知，，又，，由正弦定理可得：；（ⅱ）因为，所以，所以，，所以.19.已知锐角的内角所对的边分别为，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的最小值；（3）若，边上的中线长为，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据正弦定理角化边可得结果.（2）利用面积公式可得，根据余弦定理结合基本不等式可得结果.（3）根据条件可得，等式两边同时平方可求得的值.【小问1详解】∵，，且，∴，故，∵，∴，故，∵，∴.【小问2详解】∵的面积为，∴，即，故.由余弦定理得，，当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，符合题意，∴，即的最小值为.【小问3详解】∵为边上的中线，∴，∴，即，∴，即，解得或（舍），此时，为等边三角形，符合题意，∴.20.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积；（3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出A的大小；（2）结合余弦定理求出bc，从而可求面积；（3）结合正弦定理求出a，根据是锐角三角形求出B的范围，利用正弦