2026年上海高考数学最后冲刺复习题号猜押05 上海卷高考数学第21题（解答题）（原卷版）

题号猜押05上海卷高考数学第21题（解答题）

溯源

考点3年考题考情分析

函数奇偶性的定义与判断、集合新定义、由函数在区间上的单

2025年第21题

调性求参数、由对数函数的单调性解不等式

用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不

函数新定义与代

2024年第21题含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式

数论证求和的最小值

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、

2023年第21题

利用导数研究方程的根、等差中项的应用

预测

1.作为最后一题，其难度、深度和创新度均为全卷之最。分值通常为18分，由2-3个小问构成，呈现“定

义理解→初步应用→深度论证”的递进结构。

2.（1）“无迹”：题目背景是全新的，课本上绝对没有。可能涉及离散数学、初等数论、组合数学、抽

象代数、图论等大学数学的简单思想，或是对基本概念（如运算、函数、序列、集合）的极端抽象和重新

定义；（2）“有法”：解答所需的全部工具均不超纲，完全依赖于高中数学的基本概念、基本方法和基本

逻辑（如函数性质、不等式、数学归纳法、反证法、分类讨论、构造法等）。

3.通常剥离具体的几何或实际背景，呈现为纯粹的符号、定义和规则。要求考生在抽象的“符号世界”里

进行逻辑演绎。

4.重点考查数学抽象、逻辑推理、数学运算这三大核心素养，尤其是“用数学语言表达和交流”的能力。

备考核心

1.认识到此题目的目标是区分“天才”和“优秀”，目标是“得步骤分”而非“得满分”。抱着学习和探

索的心态去接触，即使不能完全解出，也要争取完成前两问（通常是理解和简单应用）并给出后续的论证

思路。

2.在老师指导下，有计划地接触一些简单的大学数学先修知识的思想，如集合与映射、初等数论（整除、

同余）、组合原理（抽屉原理、算两次）、图论基础概念。

3.在日常练习中，刻意选择需要严格证明的小题或大题。学习并模仿规范的数学证明书写，做到逻辑清晰、

语言精准、格式严谨。

考点1函数新定义问题

【典例1】（2026·上海金山·二模）设m为给定的实常数，若函数yf(x)在其定义域内存在实数x0，使得

f(x0m)f(x0)f(m)成立，则称函数f(x)为“G(m)函数”

x

(1)若函数f(x)2为“G(2)函数”，求实数x0的值.

a

(2)若函数f(x)lg为“G(1)函数”，求实数a的取值范围.

x21

(3)已知f(x)xb(bR)为“G(0)函数”，设g(x)x|x4|.若对任意的x1,x2[0,t]，当x1x2时，都有

g(x)g(x)

122成立，求实数t的最大值.

f(x1)f(x2)

【变式1】（2026·上海虹口·期末）若函数yfx和函数ygx定义域均为R，且对任意的xR，都

有fgxgfx成立，则称yfx与ygx为“友谊函数对”．

(1)已知fx2x，gx3x，判断函数yfx与ygx是否互为“友谊函数对”，并说明理由；

(2)已知yfx与ygx为“友谊函数对”，函数ygx是R上的严格减函数，求证：存在x0R，使

得fx0x0；

(3)是否存在一次函数yfx和二次函数ygx，其中fxkxmk0，gxax2bxca0，使

得yfx与ygx为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的yfx和ygx的表达式：若不存

在，请说明理由．

【变式2】对于实数x，定义符号x表示不大于x的最大整数，例如：1.31，22，1.22.

(1)根据定义作出函数yx和yxx在2,2的大致图象；

16

(2)当x0时，求表达式x的最小值及取到最小值时x的取值范围；

x

x

(3)求下列方程的解集：①xx13；②x22.

考点2导数新定义问题

【典例2】函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数yc（实数c为常数）的导函数为y0；反之，

若函数y(x)的导函数为(x)0，则(x)c（实数c为常数）.已知函数yf(x)与yg(x)定义域都是

R，导函数分别为yf(x)和yg(x).若f(x)f(x)，则称yf(x)是“自导函数”；落f(x)g(x)且

g(x)f(x)，则称yf(x)与yg(x)是“共轭互导函数”.

(1)请判断函数yeaxb(a,bR,a0)是否是“自导函数”，并说明理由；

(2)若函数yf(x)是“自导函数”，且满足f(0)1，求证：f(x)f(x)1；

(3)若函数yf(x)与yg(x)是“共轭互导函数”，满足f(0)0,g(0)1，求证：f2(x)g2(x)1.进而证明

f(x)sinx且g(x)cosx.

【变式1】（2026·上海普陀·一模）若函数yfxxD同时满足下列两个条件，则称yfx在D上具

有性质M．

①yfx在D上的导数fx存在；

②在上的导数存在，且（其中）恒成立．

yfxDfxfx0fxfx

1

(1)判断函数ylg在区间0,上是否具有性质M？并说明理由．

x

b

(2)设a、b均为实常数，若奇函数gx2x3ax2在x1处取得极值，是否存在实数c，使得ygx在

x

区间c,上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

1lnx1k

(3)设kZ且k0，对于任意的x0,，不等式成立，求k的最大值．

xx1

【变式2】（2026·上海·三模）设函数yfx定义域为Z．若整数s,t满足fsft0，则称s与t“相关”

于f．

(1)设fxx12，xZ，写出所有与2“相关”于f的整数；

(2)设yfx满足：任取不同的整数s,t1,10，s与t均“相关”于f．求证：存在整数m1,8，使得

m,m1,m2都与2024“相关”于f；

x

(3)是否存在实数a，使得函数fx1axea1x1，xZ满足：存在x0Z，能使所有与x0“相关”

于f的非零整数组成一个非空有限集？若这样的a存在，指出fx0和0的大小关系（无需证明），并求出a

的取值范围；若这样的a不存在，说明理由．

考点3抽象函数综合问题

【典例3】已知函数fx的定义域为R，且fxyfxyfxfy，f11．

(1)若fxAcosx0π，求A与；

(2)证明：函数fx是偶函数；

(3)证明函数fx是周期函数；

T

(4)若fx的周期为T，在0,上是减函数，记fx的正的零点从小到大依次为x，x，x，，证明fx

2123

在区间0,2024T上有4048个零点，且x2x1x3x2x4048x4047．

【变式1】对于定义在R上的函数fx和正实数T若对任意xR，有fxTfxT，则fx为T

阶梯函数.

(1)分别判断下列函数是否为1阶梯函数（直接写出结论）：

①fxx2；

②fxx1.

(2)若fxxsinx为T阶梯函数，求T的所有可能取值；

T

(3)已知fx为T阶梯函数，满足：fx在,T上单调递减，且对任意xR，有fTxfxT2x.

2

若函数Fxfxaxb有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x1,x2,x3,；若a1时，证明：

存在bR，使得Fx在0,2023T上有4046个零点，且x2x1x3x2x4046x4045.

考点4函数导数与三角深度融合

【典例4】对于函数yf(x),xD1,yg(x),xD2及实数m，若存在x1D1,x2D2，使得fx1gx2m，

则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质．

(1)若f(x)sinx与g(x)cos2x具有“m关联”性质，求m的取值范围；

(2)已知a0，f(x)为定义在R上的奇函数，且满足；

a

①在[0,2a]上，当且仅当x时，f(x)取得最大值1；

2

②对任意xR，有f(ax)f(ax)0．

求证：y1sinπxf(x)与y2cosπxf(x)不具有“4关联”性．

【变式1】若函数fx和gx的图象均连续不断，fx和gx均在任意的区间上不恒为0，fx的定义

域为I1，gx的定义域为I2，存在非空区间AI1I2，满足：xA，均有fxgx0，则称区间A

为fx和gx的“区间”．

(1)写出fxsinx和gxcosx在0,π上的一个“区间”（无需证明）；

(2)若fxx3，1,1是fx和gx的“区间”，证明：gx不是偶函数；

lnx

若fx1xsin2x，且在区间上单调递增，是和的区间，证明：

(3)xfx0,10,fxgx“”

ee

gx在区间0,上存在零点．

考点5函数导数与数列深度融合

【典例5】已知函数fxlnx，若数列an的各项由以下算法得到：

①任取aia（其中a0），并令正整数i1；

②求函数fx图象在ai,fai处的切线在y轴上的截距ai1；

③判断ai10是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；

④令ii1，返回第②步；

⑤结束算法，确定数列an的项依次为a1,a2,,ai1．

根据以上信息回答下列问题：

(1)求证：ai1lnai1；

(2)是否存在实数a使得an为等差数列，若存在，求出数列an的项数n；若不存在，请说明理由．参考数

1

+1

据：2．

ee3.11

【变式1】已知函数f(x)lnx，取点(a1,f(a1))，过其作曲线f(x)lnx切线交y轴于点(0,a2)，取点

(a2,f(a2))，过其作曲线f(x)lnx作切线交y轴于(0,a3)，若an0，则停止操作，以此类推，得到数列an.

(1)若正整数m≥2，证明amlnam11

(2)若正整数m≥2，试比较am与am12大小；

(3)若正整数k3，是否存在k使得a1,a2,,ak依次成等差数列?若存在，求出k的所有取值，若不存在，

试说明理由.

*

1．已知函数f(x)lnx的图象是曲线C，点An(an,f(an))(nN)是曲线C上的一系列点，

曲线C在点An(an,f(an))处的切线与y轴交于点Bn(0,bn)．若数列bn是公差为2的等差

数列，且f(a1)3.

（1）分别求出数列an与数列bn的通项公式；

△

（2）设O为坐标原点，Sn表示OAnBn的面积，求数列Sn的前项n和Tn.

2.若函数fx和gx的图象均连续不断，fx和gx均在任意的区间上不恒为0，fx的定义域为I1，

gx的定义域为I2，存在非空区间AI1I2，满足：xA，均有fxgx0，则称区间A为fx

和gx的“区间”．

(1)写出fxsinx和gxcosx在0,π上的一个“区间”（无需证明）；

(2)若fxx3，1,1是fx和gx的“区间”，证明：gx不是偶函数；

lnx

若fx1xsin2x，且在区间上单调递增，是和的区间，证明：

(3)xfx0,10,fxgx“”

ee

gx在区间0,上存在零点．

3．（2026·上海杨浦·期末）对于定义域为D的函数yfx，如果存在区m,nD，其中mn，同时满

足：

①fx在m,n内是单调函数；

②当定义域是m,n时，fx的值域也是m,n，则称函数fx是区间m,n上的“保值函数”，区间m,n称

为“保值区间”．

(1)求证：函数gxx22x不是定义域0,1上的“保值函数”；

11

(2)若函数fx2aR,a0是区间m,n上的“保值函数”，求a的取值范围；

aa2x

(3)对（2）中函数fx，若不等式a2fx2x对x1恒成立，求实数a的取值范围．

4．（2026·上海奉贤·二模）对于函数yfx，如果对于定义域D中任意给定的实数x，存在非负实数a，

使得fxfaxfa恒成立，称函数yfx具有性质Pa．

(1)判别函数mxx3，x0，2和nxx，xR是否具有性质P2，请说明理由；

-

(2)函数gx＝2x-2x，xR，若函数ygx具有性质Pa，求a满足的条件；

(3)若函数hx的定义域为一切实数，hx的值域为[2，），存在常数a0且hx具有性质Pa0，判别

xlghx是否具有性质Pa0，请说明理由．

5．记函数fx的导函数为gx，函数gx的导函数为hx，若hx00，则称点x0,fx0为函数fx

的广义反曲点.

(1)若fx2exx2，求fx的广义反曲点；

xa

(2)已知函数xaR,b0有且仅有三个广义反曲点，证明函数x的三个广义反曲点共线，并

x2b

求出直线方程.

6．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、

公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记yfx

为yfx的导函数，yfx为yfx的导函数，则曲线yfx在点x,fx处的曲率为

fx

Kx

3．

2

1fx2

(1)已知函数gxe2xe2x，求曲线ygx在点0,g0处的曲率K0；

(2)已知函数fxsinxcosx，求曲线yfx的曲率Kx的范围．

7．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要

联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若

定义在R上的函数fx满足条件①在闭区间a,b上连续，②在开区间a,b内可导，则x0a,b，

fafb

fx.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若fafb，则fx00.现已知函

ab0

数fxx2exax3aR.

2

(1)设可导函数gxx5x4fx1，证明：x01,4，gx00；

(2)若fx在1,1上的最小值为1，求a的取值范围.

8．设函数yfx的定义域DR,若对任意xD，均有fxfx成立，则称yfx为“无奇”函

数．

2x

(1)判断函数①fxx2和②gxlg是否为“无奇”函数，说明理由；

1x

(2)若函数hx3x32x2xa是定义在1,2上的“无奇”函数，求实数a的取值范围；

1

(3)若函数rxm是“无奇”函数，求实数m的取值范围．

2x11

9．（23-24高一上·上海·月考）设函数fx定义域为D，如果存在常数K满足：任取x1,x2D，都有

fx1fx2Kx1x2，则称fx是L型函数，K是这个L型函数的L常数

2

(1)判断函数fxx，x1,2是不是L型函数，并说明理由：如果是，给出一个L常数；

(2)设函数yfx是定义在区间m,n上的L型函数，a是一个常数，求证：函数yfxa也是L型函