2026年10个经典奥数题库答案

2026年10个经典奥数题库答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知正整数n满足n²＋n＋1为完全平方数，则n的取值个数为A.0B.1C.2D.无穷多答案：B2.若a,b,c为正整数且a²＋b²＋c²＝2026，则a＋b＋c的最大可能值为A.88B.89C.90D.91答案：C3.在1～2026中，与2026互质且末位为6的整数个数为A.404B.405C.406D.407答案：B4.设S＝1×2＋2×3＋…＋2025×2026，则S除以1000的余数为A.550B.650C.750D.850答案：D5.若x,y为正实数且x＋y＋xy＝2026，则x＋y的最小值为A.88B.89C.90D.91答案：A6.将2026表示为两个平方数之和的方式数为（顺序不同视为相同）A.0B.1C.2D.4答案：C7.设p为素数且p²＋256为完全平方数，则p的取值个数为A.0B.1C.2D.3答案：B8.若正整数k使2026k为某立方数，则k的最小值为A.2026B.4052C.8104D.16208答案：A9.在十进制下，2026!末尾连续零的个数为A.503B.504C.505D.506答案：B10.若复数z满足|z|＝1且z⁶＋z³＋1＝0，则z³的取值个数为A.1B.2C.3D.6答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11.若x²－2026x＋1＝0的两根为α,β，则α³＋β³＝________。答案：2026³－3×202612.将2026写成连续正整数之和的方案数为________。答案：813.若正整数n使n⁴＋4为素数，则n＝________。答案：114.设a,b为正整数且a²－b²＝2026，则a－b的最大值为________。答案：115.若x,y为正整数且1/x＋1/y＝1/2026，则(x,y)的组数为________。答案：2716.在1～2026中，恰好有3个正约数的整数个数为________。答案：1417.若p为素数且p＋10与p＋14同时为素数，则p＝________。答案：318.设S为所有小于2026的奇素数之和，则S除以100的余数为________。答案：7619.若正整数n使n²＋(n＋1)²为完全平方数，则n＝________。答案：320.将2026拆成若干个正整数之积，使这些数两两互质，则最大乘积为________。答案：2026三、判断题（每题2分，共20分，正确写“T”，错误写“F”）21.2026可表示为三个正立方数之和。答案：F22.若a,b为正整数且a²＋b²＝2026，则a,b必为一奇一偶。答案：T23.存在正整数n使n²＋n＋2026为完全平方数。答案：T24.2026²＋1的最小素因子大于50。答案：T25.若x,y为正整数且x²－y²＝2026，则x＋y与x－y同奇偶。答案：T26.2026是两个连续素数之和。答案：F27.若p为素数且p|2026，则p²－1|2026。答案：F28.在1～2026中，完全平方数个数为45。答案：F29.若n为正整数且n³≡n(mod2026)，则n<2026。答案：T30.2026可写成四个正整数的平方和且其中恰有一个偶数。答案：F四、简答题（每题5分，共20分）31.求所有正整数n使n²＋2026为完全平方数。答案：设n²＋2026＝m²，则(m－n)(m＋n)＝2026。2026＝2×1013，两因子同奇偶且m＋n>m－n，得(m－n,m＋n)＝(2,1013)，解得n＝505.5非整数，故无解。32.证明：对任意正整数k，2026k²＋k不能为完全平方数。答案：设2026k²＋k＝m²，则k(2026k＋1)＝m²。因k与2026k＋1互质，故k与2026k＋1均为平方数。令k＝a²，2026a²＋1＝b²，则b²－2026a²＝1。Pell方程最小解对应a>0，但2026非平方数，基本解巨大，模4检验可知b²≡1(mod4)而2026a²≡2a²(mod4)，若a偶则右边0，矛盾；若a奇则右边2，与左边1矛盾，故无整数解。33.求满足1≤a<b<c≤2026且a＋b＋c＝2026的整数三元组(a,b,c)的个数。答案：等价于求x＋y＋z＝2026的正整数解且1≤x<y<z。令x′＝x，y′＝y－1，z′＝z－2，则x′≤y′≤z′且x′＋y′＋z′＝2023，非负整数解数C(2025,2)再除去重序，用经典“三部分划分数”公式得N＝C(2025,2)－3C(1012,2)＋3C(0,2)＝1012×1013－3×506×1011＝341541。34.设p为素数且p≡1(mod4)，证明：存在唯一一对正整数(x,y)使x²＋y²＝p且x≤y，并求出p＝2026时是否存在这样的(x,y)。答案：由Fermat两平方和定理，p≡1(mod4)时可唯一表为两平方和且顺序不计。2026＝2×1013，1013≡1(mod4)，故2026本身非素数，不能直接用定理；但2026可表为两平方和：2026＝19²＋45²，且因2026非素数，表法不唯一，故存在但不唯一。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论：将2026表示为连续正整数之和的所有方式中，哪种长度的连续段对应的和最大？给出理由。答案：连续段长度k必须满足2026＝k(2a＋k－1)/2，即k|4052且k与(2a＋k－1)奇偶不同。4052＝4×1013，因数共6个：1,2,4,1013,2026,4052。k＝1013时，2a＋1012＝4，a为负，舍去；k＝4时，2a＋3＝1013，a＝505，段为505+506+507+508＝2026，长度4，平均506.5，为所有可行段中平均最大，故长度4对应的和最大。36.讨论：若允许负数，则方程x²－y²＝2026的整数解组数是否会无限？请给出论证。答案：x²－y²＝(x－y)(x＋y)＝2026。令u＝x－y，v＝x＋y，则uv＝2026，且u,v同奇偶。2026的因数对有限，仅(±1,±2026),(±2,±1013)等共16组，每组唯一确定(x,y)，故解组数有限，共16组，不会无限。37.讨论：在模2026下，二次剩余的数量与非二次剩余的数量是否相等？请用Legendre符号性质说明。答案：2026＝2×1013，模合数。由中国剩余定理，(a/2026)＝(a/2)(a/1013)。模2下仅0,1，模1013下有(1013－1)/2＝506个二次剩余。组合后，模2026下与2026互质的二次剩余个数等于506，非二次剩余个数也为506，故二者数量相等。38.讨论：若将2026个单位正方形拼成一个大矩形，则使周长最小的长宽分配方案是什么？请给出证明。答