2025-2026学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.实数-3的相反数是（）A.- B. C.3 D.-32.2025年，神舟二十号载人飞船执行空间任务期间，某新型科学实验装置的搭载总质量达78000多千克，将78000用科学记数法表示为（）A.78×103 B.7.8×103 C.7.8×104 D.0.78×1053.一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其俯视图是（）A.

B.

C.

D.4.俗话说“春捂秋冻“，嘉琪每天晚上都会关注第二天的天气情况，及时增减衣物，一天，在看过天气预报之后，嘉琪说：“明天的气温是今天的两倍．”请问明天嘉琪应该（）A.多穿一些 B.少穿一些 C.不用调整 D.都有可能5.如图，利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径，其数学依据是（）A.直径所对的圆周角是直角

B.90°的圆周角所对的弦是直径

C.直角三角形的两个锐角互余

D.两角互余的三角形是直角三角形6.下列运算正确的是（）A.2x6-x2=2x3 B.（x2）3=x5 C.x5÷x4=x D.x2•x3=x67.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A.米

B.米

C.米

D.米

8.随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长31.8%，求去年第一季度新能源汽车的销量.若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（）A.（1+31.8%）x=209 B.（1-31.8%）x=209

C. D.9.如图，AB是半圆O的直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上.已知点Q在上且∠APQ=115°，则点Q所在的弧是（）

A. B. C. D.10.已知抛物线y=ax2+bx+c+1经过点中的两点，且当y＞c时，x的取值范围是-1-m＜x＜m+3，则下列判断正确的是（）A.a＞0 B.2a＜-b C.-2＜m＜-1 D.c＞1二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.不等式3-2x＞1的解集为

．12.分解因式：3x2-6x+3=______．13.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解，则整式m+2n+2026的值为

.14.一个扇形的圆心角是36°，半径是6，则此扇形的面积是

.15.已知：如图，四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，则α的度数是

°.

16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A，B，C分别为直线a,b,c上的点，且直线a∥b∥c,AB与直线b交于点D，若CD=4，BC=8，cos∠BCD=，则直线a与直线b之间的距离是

.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：.18.(本小题8分)

先化简，再求值：，其中.19.(本小题8分)

如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE=BF，AC∥DF，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF．20.(本小题8分)

如图，已知∠MON=90°，A，B为射线ON上两点，且OB＜BA.

​​​​​​​

（1）求作菱形ABCD，使得点C在射线OM上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，连接AC，OD，当△OAC∽△OCB时，求tan∠ODC的值.21.(本小题8分)

福州西湖公园是市民喜爱的休闲景点，相关部门从“自然风光”“文化历史”“文通便利”三个维度统计综合得分，各维度权重为：自然风光：40%，文化历史：40%，交通便利：20%.经统计，得到了2025年三个维度的得分与人流量方差.另一方面，为提升服务质量，公园在关注客流的稳定性的同时，准备了两种投资方案计划对公园进行项目提升，并预测了项目提升后的各维度的得分与人流量方差，如表所示.维度2025年2026年（预测）方案甲投资成本（60万元）方案乙投资成本（40万元）自然风光8.89.28.8历史文化7.97.98.1交通便利9.19.09.0人流量方差0.020.050.03（1）计算2025年的综合得分；

（2）在预测中，通常会用综合效益指数对不同的方案进行比较，综合效益指数越高，说明效果越好.综合效益指数=人流方差变化量（提升分数=2026年综合得分-2025年综合得分），请根据综合效益指数判断选择哪种方案更好，并说明理由.22.(本小题10分)

如图所示是一个运算程序.

（1）求证：当x为正奇数时，则y为定值；

（2）若y≤2，求x的取值范围.23.(本小题12分)

已知二次函数y=a（x-1）（x-3）图象过点（4，m），（p,n）.

（1）若m=1，求a的值.

（2）若m＞n＞0，求p的取值范围.

（3）求证：am+an＞0.24.(本小题12分)

如图，△ABC的A，B两点在圆O上，AB=BC，AC与AB交于点F，连接OC交于点E，连接BE并延长交AC于点D，点D恰好是AC的中点，OE与交于点G.

（1）连接OB，求证：∠BOE=2∠ECD；

（2）求证：FC=AB；

（3）若GE=BE，求.25.(本小题12分)

综合与实践

刻漏是中国古代科技的重要发明，体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图.

如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置.

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为10cm,开始放水后每隔1min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：t（min）01234观察值h（cm）1098.16.75.8【建立模型】

小组讨论发现：“t=0，h=10”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系.

任务1：利用t=0，h=10；t=1时，h=9这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数表达式.

【模型优化】

经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w,w越小，偏差越小.

为了减少偏差，小组同学利用“t=0，h=10”和“t=2，h=8.1”这两组数据得到函数表达式为：h=10-0.95t；利用“t=0，h=10”和“t=3，h=6.7”这两组数据得到函数表达式为：h=10-1.1t；利用“t=0，h=10”和“t=4，h=5.8”这两组数据得到函数表达式为：h=10-1.05t.

把自变量（t）值代入各函数所对应的表达式，所得的h值如表：t（min）01234观察值h（cm）1098.16.75.8h=10-0.95t109.058.17.156.2h=10-1.1t108.97.86.75.6h=10-1.05t108.957.96.855.8对于h=10-0.95t,计算w=（10-10）2+（9.05-9）2+（8.1-8.1）2+（7.15-6.7）2+（6.2-5.8）2=0.365，同理，h=10-1.1t的w值为0.14，h=10-1.05t的w值为0.065.

任务2：（1）计算任务1得到的函数表达式的w值；

（2）写出你认为最优的函数表达式：______.

【设计刻度】

得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.

任务3：（3）小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因.t（min）01234观察值h（cm）1052.52

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】D

11.【答案】x＜1

12.【答案】3（x-1）2

13.【答案】2028

14.【答案】π

15.【答案】105

16.【答案】

17.【答案】．

18.【答案】，．

19.【答案】解：∵CE=BF，

∴CE+BE=BF+BE，

即BC=EF，

又∵AC∥DF，

∴∠C=∠F，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

20.【答案】解：（1）如图所示，菱形ABCD即为所求；

（2）∵△OAC∽△OCB，

∴∠OCB=∠OAC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD，AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACB，∠DCA=∠CAB，

∴∠BCO=∠ACB=∠ACD，

∵CD∥OA，

∴∠DCO=90°，

∴∠BCO=30°，

设BC=CD=a.则OC=a,

∴tan∠ODC===．

21.【答案】8.5

选择方案乙更好

22.【答案】∵x为正奇数，

需循环m次x-2，直到-2≤x-2m＜0时，此时输出y=2m-x，

∵x为正奇数，

∴-2≤x-2m＜0，

∴x-2m=-1，

∴y=2m-x=1；∴当x为正奇数时，则y为定值y=1

x≥-2

23.【答案】（1）解：当m=1时，点（4，m）为（4，1），

将（4，1）代入抛物线表达式得：1=a（4-1）（4-3），

解得：a=；

（2）解：由题意得：m=a（4-1）（4-3）=3a,

同理可得：n=a（p2-4p+3），

若m＞n＞0，即3a＞a（p2-4p+3）＞0，

当a＞0时，

即3＞（p2-4p+3）＞0，

解得：0＜p＜1或3＜p＜4；

当a＜0时，

则3＜（p2-4p+3）＜0，

不等式无解；

故0＜p＜1或3＜p＜4；

（3）证明：由（2）得：am+an=a（3a+ap2-4ap+3a）=a2（p-2）2+2a2＞0．

24.【答案】证明：如图，连接OB，

∵AB=BC，点D是AC的中点，

∴BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

∴∠CED=90°-∠ECD，

由对顶角相等得：∠OEB=∠CED=90°-∠ECD，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB=90°-∠ECD，

∴∠BOE=180°-∠OBE-∠OEB=2∠ECD

证明：如图，连接OB，OF，AE，

∵AB=BC，点D是AC的中点，

∴BD垂直平分AC，∠BAC=∠BCA，

∴AE=CE，

∴∠EAD=∠ECD，

由（1）已证：∠BOE=2∠ECD，

∴∠BOE=2∠EAD，

由圆周角定理得：∠BOE=2∠EAB，∠BOF=2∠BAC，

∴2∠BOE=2∠EAB+2∠EAD=2（∠EAB+∠EAD）=2∠BAC，

∴2∠BOE=∠BOF=∠BOE+∠FOE，

∴∠BOE=∠FOE，

在△BOC和△FOC中，

，

∴△BOC≌△FOC（SAS），

∴BC=FC，

又∵AB=BC，

∴FC=AB

25.