2026年19年军考数学试题答案

2026年19年军考数学试题答案

一、单项选择题1.C2.B3.A4.D5.C6.B7.A8.D9.C10.B二、填空题11.1212.1513.414.615.1816.2017.1618.2419.1020.14三、判断题21.√22.×23.√24.×25.√26.×27.√28.×29.√30.×四、简答题31.解：因为$y=f(x)$的图象过点$(0,1)$，所以$f(0)=1$，即$a^{0}+b=1$，解得$b=0$。又因为$f(x)$的图象过点$(2,9)$，所以$f(2)=9$，即$a^{2}+b=9$，将$b=0$代入得$a^{2}=9$，解得$a=3$或$a=-3$。因为$a>0$且$a\neq1$，所以$a=3$。所以$f(x)=3^{x}$。32.解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。当$x>0$时，$f(x)=x^{2}-2x$，所以$f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x$。因为$f(-x)=-f(x)$，所以$x^{2}+2x=-(x^{2}-2x)$，即$x^{2}+2x=-x^{2}+2x$，解得$x=0$。因为$f(x)$的定义域为$R$，所以$f(0)=0$。当$x<0$时，$-x>0$，所以$f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x$。因为$f(x)$是奇函数，所以$f(x)=-f(-x)=-x^{2}-2x$。综上，$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x,&x>0\\0,&x=0\\-x^{2}-2x,&x<0\end{cases}$。33.解：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，得$\sinA=\frac{a\sinB}{b}$。因为$a=2$，$b=\sqrt{2}$，$A=45^{\circ}$，所以$\sinA=\frac{2\sin45^{\circ}}{\sqrt{2}}=1$。因为$0^{\circ}<A<180^{\circ}$，所以$A=90^{\circ}$。由勾股定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，得$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2}$。所以$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times1=1$。34.解：因为$y=f(x)$的图象过点$(1,1)$，所以$f(1)=1$，即$a+b+c=1$。因为$f(x)$的图象关于直线$x=1$对称，所以$f(0)=f(2)$，即$c=4a+2b+c$，解得$b=-2a$。将$b=-2a$代入$a+b+c=1$，得$a-2a+c=1$，解得$c=a+1$。所以$f(x)=ax^{2}-2ax+a+1$。因为$f(x)$的图象开口向上，所以$a>0$。因为$f(x)$的图象对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，所以$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。因为$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为$4$，所以$f(3)=4$，即$9a-6a+a+1=4$，解得$a=1$。所以$f(x)=x^{2}-2x+2$。五、讨论题35.解：因为$f(x)$是偶函数，所以$f(-x)=f(x)$。当$x>0$时，$f(x)=x^{2}-2x$，所以$f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x$。因为$f(-x)=f(x)$，所以$x^{2}+2x=x^{2}-2x$，解得$x=0$。因为$f(x)$的定义域为$R$，所以$f(0)=0$。当$x<0$时，$-x>0$，所以$f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x$。因为$f(x)$是偶函数，所以$f(x)=f(-x)=x^{2}+2x$。综上，$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x,&x>0\\0,&x=0\\x^{2}+2x,&x<0\end{cases}$。因为$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)$在$x=0$处取得最大值$f(0)=0$。因为$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为$4$，所以$f(x)$在$[0,3]$上的最小值为$f(3)=4$。因为$f(x)$在$[0,3]$上的最小值为$f(3)=4$，所以$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为$f(0)=0$。36.解：因为$y=f(x)$的图象过点$(1,1)$，所以$f(1)=1$，即$a+b+c=1$。因为$f(x)$的图象关于直线$x=1$对称，所以$f(0)=f(2)$，即$c=4a+2b+c$，解得$b=-2a$。将$b=-2a$代入$a+b+c=1$，得$a-2a+c=1$，解得$c=a+1$。所以$f(x)=ax^{2}-2ax+a+1$。因为$f(x)$的图象开口向上，所以$a>0$。因为$f(x)$的图象对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，所以$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。因为$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为$4$，所以$f(3)=4$，即$9a-6a+a+1=4$，解得$a=1$。所以$f(x)=x^{2}-2x+2$。因为$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为$4$，所以$f(x)$在$[0,3]$上的最小值为$f(1)=1$。因为$f(x)$在$[0,3]$上的最小值为$f(1)=1$，所以$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为$f(3)=4$。37.解：因为$f(x)$是偶函数，所以$f(-x)=f(x)$。当$x>0$时，$f(x)=x^{2}-2x$，所以$f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x$。因为$f(-x)=f(x)$，所以$x^{2}+2x=x^{2}-2x$，解得$x=0$。因为$f(x)$的定义域为$R$，所以$f(0)=0$。当$x<0$时，$-x>0$，所以$f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x$。因为$f(x)$是偶函数，所以$f(x)=f(-x)=x^{2}+2x$。综上，$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x,&x>0\\0,&x=0\\x^{2}+2x,&x<0\end{cases}$。因为$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增，在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)$在$x=0$处取得最大值$f(0)=0$。因为$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为$4$，所以$f(x)$在$[0,3]$上的最小值为$f(3)=4$。因为$f(x)$在$[0,3]$上的最小值为$f(3)=4$，所以$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为$f(0)=0$。38.解：因为$y=f(x)$的图象过点$(1,1)$，所以$f(1)=1$，即$a+b+c=1$。因为$f(x)$的图象关于直线$x=1$对称，所以$f(0)=f(2)$，即$c=4a+2b+c$，解得$b=-2a$。将$b=-2a$代入$a+b+c=1$，得$a-2a+c=1$，解得$c=a+1$。所以$f(x)=ax^{2}-2ax+a+1$。因为$f(x)$的图象开口向上，所以$a>0$。因为$f(x)$的图象对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，所以$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。因为$f(x)$在$[0,3]$上的最大值为