《高等几何》教学大纲

《高等几何》课程教学大纲

一、课程的适用专业、学时及学分

本课程的适用专业为：数学与应用数学专业,51学时，3学分。

二、课程的性质、目的和任务

1、教学目的

本课程在研究方法上利用代数法和综合法，目的之一是便于学生进一步学习

高维空间上的射影几何，目的之二是加强直观性，以便开发智力，启迪思维.在

内容编排上应做到由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统

性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，本课程应特别注意对概念及解

题方法的分析.

2、教学要求

通过本课程的学习，要求学生理解并熟练掌握平面射影几何的基本概念和理

论.了解几何学的群论观点和各种几何学之间的联系和差别.学会统一处理几何

问题的方法特别要学会利用二次曲线的射影理论处理仿射几何和度量几何方面

的有关问题，以便提高学生分析问题和解决问题的能力.

三、与其它课程的联系

该课程以射影几何学理论为基础，因此学习该课程的学生应该具备相应的初

等几何、解析几何、高等代数等课程的基础知识。

四、课程的基本内容、要求、重点及难点

第一单元第1-3章

第一章仿射坐标与放射变换

［教学目的与要求］

1、掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换；

2、熟练求出仿射变换的代数表示式.

3、理解仿射性质

［重点与难点］

本章重点：仿射坐标系，仿射变换的代数表示.

本章难点：仿射性质

［教学时数］10学时

［主要内容］

第一节透视仿射对应

1、单比

2、透视仿射对应

3、放射性质

第二节仿射对应于仿射变换

1、两条直线间的仿鸵对应

2、两个平面间的仿射对应

3、仿射变换

第三节仿射坐标

1、仿射坐标

2、单比公式

3、仿射变换的代数表示

4、几种特殊的仿射变换

第四节仿射性质

1、仿射性质

2、仿射不变量

3、利用仿射性质解决问题

［参考书目］

［1］邓宗琦，《数学家辞典》，武汉：湖北教育出版社，1990年版.

［2］方德植，陈奕培，《射影几何》，北京：高等教育出版社，1983年版.

［3］梅向明编，《高等儿何学习指导》，高等教育出版社，2005年.

［课堂训练作业思考题］

课后习题，补充练习题.

1、已知变换对应点求变换代数式；

2、不变点的集合是不变直线，反之不变直线上的点是否都是不变点？

3、如何利用仿射性质求封闭图形的面积？

第二章射影平面

［教学目的与要求］

掌握射影直线和射影平面；

熟练掌握的萨格定理及其逆定理；

理解并掌握齐次坐标，对偶原理；

了解复元素的概念.

［重点与难点］

本章重点：射影直线和射影平面，对偶原理，德萨格定理.

本章难点：无穷远元素，复元素.

［教学时数］12学时

［主要内容］

第一节中心射影和射影平面

1、中心射影，无穷远元素

2、射影直线，射影平面

4、熟练利用对偶原理作图；

5、如何理解复直线上有唯一实点，过复点有唯一实直线？

第三章射影变换与射影坐标

［教学目的与要求］

要求：

1、掌握交比与调和比基本结论⑴交比的定义；（2）交比的求法；（3）交比的性

质；（4）交比的几何意义.

2、理解一维射影变换⑴一维基本型的透视对应，（2）一维基本型的射影对应.

3、熟练掌握一维射影坐标，会求坐标变换式，自对应元素，对合元素.

4、理解并掌握二维射影变换与二维射影坐标，熟练求出不变元素

［重点与难点］

本章重点：交比与调和比，一维射影坐标；

本章难点：二维射影变换与二维射影坐标

［教学时数］14学时

［主要内容］

第一节交比与调和比

1、点列中四点的交比与调和比

2、交比计算方法

3、线束中四直线的交比与调和比

4、完全四点形与完全四线形的调和性

第二节一维射影变换

1、一维基本形的透视对应，透视轴

2、一维基本形的射影对应

3、帕普斯（Pappus）定理

4、一维射影变换

第三节一维射影坐标

1、直线上的射影坐标系

2、一维射影对应（变换）的代数表示式

3、对合对应

第四节二维射影变换与二维射影坐标

1、二维射影变换

2、二维射影坐标

3、二维射影对应的代数表示式

［参考书目］

［1］邓宗琦，《数学家辞典》，武汉：湖北教育出版社，1990年版.

［2］梅向明，刘增贤，林向岩，王智秋，《高等几何习题集》，北京：高等教

育出版社，1994年版.

［3］梅向明编，《高等几何学习指导》，高等教育出版社，2005年；

［4］周兴和编，《高等几何》，科学技术出版社，2003年.

［课堂训练作业思考题］

课后习题.

1、共线四点交比与共点四线交比的求法比较；

2、正确理解完全四点形完全四线形的调和性；

3、对合对应的代数表示；

4、二维射影变换的不变元素如何球？

第二单元第4・5章

第四章变换群与几何学

［教学目的与要求］

掌握变换群的构造⑴变换群定义⑵平面上几个重要的变换群理解变换群与

几何学的关系

［重点与难点］

本章重点：平面上几个重要的变换群.

本章难点：变换群与几何学关系.

［教学时数］4学时

［主要内容］

第一节变换群

1、变换群的概念

2、平面上几个重要的变换群（相似变换群，仿射变换群，射影变换群，正交

变换群）

第二节变换群与几何学

1、克莱因的变换群观点

2、射影放射和欧氏几何学的比较

［参考书目］

［1］邓宗琦，《数学家辞典》，武汉：湖北教育出版社，1990年版.

［2］方德植，陈奕培，《射影几何》，北京：高等教育出版社，1983年版.

［课堂训练作业思考题］

课后习题，补充练习

1、几何学的产生与发展；

2、几何学与变换群的联系实际；

第五章二次曲线的射影理论

［教学目的与要求］

要求：

1、理解并掌握二次曲线的射影定义；

2、二阶曲线与二级曲线的代数定义，性质；

3、二次曲线的射影定义，会求曲线的切线，了解巴斯卡与布利安双定理的

结论；

4、巴斯卡与布利安双定理及逆定理；

5、巴斯卡与布利安双定理的特殊情况；

6、巴斯卡与布利安双定理的应用.

掌握极点与极线，配极原则（重点）熟练求出点的极线，线的极点

1、二次曲线的调和共辗点极点与极线；

2、极点与极线的性质；

3、二次曲线的极点与极线的作图.

理解二次曲线的射影分类的意义

1、奇异点；

2、二次曲线的射影分类.

［重点与难点］

本章重点：理解并掌握二次曲线的射影定义，配极原则.

本章难点：了解巴斯卡与布利安双定理.

［教学时数］"学时

［主要内容］

第一节二次曲线的射影定义

1、二阶曲线的射影定义

2、二级曲线的射影定义

3、二阶曲线与二级曲线的关系

第二节Pascal定理与Brianchon定理

1、Pascal定理

2、Brianchon定理

3、Pascal定理与Brianchon定理的特殊形式

第三节极点极线配极原则

1、极点与极线

2、配极原则

3、配极变换

第四节二阶曲线的射影分类

1、二阶曲线的奇异点

2、二阶曲线的射影分类

［参考书目］

［1］朱德祥，《高等几何》，北京：高等教育出版社，1983年版.

［2］钟集，《高等几何》，北京：高等教育出版社，1983年版.

［课堂训练作业思考题］

课后习题

1、二次曲线的变态形式理解；

2、二次曲线代数定义与二次形关系；

3、Pascal定理与Brianchon定理特殊形式；

4、极点与极线的确定；

5、如何对二次曲线进行射影分类.

三、教学方法与手段

课堂讲授为主，借助多媒体课件演示图形，辅以自学讨论和习题课.

四、教材与教学参考书

教材：梅向明编，《高等几何》，高等教育出版社，2006年.

推荐教材：周兴和编，《高等几何》，科学出版社，2003.

参考书目：

[1]梅向明编，《高等几何学习指导》，高等教育出版社，2005年；

[2]周兴和编，《高等几何》，科学技术出版社，2003年.

[3]FrankATres,Jr.,《Schaum'sOutlinesofTheorTandProblemsof

ProjectiveGeometrZXMcGraw-HillBookCompany,1968年版.

[4]邓宗琦，《数学家辞典》，武汉：湖北教育出版社，1990年版.

⑸方德植，陈奕培，《射影几何》，北京：高等教育出版社，1983年版.

[6]M.KIine,北京大学数学系数学史翻译组译，《古今数学思想》，上海：

上海科学技术出版社，1979年版.

[7]李文林，《数学珍宝一历史文献精选》，北京：科学出版社，1998年版.

[8]梅向明，刘增贤，林向岩，《高等几何》，北京：高等教育出版社，1983

年版.

[9]梅向明，刘增贤，林向岩，王智秋，《高等几何习题集》，北京：高等教

育出版社，1994.

五、课外训练及自学指导

加强所学内容的练习与复习，补充深入理解的内容，增加大难度习题及讨论,

提高问题的解决方案，增加参考文献，充分教材内容.对每一个知识点，补充相

应的课外练习题.以学习小组为单位，采用集体讨论或解决重点而有代表性的习

题.根据各自的志趣，组成相对独立的课外研究小组，各抒己见，以达到问题解

决之目的.

六、考试考核

1、严格按照我系规定的教学大纲出题，不出超纲题偏题怪题；

2、试题以考查数学的基本概念基本方法和基本原理为主，在此基础上，加

强对考生的运算能力抽象概括能力逻辑思维能力空间想象能力综合运用所学知

识解决实际问题能力的考查；

3、力求试卷难度控制在05~0.55之间，并确保试题具有较高的区分度，能

将优秀的学生区分出来.具体说，试题的平均分控制在70~80分之间，区分度

在0.3以上；

4、考试分期中考试和期末考试，考试形式分为开卷和闭卷，平时考试以开

卷为主，期末考试以闭卷为主；学业成绩构成：平时成绩占20%,期中考试成绩

占20%,期末考试占60