【高考真题】2023年北京高考数学卷

【高考真题】2023年北京高考数学卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项.

1.已知集合M={x|x+2>0},N={x|%-1V0},则MnN=()

A.{%I-2<x<1}B.{x|-2<x<1]

C.[xIx>-2]D.[%|x<1]

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,V3),则z的共规复数之=()

A.1+标B.l-y/3iC.-14-V3iD.-1-V3i

3.已知向量出族满足五+加=(2,3),a-b=(-2,1),则同2一=()

A.-2B.-1C.0D.1

4.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

11

A.f(x)=-InxB.；(%)=/C./(%)=--D./(%)=3^

5.(2%一》,的展开式中》的系数为().

A.-80B.-40C.40D.80

6.已知抛物线C：y2=8%的焦点为F,点M在C上.若M到直线无=一3的距离为5,贝lJ|MR=

()

A.7B.6C.5D.4

7.在48c中，(Q+c)(sinA-sinC)=b(sin4—sinB),则匕C=()

A.JB.9C.罢D.孚

bS36

8.若xyHO,则“x+y=0”是q+5=—2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现

造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等

腰三角形.若力B=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面

ABC。的夹角的正切值均为母，则该五面体的所有棱长之和为()

FE

A.102mB.112mC.117mD.125m

10.已知数列｛册｝满足册+i=/(%-6)3+6(几=1,2,3,…)，则()

A.当即=3时，｛即｝为递减数列，且存在常数MW0,使得%>M恒成立

B.当即=5时，｛即｝为递赠数列，且存在常数6,使得%<M恒成立

C.当的=7时，｛即｝为递减数列，且存在常数M>6,使得QN>M恒成立

D.当为=9时，｛%｝为递增数列，且存在常数M>0,使得aVM恒成立

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知函数/(%)=4"+log2%,则.

12.已知双曲线C的焦点为(一2,0)和(2,0),离心率为企,则C的方程为.

13.己知命题p：若a,0为第一象限角，且a>氏则tana>tan/?.能说明p为假命题的一组a,夕

的值为a=，P=.

14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于破码的、用来测量物体质量

的“环权己知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列｛册｝,该数列的前3项成

等差数列，后7项成等比数列，且为=1,a5=12,a9=192,则。7=;数列佃九｝所有项

的和为•

%+2,x<—a,

y/a2-x2,-a<x<a,,给日下列四个结论：

(—y/x—1»X>(I.

①/(%)在区间(a-1,4-8)上单调递减：

②当QZ1时，/(%)存在最大值；

③设M(%1，<Q),Ng，f(%2))(%2>则|MN|>1：

④设P(%3,/(x3))(x3<-a),Q(%4,/(X4))(X4>-a).若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是

(0,2

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.如图，在二棱锥。-A8C中，PA1平面48C,PA=AB=BC=1,PC=V3.

(I)求证：8C_L平面PAB；

(2)求二面角力一PC-B的大小.

17.设函数f(x)=sin(oxcos<p4-cos6>xsin<p(o>>0,\(p\<,).

(1)若/(o)=一求0的值.

乙

(2)己知/(%)在区间［一④，等］上单调递增，/(至)=1，再从条件①、条件②、条件③这三个

条件中选择一个作为己知，使函数/'(X)存在，求口，0的值.

条件①：/)=传

条件②：/(-5)=-1;

O

条件③：/(%)在区间［-9一勺上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按

第一个解答计分.

18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所

示.在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用”「表示”下跌”，即当天

价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.

时段价格变化

第1天到

-++0---++0+0--+-+00+

第20天

第21天到

0++0---++0+0+---4-0-+

第40天

用频率估计概率.

(1)试估计该农产品价格"上涨”的概率;

(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价

格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上

涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)

19.已知椭圆E：各*l(Q>b>0)的离心率为李A、C分别是E的上、下顶点，B,D分别

是E的左、右顶点，|4C|=4.

(1)求E的方程；

(2)设P为第一象限内E上的动点，直线P0与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点

N.求证：MN"CD.

20.设函数f(x)=%-/？以+>，曲线y=f(x)在点(1,/'(1))处的切线方程为y=-％+1.

(1)求a,b的值；

(2)设函数g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间:

(3)求f(%)的极值点个数.

21.已知数列{%}，{bn}的项数均为m(m>2),且％,bne[l,2,…，m},{即},{%}的前n项和

分别为Bn，并规定Ao=%=0.对于k€{0,1,2,…，m},定义人=max{iI&WiG

{0.1,2,•••,m}},其中，maxM表示数集M中最大的数.

(I)/1Q--2,0.2~1，。3=3,/?]—1,Z?2=3,Z?3=3,求?*0,r1，厂3的值；

(2)若。1之名，且W7)+1+5-1，7=2,…，m-1,,求心;

(3)证明：存在p,q,s,tE{0,1,2,•••,m)»满足p>q,s>3使得4p+瓦=%+%♦

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】1

12.【答案】妥咚=1

13.【答案】竽:I

14.【答案】48；384

15.【答案】②③

16.【答案】（1）因为P4_L平面ABC,BCu平面A8C,

所以241BC,同理P41AB,

所以4B为直角三角形，

乂因为PB=、242+AB?=0,BC=1,PC=V3»

所以PB2+BC2=PC?,则aPBC为直角三角形，故BC1PB,

又因为8clp4,PAC\PB=P,

所以6c，平面

（2）由（1）8CJ•平面PA8,又A8u平面PA8,则8CJ.A8,

以A为原点，力B为x轴，过4且与8C平行的直线为y轴，4P为z轴，建立空间直角坐标系，如图,

p

则A(0,0,0),P(0,0,1),C(l,1,0),8(1,0,0),

所以而=(0,0,1),^C=(1.1,0),5C=(0,1,0),PC=(1,1,-1)，

设平面P4C的法向量为沆=(/，%,Zi),则.亚=°,即Z1=()，

^m-AC=0(与+%=0，

令勺=1,则丫1=-1,所以沅=(1,-1,0),

设平面P8C的法向量为记=(如丫2,Z2)，则『.曳二°，即1_0，

令M=1,则z?=1,所以元=(1,0,1),

所以cos阿元)=湍犷最*,

又因为二面角4-PC-8为锐二面角，

所以二面角4-PC-B的大小为全

1/.【答案】(1)因为/(x)=sinsxosQ+costoxsine，o)>0,\(p\<

所以/'(0)=sin(3•O)cosg+cos(co-0)sin(p=s\n(p=一苧，

因为1*1V3所以8=—%

(2)因为/"(x)=sincoxcos*+cossxsing,co>0,\(p\<

所以/(%)=sinQx+0),a>>0,\(p\<所以f(%)的最大值为1,最小值为-1.

若选条件①：因为/■(x)=sin(3%+9)的最大值为1,最小值为一1,所以/'/)=或无解，故条件①

不能使函数/(X)存在；

若选条件②：因为f(x)在T，韵上单调递增，且/(第二1，八一刍=一1

所以，=竽—(-今=兀，所以T=2TT,0)=竿=1，

所以f(x)=sin(x+隼),

又因为/(一各=一1，所以sin(-£+0)=-l,

rrJT

所以一至+桃——]+2/CTT,kWZ,

所以3=-蔓+2旧1,kwZ,因为|租|<4所以*=_[.

o4。

所以3=1,0=—亲

若选条件③：因为/(乃在[-专，等上单调递增，在[一?-守上单调递减，

所以/•(%)在X=T处取得最小值一1,即f(g)=-1.

以下与条件②相同.

18.【答案】(1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个+,也就是有16天是上涨的，

根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：1§=0.4

(2)在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是

0.4,0.35,0.25,于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是以xOS?xdx0.35x

0.25=0.168

(3)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不

变的有9次，下跌的有2次，

因此估计第41天不变的概率最大.

19.【答案】(1)依题意，得则°=哮。，

a33

又4,C分别为椭圆上下顶点，14cl=4,所以2匕=4,即b=2,

所以Q2一C?=必=4,即Q2-=%则Q2=9,

所以椭圆E的方程为普+4=1.

(2)因为椭圆E的方程为m+早=1，所以4(0,2),C(0,-2),B(—3,0),D(3,0),

22

因为P为第一象限E上的动点，设P(?n,n)(0<m<3,0<n<2),则雪+}=i，

易得端=上若J=一多则直线8C的方程为y=-|x-2,

kp尸悬=高,则直线PD的方程为、=三5。-3）,

2，_3(3.-2771+6)

联立，二尹-oA4>>sx3n+2m—6即人彳/3(3九—2m+6)一121.

，解侍-12n，即M(-3后2m-6r

(y=^3(x-3)3n+27n—6

、'一3n+2m—6

而卜。4=得=噤，则直线P4的方程为y=mx+2,

令y=-2,则一2=上工工+2,解得％=二^,即N(二-2),

TYVZZ乙7/1乙

乂萼+?=1，则巾2=9一邛，8m2=72—18几2,

944

—~12n4-2

3?z+2m-6十乙(-6n+4m-12)(7i—2)

所以AMN3G7dm+g)_—4??—(9n—6m+18)(九一2)+4m(3n+2m—6)

3n+2m-6n-2

_—6n2+4mn-8m+24_-6n2+4mn—8m+24

222

9n+8m2+(］mn—12m—369n4-72-18n+f)mn—12m—36

_-6n2+4m九一8m+24_2(-3n2+2mn-4m+12)_2

-9n2+67nn-12m+363(—3n2+2?nn-4/n+12)3'

义kg==多即£WN=kg,

显然，MN与CO不重合，所以MN〃CD.

20.【答案】(1)因为/(%)=%--3e2+b,xG/?»所以/(%)=1—(3%2+助3)*+3

因为「(X)在(1,1(I))处的切线方程为y=-％+1,

所以/(I)=-1+1=0,/(1)=一1，

［市J1—I3xea+b=0Anz«fcz=-1

则［1_(3+砌小一解得打=「

所以Q=-1,Z?=1.

(2)由(1)得g(x)=/'(%)=1-(3x2-x3)e-x+1(xGR),

则g(X)=-x(x2-6x+6)e-x+l,

令/—6%+6=0>解得X=3±V5,不妨设=3—V3»x2=3+V3»则0Vx1<x2,

易知e-x+i>0恒成立，

所以令g'(x)<0,解得0<%V或x>犯；令g'(x)>0，解得x<0或%iV%<=2；

所以g(x)在(0,必),(如+8)上单调递减,在(一8,0),(与,小)上单调递增，

即9。）的单调递减区间为（0，3-百）和（3+8，+oo）,单调递增区间为（一8,0）和（3-逐，3+

乃).

(3)由(1)得/(x)=%-/eT+iQ£R),=1-(3/-％3)e-x+i,

由(2)知/'(X)在(0,与)，(x2,+8)上单调递减，在(—8,0),(勺，0)上单调递增，

当x<0时,/(-I)=1-4e2<0，/(0)=1>0，即/(-1)/(0)<0

所以/'(%)在(一8,0)上存在唯一零点，不妨设为叼，则一1<%3<0，

此时，当X<4时，/(X)<0，则f(x)单调递减；当VX<。时，/(%)>0，则f(x)单调递增；

所以/■(%)在(一8,0)上有一个极小值点；

当尤W(0,%1)时，/(乃在(0,修)上单调递减，

则f'Qi)=/(3-V3)</(I)=1-2<0，故/(0)/(无1)<0，

所以/(x)在(0,右)上存在唯一零点，不妨设为%4，则0<%4<%1，

此时.当。<》<丫4时，/(x)>0，则/'(丫)单调递增：当'4<》<与时./(X)<0.则f(Y)单调递

减；

所以/(%)在(0,与)上有一个极大值点；

当无€(%1，%2)时，/(%)在(%1，%2)上单调递增,

则f。2)=/(3+百)〉/(3)=1>0,故/(勺)/'。2)<0，

所以f'a)在O1，%2)上存在唯一零点，不妨设为％5，则为

此时，当X]<X<与时:/(%)<0，则fO)单调递减；当gV%V%2时，/(X)<0，则0上)单调递

增；

所以/(%)在(右，%2)上有一个极小值点；

当尤>%2=3+V5>3时，3x2-%3=%2(3-%)<0,

所以/Q)=1—(3x2—%3)e-x+1>0,则/(%)单调递增,

所以/(%)在(上，+8)上无极值点；

综上：/(%)在(-8,0)和Qi，无2)上各有一个极小值点，在(0,右)上有一个极大值点，共有3个极值

点.

21.【答案】(1)由题意可知：AQ=0,4i=2,A2=3,A3=6,即=0,8i=l,B2-4,83=

7,

当k=0时，则8o=4o=O，Bi>A0,i=1,2,3,故=U;

当k=l时，则即<41，/<小，为>①，i=2,3,故厂1=1;

当k=2时，则&工42，i=0,1,Bi>A2,i=2,3,故丁2=1；

当k=3时，则以工/，i=0，1，2,B3>A3,故丐=2；

综上所述：r0=0,7*1=1,7*2=1,7*3=2.

(2)由题意可知：r〃Wm,且%WN,

因为“之1,bn>1，则4之臼=1,Bn>b1=l,当且仅当九二1时，等号成立,

所以夕o=0,=1=1,

又因为24<ri+—1，贝旧+1—。>rt-r1,即丁山一之1一1一An-2之…之万一。=1,

可得G+i-rf>1,

反证：假设满足%+i-r„>1的最小止整数为1<;<m-l,

当!N/时，则G+i-ri>2；当iW—1时，则勺+i-rf=1,

则一=-rm-1)+Tm-I-3-2)+…+8-r)0+r0>2(m-7)+j=2m-j,

又因为1<y<m-1,则>2m-;>2m-(m-1)=m+1>m,

假设不成立，故%+i-=1，

即数歹U｛。｝是以首项为1,公差为1的等差数列，所以％=0+1