中考数学总复习《二次函数与等腰直角三角形的存在性问题》专项测试卷（带答案）

第页答案第=page11页，共=sectionpages22页中考数学总复习《二次函数与等腰直角三角形的存在性问题》专项测试卷（带答案）1．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形．(1)求的值；(2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，E，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标．3．如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点．(1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；(2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标．4．综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点P是x轴下方抛物线上的一个动点（且C，D，P三点不共线），分别过点A，B作垂足分别为点EF连接．(1)求点AB的坐标．(2)求证：为等腰三角形．(3)当为等腰直角三角形时直接写出点P的坐标．5．如图抛物线与x轴交于点点与y轴交于点．(1)求抛物线的表达式(2)点M是抛物线上一点点N是抛物线对称轴上一点是否存在点M使以BCMN为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点M的坐标若不存在请说明理由．(3)点P是抛物线对称轴上的一点点Q是对称轴左侧抛物线上的一点当是以为腰的等腰直角三角形时请直接写出点Q的坐标______．6．已知抛物线的对称轴是直线与x轴相交于AB两点（点B在点A右侧）与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式和AB两点的坐标(2)如图若点M是抛物线上BC两点之间的一个动点（不与BC重合）过点M作y轴的平行线交直线于点N①设点M的横坐标为m用含m的式子表示出的长并求出的最大值及此时点M的坐标②过点M作交抛物线于点D是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在求出点M的横坐标m的值若不存在说明理由．7．如图在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点和点．点是轴上方抛物线上一动点（不落在轴上）过点作轴交轴于点轴交轴于点．设点的横坐标为矩形的周长为．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时求的值．(3)求与之间的函数关系式．(4)设直线与矩形的边交于点当为等腰直角三角形时直接写出的取值范围．8．如图抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）点的坐标为与轴交于点作直线动点在轴上运动过点作轴交抛物线于点交直线于点设点的横坐标为．(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式(2)当点在线段上运动时求线段的长度（用含m的式子表示）(3)当点在线段上运动时若是以为腰的等腰直角三角形时直接写出的值(4)当以为顶点的四边形是平行四边形时直接写出的值．9．如图在等腰三角形中点在轴上点在轴上点抛物线的图象经过点．(1)求抛物线的函数表达式(2)把沿轴正方向平移当点落在抛物线上时求扫过区域的面积(3)在抛物线上是否存在异于点的点使是以为直角边的等腰直角三角形?如果存在请求出所有符合条件的点的坐标如果不存在请说明理由．10．如图在平面直角坐标系中抛物线与轴和轴分别交于点和点点是此抛物线上一点其横坐标为．(1)求抛物线的解析式．(2)若点在轴上方的抛物线上时请结合图象直接写出的取值范围．(3)过点作轴点的横坐标为点与点不重合．①当线段的长度随的增大而减小求的取值范围．②在的下方作等腰直角三角形且当时直接写出等腰直角三角形与抛物线的交点个数及的取值范围．11．如图1抛物线与x轴交于点与y轴交于点C点P为抛物线第一象限上的动点点F为y轴上的动点连结．(1)求该抛物线所对应的函数表达式(2)如图1当点F的坐标为求出此时面积的最大值：(3)如图2是否存在点F使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在求出所有点F的坐标若不存在请说明理由．12．已知：如图抛物线与坐标轴分别交于点点是线段上方抛物线上的一个动点过点作轴的垂线交线段于点再过点作轴交抛物线于点．(1)求抛物线解析式(2)当点运动到什么位置时的长最大．求出点坐标(3)是否存在点使为等腰直角三角形？若存在求点的坐标若不存在说明理由．13．在平面直角坐标系中已知抛物线（为常数）的顶点为等腰直角三角形的顶点的坐标为的坐标为直角顶点在第四象限．(1)如图若该抛物线过两点求该抛物线的函数表达式(2)平移（1）中的抛物线使顶点在直线上滑动且与直线交于另一点．①若点在直线下方且为平移前（1）中的抛物线上的点当以三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时求出所有符合条件的点的横坐标②取的中点连接试探究是否存在最大值？若存在直接写出该最大值若不存在请说明理由．参考答案1．（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线∴新抛物线的解析式为∴新抛物线的顶点为∴当时∴点B的坐标为即∵为等腰直角三角形∴∴解得：或0（舍去）∴a的值为1（2）解：存在理由如下：如图作点B关于抛物线对称轴对称的点C连接交抛物线的对称轴于点D则∵为等腰直角三角形∴∴∴为等腰直角三角形∴∴∴是等腰直角三角形由（1）得点B的坐标为对称轴为直线∴点C的坐标为故在图中的抛物线上存在点C使为等腰直角三角形点C的坐标为．2．（1）解：将点代入得：解得：抛物线解析式为（2）解：点抛物线的对称轴为直线设直线与轴交于点过点作于点当在轴上方时如图：以为顶点的三角形是等腰直角三角形且∴设则点在抛物线上解得：（舍去）或当在轴下方时如图：同理可得设则把代入得：解得（舍去）或当点与点重合时如图所示是等腰直角三角形且此时由对称性可得点也满足条件综上所述或或或3．(1)(2)(3)或【分析】（1）将点代入抛物线的解析式中求出解析式然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可（2）过点P作作轴交于点E设则．则然后依据列出的面积与x的函数关系式然后依据二次函数的性质求解即可（3）设点N的坐标为则点则进而得到解答即可得到m的值进而得到点M的坐标即可．本题属于二次函数综合题主要考查了二次函数的性质待定系数法求二次函数的表达式等腰直角三角形的判定等知识点分类讨论是解答本题的关键．【详解】（1）解：已知抛物线经过点将点A点B的坐标代入得：解得：∴设该抛物线解析式为联立方程组：解得(舍去)或即点D的坐标是（2）如图1：过点P作轴交于点E设则．∴．∴．∴当时的面积的最大值为．∴（3）如图2过点M作x轴的垂线交x轴于点N∵轴于N∴∵是等腰直角三角形∴∵点P在抛物线上∴设点N的坐标为则点∴∴∴或即或当时解得或(舍去)此时当时解得或(舍去)此时综上点M的坐标为或．4．(1)点A的坐标为点B的坐标为(2)见解析(3)【分析】（1）令建立一元二次方程求解即可解题（2）延长交于点M．利用平行线的性质和判定以及抛物线的对称性证明得到利用直角三角形性质得到进而得到即可证明为等腰三角形（3）设与抛物线的对称轴交于点N．利用等腰直角三角形性质证明进而得到点的坐标利用抛物线得到点的坐标设直线的表达式为．利用待定系数法求得直线的表达式再联立抛物线求解即可得到点P的坐标．【详解】（1）解：令则解得．点A在点B的左侧点A的坐标为点B的坐标为．（2）证明：如图延长交于点M．．由抛物线的对称性可知．在和中．．为等腰三角形．（3）解：点P的坐标为．如图设与抛物线的对称轴交于点N．抛物线的对称轴为直线．点D的坐标为．．是等腰直角三角形且．．．．．即．在和中．．对于令得．．设直线的表达式为．将代入得解得．直线的表达式为．联立方程组得．解得（舍去）点P的坐标为．【点睛】本题是二次函数综合题型考查了二次函数与一次函数的图象与性质平行线的性质和判定直角三角形性质待定系数法求函数解析式全等三角形的判定与性质等腰直角三角形性质解方程等知识点．运用数形结合的数学思想解答是关键．5．(1)(2)点的坐标为或或(3)点的坐标为或或【分析】（1）待定系数法进行求解即可（2）分为当以为平行四边形的边时和当以为平行四边形的边时以及当以为对角线时三种情况分别求解即可（3）分和两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：将点点点代入解得（2）解：存在由（1）可得出抛物线解析式为对称轴为直线设当以为平行四边形的边时如图∵点则解得故当以为平行四边形的边长时如图∵点则解得故当以为对角线时如图4∴线段的中点的坐标为即则解得故．综上所述点的坐标为或或．（3）解：存在（1）当时∴点与点重合（2）当时如图1当点在点上方时过点作轴的垂线过点作交于点过点作交于点设则∴解得或．或∵点在对称轴的左侧∴点坐标为．如图2当点在点下方时设则∴解得（舍）或综上所述：点的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题待定系数法求二次函数关系式全等三角形的性质和判定等腰直角三角形的性质和判定求直线解系式平行四边形的判定根据横坐标的差表示线段的长等解题的关键是注意多种情况讨论不能丢解．6．(1)点A的坐标为点B的坐标为(2)①点M的坐标为②存在点M的横坐标m的值为或【分析】本题为二次函数综合运用题涉及到一次函数二次函数的性质等腰直角三角形的性质其中（2）要分类求解避免遗漏．（1）由抛物线的对称轴是直线解出a的值即可求得抛物线解析式在令其y值为零解一元二次方程即可求出A和B的坐标（2）①易求点C的坐标为设直线的解及此时M点的坐标析式为将代入解出k和b的值即得直线的解析式设点M的坐标为则点N的坐标为表示出的长得出关于m的二次函数从而求得其最值及此时M点的坐标②由得中可得当时为等腰直角三角形分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧根据得出关于m的方程从而求解．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线∴解得∴抛物线的解析式为．令得解得∴点A的坐标为点B的坐标为．（2）解：①当时∴点C的坐标为．设直线的解析式为将代入得解得∴直线的解析式为．设点M的坐标为则点N的坐标为∴∴当时的最大值是4．∵点M是抛物线上BC两点之间的一个动点（不与BC重合）∴∴此时点M的坐标为．②当点M在对称轴右侧时如图：∵交抛物线于点D轴抛物线的对称轴是直线点M的横坐标为m∴∴当时为等腰直角三角形．∵∴解得或（舍去）∴当点M在对称轴左侧时如图：∵交抛物线于点D轴抛物线的对称轴是直线点M的横坐标为m∴∴当时为等腰直角三角形．∵∴解得或（舍去）∴．综上存在点M的横坐标m的值为或．7．(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）将和代入建立方程组求出b和c的值即可（2）当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时点PD关于抛物线的对称轴对称由抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴为结合点D的横坐标为0即可得出m的值（3）因为点P的横坐标为m且点P在图象上所以可以求出点P的纵坐标由矩形的性质进而求出点D和点C的坐标又因为点P的位置不确定所以要分两种情况分别讨论L和m的函数关系①当点P在第一象限时②当点P在第二象限时（4）画出函数图象分两种情形考虑即可①Q在边上②Q在边上．分别求解即可．【详解】（1）解：将和代入得：∴∴（2）解：∵点P的横坐标为m且点P在图象上∴∵矩形的面积被抛物线的对称轴平分∴PD关于对称轴对称∴∴时矩形的面积被抛物线的对称轴平分（3）解：由题意分以下两种情况：①当点P在第一象限时∴∴∴②当点P在第二象限时∴∴∴综上所述（4）解：由解得或（舍弃）∴分以下两种情况：如图当Q在边上时由图象可知当时是等腰直角三角形如图当Q在边上时此时即时是等腰直角三角形解得或∵点P在x轴上方∴满足条件的m的值为或．综上所述当或时是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了二次函数的确定方法矩形的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质一元二次方程的运用题目的（3）和（4）两问中需要分类讨论的数学思想防止遗漏问题的解．8．(1)(2).(3)m=2(4)或【分析】（1）由AC两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式根据所求抛物线解析式可求得B点坐标再利用待定系数法可求得直线的解析式（2）用m可分别表示出NM的坐标则可表示出的长再利用二次函数的最值可求得的最大值（3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有且则可求表示出M点纵坐标代入抛物线解析式可求得m的值（4）由条件可得出结合（1）可得到关于m的方程可求得m的值．【详解】（1）解：∵抛物线过AC两点∴代入抛物线解析式可得解得∴抛物线解析式为令可得解∵点B在点A右侧∴点B坐标为设直线解析式为把BC坐标代入可得解得∴直线解析式为（2）解：∵轴点P的横坐标为m∴∵P在线段上运动∴点M在点N上方（3）解：∵轴∴当是以为腰的等腰直角三角形时则有∴M点纵坐标为3∴解得或当时则MN重合不能构成三角形不符合题意舍去∴（4）解：∵∴当以COMN为顶点的四边形是平行四边形时∴∴或解方程即此时．∴方程无解解方程即∴∴综上m的值为或．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式二次函数和一次函数的图像和性质二次函数的最值等腰直角三角形的判定和性质平行四边形的性质分类讨论．在（2）中用m表示出的长是解题的关键在（3）中确定出是解题的关键在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键．9．(1)(2)9.5(3)存在【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值从而可得到抛物线的解析式（2）过点C作轴垂足为点K首先证明从而可得到于是可得到点AB的坐标然后依据勾股定理求得的长然后求得点D的坐标从而可求得三角形平移的距离最后依据扫过区域的面积为求解即可（3）当时过点P作轴垂足为G先证明从而可得到点P的坐标然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可当过点P作轴垂足为点F同理可得到点P的坐标然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可．【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上解得：∴二次函数的解析式为（2）解：过点C作轴垂足为K．为等腰直角三角形．又．又．在和中．．∴当点B平移到点D时设则解得（舍去）或．由题意可得扫过区域的面积为平行四边形和的面积和即（3）解：存在当时过点P作轴垂足为G．为等腰直角三角形．．又．在和中∴．当时∴点不在抛物线上．当过点P作轴垂足为F．同理可知：．当时∴点在抛物线上综上所有符合条件的点P的坐标为．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式平移的性质全等三角形的性质和判定作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．10．(1)(2)(3)①②时有一个交点时有两个交点时有三个交点【分析】用待定系数法可得抛物线的解析式为求出时或由图可得的取值范围是求出当即时与重合即可得当即时随的增大而减小符合题意而当即时随的增大而增大不符合题意从而可得答案由知当时重合分种情况：当时当时当时分别画出图形可得答案．【详解】（1）解：把和代入得：解得抛物线的解析式为（2）解：在中令得：解得或由图可得点在轴上方的抛物线上时的取值范围是（3）解：轴点横坐标为点的横坐标为当即时与重合当即时此时随的增大而减小符合题意当即时此时随的增大而增大不符合题意综上所述当线段的长度随的增大而减小的取值范围是由知当时重合当时在的左侧如图：此时等腰直角三角形与抛物线的交点只有个抛物线的对称轴为直线当时在的右侧如图：由图可知此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个当时如图：此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个综上所述当时等腰直角三角形与抛物线的交点有个当时等腰直角三角形与抛物线的交点有个当时等腰直角三角形与抛物线的交点有个．【点睛】本题考查二次函数的应用涉及待定系数法二次函数图象与x轴交点二次函数与二次不等式的关系等腰直角三角形等知识解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用．11．(1)(2)当的面积取得最大值且最大值为(3)或【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可（2）过点P作轴交直线于点E结合抛物线直线解析式设则则表示出利用二次函数的最值解答即可．（3）根据等腰直角三角形的定义利用三角形全等的判定和性质分类解方程解答即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点点∴解得∴抛物线解析式为（2）解：过点P作轴交直线于点E设直线的解析式为将代入直线的解析式得：解得∴直线的解析式为：．设则则∴∴当的面积取得最大值且最大值为．（3）解设①当时过点P作于点D∵∴∵∴∴∵且点P在第一象限∴∴解得（舍去）∴∵点在y轴的负半轴上∴．②当时过点P作于点M过点P作于点E∵∴四边形为矩形∴∴∵∴∴∴四边形为正方形∴∵且点P在第一象限∴∴整理得解得（舍去）∴∴∴∵点在y轴的正半轴上∴．故存在点F使是以为腰的等腰直角三角形且或．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式构造二次函数求面积最值解方程等腰三角形分类计算熟练掌握待定系数法正确构造二次函数活用分类思想是解题的关键．12．(1)(2)当时的长最大点的坐标为(3)存在点坐标为或时使为等腰直角三角形【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式（2）先求出直线的解析式再设出点的坐标然后求出点的坐标再列出的长度的表达式确定取最大值时求出点的坐标即可（3）先设出点的坐标然后表示出的长度再根据抛物线的对称性表示出的长度列出关于点的横坐标的方程求出点的横坐标即可确定点的坐标．【详解】（1）解：抛物线过点解得：抛物线解析式为（2）解：时直线解析式为点在线段上方抛物线上设当时的长最大此时点的坐标为（3）解：存在点使为等腰直角三角形设则抛物线对称轴为直线轴交抛物线于点关于对称轴对称为等腰直角三角形①当时解得：（舍去）②当时解得：（舍去）综上所述点坐标为或时使为等腰直角三角形．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用熟练掌握二次函数的各种性质并用含字母的式子表示出线段的长度是解题的关键．13．(1)(2)①或或或②存在最大值最大值为【分析】（1）利用两点距离计算公式可得则根据等腰直角三角形的定义和勾股定理可推出设则解方程组可求出点B的坐标再利用待定系数法可求出对应的函数解析式（2）①求出直线解析式为设平移后点P的坐标为则平移后的抛物线解析式为则可求出得到可求出点