振动力学-非线性振动课件 第17章 非线性受迫振动

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibration

第4篇

弱非线性振动

第16章

非线性自由振动

第17章

非线性受迫振动

第18章

自激振动

第19章

参数激励振动

第20章

二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

第5篇

强非线性振动

第21章

改进的摄动法

第22章

能量法

第23章

同伦分析方法

第24章

谐波-能量平衡法

第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

第17章非线性受迫振动

17本章讨论非线性受迫振动。首先讨论了非线性受迫振动的共振、非共振、亚谐共振、超谐共振和组合共振,然后介绍了求解非线性振动常用的摄动法——多尺度法。17.1受迫振动线性系统的强迫振动单自由度系统受简谐激励时，运动方程为：x

——振系位移;ζ——阻尼比;ω0——无阻尼固有角频率;B

——激励强度参数;Ω

——激励角频率由方程式(17.1.1),可求得阻尼固有角频率：相应于任意初始状态二阶线性齐次微分方程式(17.1.1)的一般解为式中：自由振动分量强迫振动：振动系统受到周期性外激励后,同时产生固有角频率和激励角频率振动两种振动。由于阻尼力作用,前者逐渐衰减、

消失,后者长期保持。固有伴随振动分量强迫振动非线性系统的强迫振动具有3次非线性恢复力的单自由度振动系统,其运动方程能简化为著名的杜芬方程：对弱非线性低阻尼系统，参数β

和μ

均为小量。

自由振动分量和固有伴随振动分量消失后,强迫振动分量中除去有外激励频率Ω的谐振分量外,还存在振动频率低于Ω

的和高于Ω的谐振分量。特别是当外激励频率Ω

与系统固有角频率ω0成整数比时,存在较强的亚谐共振和超谐共振项,它们的振幅与角频率为Ω

的谐振分量具有相同的数量级,线性振动系统没有这种现象。

受简谐激励的非线性振动系统,当方程参数位于参数空间的分岔点邻域内,有可能产生更加复杂的运动状态,包括出现混沌运动。除去这些特殊参数组合外,弱非线性振动系统受简谐激励时,长期存在的主要是角频率等于外激励角频率的稳态周期运动。对弱非线性系统强迫振动，考虑非自治系统设如果Pn、Ωn

、θn均为常数,则F(t)

称为定常激励或平稳激励,否则称为非平稳激励。17.2主共振应用L-P法求解时,强迫力应加在ε

阶项上,运动微分方程为令则方程式(17.2.1)变为当系统只受一个外激励且外激励力的角频率接近于系统固有角频率,即Ω

≈ω0，将发生主谐波响应。设将式(17.2.4)和式(17.2.5)代入式(17.2.3),并将函数f(x,Ωx′)展开成Taylor

级数,并比较方程两边ε

同次幂的系数,可得式(17.2.6a)的通解可表示为式中

,a、θ分别为待定的振幅和相位角。当系统没有阻尼力时，可取θ=0，把式(17.2.7)代入式(17.2.6b)得令方程式(17.2.8)右边的cos(τ

-θ)和sin(τ+θ)的系数为零。消去久期项后，方程式(17.2.8)的解可表示为式中,X1p

(τ)表示方程式(17.2.8)的特解。可以看出,当激励力的角频率Ω

接近系统的固有角频率ω0时,系统的响应以主谐波cos(τ+θ)为主。这种响应称为主谐波响应。17.3多尺度法20世纪50年代,美国学者Sturrock引入一系列越来越慢的时间尺度非线性振动过程x(t,ε)为各时间变量的函数，可写为自治系统周期振动的角频率可展开为ε

的幂级数,故其相位形如式中,m

为小参数的最高阶次,取决于计算的精度要求。式中,Dn

为偏微分算子符号,定义为现以初值问题式(16.4.1)的自治形式为例来介绍多尺度法的求解过程。将式(17.3.4)和式(17.3.5)代入式(16.4.1),比较

ε的同次幂系数得到方程式(17.3.7a)的解为将上式写作复数形式将这一解代入方程式(17.3.7b),得到为了不出现永年项，要求上式右端的傅立叶系数为零记将其代入式(17.3.10),得到该条件的三角函数形式17.4亚谐共振主共振：派生系统的固有角频率ω0

接近激励角频率Ω

时产生的共振现象亚谐波共振：ω0接近激励角频率Ω

的分数倍时出现的共振现象超谐波共振：ω0接近激励角频率Ω

的整数倍时出现的共振现象超谐波共振和亚谐波共振统称为次共振。本节利用多尺度法对亚谐波共振作更深入的讨论。

例题17.4.1讨论带阻尼达芬(Duffing)系统当3Ω≈ω0

时的三阶亚谐波响应。解:采用多尺度法只讨论一次近似解,令将式(17.4.2)代入式(17.4.1),展开后令两边ε

的同次幂系数相等,得到各阶近似方程:

零次近似方程式(17.4.3a)的解为式中,A为复数形式的自由振动振幅,而受迫振动振幅Λ为实数将零次近似解代入一次近似方程式(17.4.3b),整理后得到设Ω

与3ω0

的差别为

ε

的同阶小量,写为将式(17.4.7)代入式(17.4.6)右边的ei(Ω-2ω0)T0

,令右边eiω0T0项的系数为零以消除永年项,得到由于Ω>ω0,上式中的Λ

为负实数。将复函数A写为指数形式:

代入下式A

对t

的导数,其中,D0

A=0,D1

A

由式(17.4.8)确定。将实部与虚部分开后,得到a

和θ的一阶常微分方程组:令γ=σT1-3θ,上式化为:令导出a,γ的稳态值as,γs

应满足的条件为从上式中消去,γs

得到上式为a2

的二次代数方程,可写为式中解出因为q

总是正数,所以p>0,p2≥

q为振幅as

的实数解条件。此条件要求:引入以下量纲一的参数:以上不等式可改写为则对于给定的σ

值,振幅as

的实数条件归结为根据式(17.4.21)可在(β,Γ)参数平面上画出as

的实数解存在域,即亚谐波共振的存在域。其边界曲线为

α3>0时的边界曲线如图17.4.1所示。对于无阻尼的特殊情形,令式(17.4.13a)中μ=0,则sinγs=0,从式(17.4.13b)导出as的二次代数方程:解出根据式(17.4.17)、式(17.4.24)计算的幅频特性曲线如图17.4.2所示。为判断亚谐波振动的稳定性,引入扰动变量ξ=a-as,η=γ-γs,列出式(17.4.12)在稳态值附近的一次近似方程:对方程组式(17.4.12)作数值积分,可作出动相平面内的相轨迹。亚谐波共振的动相平面轨迹如图17.4.3所示。图中S1

为稳定焦点,S2

为鞍点,阴影区为S1的吸引盆,即可能出现亚谐波共振的区域。稳定的亚谐波共振的存在表明:机械系统也能被远大于固有角频率的激励力激起强烈的共振。17.5超谐共振例题17.5.1讨论带阻尼达芬(Duffing)系统当3Ω≈ω0

时的三阶超谐波响应。解:采用多尺度法

设

ω0

与

3Ω

的差别为ε的同阶小量，写为

将式(17.5.2a)代入式(17.4.6)右边的e3iΩT0，令右边含eiω0T0项的系数为零以消除久期项,得到将A

写为式(17.4.9)的指数形式,代入式(17.4.10)表示的A

对t

的导数,其中的D0A=0,D1A由式(17.5.3)确定。将实部与虚部分开后,得到a

和θ

的一阶常微分方程组:令γ=σT1

-

θ,式(17.5.4)化为此方程的非零常值解对应于系统的稳态周期运动。解方程式(17.5.5),求出振幅a和相位角γ,就求得一次近似解令导出a,γ的常值解as,γs

应满足的条件为令式(17.5.7)两边平方后相加消去γs,得到设as≠0,as从式(17.5.8)解出由此关系式可以看出,当ω0≈3Ω

时,即使存在阻尼,也满足关系式的非零解as

存在,即角频率ω0

的自由振动振幅as并不衰减为零,从而解释了超谐波共振现象。由式(17.5.9)确定的幅频特性曲线如图17.5.1所示,由于曲线所引起的多值性,超谐波共振也存在与主共振类似的跳跃现象。17.6组合共振例题17.6.1讨论当2Ω1+Ω2≈ω0的情况，求方程的组合谐波共振。解:采用多尺度法

令仍设解为式(17.6.2)代入式(17.6.1)并比较ε同次幂的系数,得式(17.6.4a)有通解,是式中把x0

代入式(17.6.4b)得式中省略了为数众多的不引起永年项的项。由于式(17.6.2),有为消除永年项,令可计算得解的第一