20252026学年第1章解直角三角形单元综合演练提分卷（浙教版）九年级数学下学期 含答案

/解直角三角形单元综合演练提分卷一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（）A．12 B．22 C．32．2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（）A．100sin28° B．100cos28° C．3．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生用一个锐角是30°的三角板测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18米，测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5米，则教学楼的高度是（）A．63米 B．63+32米 C．94．如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图，伞面AC的圆心为O，若AB的度数为α，伞柄BO=m，则伞面展开距离A．msinα B．2msinα 5．如图，在△ABC中，CD⊥ABA．∠ACB=90° B．sinA=BDBC6．如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF，若cosA=23A．18 B．24 C．30 D．367．已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=45A．6 B．323 C．10 8．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（）A．1，1，2 B．1，1，3 C．1，2，3 D．1，2，39．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．25m B．2m C．45m D．10310．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，连结DA并延长交FG于点H，连结CH．若A．1−k1+k B．1−k21+二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，长为4m的梯子AB靠在墙上与地面成60°角，则梯子的顶端与地面的距离BC为12．计算：(2−513．如图，在ΔABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD=∠A，若BD14．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE=10m，∠BDG=30°，∠BFG=60°，已知测角仪DA的高度为1.5m，则旗杆BC15．如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，且CD，AB是一元二次方程x216．6个全等的小正方形如图放置在△ABC中，则tanB的值是三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，已知矩形ABCD中.（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED（2）在（1）的条件下若AD=10，AB=6，求出18．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α=18°30'，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF.（sin18°30'≈0.19．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时152（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？20．如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线l于B、C两点；（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；（2）若⊙O的半径R=521．如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，交CP于点H，连结AC，CD．（1）求证：∠PBH＝2∠D．（2）若sin∠P＝23，BH＝2，求⊙O的半径及BD22．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为（1）求证：AB=（2）若AD=10，AB=6，求23．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数据：2=1.414，324．如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°．（1）求sinA的值；（2）求tanC的值．25．已知AB是⊙O的直径，C，D，E是半圆上三点，且AC=CD（1）如图（1），求证：AB=（2）如图（2），若AC=1，BE=2答案一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（）A．12 B．22 C．3【正确答案】A【分析】根据等边三角形的性质及特殊角的三角函数值即可解答．∵∠α是等边三角形的一个内角，

∴∠α=60°．

∴cosα=cos60°=12．

【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值和等边三角形的性质．2．2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习．如图，某滑雪斜坡的坡角为28°，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了100米，则该同学在竖直方向上下降的高度为（）A．100sin28° B．100cos28° C．【正确答案】A∵坡角为28°，斜边为100米，

∴竖直方向上下降的高度为100sin28°，

故A.3．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生用一个锐角是30°的三角板测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18米，测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5米，则教学楼的高度是（）A．63米 B．63+32米 C．9【正确答案】B解：如图，过D作DE⊥依题意，∠∵DC∴四边形DCBE是矩形∵BC∴∴AB故选：B．

【分析】过D作DE⊥AB，根据题意得到4．如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图，伞面AC的圆心为O，若AB的度数为α，伞柄BO=m，则伞面展开距离A．msinα B．2msinα 【正确答案】D解：连接OA，则AO=BO=m

根据题意：在Rt△AOD中，AD=OA·sin【分析】根据题意，本题利用垂径定理及锐角三角函数即可表示出弦长.5．如图，在△ABC中，CD⊥ABA．∠ACB=90° B．sinA=BDBC【正确答案】C解：∵∠ACB=90°，∴∠A∴∠A∵∠ADC∴△DAC∵sinA=BD∴∠A∵∠ADC∴△DACACAD=BD∵CD∴AD∵∠ADC∴△DAC故C

【分析】根据相似三角形的判定结合正弦函数的定义对选项逐一分析即可求解。6．如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF，若cosA=23A．18 B．24 C．30 D．36【正确答案】D解：过点F作FG⊥AB，垂足为G在四边形ABCD中，AD=BC=CD，AD∥CB，∠A=∠C，

∴∠A=∠FBG∵DE⊥AB，DF⊥BC

∴∠AED=∠CFD=90°

∴△ADE≌△CDF

∴AE=CF

∴EB=BF

∵cosA=cos∠FBG=23

设BG=2a，

∴BF=3a=BE

∴FG=BF2−BG2=5a

∵△BEF的面积为2

∴12BE·FG=2

12×5a·3a【分析】先通过证明△ADE≌△CDF，得出AE=CF，根据菱形的性质得出BE=BF，cosA=cos∠FBG=237．已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=45A．6 B．323 C．10 【正确答案】A解：如图，在Rt△ACB中，∵sinA=BCAB∴8AB=4∴AB=10，∴AC=AB故选A．【分析】先根据正弦的定义得到sinA=BCAB=48．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（）A．1，1，2 B．1，1，3 C．1，2，3 D．1，2，3【正确答案】B解：A、若三边为1，1，2，由于12+12=（2）2，则此三边构成一个等腰直角三角形，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以A选项错误；B、由1，1，3能构成，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为30°，顶角为120°，所以这个三角形是“实验三角形”，所以B选项正确；C、若三边为1，2，3，由于12+（3）2=22，则此三边构成直角三角形，最小角为30°，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以C选项错误；D、由1，2，3不能构成三角形，所以D选项错误．故选B．【分析】根据勾股定理的逆定理对A、C进行判断；利用等腰三角形的性质和锐角三角函数对B进行判断；根据三角形三边的关系对D进行判断．9．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．25m B．2m C．45m D．103【正确答案】A解：∵i=1：2，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，∴小球距离地面的高度为：10×112+故选A．【分析】根据题目中的坡度可以求得坡角的正弦值，由一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，可以求得小球距离地面的高度．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，连结DA并延长交FG于点H，连结CH．若A．1−k1+k B．1−k21+【正确答案】D解：连接AF，过点H作HP⊥AF于点P，如图：∵正方形ABDE、ACFG中，AD和AF为对角线，

∴∠DAB=∠CAF=45°=∠HFP.

∵∠DAB+∠BAC+∠CAF+∠α=180°.

∴∠BAC+∠α=90°.

∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，

∴∠BAC+∠BCA=90°.

∴∠α=∠BCA.

∵tan∠HCF=k(0<k<1)，

设CF=x，tan∠HCF=HFCF，

∴HF=kx，【分析】连接AF，过点H作HP⊥AF于点P，根据平角的定义和正方形的性质可证得∠BAC+∠α=90°.再根据直角三角形角的性质可证得∠α=∠BCA.设CF=x，利用tan∠HCF=二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，长为4m的梯子AB靠在墙上与地面成60°角，则梯子的顶端与地面的距离BC为【正确答案】2解：∵∠BAC=60°，∠BCA=90°，AB=4，

∴在Rt△ABC中，故23【分析】利用特殊角的三角函数值解直角三角形进行求解.12．计算：(2−5【正确答案】1+2解：(2−5=1+4×3=1+23故1+23【分析】根据0次幂的运算性质以及特殊角的三角函数值可得原式=1+4×3213．如图，在ΔABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD=∠A，若BD【正确答案】1解：如图，延长BD交AC于点E，∵DC平分∠ACB，BD∴∠CDE在ΔDCE和Δ∠CDE∴ΔDCE∴BD∵∠ABD∴AE∵AC=7∴CE∴CB∴cos故15.

14．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE=10m，∠BDG=30°，∠BFG=60°，已知测角仪DA的高度为1.5m，则旗杆BC【正确答案】10.2解：由题意得：CG=AD=1.5设BG=在Rt△则DG=在Rt△BDG中，解得x=5经检验，x=5∴BC=故10.2．【分析】设BG=xm，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得FG=33xm，则15．如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，且CD，AB是一元二次方程x2【正确答案】2解：如图，连接BD，解方程x2得x1=4，即CD=4，AB∵∠CDP=∠ABP∴△DPC∴CD∵AB∴∠ADB∴cos故23.

16．6个全等的小正方形如图放置在△ABC中，则tanB的值是【正确答案】1解：如图，∵有6个大小相同的小正方形，恰好如图放置在△ABC中，设小正方形的边长为a∴EH=a，FH=2∴FH∥∴∠B∴tanB故12【分析】本题考查解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题关键.设小正方形的边长为a，依题意可得EH=a，FH=2a，∠EHF=∠FHD三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，已知矩形ABCD中.（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED（2）在（1）的条件下若AD=10，AB=6，求出【正确答案】（1）解：如图（2）解：∵EC平分∠∴∠∵矩形ABCD∴AD∥∴∠∴∠∴在Rt△ABE∴在Rt△CDE∵∠∴tan解：（1）解：以点C为圆心，CD长为半径画圆，作BC的垂直平分线，以BC的垂直平分线与BC的交点为圆心，BC长为直径画圆，与圆C相交，连接点B与交点并延长交AD于点E，交点E即为所求.

【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求解；

（2）由角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC=∠BCE，于是由等角对等边可得BC=BE，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AE的值，由线段的构成ED=AD-AE可求得ED的值，在直角三角形CDE中，根据锐角三角函数tan∠CED=18．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α=18°30'，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF.（sin18°30'≈0.【正确答案】（1）解：∵i=∴AB=2∴AB=20（2）解：如图，过D点作DG与AB平行，交EF于点G，∴GD=∵tanα∴EG∴EF≈7答：EF的高度约为21.【分析】（1）根据AC的坡度可知i=tan∠CAB=BCAB=12，据此即可求解；19．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼．甲船以每小时152（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？【正确答案】（1）如图，过A作AD⊥BC于点D．

由题意知：AC=152×2=302，AG∥NS，∠WAB=45°，∠EAC=30°，∠NCB=75°

∴∠BAC=180°-∠WAB-∠EAC=180°-45°-30°=105°

∠GAC=90°-∠EAC=90°-30°=60°

∵AG∥NS

∴∠ACS=∠GAC=60°

∴∠ACB=180°-∠NCB-∠ACS=180°-75°-60°=45°

∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-105°-45°=30°

又∵AD⊥BC

∴∠ADC=∠ADB=90°

在Rt△ACD中，AD=AC·sin45°=302×2（2）在Rt△ACD中，CD=AC·cos∠ACB=302×22=30

在Rt△ABD中，BD=ADsinB=30tan30°=303【分析】（1）作AD⊥BC，先利用已知的方向角求出△ABC中的各角的度数，然后利用锐角三角函数的定义在Rt△ACD中求得AD，再利用直角三角形中30°角的性质在Rt△ABD中求得AB的长，就可求出时间；

（2）利用锐角三角函数的定义分别在Rt△ACD和Rt△ABD中求出CD、BD，则可求BC的长，根据（1）中的结果求得时间，即可求得速度．20．如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线l于B、C两点；（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；（2）若⊙O的半径R=5【正确答案】（1）证明：如图，∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF=90°.∴∠ABC+∠ACB=90°（2）解：连接OD，则OD⊥BD，过点E作EH⊥BC，垂足为点H，∴EH∥OD.∵EF∥BC，EH∥OD，OE=OD，∴四边形EODH是正方形.∴EH=HD=OD=5.∵BD=12，∴BH=7.在Rt△BEH中，tan∠BEH=BHEH又∵∠ABC+∠BEH=90°，∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEH.∴tan∠ACB=7【分析】（1）由直径所对圆周角是直角的性质和三角形内角和定理可得结论.（2）求出tan∠BEH=BHEH21．如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，交CP于点H，连结AC，CD．（1）求证：∠PBH＝2∠D．（2）若sin∠P＝23，BH＝2，求⊙O的半径及BD【正确答案】（1）证明：如图所示：连结OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，又∵BH⊥CP，∴OC∥BH，∴∠COP＝∠PBH，又∵∠COB＝2∠D，∴∠PBH＝2∠D；（2）解：如图所示：连结AD，∵在Rt△BPH中，sin∠P＝BHBP∴BP＝3，∵在Rt△COP中，sin∠P＝0c设OC＝x，则OP＝x+3，∴xx解得：x＝6，即半径为6．∴AB＝12，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BHP＝90°，∵∠ABD＝∠HBP，∴∠P＝∠DAB，即sin∠P＝sin∠DAB，∴在Rt△ABD中，BD＝AB×sin∠DAB＝23【分析】（1）如图，连接OC，由PC与圆相切，得到OC垂直于PC，再由DH与PC垂直，得到OC与BH平行，根据圆周角定理及等量代换即可得证；（2）连接AD，在直角三角形BPH与直角三角形COP中，设OC=x，利用锐角三角函数定义分别表示出sin∠P，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．22．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为（1）求证：AB=（2）若AD=10，AB=6，求【正确答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，AD//∵AD//∴∠BEA∵DF⊥∴∠DFA∴∠B∵AE=BC，∴AE=∴ΔAEB≌∴AB=（2）解：由（1）可知：AF=AB=6在RtΔAFD中，∴AF=∴EF=在RtΔDFE中，∴tan∠【分析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB.再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解.23．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数据：2=1.414，3【正确答案】（1）解：在Rt△APO中，∠APO=60°，PO=120米，∴AO=3PO=1203米，在Rt△BPO中，∠BPO=45°，BO=PO=120米，∴AB=（2）解：车速为87.65=17.52米/秒，限速约为∵17.52<18.06∴没有超过万丰路每小时65千米的限制速度．(或17.52米/秒化成：63.07千米/小时＜65千米/小时，没有超速)【分析】（1）在Rt△APO中，