中考专题2026年中考数学专项提优复习：反比例函数含答案

[中考专题]2026年中考数学专项提优复习：反比例函数[含答案]一、反比例函数的定义与表达式1.定义：一般地，如果两个变量\(x\)、\(y\)之间的关系可以表示成\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的形式，那么称\(y\)是\(x\)的反比例函数。从形式上看，自变量\(x\)的次数是\(1\)，且\(x\)在分母位置，\(y\)与\(x\)成反比例关系。例如\(y=\frac{3}{x}\)，\(y=\frac{5}{x}\)等都是反比例函数。2.表达式的其他形式：反比例函数除了\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）这种形式外，还可以写成\(y=kx^{1}\)（\(k≠0\)）或\(xy=k\)（\(k≠0\)）的形式。比如\(xy=6\)，变形后可得\(y=\frac{6}{x}\)，它也是反比例函数。二、反比例函数的图象与性质1.图象：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）的图象是双曲线。当\(k>0\)时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小。例如对于\(y=\frac{4}{x}\)，当\(x=1\)时，\(y=4\)；当\(x=2\)时，\(y=2\)，可以看出在第一象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小。当\(k<0\)时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。比如\(y=\frac{3}{x}\)，当\(x=1\)时，\(y=3\)；当\(x=2\)时，\(y=\frac{3}{2}\)，在第二象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。2.对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形。对称轴有两条，分别是直线\(y=x\)和直线\(y=x\)。例如\(y=\frac{2}{x}\)，图象上的点\((1,2)\)关于直线\(y=x\)的对称点\((2,1)\)也在函数图象上。对称中心是坐标原点\((0,0)\)，即绕原点旋转\(180^{\circ}\)后图象与原图象重合。三、反比例函数中\(k\)的几何意义过反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）图象上任意一点\(P\)作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线\(PM\)、\(PN\)，垂足分别为\(M\)、\(N\)，则所得矩形\(PMON\)的面积\(S=PM\timesPN=\verty\vert\times\vertx\vert=\vertxy\vert\)。因为\(y=\frac{k}{x}\)，所以\(xy=k\)，那么\(S=\vertk\vert\)。例如，已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)图象上一点\(A\)，过\(A\)作\(x\)轴垂线，垂足为\(B\)，若\(\triangleAOB\)的面积为\(3\)，由于\(\triangleAOB\)的面积\(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\vertk\vert\)，则\(\frac{1}{2}\vertk\vert=3\)，解得\(\vertk\vert=6\)，所以\(k=\pm6\)。四、反比例函数与一次函数的综合1.交点问题：联立反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）与一次函数\(y=ax+b\)（\(a≠0\)）的解析式，得到方程组\(\begin{cases}y=\frac{k}{x}\\y=ax+b\end{cases}\)，消去\(y\)可得\(\frac{k}{x}=ax+b\)，整理成一元二次方程\(ax^{2}+bxk=0\)。当\(\Delta=b^{2}+4ak>0\)时，两个函数图象有两个交点；当\(\Delta=b^{2}+4ak=0\)时，两个函数图象有一个交点；当\(\Delta=b^{2}+4ak<0\)时，两个函数图象没有交点。例如，反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)与一次函数\(y=x+1\)，联立\(\begin{cases}y=\frac{6}{x}\\y=x+1\end{cases}\)，可得\(\frac{6}{x}=x+1\)，即\(x^{2}+x6=0\)，其中\(a=1\)，\(b=1\)，\(k=6\)，\(\Delta=1^{2}+4\times1\times6=25>0\)，解方程\(x^{2}+x6=0\)，\((x+3)(x2)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=2\)，当\(x=3\)时，\(y=2\)；当\(x=2\)时，\(y=3\)，所以交点坐标为\((3,2)\)和\((2,3)\)。2.利用图象比较函数值大小：通过画出反比例函数与一次函数的图象，根据图象的位置关系来比较函数值的大小。例如，已知反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)和一次函数\(y=x+5\)，联立\(\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y=x+5\end{cases}\)，解得交点坐标为\((1,4)\)和\((4,1)\)。观察图象可知，当\(0<x<1\)或\(x>4\)时，一次函数\(y=x+5\)的图象在反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)图象下方，此时\(x+5<\frac{4}{x}\)；当\(1<x<4\)时，一次函数\(y=x+5\)的图象在反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)图象上方，此时\(x+5>\frac{4}{x}\)。五、反比例函数的实际应用1.行程问题：在行程问题中，当路程\(s\)一定时，速度\(v\)与时间\(t\)成反比例关系，即\(v=\frac{s}{t}\)（\(s\)为常数，\(s>0\)）。例如，从甲地到乙地的路程为\(120\)千米，那么速度\(v\)（千米/小时）与时间\(t\)（小时）之间的函数关系式为\(v=\frac{120}{t}\)，当\(t=2\)小时时，\(v=\frac{120}{2}=60\)千米/小时。2.工程问题：当工作总量\(W\)一定时，工作效率\(p\)与工作时间\(t\)成反比例关系，即\(p=\frac{W}{t}\)（\(W\)为常数，\(W>0\)）。比如，一项工程的工作总量为\(100\)个单位，那么工作效率\(p\)与工作时间\(t\)的函数关系式为\(p=\frac{100}{t}\)，若工作时间\(t=10\)小时，则工作效率\(p=\frac{100}{10}=10\)个单位/小时。六、练习题演练与答案1.已知反比例函数\(y=\frac{m1}{x}\)的图象在第二、四象限，则\(m\)的取值范围是（）A.\(m≥1\)B.\(m>1\)C.\(m≤1\)D.\(m<1\)答案：D。因为反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）图象在第二、四象限时\(k<0\)，所以\(m1<0\)，解得\(m<1\)。2.如图，点\(A\)在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）的图象上，过点\(A\)作\(AB⊥x\)轴于点\(B\)，\(\triangleOAB\)的面积为\(3\)，则\(k\)的值为（）A.\(6\)B.\(6\)C.\(3\)D.\(3\)答案：B。由反比例函数\(k\)的几何意义可知，\(\triangleOAB\)的面积\(S_{\triangleOAB}=\frac{1}{2}\vertk\vert\)，已知\(S_{\triangleOAB}=3\)，则\(\frac{1}{2}\vertk\vert=3\)，\(\vertk\vert=6\)。又因为函数图象在第二象限，所以\(k<0\)，故\(k=6\)。3.已知一次函数\(y=x+b\)与反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)的图象有一个交点的纵坐标是\(2\)，求\(