河南许昌第二高级中学等四校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南许昌第二高级中学等四校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.若C206n−10=C20A.20 B.21 C.27 D.422.已知在等差数列an中，a2+a9+aA.85 B.68 C.51 D.343.已知随机变量ξ的分布列如表所示，且满足Eξ=1，则Dξ−203Pa1bA.83 B.103 C.4 D.4.双曲线x28−y2=1和抛物线y2=2pxp>0的公共焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，BA.12 B.14 C.16 D.185.现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有(

)A.35种 B.70种 C.126种 D.210种6.函数fx=lnx+ax2A.a<−2 B.a<−116 C.a>−17.已知数列an满足a1=1，且an+1=A.223 B.233 C.243 D.2538.如图，已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2:x2aA.22 B.4 C.8 二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.在空间直角坐标系中，已知点A1,1,0，B1,0,2，C0,1,3，D2x−1,1,−xA.若AD⊥BC，则x=23

B.u=0,2,−4是直线AB的一个方向向量

C.cosAB,AC=210.寒假期间，甲同学早上去博物馆有三种出行方式：步行、坐轻轨、坐出租车，概率分别为14，12，14.当他步行、坐轻轨和坐出租车时，到达博物馆能立即找到讲解器的概率分别为34，45A.甲同学今天早上步行出行与坐轻轨出行是互斥事件

B.甲同学今天早上坐轻轨出行与坐出租车出行相互独立

C.甲同学到达博物馆能立即找到讲解器的概率大于45

D.若甲同学今天早上到达博物馆立即找到了讲解器，则他是步行出行的概率为11.已知直线y=−x+2与函数y=ex和y=lnx的图象分别交于点A(x1A.x1+x2=12 B.三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.若a=3,−2,4，b=−2,1,−3，则a−13.已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=2，3Sn=2an+1−3，则S214.为迎接国庆佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的4个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球，若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；若摸到两红球，可获得价值b百元代金券；若摸到两白球，可获得价值ab百元代金券(a,b均为正整数).已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者至多获得

百元代金券．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.设数列an满足a1=3，a2(1)求证：数列an+1(2)求数列an的通项公式．16.已知3x+1x3(1)求展开式中的第4项；(2)求展开式中有理项的个数；(3)求展开式中系数最大的项．17.如图，在三棱锥A−BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=BC=CD=4，点P是AD的中点，点Q为线段BC上一动点，点M在线段DQ上.(1)若M为DQ的中点，求证：PM//平面ABC；(2)若Q为BC的中点，求直线DQ与平面ABC所成角的正弦值．18.某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有34的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为45；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为1(1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；(2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记X为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望；(3)经统计，该校学生体测得分Z近似服从正态分布N65,144，若得分Z≥77则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记Y为这50名学生中“优秀”的人数，求Y的数学期望及方差(结果四舍五入保留整数)参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ≤ξ≤μ+σ≈0.6827，19.已知fx=e2x−ax+2，(1)求函数y=fx(2)若关于x的方程fx−2=0有两个不等实根，求(3)当a=2e时，若满足fx1=fx2参考答案1.C

2.B

3.C

4.C

5.B

6.A

7.D

8.A

9.AB

10.ACD

11.AD

12.64

13.132

；

；

；；414.18

15.解：(1)已知an+2=2a设bn=an+1−又b1=a2−a1(2)由(1)得an+1当n≥2时，an当n=1时，a1=3也满足上式，所以

16.解：(1)由Cn0+则3x+其中k∈0,1,2⋯,6,7令k=3，得T4=C73(2)当7−7k2故k可以为1，3，5，7，所以共有4个有理项；(3)由题意，设第k+1项为系数最大的项，则C即有7!整理得1k≥3又k∈N，所以k=1或k=2，则T2=5103，所以展开式中系数最大的项为5103和5103x

17.解：(1)连接AQ，因为P，M分别是AD，DQ的中点，所以PM//AQ，又AQ⊂平面ABC，PM⊄平面ABC，所以PM//平面ABC．(2)因为AD⊥平面BCD，BC⊥CD，故以点C为坐标原点，以CD，CB所在直线分别为x轴、y轴，过点C且与AD平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C0,0,0，D4,0,0，B0,4,0，A可得DQ=−4,2,0，CA=设平面ABC的法向量为n=x,y,z令x=−1，则y=0，z=1，故可取n=则cosDQ因此直线DQ与平面ABC所成角的正弦值为10

18.解：(1)设事件A=“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则A=“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30设事件B=“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”，由全概率公式，知PB所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为4160(2)X的可能取值为0，1，2，3，PX=0=C50C3所以X的分布列为X0123P115155随机变量X服从超几何分布，且N=8，M=5，n=3，所以EX(3)由题意得μ=65，σ=12，PZ≥77Y∼B50,0.15865，EY=50×0.15865=7.9325≈8所以Y的数学期望为8，方差为7．

19.解：(1)函数fx=e2x−ax+2当a≤0时，恒有f′x>0，则函数fx当a>0时，由f′x<0，得x<12ln即函数fx在−∞,12所以当a≤0时，函数fx的单调递增区间为−∞,+∞，无单调递减区间；当a>0时，函数fx的单调递减区间为−∞,1(2)方程fx−2=0，即e2x−ax=0，当令gx=e2xx，依题意，方程f求导得g′x=2x−1e2xx2，当x<0或0<x<所以函数gx在−∞,0，0,12而当x<0时，gx<0，当x>0时，gx