上海市5年中考真题1年模拟数学汇编 专题07圆含详解

专题07圆（真题6个考点+模拟10个考点）

五年中考真题N

一.垂径定理（共1小题）

41

1.（2023•上海）如图，在。。中，弦力4的长为8,点。在5。延长线上，且cos/月4。=一，OC=-OB.

52

（1）求。。的半径；

（2）求/R4r的正切值.

二.垂径定理的应用（共1小题）

2.（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛。，点C在弦48上，AC=\\,8c=21,OC=I3,则这个花

坛的面积为一.（结果保留外

三.直线与圆的位置关系（共2小题）

3.（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫

作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为一.

4.（2020•上海）在矩形48C。中，AB=6,8C=8,点。在对角线4C上，圆。的半径为2,如果圆。与矩形48co

的各边都没有公共点，那么线段力。长的取值范围是—.

四.圆与圆的位置关系（共3小题）

5.（2024•上海）在&48C中，AC=3,BC=4,AB=5,点、P在ABC内,分别以,44P为圆心画圆，圆,4半径为

1,圆8半径为2,圆P半径为3,圆力与圆尸内切，圆P与圆8的关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.相离

6.（2021•上海）如图，长方形468中，AB=4AD=3,圆台半径为1,网4与圆6内切，则点C、。与圆?1

A.点。在圆4外，点。在圆彳内B.点C在版14外，点。在圆4外

C.点。在圆力上，点。在圆力内D.点C在圆力内，点。在圆月外

7.(2023•上海)在AJ4C中，AB=7,BC=3,NC=90。，点。在边AC上，点E在C4延长线上，且CQ=QE,

如果0B过点力，0E过点。，若。3与OE有公共点，那么。E半径，•的取值范围是

五.正多边形和圆（共2小题）

8.（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20。，那么这个正多力形的边数为一.

9.（2021•上海）六个带30度角的直柏三角板拼成一个正六边形，宜角三角板的最短边为1,求中间正六边形的面

六.圆的综合题（共5小题）

10.（2021•上海）如图，在圆。中，弦力4等于弦CQ,且相交于点P,其中E、F为AB、CO中点.

（1）证明：OP1EF；

（2）连接//、AC.CE,若AF/iOP,证明：四边形力在。为矩形.

11.（2020•上海）如图，A48C中，，48=HC,。。是AJ8C的外接圆，8。的延长线交边4C于点。.

（1）求证：/BAC=2/ABD；

（2）当ABC。是等腰三角形时，求NBCO的大小;

(3)当40=2,CQ=3时，求边8c的长.

12.(2022•上海)如图，在中，P是线段8C中点，联结8D交力。于点E,联结CE.

(i)如果=

i.求证：口ABCD为菱形；

ii.若AB=5,CE=3,求线段的长;

(2)分别以力七，8E为半径，点力，B为圆心作圆，两圆交于点E,尸，点尸恰好在射线CE上，如果CE=6AE,

求Q的值.

BC

B

13.(2024•上海)在梯形/BCO中，4D//BC,点、E在边4B上,^AE=^AB.

(1)如图1所示，点厂在边CO上，^DF=-CD,联结七户，求证：EFI/BCx

3

(2)已知/。二力七二1；

①如图2所示，联结OE,如果A4OE外接圆的圆心恰好落在4的平分线上，求AWE的外接圆的半径长；

②如图3所示，如果点M在边8c上，联结EM、DM、EC,DM与EC交千N.如果/QA/C=,BC=4,

旦CD'=DMDN,求边C。的长.

月二，A

B

BC-----------------CBM

图1图2图3

14.(2D23•上海)如图(1)所示，已知在A48。中，AB=AC,。在边力B上,点/是边。8中点，以。为圆心,

80为半径的圆分别交C8,4c于点D,E,连接E/交。。于点G.

QC

A0FBA0FB

图(1)图(2)

(1)如果OG=OG,求证：四边形CEG。为平行四边形;

(2)如图(2)所示，连接如果/比1C=9O。，NOFE=NDOE,AO=4,求边(力的长;

(3)连接3G,如果AO4G是以刃为腰的等腰三角形，且力。=。产,求空的值.

OD

-年模拟新题N

一.垂径定理（共2小题）

1.（2024♦上海模拟）如图，力4是O。的弦，。是弦上一点，且8C:C4=2:1,连接OC并延长交OO于。，

若DC=2cm,OC=3cm,则恻心。到弦48的距离为（）

A.6y/2cmB.(9-41)cmC.41cmD.(25-3V2)C/H

2.（2024•静安区三模）已知力、8为半径为1的0。上两点，P在线段上，PA=3PB,若4B=x,OP=y,

则y关于x的数量关系式为—.

二.垂径定理的应用（共3小题）

3.（2024•闵行区三模）中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即

圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为4,曲线终点为8,过点力，8的两条切线相交于点C,列车在从4到8

行驶的过程中转角a为6（）。.若圆曲线的半径。/=1.5心?，则这段圆曲线（弧力4）的长为一痴7.（结果保留乃）

4.（2024•浦东新区三模）《九章算术》其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯

道长一尺.间径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深

等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺=10寸）答：圆材直径寸.

5.（2024•宝山区二模）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动.把某场馆的一个正方形区域改

造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形48CD是观众观演区，阴影部分是舞台，C。是半圆。的

直径，弦EF与CO平行.已知E尸长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观

演区可容纳名观众.

三.圆周角定理（共3小题）

6.（2024•奉贤区三模）如图，在正方形ABC。中，以8C为直径作半圆O,以。为圆心，。力为半径作左，与半

圆。交于点P,我们称：点P为正方形/18C0的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形/4CQ无论是位置

关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究.连接以、PB、PC、PD,并延长。。交48于点厂.下列

2

结论中：①FD=FB+BC；②4PC=135。；@S^PBC=^AP@tanZBAP=-；其中正确的结论的序号为.

7.（2024•虹口区二模）如图，在扇形力04中，ZAOB=\05°,。力=8,点C在半径O力上，将A80c沿着4c翻

折，点O的对称点。恰好落在弧上，再将弧力。沿着CO翻折至弧4。（点4是点力的对称点），那么的长

8.（2024•松江区二模）如图，已知中，//C8=90。，/。=4,BC=8.点、O在劲BC上，以O为圆心，OB

为半径的弧经过点力.

（I）求。。的半径长；

（2）P是AB上一点，POLBC,交48于点。，联结力夕.求/P4B的正切值.

p

四.点与圆的位置关系（共2小题）

9.（2024•嘉定区二模）在A/18C中，AB=AC=8,cosZ5=-,以点。为圆心，半径为6的圆记作圆C,那么下

4

列说法正确的是（）

A.点4在圆。外，点8在圆。上B.点4在圆。上，点8在圆。内

C.点力在阿C外，点8在圆C内D.点4、3都在圆C外

10.（2024•闵行区三模）若点尸到。/上的所有点的距离中,最大距离为8,最小距离为2,那么。力的半径为

五.直线与圆的位置关系（共6小题）

11.（2024•崇明区二模）己知在RtAABC中,ZC=90°,AC=12,BC=5,若以C为圆心，厂长为半径的圆C与

边力3有交点，那么厂的取值范围是（)

A.A412或1=果B.5<r<12

60..

D.3心

12.（2024•虹口区二模）在口48。。中,BC=S,S^4BCD=20.如果以顶点。为圆心，夕C为半径蚱。C，那么OC

与边力。所在直线的公共点的个数是（)

A.3个B.2个C.1个D.0个

13.(2024•宝山区二模)如图，A/J8C中，ZC=90°,AB=5,tan5=1,如果以点。为圆心，半径为R的0C与

线段48有两个交点，那么OC的半径/?的取值范围是（）

AB

A.2<R<y/5B.2<R<45C.亚4R&2亚D.0</?<x/5

14.（2024•杨浦区三模）如图，在R3ABC中，ZACB=90°,AC=6,tanB=-,如果以4C为直径的圆。与以8

2

为圆心、厂为半径的圆8相交，那么厂的取值范围是.

15.（2024•长宁区三模）在矩形48CZ）中，48=12,8C=16,点。在对角线NC上，。。的半径为4,如果。。与

矩形的各边都没有公共点，那么线段力。长的取值范围是—.

16.（2024•青浦区三模）如图，00为等腰三角形的外接圆，AB=AC,延长40交8c于点£>,过点。作片8

的垂线，交4D于点E,交.AB于点、F,交O。于点G,交过点力且与8C平行的直线于点〃，连结4G.

（1）判断与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若N〃/C=56。，求N"和NA4G的大小；

（3）若（7/=1,tanZABC=2,求0。的长.

17.（2024•奉贤区三模）已知两圆的圆心距是3,它们的半径分别是方程》2-7工+10=0的两个根，那么这两个圆的

位置关系是（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

18.（2024•闵行区二模）在RtAABC中，ZCJZ?=90°,AB=5,AC=\2,以点力，点8,点C为圆心的。/,OB,

OC的半径分别为5、10、8,那么下列结论错误的是（）

A.点8在上B.与。8内切

C.04与OC有两个公共点D.直线8c与04相切

19.（2024•普陀区校级三模）如图，已知0Q和002外切，半径长分别为lew和3cm.如果半径长是5cm的0。与0Q、

0a都相切，那么符合题意的。。最多有（）

20.（2D24•徐汇区三模）如图，。/和的半径分别为5和1,4B=3,点O在直线川？上，0。与。/、08都

内切，那么0。半径是.

21.（2024•金山区二模）如图，在RtAABC中，ZC=90°,48=5,BC=3,以点。为圆心作半径为1的圆C,P

是48上的一个点，以P为圆心，P8为半径作圆P,如果圆C和圆P有公共点，那么8P的取值范围是.

4

22.（2024•虹口区二模）如图，在口力8CQ中，43=7,8C=8,sin8=—.点尸在边力8上，AP=2,以点P为

5

圆心，/仍为半径作OP.点。在边4c上，以点。为圆心，C。为半径作。。.如果。尸和。。外切，那么C。的

长为一.

23.（2024•徐汇区三模）已知：00的直径18=8,08与00相交于点。、D,0。的直径6与。8相交于点E,

设08的半径为x,（加的长为y.

（1）如图，当点E在线段。。上时，求），关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）当点E在直径C/7上时，如果OE的长为3,求公共弦C。的长；

（3）设08与43相交于G,试问△。以7能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出病的长度（不必写过程）;

如果不能，请简要说明理由.

C

E

七.相切两圆的性质（共2小题）

24.（2D24•松江区二模）已知矩形4BCZ）中，AB=\2,40=5,分别以4,C为圆心的两圆外切，且点。在04

内，点4在。。内，那么OC半径厂的取值范围是（）

A.5<r<6B.5<r<6,5C.5</,<8D.5</,<12

25.（2024•静安区三模）如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于如图2所示的曲边三

角形，其中等边A/18C的边长为20c/〃，分别以力、B、。为圆心，力8为半径作病、AC,弱.M为M8c的

中心.

（1）若。为5d上任意一点，则M0的最小值为cm,最大值为cm.

（2）转子沿圆尸转动时，始终保持O"与OP相切，OW的半径为8c5，。尸的半径为5“〃，当恻心P在线段

图1图2

A.相交两圆的性质（共3小题）

26.（2024•奉贤区二模）已知两个半径都为4的0/与。8交于点C、D,CD=6,那么圆心距的长是.

27.（2024•杨浦区二模）已知矩形48CO中，AB=5,以力。为半径的圆/和以CO为半径的圆C相交于点。、E,

如果点E到直线8c的距离不超过3,设力。的长度为〃，，则，〃的取值范围是—.

28.（2024•松江区二模）如图，已知,48是。Q与。O?的公共弦，O.O.与交于点C,O.O.的延长线与。0?

交于点P,联结产力并延长，交。Q于点。.

（1）联结。①、O、A,如果==求证：OXALO2A；

（2）如果PG1=3尸.，求证：PA=AD.

九.正多边形和圆（共10小题）

29.（2024•虹口区三模）如果正多边形的边数是〃（〃..3）,它的中心角是a°,那么a关于〃的函数解析式及其定义

域为一.

30.（2024•普陀区校级三模）如图，在正六边形力BCQE厂中，如果向量而=）,BC=h,那么向量比为

.（用向量75表示）

BC

31.（2。24•普陀区校级三模）在半径长为1米，圆心角为90。的扇形铁皮上剪裁出一个正方形铁皮，那么这个正方

形铁皮的边长。的取值范围是一米.

32.（2024♦闵行区三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7

个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点尸，0,M均为正六边形的顶点.若点P,Q

的坐标分别为（-2百,3）,（0,-3）,则点M的坐标为.

33.（2D24•黄浦区二模）如图，正六边形MNPQHS位于正方形内，它们的中心重合于点O,且MN"BC,

己知正方形4SCO的边K为a,正六边形MN尸。RS的边K为〃，那么点尸到边CO的距离为

.（用。、人的代数式表示）

34.（2024•杨浦区二模）如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正

八边形，那么这个正八边形的边长是一厘米.

35.（2024•上海模拟）如图，已知点G是正六边形对角线心上的一点，满足8G=3R7,联结/C,如

果LEFG的面积为1,那么"BC的面积等于

36.（2。24•青浦区三模）如图，在拧开一个边长为。的正六边形螺帽时，扳手张开的开口6=30〃〃〃，则边长。的长

37.（2024•青浦区二模）如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角/切。=15。,

那么这个正多边形的中心先是一度.

38.（2D24•崇明区二模）已知正六边形的半径为2c用，那么这个正六边形的边心距为—cm.

一十.圆的综合题（共22小题）

39.（2024•上海模拟）数学家庞斯莱发明过一种玩具（如图1）,这种玩具用七根小棍做成，各结点均可活动，AD=AF,

CD=DE=EF=FC,且OC</产-C/.使用时，将X,。钉牢在平板匕使4,。间的距离等于木棍OC的长,

绕点O转动点C,则点C在。O上运动，点E在直线8G上运动，BGA.AB,图2是该玩具转动过程中的一幅示意

图.

（1）判断点力，C,E在同一条直线上吗？请说明理由，

（2）当点。，C,/在同一条直线上时.

①求证：CQ//48.

②若OC=2,CZ）=3,tanZOAC=-,求的长.

图1图2

40.(2)24•浦东新区模拟)如图，在RtAARC中，/NAC=90。，RC=6,4/?=8,点。在力。上，过点A,力，

C所作的弧为优弧BQC，交4B于点、E,作DF//BC交BDC于点F,BF与CE,C。分别交于点G,，，连接。E.

(1)求证：点后是/C的中点.

(2)当康，访，方中的两段相等时，求。£的长.

(3)记AJQE的面枳为£,ACOb的面积为S,,若亘=上，求8DC所在圆的半径.

邑96

41.(2024•崇明区二模)如图，已知RtAABC中，N4C8=90。，AC=6,sin8=之，点。是射线8力上一动点(不

5

与力、4重合)，过点。作。E//4C：交射线4C于点E,点。为OE中点，联结力。并延长，交射线4c于点尸.

(1)如图1,当点。在线段48上时，

①若4£>=2,求0C的长；

②当根。。与A48P相似时，求力。的长.

(2)当&4。。是以力。为腰的等腰三角形时，试判断以点4为圆心、力。为半径的与以C为圆心、CE为半径

的OC的位置关系，并说明理由.

备用图1备用图2

42.（2024•闵行区二模）如图，03是。。的半径，弦力4垂直于弦BC,点M是弦8c的中点，过点M作08的平

行线，交0。于点石和点尸.（1）如图1,当力8=B。时.

①求//8O的度数；

②联结。£,求证：/LOEF=30°；

（2）如图2,联结OE,当月从8c时，tanNOET7=x,~^j=y,求N关于的函数关系式并直接写出定义域.

图1图2备用图

43.（2024•浦东新区二模）已知：0a和。Q,相交于4、4两点，线段。0?的延长线交Q2于点C,。、。〃的

延长线分别交00于点。、E.

（1）联结48、DE,AB、OE分别与连心线QQ相交于点，、点G,如图1,求证：AB//DE；

(2)如果。02=5•

①如图2,当点G与日重合，。日的半径为4时，求。Q的半径:

②联结力打、BD,8。与连心线相交于点尸，如图3,当BDHAO],且0Q的半径为2时，求。£的长.

图1图2图3

44.(2024•浦东新区三模)在RtAABC中，ZB^C=90°,月4=6,4c=10,点。是4C边上动点，以。为圆心,

OC为半径的。。与边3C的另一交点为。，过点。作4C的垂线,交。。于点£,交AC于点、F,联结AE.

图1图2备用图

（1）如图1,当4E//8C时，求0。的半径长；

（2）设OC=x,AE=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）若以4为圆心的。力与。。有公共点。、E,当恰好也过点8时，求。。的长.

45.（2024•宝山区二模）已知力3是半圆。的直径，C是半圆O上不与/、〃重合的点，将弧力C沿直线4C翻折,

翻折所得的弧交直径48于点。，E是点D关于直线AC的对称点.

（1）如图，点。恰好落在点。处.

①用尺规作图在图中作出点E（保留华图痕迹），联结力E、CE、CD,求证：四边形4DCE是菱形；

②联结8E,与4。、分别交于点尸、G,求为的值；

BE

(2)如果月6=10,(9/)=1,求折痕4c的长.

备用图

46.(2024•虹口区二模)在梯形Z8C。中，/。//8C,点七在射线。力上，点尸在射线上，联结CE、。"相

交于点P,/EPF=/ABC.

图②备用图

APr)F

(1)如图①，如果/出=。。，点£、尸分别在边力。、48上.求证：一=——

DECE

(2)如图②，如果4Q_LCQ,48=5,8C=1O,cosZ/15C=|.在射线。力的下方，以QE为直径作半圆。，半

圆。与CE的另一个交点为点G.设与弧EG的交点为。.

①当DE=6时,求EG和46的长;

②当点。为弧EG的中点时，求月厂的K.

3

47.(2024•宝山区校级模拟)如图，已知在RtAABC中，ZJC5=90°,cos5=-,BC=3,P是射线上的一

个动点，以。为圆心，P力为半径的0P与射线/C的另一个交点为。，直线产。交直线8C于点月.

(1)当A,4=1时，求CK的长：

(2)如果点尸在边川？的上，当OP与以点C为圆心，CE为半径的。。内切时，求。。的半径:

（3）设线段8E的中点为。，射线P0与。P相交于点尸，点尸在运动过程中，当PE//CF时,求/P的长.

48.（2024•金山区二模）如图，已知：等腰梯形48co中，AD//BC,AB=DC,以力为圆心，48为半径的圆

与8c相交于点E,与相交于点尸，联结4E、AC.BF,设4E、4C分别与相交于点G、H,其中〃是

力。的中点.

(1)求证：四边形力£＜刀为平行四边形;

求丝的值:

(2)如图1,如果力

BC

(3)如图2,加果BG=GH,求/4BC的余弦值.

49.（2024•徐汇区二模）如图，在扇形。相中，04=08=60,N40B=90。，点、C、。是弧力8上的动点（点。

在点。的上方，点C不与点力重合，点。不与点8重合），且NCOD=45。.

（1）①请直接写出弧力C、弧C。和瓠8。之间的数量关系；

②分别玦结AC、CDBD,试比较AC+8。和CQ的大小关系，并证明你的结论；

（2）联结力8分别交0C、。。于点必、N.

①当点。在弧上运动过程中，4V的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求4V・8切的值；

②当MV=5时，求圆心角的正切值.

A_f

入

0B

50.（2024•静安区校级模拟）已知：如图，A48C是圆。的内接三角形，AB=AC,AB.左的中点分别为加、

N,MN与/IR、04、4C分别交于点。、T、Q.

（1）求证：O/J.MN；

（2）当A48c是等边三角形时，求出1的值；

OT

A（3）如果圆心。到弦8C、MN的距（Q离分别为7和15,求线段P0的长.

’（备用图）

51.（2024•杨浦区二模）已知以/出为直径的半圆。上有一点C,CDLOA,垂足为点。，点七是半径OC上一点

（不与点。、。重合），作E/1OC交弧8c于点尸，联结。尸.

⑴如图1,当FE的延长线经过点在求隼的值；

（2）如图2,作/GJ.48,垂足为点G,联结£G.

①试判断EG与CQ的大小关系，并证明你的结论；

②当毋G是等腰三角形，且sinNCOO=W,求色&的值.

5OD

AD0BAD0GB

图1图2

52.（2024•长宁区二模）已知在A48C中，CA=CB,力8=6,CGSNC4B=一，点。为边N8上一点，以点。为圆

心，为半径作。0,交边4C于点。（点。不与点X、C重合）,

（1）当力。=4时，判断点。与。O的位置关系，并说明理由;

（2）过点。作CEJ.O。，交0力延长线于点E.以点上为圆心，EC为半径作OE,延长CE,交0E于点C.

①如图1,如果00与0E的公共弦恰好经过线段E0的中点，求CZ）的长;

②联结力（7、0C,如果力。与的一条边平行，求0E的半径长.

图1备用图备用图

53.（2024•青浦区二模）在A4AC中，AB=AC=2,以C为圆心、C4为半径的弧分别与射线44、射线C3相交

于点。、E,直线EQ与射线C8相交于点尸.

（1）如图，当点。在线段月8上时.

①设NN4C=a,求N8D产；（用含a的式子表示）

②当BF=1时，求C0S//4C的值；

（2）如图，当点。在比1的延长线上时，点、M、N分别为BC、。尸的中点，联结M/V,如果A/N//CE,求C〃的

长.

54.（2。24•静安区二模）如图1,AJ5c中，己知力8=6,BC=9,为锐角，cosZJ5C=-

3

(1)求sinC的值;

（2）如图2,点尸在边力8上，点。是边8C的中点，0P经过点4,。尸与。。外切，且。。的直径不大于8C,

设OP的半径为X,。。的半径为y,求y关于X的函数解析式，并写出定义域;

（3）在第（2）小题条件下，联结尸。，如果防尸。是等腰三角形，求力产的长.

55.（2024•闵行区二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫

做正多边形.同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接止五边形的方法，但课本上并未证

明.我们现开展下列探究活动.

活动一：如图1,展示了一种用尺规作0。的内接正六边形的方法.

①在0。上任取一点“，以4为圆心、40为半径作弧，在C。上截得一点8;

②以8为圆心，40为半径作弧，在。。上截得一点C：再如此从点C逐次截得点。、E、尸；

③顺次联结AB.BC、CD、DE、EF、FA.

（1）根据正多边形的定义，我们只需要证明一，一.

（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形力8c力E尸是正六边形.

活动二：如图2,展示了一种用尺规作0。的内接正五边形的方法.

①作0。的两条互相垂直的直径P。和AF；

②取半径OP的中点M；再以M为圆心、M4为半

径作弧，和半径。。相交于点N；

③以点力为圆心，以4V的长为半径作弧，与。0相

截，得交点8.

如此连续截取3次，依次得分点。、D、E,顺次

联结4B、BC、CD、DE、EA,那么五边形ABCDE

是正五边形.

（2）已知的半径为2,求边力8的长，并证明五边形是正五边形.

,斐.箔特•姆."2-拒\]>/2+1•J10-2-x[5+1.”J10+2石

（参考数据：sin22.5=------------,cos22.5=------------>sin36=----------------,cos36=----------,sin72°=----------------.）

22444

A

56.（2024•奉贤区二模）如图，已知半圆。的直径为MN,点力在半径OM上，8为俞的中点，点。在俞上,

以4B、8C为邻边作矩形力8。。，迂.CD交MN千点、E.

(1)如果MN=6,AM=2,求边的长;

(2)琥结CN,当ACEN是以CN为接的等腰三角形时，求/胡N的度数;

(3)联结。。并延长，交48于点P,如果8尸=2/P,求名■的值.

AB

备用图

57.（2024•杨浦区二模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与己知直线

的点切员I.如图1，已知直线/外有一点〃，圆。经过点〃且与直线/相切，则称圆0是点〃与直线/的点切网.

阅读以上材料，解决问题；

已知直线。/外有一点P,PA±OA,01=4,AP=2,圆M是点P与直线0/1的点切圆.

（1）如果圆心也在线段。尸上，那么圆"的半径长是一（直接写出答案）.

（2）如图2,以。为坐标原点、04为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xQu,点P在第一象限，设圆心〃的坐标

是（x,y）.

①求y关于x的函数解析式；

②点8是①中所求函数图象上的一点,联结8尸并延长交此函数图象于另一点C.如果CP:8P=1:4,求点8的坐

标.

58.（2024•黄浦区三模）如图，已知圆。的半径=P是半径,40上的一个动点（点。不与点力、点。重合）,

作线段。尸的垂直平分线，分别交线段OP于点8、交圆。于点C和点石（点。在点£■的上方）.联结CP并延长，

交圆。于点。.

（1）当点P是线段48中点时，求上的值；

AO

（2）当r=4时,

①如果口4=1,求PO的长；

②联结交CE于点尸，联结。尸，如果/为等腰三角形,求。。的长.

E备用图

59.（2024•虹口区三模）如图1,//为半圆。的直径，。为84延长线上一点，CO切半圆于点O,BELCD,交

CO延长线于点E,交半圆于点/，已知。4=3,AC=2.

（I）求的值

（2）如图2,连接力/，P为线段力产上一点，过点P作8c的平行线分别交CE,于点M,N,交圆。于点K,

过点。作于点〃.设尸〃=x,MN=y.

①求），关于x的函数解析式及其定义域;

②延长PN交半圆O「点。，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值.

CO

图1

60.(2024•长宁区三模)已知"是。。的一条弦，点。在OO上，联结CO并延长，交弦”于点。，且CO=CB.

(1)如图1,如果80平分448C,求证：凝=病；

(2)如图2,如果力OJ.O8,求力力:。8的值；

(3)延长线段彳。交弦8c于点E,如果AEO8是等腰三角形，且0。的半径长等于2,求弦8c的长.

专题07圆（真题6个考点+模拟10个考点）

一.垂径定理（共1小题）

1.（2023•上海）如图，在。。中，弦力4的长为8,点。在4。延长线上，且cos//3C=±,OC^-OB.

52

（1）求。。的半径；

（7）求//UC的正切值.

A

【分析】（1）过点。作00148,垂足为。，根据垂径定理可得力。=3。=4,然后在RtAOBD中，利用锐角三角

函数的定义求出。8的长，即可解答；

（2）过点。作C£_LH8,垂足为根据已知可得8。=3。8=7.5,再利用平行线分线段成比例可得竺=也，

2BCBE

从而求出8E的长，进而求出力E的长，然后在RtABCE中，利用勾股定理求出CE的长，再在R3ACE中，利用锐

角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：（1）过点。作垂足为。，

/.AD=BD=-AB=4,

2

4

在RtAOBD中，cosZABC=-,

5

5

。。的半径为5：

（2）过点C作CEJ.48,垂足为七,

2

BC=-OB=7.5,

2

0D1AB,

OD//CE,

OBBD

24

・•・_—―_-_-_，

3BE

：.BE=6,

/.AE=AB—BE=8—6=2，

在RtABCE中，CE=dBC?-BE2NS-=4.5,

CF450

在RtAACE中，tanZ5/lC=—

AE24

o

历IC的正切值为

4

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形

添加适当的辅助线是解题的关键.

二.垂径定理的应用（共1小题）

2.（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛。，点C在弦彳8上，JC=11,8c=21,0c=13,则这个花

坛的面积为_400用_.（结果保留外

【分析】根据垂径定理，勾股定理求出。夕，再根据圆面积的计算方法进行计算即可.

【解答】解：如图，连接OB,过点。作OO_L/出于。，

vOD1AB,。力过圆心，/也是弦，

.•.力。=8力=348=3（4。+8。）=3><（11+21）=16,

:.CD=BC-BD=2\-\6=5,

在RtACOD中，OD2=OC2-CD2=B2-52=144,

在RtABOD中，()8,=Olf+HD2=144+256=400，

So。=万xOB-=400万,

【点评】本题考查垂径定理.、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确

解答的前提.

三.直线与圆的位置关系（共2小题）

3.（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫

作“等弦圆”,现在有一个斜边长为2的等腰百角二角形,当等弦圆最大时.这个圆的半杼为_2一拉

【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆冏角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可.

【解答】解：如图，•・•圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，

二圆心。就是三角形的内心，

.•・当O。过点。时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即CG=W=Q£,此时0。最大，

过点。分别作弦CG、CF、OE的垂线，垂足分别为P、N、M,连接OA、OB,

CG=CF=DE,

：.OP=OM=ON,

vZC=90°,AB=2,AC=BC,

.•.JC=5C=—x2=V2,

2

由Sgoc+SA8OC+=S*48c»

/.-ACOP\-BCON\-ABOM=S^=-ACBC，

222ttr2

设OM=x,则OP=ON=x,

/.>/2x+>/2x+2x=\/2xV2,

解得X=y/2—1,

即OP=ON=g-l,

在RtACON中，OC=42ON=2-y/2,

故答案为：2-41.

【点评】本题考查直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握直角三角形的边角关系以及三角形面积的计

算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键.

4.（2020•上海）在矩形48CQ中，AB=6,8c=8,点。在对角线4C上，圆。的半径为2,如果圆。与矩形力灰工）

的各边都没有公共点，那么线段力。长的取值范围是〈约

33

【分析】根据勾股定理得到/C=10,如图1,设OO与力。边相切于E,连接OE,如图2,设。。与8c边相切

于户，连接。尸，根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：在矩形48co中，=90。，AB=6,BC=8