专题 成对数据的统计、分析教案（含解析）高考数学总复习（新高考专用）

第65讲成对数据的统计.分析

<X\\\\VA走进教材•自主回顾

I.变量的相关关系

(1)相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称

为相关关系.

(2)相关关系的分类：正相关和负相关.

⑶线性相关

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在附近，我们就称

这两个变量线性相关.

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关

或曲线相关.

2.样本相关系数

(1)相关系数r的计算

变量x和变量)，的样本相关系数r的计算公式如下：

n

X：(JT.—F)—~y)

i=i

⑵相关系数厂的性质

①当A0时，称成对样本数据正相关：当M0时，成对样本数据负相关：当,一0时，成对

样本数据间没有线性相关关系.

②样本相关系数r的取值范:围为r-1.11.

当团越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当团越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

3.一元线性回归模型

(I)经验P1归方程与最小二乘法

我们将；=£+：称为y关于X的经验I可归方程，也称经验归I归函数或经验I可归公式，其图形

称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的；叫做儿〃的最

小二乘估计,

其中

才,乂一〃

X(.r.—.r)(yi—y)27y

；：=i»=i

b=-------

«X(J*,—x)"X/；—nx2

，=i»=i

A-------

a=y—bw.

⑵利用决定系数炉刻画回归效果

z(乂一丁尸

I-1

，心越大，即拟合效果越好，肥越小，模型拟合效果越差.

4•列联表与独立性检验

⑴2X2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和y,它们的取值分别为｛内，”2｝和｛N，/｝，其2X2列联

表为

y

X合计

y=yi尸)2

X=X\ah

X=X2cdc+d

合计a+cb+dn=a-\-b-\-c-\-d

(2)临界值

H(d—he)2

J、(一八•忽略/的实际分布与该近似分布的误差后，对于

人\a-\~b)(c+〃)(o+c)ib-vd)人

任何小概率值a,可以找到相应的正实数%,使得P(72N)=a成立.我们称此为a的临界

值，这个临界值就可作为判断大小的标准.

(3)独立性检验

基于小概率俏«的检验规则是；

当Z22双时，我们就推断Ho不成立，即认为X和丫不独立，该推断犯错误的概率不超过a；

当^V此时，我们没有充分证据推断为不成立，可以认为X和y独立.

这种利用/的取值推断分类变量X和V是否独立的方法称为/独立性检验，读作“卡方独

立性检验”，简称独立性检验.

下表给出了Z2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

0------------1

考点探究•题型突破7////////////

＞考点1成对数据的相关性

［名师点睛］

判断相关关系的两种方法：

（1）散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；

如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变盘之间就有线性相关关系.

⑵决定系数法：利用决定系数判定，解越趋近］,拟合效果越好，相关性越强.

［典例］

1.对变量X,1y有观测数据（M，为"=1,2,…，10）,得散点图如图1,对变量〃，。有观测数

据（的，s）（i=l,2,…，10）,得散点图如图2.由这两个散点图可以判断（）

y

3()60

255()

2040

153()

102()

510

0

012345623456

A.变量x与y正相关，〃与。正相关

B.变量x与y正相关，〃与。负相关

C.变量x与y负相关，〃与。正相关

D.变量x与y负相关，〃与。负相关

答案C

解析由题图可得两组数据均线性相关，且图1的经验回归直线的斜率为负，图2的经验回

归直线的斜率为正，则由散点图可判断变量x与），负相关，〃与。正相关.

2.（多选）下列有关经验回归分析的说法中正确的有（）

A.经验回归直线必过点（7,7）

B.经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

C.当样本相关系数r＞0时，两个变量正相关

D.如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0

答案ACD

解析对于A,经验回归直线必过点（三，7）,故A正确；

对于B,经验回归直线在软点图中可能不经过任一样本数据点，故B不正确；

对于C,当样本相关系数＞0时，则两个变量正相关，故C正确；

对于D,如果两个变量的相关性越弱，则川就越接近丁0,故D正确.

［举一反三］

1.（2022・重庆诊断）某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下:

月份123456

人均销售额658347

利润率（%）12.610.418.53.08.116.3

根据表中数据，下列说法正确的是（）

A.利润率与人均销出额成正相关关系

B.利润率与人均销售额成负相关关系

C.利润率与人均销售额成正比例函数关系

D.利润率与人均销出额成反比例函数关系

答案A

解析由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C知D；

其属于正相关关系，A正确，B错误.

2.下列四个散点图中，变量x与），之间具有负的线性相关关系的是（）

OxO

AB

yy

CD

答案D

解析观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与），之间具有负的线性相关

关系.

3.在一组样本数据（xi，＞,i）.（X2»闻，…，（为,）力）（〃22,总，心，…，工〃不全相等）的散点图

中，若所有样本点（即，％）（/'=1,2,…，〃）都在直线y=-%+l上，则这组样本数据的样本

相关系数为（）

A.-1B.OC.-5D.1

答案A

解析因为样本点在直线,，=-5+1上，呈现完全负相关，样本相关系数为一1.

4.两个变量），与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数R2如下，其中

拟合效果最好的模型是（）

A.模型1的决定系数K为（）.98

B.模型2的决定系数R2为0.80

C模型3的决定系数心为0.50

D.模型4的决定系数R2为0.25

答案A

解析在两个变量），与x的回归模型中，它们的决定系数R2越接近1,模型拟合效果越好,

在四个选项中A的决定系数最大，所以拟合效果最好的是模型1.

》考点2回归分析

［名师点睛］

n--

A£产通一〃工yAA-A-A

（1）求经险回归方程：利用公式b=———一求〃；利用。=），一切:求。，写出经脸回归方

/=i

程.

（2）经脸回归方程的拟合效果，可以利用相关系数m判断，当仍越趋近于1时，两变量的线性

相关性越强.或利用决定系数片判断，片越大，拟合效果越好.

（3）非线性经验回归方程转化为线性经脸回归方程的方法

AAAAAAAAAA

①若G，设，=\M,则1y=。+4：②若满足对数式：y=a^-b\nx,设，=lnx,则）=

AA

〃+/，；③若满足指数式：两边取对数解］ny=lnc'i+c£r,设z=lny,t/=lnc\,b

=C2,则z=a-\~bx.

［典例］

（2021・广州模拟）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量.v（百千克）与某种液体肥料每

亩使用量/（千克）之间的对应数据的散点图如图所示：

y（百千克）

O24568%(千克)

⑴依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并

加以说明（若用＞0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）：

（2）求y关于x的经验回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的

增加量约为多少.

附：相关系数

一亍）3一歹）

x(.v,-y)2

石孙一心y

n

AAA“Z（Xj—X）（＞7—j）

经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为6=」^-------;―-

2

1.=1（XLX）

吝为)y“-…

-7>~~，a=y—bx.

Lxi—nx2

Ll

⑺-2+4+54-6+8

解(l)x=---------q------=5,

34-4+5+6+7

产5=5

吝(x/-x)(y,-j)=(-3)X(-2)+(-l)X(-1)+0X0+1X14-3X2=14,

5

篙u—X)2=(-3)2+(-1)2+02+12+32=20,

5

嵩8一)y=(-2)2+(-1)2+02+"22=1().

・•・可用线性回归模型拟合），与X的关系.

KE（X；­x）（y-j）.4

（2）/?=-------5---------------------=布=0-7，

I,（x,-x）220

1=1

A-A-

则a=y-〃x=5-（）.7X5=1.5,

A

・・・y=0.7x+1.5.

A

当x=12时，），=0.7X12—1.5=9.9,

...预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克.

A

当工=10时，），=39.6,则预测2025年该地区的经济收入为39.6百万元

［举一反三］

1.（2022.湖北九师联盟联考汴表是关于某设备的使用年限M单位：年）和所支出的维修费用

共单位：万元）的统计表.

X23456

y3.44.25.15.56.8

由上表可得经验回归方程;=0.8lx+；若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10

万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为（）

A.7B.8C.9D.10

答案D

解析由表格，得

~x=/X（2+3+4+5+6）=4,

~y=］x（3.4+4.2+5.1+5.5+6.8）=5,

因为经验回归直线恒过点匚T,7），

A

所以5=0.81X4+〃，

解得〃=1.76,

所以经验回归方程为y=0.8£+1.76,

由JWIO,得0.8Lr+1.76W10,

解得xW答2:10.17,

由于xWN",所以据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为10.

2.用模型），=。心'拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=h】y,其变换后得到经验

回归方程为z=0.5x+2,则。等于（）

A.0.5B.e0-5C.2D.e2

答案D

解析因为丁=比此两边取对数得，

Iny=In（cetv）=lnc+ln卢=ki+lnc,

则z=kx+\x\c,而z=0.5x+2,

于是得lnc=2,即c=e2.

》考点3独立性检脸

［名师点睛］

1.在2X2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad一加心O.|“d一从1越小，说明两个

变量之间关系越弱；依/一从1越大，说明两个变量之间关系越强.

2.解决独立性检脸的应用问题，一定要按照独立性检脸的步骤得出结论.独立性检验的一般步

骤：

（I）根据样本数据制成2X2列联表:

⑵根据公式/=

〃(ad-be)2

计算Z2；

(a+b)(a+c)(〃+d)(c+d)

（3）通过比较/与临界值的大小关系来作统计推断.

［典例］

（2020・全国川卷）某学生兴趣小组随机调查了某市100人中每天的空气质量等级和当天到某

公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

人次

空气质量嬴[0,200](200,400](400,6(X)]

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2,3,4的概率;

⑵求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3

或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成卜面的2X2列联表，并根据列联表，

能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的

空气质量有关？

人次W400人次＞400

空气质量好

空气质量不好

n(ad-be)~

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

解（1）由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:

空气质量等级134

概率的估计值0.430.270.210.09

（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

77^(100X20+300X35+500X45)=350.

Il/v

⑶根据所给数据，可得2X2列联表:

人次W400人次＞400

空气质量好3337

空气质量不好228

零假设为Ho：

一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.

根据列联表得

100X(33X8-22X37)2

一25.820>3.841=.g.

55X45X70X30

根据小概率值a=0.050的3独立性检验，可推断反）不成立，所以在犯错误的概率不超过

0.05的前提下，可认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

［举一反三］

1.为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学

生，得到如下2X2列联表：

男女合计

爱好ab73

不爱好C25

合计74

则4一人一C等于（）

A.7B.8C.9D.10

答案C

解析根据题意，可得c=120—73—25=22,。=74—22=52,〃=73—52=21,

：.a-b~c=52-2\-22=9.

2.（多选）某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据

如表I.

免疫不免投合计

注射疫苗101020

未注射疫苗63440

合计164460

（表1）

a0.100.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

（表2）

则下列说法中正确的是（）

A.片5出

B.P（/>6.635）^0.001

C.依据小概率值a=0.0l的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系

D.依据小概率值。=0.001的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系

答案AC

解析由表中数据，

,60X（10X34-6X10、

何-20X40X16X44

比8.352比8.35,所以A正确：

因为0(326.635)比0.01,所以B错误；

/2^8.352>6.635=XO.OI,

依据小概率值a=0.01的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗有关系，所以C正确；

/2?::：:8.352<10.828—AO.OOI,

依据小概率值。=0.001的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗没有关系，故D错误.

3.(2022•太原模拟)为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质

量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与兰天空气中SO2的浓度(单位

整理数据得到下表：

SO2的浓度

空气质量羲'[0,50](50,150](150,475]

1(优)2862

2(良)