专题13计数原理

专题13计数原理

目录

一常规题型方法.......................................................................1

题型一分类分步问题（特殊位置与特殊元素优先法、染色问题、排数问题）..................1

题型二排队模型（捆绑法、插空法、缩倍法、间接法）....................................6

题型三分组模型（平均分组与不平均分组、隔板法、间接法）.............................10

题型四二项式定理、二项式系数、项的系数.............................................15

题型五三项展开式与两个二项式乘积展开式.............................................21

题型六二项式定理逆用、整除问题、近似值问题.........................................23

题型七杨辉三角......................................................................25

二针对性巩固练习....................................................................28

练习一分类分步问题（特殊位置与特殊元素优先法、染色问题、排数问题）.................28

练习二排队模型（捆绑法、插空法、缩倍法、间接法）...................................30

练习三分组模型（平均分组与不平均分组、隔板法、间接法）.............................32

练习四二项式定理、二项式系数、项的系数.............................................34

练习五三项展开式与两个二项式乘积展开式.............................................36

练习六二项式定理逆用、整除问题、近似值问题.........................................37

练习七杨辉三角......................................................................38

常规题型方法

题型一分类分步问题（特殊位置与特殊元素优先法、染色问题、排数问题）

【典例分析】

典例1-1.（2023秋・河北石家庄•高二校联考期末）2023年元旦假期，小明同学外出去某超市购物，

获得了该超市的一次抽奖机会，需从9个外观完全相同的盲盒中，随机抽取3个.已知这9个盲

盒中，其中3个盲盒各装有I支完全相同的钢笔，另外6个盲盒中，各装有不同的1个小饰品，

则拆开选取的3个盲盒后，小明获奖的情形为（????）种

A.84B.42C.41D.35

【答案】B

【分析】对抽到钢笔的情形分4种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得.

【详解】解：依题意小明抽到1支钢笔,则抽到2个不同的小饰品，有C=I5种;

小明抽到2支钢笔，则抽到1个不同的小饰品，有C；=6利1；

小明抽到3支钢笔，则只有1种；

小明抽到。支钢笔，则抽到3个不同的小饰品，由C：=20种；

综上可得小明获奖的情形有15+6+1+20=42种.

故选：B

典例1-2.（2022秋・辽宁朝阳•高二校联考阶段练习）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食足我

国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主

食、I种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（????）

A.13种B.22种C.30种D.60种

【答案】D

【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.

【详解】根据分步乘法计数原理，共有2x6x5=60（种）不同的选取方法，

故选：D.

典例1-3.（2023・全国•高三专题练习）如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、。四部分，现

用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（）

种不同的涂色方法？

A.260B.180C.240D.120

【答案】A

【分析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，最多四种颜色，分类讨论，最后相加.

【详解】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：

第一类，用4种颜色涂色，有A；=120种方法.

第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C；种.

在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或8、涂同色，另两部分涂异色有C；种选法；3种颜

色涂上去有A；种涂法，

根据分步计数原理求得共C；•（：；・A；=120种涂法.

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第二类，用两种颜色涂色.选颜色杓C种选法，A、C用一种颜色，B、。涂一种颜色，有A；种

涂法，故共C・A；=20种涂法.

・,・共有涂色方法120+120+20=260种,

故选：A.

典例14(2022春・天津河西・高二天津实验中学校考期中)从024,6中任取3个数字，从1,3,5中

任取2个数字，组成没有重复数字的五位奇数，则这样的五位数共有(????)

A.252B.396C.468D.612

【答案】C

【分析】满足条件的五位数可分为两类，第一类含0,第二类不含0,利用分步乘法计数原理和

分类加法计数原理即可求解.

【详解】满足条件的五位数可分为两类，

第•类含0,先由2,4,6中任选两个数，再从1,3,5中任选2个数，有C；c；种选法，最后将所选的

数与0排成五位奇数有C；C；A；种排法，故满足条件的数共C；C；C；C；A；个，

第二类不含0,先由2,4,6中任选二个数，再从1,3,5中任选2个数，有C：C；种选法，最后将所选

的数排成五位奇数有C；A：种排法，故满足条件的数共C；C；A：个，

故满足条件的五位数共C：C：CC；A：+C：C：C；A；个，即46B个，

故选：C.

【方法技巧总结】

1.技巧：注意特殊位置与特殊元素优先处理，对于染色问题与排数问题都要注意分类讨论。

【变式训练】

1.(2022秋.江苏南通・高三统考阶段练习)已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部

喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方

案共有(????)种.

A.30B.40C.50D.80

【答案】C

【分析】根据题意可知事件包含喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2

人且动作片3人三种情况，求出对应的方案后相加即可.

【详解】喜剧片和动作片至少两人观看的情况有：

喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2人且动作片3人,

当喜剧片2人且动作片2人时，共有C；C；C；种观看方案，

当喜剧片3人且动作片2人时，共有CG种观看方案，

当喜剧片2人且动作片3人时，共有C；C；种观看方案，

所以一共有C：C；C：+C；C；+C：C=50种观看方案.

故选：C.

2.（2022春•上海闵行•高二校考期末）现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同

学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（????）

A.45B.54C.20D.9

【答案】A

【分析】将此事分为5步，每一步均为1名同学选择讲座，后由分步计数原理可得答案.

【详解】将完成此事分为5步.第I步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学

完成选择，有4种方法；?；第5步为第五名同学完成选授，有4种方法.

则由分步计数原理可知，不同选法的种数位为：4x4x4x4x4=45.

故选：A

3.（2023・全国•高三专题练习）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆

可供选择，要求相邻区域不能涂向一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种

A.36???????B.48??????C.54?????D.72

【答案】D

【分析】符合条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域

②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法计数原理分别求出其方法数，相加即可求得结果.

【详解】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案瓦分为两类,

第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，

其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂

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区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂

区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有4x3x2xlx2种

方案,即48种方案;

区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区

域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区

域⑤，有1种方法，山分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有4x3x2xlxl种

方案，即24种方案；

所以符合条件的涂色方案共有72种，

4.(2022春・广东清远•高二统考期末)回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，

既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然

居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人在数学中

也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为•'回文数”，如22,575,1661等.那么

用数字1,2,3,4,5可以组成4位“回文数”的个数为(????)

A.25B.20C.30D.36

【答案】A

【分析】计算出由1个数字组成的4位回文数和由2个数字组成的4位回文数，相加后得到答案.

【详解】1,2,3,4,5可以组成的4位“回文数”中，

由1个数字组成的4位回文数有5个，

由2个数字组成的4位回文数有A；=20个，

所以由数字1,2,3,4,5可以组成4位“回文数”的个数为20+5=25.

故选：A

题型二排队模型（捆绑法、插空法、缩倍法、间接法）

【典例分析】

典例2-1.（2022秋.辽宁葫芦岛•高二校联考期中）小陈准备将新买的《尚书・礼记》、《左传》、《孟

子》、《论语》、《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》、《诗经》两本书相邻，且《尚

书,礼记》放在两端，则不同的摆放方法有（????）

A.18种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】先将《论语》、《诗经》两书捆绑，然后排好《尚书・礼记》，再排好剩余3个位置，最后

排《论语》、《诗经》，根据分步乘法，即可求得结果.

【详解】先将《论语》、《诗经》两书捆绑看作一个整体，则可以看作共4个位置.

先排《尚书・礼记》，排法种数为A；；然后剩余3个位置全排列，排法种数为A：；最后排好《论语》、

《诗经》，两书的排法种类为

所以，不同的摆放方法有A/A；・A；=2X6X2=24种.

故选：B.

典例2-2.（2022秋・辽宁朝阳•高二校联考阶段练习）《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国

古典四大名着之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社.诗

社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭：醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文

采不让桃李须眉诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾

宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的

排法种数有（????）

A.1440B.2400C.14400D.86400

【答案】C

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【分析】根据插空法，利用排列数公式求解.

【详解】不相邻问题用插空法，先将其他5人排好，有A；种不同的排法，再将林黛玉、薛宝钗、

贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中，有A：种不同政排法，所以有A；.A：=14400（种）不同

的排法.

故选：C

典例2-3.（2022秋.辽宁铁岭.高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）元宵节灯展后，悬挂有8

盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（？??？）.

A.32种B.70种C.90种D.280种

【答案】B

【分析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，由定序问题可求解.

【详解】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，

故选：B

【点睛】本题考查定序问题的处理，关键是将实际问题转化为定序模型，属于中档题.

典例2-4.（2022•全国•高三专题练习）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演

出顺序，要求语言类节口之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（？???）.

A.72B.96C.120D.144

【答案】D

【分析】首先全排列2个语言类的节目.再从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的

节目之间，最后与其余的两个歌舞节目全排列即可.

【详解】第一步：全排列2个语言类的节目，共有8种情况，

第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有府种情况，

第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列，

共有A；种情况，所以N=&=144.

故选：D

【方法技巧总结】

1.技巧：相邻问题用捆绑法；不相邻问题用插空法；定序问题与环排问题可用缩倍法；当正向思

考情况过多时可“正难则反”使用间接法来处理。

【变式训练】

1.（2022秋・浙江•高二校联考阶段练习）某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三

个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法

总数为（????）

A.75B.80C.84D.96

【答案】C

【分析】利用间接法求解，先求出五个节目的全排列数，再求出三个歌唱节目都相邻的排法数，

相减即可得结果.

【详解】三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为A；,其中三个歌唱

节目都相邻的排法数为A：A：,故满足条件的排法数为A\A；A；=120-36=84,所以三个歌唱节目最

多有两个相邻的排法总数为84,

故选：C.

2.（2022秋・湖北襄阳•高三襄阳五中校考阶段练习）根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的

课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学，生物这六

个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程耍求

如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（？??？）

A.144种B.72种C.36种D.18种

【答案】A

【分析】由题意知，语文生物相邻用捆绑法“捆绑法”，先与不受限学科全排列，数学物理不相邻，

用“插空法''后排列，最后要考虑语义生物的顺序，根据排列数公式以及分步乘法原理即可求出结

果.

【详解】语文与生物要相邻，将语文与生物捆绑看作一个整体.数学与物理不能相邻，采用插空

法，后排.

第一步，将语文与生物捆绑看作一个整体后，与英语、化学共3个，排列种类为A：；；

第二步，第一步完成后共有4个位置，将物理和数学排好，排列种类为A：：

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第三步，语文与生物的排列种类为A；.

所以，总的排列顺序有A〉A：A；=6x12x2=144.

故选：A.

3.（2022春・江苏苏州・高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、

乙、丙三人不全相邻的排法种数为（????）

A.A：.A；B.C.A；-A；D.A；-ARA；

【答案】D

【分析】先排列没有限制的排法，有用种，把甲、乙、丙三人相邻的情况去掉，即可得到答案.

【详解】8个人围成一圈，有孕=A；种.

其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由A；.A；.

所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为A；-A；.A；.

故答案为：D

4.（2022秋•黑龙江哈尔滨・高二哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）中国古代中的“礼、乐、

射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育：“乐”主要指美育："射''和"御’’就是体育和劳动：

“书''指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序

要求''数”不在第一次也不在第/、次，“礼•'和"乐''不相邻，则"八艺''讲座不同的次序共有（????）

A.480利।B.336种C.144种D.96种

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数，去掉其中的“礼”和“乐”

相邻的不同次序数即可计算作答.

【详解】依题意，"数''不在第一次也不在第六次的不同次序数有：A：A）

“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：A；A：A：,

所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：A：A*A；A：A；=336.

故选：B

题型三分组模型（平均分组与不平均分组、隔板法、间接法）

【典例分析】

典例3-1.（2。22秋・新疆巴音郭楞•高二新疆和静高级中学校考阶段练习）中国空间站的主体结构

包括天和核心实验舱?问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲？乙等6名航天员开展实验,

三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（????）种

A.450B.72C.90D.360

【答案】A

【分析】根据分类计数原理结合平均分组以及不平均分组运算求解.

【详解】6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，

可分两种情况考虑：

第一种：分人数为1-2-3的三组，共有C：C；CA：=360种；

第二种：分人数为2-2-2的三组，共有笺G-A；=90种；

Ax

所以不同的安排方法共有360+90=450种，

故选：A.

典例3-2.（2022・全国•高三专题练习）疫情期间，有6名同学去社区做防疫志愿者，根据需要，

要安排这6名同学去甲？乙两个核酸检测点，每个检测点至少去2名同学，则不同的安排方法共

有（????）

A.10利।B.20种C.50种D.70利।

【答案】C

【分析】根据题意，分2种情况进行讨论：①一组2人，一组4人，分别派到两个检测点；②一

组3人，另外一组3人，分别派到两个监测点.

【详解】根据题意，分2种情况，

⑴①将6人分为人数为2和4的2组，有C：=15种分组方法，

②将分好的2组全排列，安排到2个核酸点，有&=2种情况，则有15x2=30种不同的安排方法；

⑵①将6人分为人数为3和3的2组，有字=10种分组方法，

②将分好的2组全排列，安排到2个核酸点，有&=2种情况，则有10x2=20种不同的安排方法；

不同的安排方法有30+20=50,

故选：C.

典例3-3.（2022春•黑龙江佳木斯•高二校联考期末）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥

会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现

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代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李

等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每

个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（????）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】先将剩下的3名志愿者分为两组,再把小明和小李分别放在两组中，最后两组分别安装

“冰墩墩,，和“雪容融由分步乘法原理即可.

【详解】先将剩下的3名志愿者分为两组有C；=3种，再把小明和小李分别放在两组中有2种，

最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融''有2种，则共有3x2x2=12种.

故选：C.

典例3-4.（2022•山东潍坊・二模）某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共

有6个班，现将8个参赛名额分配给这6个班，每班至少1个参赛名额，则不同的分配方法共有（???？）

A.15种B.21种C.30种D.35种

【答案】B

【分析】采用隔板法直接求解即可.

【详解】将8个参赛名额分配给这6个班，名额之间并无区别，将8个参赛名额采用“隔板法”分成6

份即可，每份至少一个名额，

・•.共有容=21种.

故选：B.

典例3-5.（2023・全国•高三专题练习）北京冬奥会期间，比赛项目丰富多彩，为了实时报道精彩

的比赛过程，需要安排5名记者前往国家体育场、国家体育馆和首都体育馆三个比赛场地进行实

地报道.每个场地至少有一名记者，每名记者只去一个场地，并且记者中不去国家体育馆，记者乙

不去国家体育场.则安排方式共有（？??？）

A.87种B.72种C.96种D.69种

【答案】D

【分析】求得所有的安排方式，再求得甲去了国家体育馆，乙去了国家体育场的情况，结合题意，

即可求得结果.

【详解】没有“记者甲不去国家体育馆，记者乙不去国家体育场''附加条件下的情况，

共计有C；A；+卡A；=60+90=150种安排方式：

A2

“记者甲去国家体育馆'’的情况有150xg=50种，

同理“记者乙去国家体育场”的情况有50种，

“记者甲去国家体育馆，记者乙去国家体育场”的情况有如下19种：

除甲乙之外的3人都去首都体育馆的1种，

除甲乙之外的3人分别去了国家体育场、国家体育馆和首都体育馆，则有A；=6种,

除甲乙之外的3人至少有一人去了首都体育馆的所有可能有C；x4=l2.

所以满足题意的所有安排方式有150-50-50+19=69种.

故选：D.

【方法技巧总结】

1.技巧：在分组时如果出现两组个数相同，则此问题为平均分组或部分平均分组问题，使用缩倍

法处理；元素完全相同的分组分配问题可使用隔板法。

【变式训练】

1.（2022秋・甘肃张掖・高三高台县第一中学校考阶段练习）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、

丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，着名的山也有很多，比如：黄

山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研

学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（????）

A.150B.120C.160D.180

【答案】A

【分析】先分成三组，可以3、1、1,也可以2、2、1,分好后再安排到三个山.

【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名优秀学生分为3组，若分为3、1、1的三组，有

C种分组方法，若分为2、2、1的三组，有等种分组方法，故共有。：+竽=25种分组方法，

A2A2

②将分好的3组安排到3个地方进行研学旅行，有A；=6种情况，则有25x6=150种安排方法.

故选：A.

2.（2023・全国•高三专题练习）为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设

改革意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中

小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学

校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为

(????)

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A.2640B.1440C.2160D.1560

【答案】D

【分析】先分组再排序即可.

【详解】6人分组有2种情况：2211,3111,

C消

所以不同安排方案的总数为A：=1560.

故选：D.

3.(2023・全国•高三专题练习)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，

有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为了表彰A?3两个志愿者小组，组委会决

定将3个不同造型的“冰墩墩''吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给A?A两个小组,

要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6个吉祥物的分配方法种数为(????)

A.9B.18C.19D.20

【答案】B

【分析】分A小组有1个“冰墩墩”和有2个“冰墩墩”两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计

算原理计算可得；

【详解】解：依题意A小组“冰墩墩”可能有1个或2个,

①A小组有1个“冰墩墩”，则有C；C；=9种分配方法；

②A小组有2个“冰墩墩”，则有C；C；=9种分配方法；

综上可得一共有+C；C；=18种分配方法；

故选：B

4.(2022・全国•高二专题练习)袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友

至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有(????)

A.84种B.504种C.729种D.39种

【答案】A

【分析】相同元素分组可以采用“隔板法''求解..

【详解】二•四个小朋友去取球,每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，

即将10个球分成了4份：

o>oc|oc|oooo

10个球有9个空隙，选3个空隙插上“隔板”即可分成4份，

即：C=答^=84种.

3x2x1

故选：A.

5.（2022•浙江嘉兴•校考模拟预测）第19届亚运会即将于2022年9月10日至9月25日在美丽

的西子湖畔杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化

盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，此举得到在杭大学生的踊跃支持.某高校3男

同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个

项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排一起，且男同学小王、女

同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数有（????）

A.144B.150C.168D.192

【答案】D

【分析】由题得参与志愿服务的项目人数为：2,1,1,1,先求得没有限制时安排方法数，再减

去两个女同学在一起和男同学小王、女同学大雅在一起的方法数即可.

【详解】解：由题可得，参与志愿服务的项目人数为：2,1,1,1,

若没有限制则共有C>A；=240种安排方法；

当两个女同学在一起有A：=24种安排方法:

当男同学小王、女同学大雅在•起有A：=24种方法,

所以当要求2位女同学不安排一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开,

则不同的安排方法种数有240-24-24=192种安排方法，

故选：D

题型四二项式定理、二项式系数、项的系数

【典例分析】

[\10

典例4-1.（2022秋・吉林长春・高三长春外国语学校校考期中）--6的展开式中,f的系数

x7

等于(????)

A.-45B.-10C.10D.45

【答案】B

【分析】利用通项公式求出二项式的展开式，确定，=9,从而确定小的系数等丁-10.

14/38

【详解】的展开式为却=.（/厂［-］

37

令;r-10=W，解得：r=9,

77

收工。=仁。（-1）9/=-10/,

所以小的系数等于・1O.

故选：B

典例4-2.（2022・全国•高三专题练习）已知（4+哥的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的

系数之比为白，则展开式中二项式系数最大的项为第（????）项.

16

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由题意得

到关于〃的方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.

【详解】的展开式通项公式为

则第3项的系数为C"，倒数第3项的系数为C：2.2"-2,

因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为1,

16

所以，13=1=2、所以C>22=C；2.2i，解得〃=8,

C”以16

所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，

故选：C

典例4-3.（2022秋•云南昆明•鬲三云南师大附中校考阶段练习）二项式（3x+｛］的展开式中所有

二项式系数之和为64,则二项式的展开式中常数项为（????）

A.9B.15C.135D.540

【答案】C

【分析】根据所有二项式系数之和为64,求出〃=6,再根据通项公式可求出结果.

I

【详解】由二项式3x+；的展开式中所有二项式系数之和为64,得20=64,即〃=6,

\v-V>

所以公=晨3尸（｛]=36£C＞「京，

令6—^2=0,得女=4,

所以二项式的展开式中常数项为36±C：=135.

故选：C.

典例4-4.（2022春・江苏扬州・高二扬州市江都区丁沟中学校考期末）若二项式（♦-9）的展开式

中所有项的系数和为1024,则展开式中的常数项为（????）

A.25B.-25C.15D.-15

【答案】A

【分析】先由赋值法令x=l求得系数和，进而解出。=5,再由二项展开式的通项求出常数项即可.

【详解】令户1可得展开式中所有项的系数和为（“-if=1024,解得。=5,则二项式（5.八9）的

展开式的通项为“仁的[-5=（-1）'.55，口吟，^10-|r=0,解得r=4,则『25,即

常数项为25.

故选：A.

典例45（2023秋•江苏泰州•高三统考期末）若（x+），）6=q）y6+。阳户+生//*+…则

（4+%+4+4『一（4+6+%『的值为（????）

A.0B.32C.64D.128

【答案】A

【分析】先利用赋值法求得%-4+。2-%+4-4+4和。0+4+〃2+/+4++4的值,进而求得

（4+。2+包+。6）2-（4+々3+4）2的值.

【详解】X=1,，=-1时，。=%一1+/一44一%十%

X=1,丁=1时，64=%+4+%+%+。4+%+。6

（4+/+4+4）*-（4+%+为『

=（/_q+Oy-Oy+a4+综）（4+4+/+4+。4+6+«6）=0x64=0,

故选：A.

典例4-6.（2023秋・江西南昌•高一南昌市外国语学校校考期末）已知

16/38

(工一1)4+2/(工+1)+生(4+1)2+…+。5(1+1)二则％=(????)

A.-2B.2C.4D.12

【答案】C

【分析】令x+l=f,直接根据二项式定理求解即可.

【详解】令x+l=f,则x=I,

故(x—1)十2/=(r-2)+2(/—1)=%十a/十%厂十…十，

(”2『中/得系数为c：(-2)2=24,(-1)5中产得系数为C；(-1)3=70,

所以叼=24-20=4,

故选：C.

【方法技巧总结】

1.二项式定理：(〃+〃)”=6"…通项：，T=C；〃"-7/

2.相关性质：

(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即c：y”

(2)当左＜四时，二项式系数逐渐增大；当〃〉四时，二项式系数逐渐减小。

22

(3)二项式系数的最大值

当〃是偶数时，中间一项(第^+1项)的二项式系数最大，最大值音；

当〃是奇数时，中间两项(第七1+1项和第”1+］项)的二项式系数相等，且同时取到最大值,

22

n-lW4-1

最大值为订或于。

(4)各二项式系数的和

(a+b)"的展开式的各二项式系数的和等于2”；奇数项和偶数项的二项系数的和相等，为2~。

(5)各项系数的问题：/(x)=a0+4x+a*+..qv,则各项系数之和为/⑴。奇数项系数之和

—包+...偶数项系数之和q+=+&+=/⑴、"一)°

【变式训练】

1.(2000・全国•高考真题)二项式(夜+6x)50的展开式中系数为有理数的项共有(？???)

A.6项B.7项C.8项D.9项

【答案】D

【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.

【详解】二项式的通项加=（2鼠血严（喉）司C#，

若要系数为有理数，则25-fwZ,*Z,0<r<50,且FZ,

即]cZ,（wZ,易知满足条件的re{0,6,12,18,24,30,36,42,48},

故系数为有理数的项共有9项.

故选：D

2.（2022•浙江•校考模拟预测）若二项式（2x+{J（〃cN"）的展开式中只有第7项的二项式系数

最大，若展开式的有理项中第攵项的系数最大，贝必=（????）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】根据条件可得〃=12.写出展开式的通项乙广加2^-，广等，则当「是偶数时，该项为有理

项，求得所有的有理项的系数，可解出左的值.

【详解】由已知可得，〃=12.根据二项式定理，知展开式的通项为

加=/（2力3[A[=/24/卞，显然当「是偶数时，该项为有理项，

,2,2,2l099

r=0时，7；=C?22X=4096X;r=2时，7；=C；22x=67584x；

8663

〃=4时，7；=C；22x=126720.v%r=6时，7；=C?22x=59136.?；

4233

r=8时，7；=Cf22=7920;〃=10时，7；,=C；；2x=264x；

厂=12时，7；3=C；2°xF=K6

经比较可得，厂=4,即2=5时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大.

故选：A.

3.（2022春・山东聊城・高二山东聊城一中校考期中）已知（1-力”的展开式中第3项与第7项的二

项式系数相等，则展开式中的第3项为（????）

A.-8B.-8xC.-28x2D.28/

【答案】D

18/38

【分析】利用二项式定理求得(l-x)”的展开通项公式，从而得到关于〃的方程，解之即可求得展

开式中的第3项.

【详解】因为(17)”的展开通项为加=CL(r)=(-l)tX,

所以(17)”的展开式的第4+1项的二项式系数为C，

因为(17)”的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，

所以C：=c：,由性质C：=C：-2得〃—2=6,故"=8,

所以(1-4展开式中的第3项为I=(-l)2c；f=28寸.

故选：D.

4.(2023秋・甘肃兰州・高三兰化一中校考阶段练习)(丁+与”的展开式中只有第5项的二项式系数

x

最大，若展开式中所有项的系数和为256,则。的值为(????)

A.1B.-1C.3D.1或・3

【答案】D

【分析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，可以得到〃的值，然后再赋值法求出所有项的

系数和的表达式可解出。的值.

【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项，.•・〃=8,

令x=l,得所有项的系数和为(1+a)"=256,「.a=1或-3.

故选：D

5.(2022・全国•高三专题练习)已知C：=C：,设(2x-3)"=a)+4(x-l)+生+-+则

4+。2+~+4=(????)

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】利用组合数的性质可求得〃的值，再利用赋值法可求得%和4+%+%+•••+凡的值，作差

可得出所求代数式的值.

【详解】因为C：=C，所以由组合数的性质得〃=3+6=9,

所以(2x—3)=%+4(x—1)+/(％—1)+…+4(-―1),

令丫=2,得(2x2—3)9=q+«•1,R|Jaxt+a^+a2-\\-a^=\.

令x=l,得(2x1-3)。=%=-1,

所以4+生-*--1■q=(4+4+生4---(■%)—%—1—(—1)=2,

故选：D.

6.(2022春・山东临沂・高二统考期中)对任意实数x,有

923

(2x-3)=^)+al(x-l)+a2(x-l)+«5(x-l)+…+%(工一17,则(????)

A.4=1B.a2=-144

C.6+生+…+%=]D.%—q+%—…一4=39

【答案】B

99

【分析】(2X-3)=[-I+2(X-I)],利用二项展开式的通项即可求得。2,即可判断B；

令x=l,可得a。，即可判断A；

令x=2,可得/+4+%+…+/，即可判断C,

令x=0,可得----%,即可判断D.

【详解】解：对任意实数上，有(21一3)9=%+41*-1)+〃2。-1)2+。3(工一1)3+…+〃9(X-1)9

=[-l+2U-l)J9,所以生=-C"22=—144,故B正确；

令x=l,可得%=T,故A错误；

令x=2,可得q)+4+电+•••+%=1,则4+生+-・+《=2,故C错误；

令x=0,可得%-q+%----q=-3)故D错误.

故选：B.

题型五三项展开式与两个二项式乘积展开式

【典例分析】

典例5-1.(2022秋•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习)(2/+)，+1)、的展开式中/丁项

的系数为(????)

A.120B.160C.180D.210

【答案】A

【分析】将(2f+y+i『看作5个因式2Y+y+l相乘，根据犬丁的指数可认为5个因式中有两个选

2M项，其余两个选％最后个因式选1,进行相乘，可得答案.

20/38

【详解】由题意QW+y+l），的展开式中/），2项的系数为C；X22XC；=12。，

故选：A

典例5-2.（2022秋・山西•高三校联考阶段练习）在g+lj（/+l）4的展开式中，常数项为（????）

A.12B.13C.15D.18

【答案】B

【分析】1丫展开式中有二项，二项，，项与常数项.

（八1『展开式中有f项，/项，/项，/项与常数项.

则g+ljy+l）4的展开式中常数项为g+lj中"项系数与（八|）4展开式中/项系数乘积与两

式中常数项乘积之和.

【详解】用二鸣+G眇鸣+】

（X2+1）4=C：（%2）4+C（x2）3+C；|x2）2+C：（f）+1,

故常数项为C；C-LN+I=13.

x~

故选：B.

【方法技巧总结】

1.技巧：选取法可以处理上述两类不标准的情况，注意选取要分情况，且满足不重不漏。

【变式训练】

1.（2022秋•贵州•高三校联考阶段练习）在（好+lj的展开式中，常数项为（????）

A.-81B.81C.-160D.160

【答案】B

【分析】要得出常数项，则分类讨论在信一工+1丫的5项中Lt和1的项数组合的可能情况，

再求和即可.

【详解】由题知，展开式中常数项为：

《・信丫W©5yday.C(T)2cp

lx

=1-40+120=81.

故选：B

2.(2022•青海西宁・涅川中学校考一模)(1+力(2«-91的展开式中的常数项是(????)

A.-160B.-1(X)C.-20D.20

【答案】B

【分析】求出(24-3丫的通项公式北广(-1)'26-，晨/，，令3f=0和7,求解对应常数项即可.

IW

展开式的通项为加=(-1)'26-y/，,令3f=0,得r=3,令3—r=-l,得r=4,

展开式的常数项是-8C：+4C：=700.

故选：B.

题型六二项式定理逆用、整除问题、近似值问题

【典例分析】

典例6-1.(2022秋・湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习)

以22—2C1+22点二一2(短+一+2期七滥的值是(????)

A.0B.1C.-1D.22022

【答案】B

【分析】根据二项展开式的运算公式，分析出展开前的式子即可.

20

【详解】(1—2)”=C^22°+C^(-2)'+(422(—2)2+682(—2)3+…+C器;(—2)M2

22022

=C},-2C-+2C；022-23C短+…+2啮=1

故选：B.

典例6-2.(2023・高二课时练习)设aeZ,且0K13,若512015+a能被13整除，则a的值为(????).

A.0B.1C.11D.12

【答案】B

22/38

【分析】由二项式定埋可知5P”+a=(52-1)刈$+a,将具展开后即可判断出只要-C需3。+。能被

13整除，51刈便能被13整除，结合已知。的范围即可求解.

【详解】•・・512。|5+〃=(52—1)”心+〃=(2短52刈5—(2小52203+(2短52刈3—..+€：北・52—052°+4,

且Ck5220”-c薪52^+(：温52刈:…+C乳-52含有因数52,故能被52整除，

要使得51刈5+〃能被13整除，且oeZ,0<r/<13,

贝4可得V能,52。+〃=—1+ae[—1,12],且一1+awZ,故一l+a=O,/.«=1.

故选：B

典例6-3.(2023・全国•高二专题练习)0.997的计算结果精确到0.001的近似值是(????)

A.0.930B.0.931