专题04向量的线性运算（34题）

2023年上海市15区中考数学一模汇编

专题04向量的线性运算（34题）

一.选择题（共12小题）

1.（2022秋•金山区校级期末）已知彳=3石，下列说法中不正确的是（）

A.7-3b=0B.二与E方向相同

C.a//bD.|aI=3lbI

【分析】根据已知条件可知：2与E的方向相同，其模是3倍关系.

【解答】解：力、由知：a-3b="6»原说法不正确，符合题意；

B、由a=3b知：a与b的方向相同，原说法正确，不符合题意；

由知：W与E的方向相同，则原说法正确，不符合题意：

D、由Z=3'&口：|%=|3e，原说法正确,不符合题意.

放选：A.

【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有方向，又有大小.

2.（2022秋•徐汇区期末）下列命题正确的个数是（）

®设4是一个实数，获向量，那么k与之相乘的积是一个向量；

②）如果出中0,Z卉1，那么k熬J模是网"5；

③如果％=0,或那么kZ=a

④如果〃>0,kZ的方向与Z的方向相反.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由平面向量的性质，即可判断.

【解答】解：①设左是一个实数，之是向量，那么左与W相乘的积是一个向量，正确，故①符合题意;

②如果％WO,Z卉1，那么kZ的模是|川后，正确，故②符合题意；

③如果4=0,或a=0，那么Aa=0，故③不符合题意；

④如果”>0,kZ的方向与赢方向相同，故④不符合题意.

因此正确的有2个.

故选：B.

【点评】本题考查平面向量，关键是掌握平面向量的性质.

3.（2022秋•徐汇区期末）已知彘都是单位向量，下列结论中，正确的是（）

A.laI=lbIB.a=bC.a=lD.a-b=0

【分析】根据平面向量模的定义、相等向量的定义以及向量加减运算法则即可求出答案.

【解答】解：A.由题意可知讶=市=1,故4符合题意.

B、a与b方向不一定相同，故8不符合题意.

C、7是带有方向和数量的，故C不符合题意.

.D、Z-E仍然是向量，故。不符合题意.

放选：A.

【点评】本题考查平面向量，解题的关键是正确理解平面向量模的定义、相等向量的定义以及向量加减

运算法则，本题属于基础题型.

4.（2022秋•黄浦区校级期末）已知彳=24，下列说法中不正确的是（）

A.a-2b=0B.羲E方向相同

C.Z〃ED.m=2|石

【分析】根据平面向量的性质进行一一判断.

【解答】解：力、由Z=2&导到：a-2b=0.故本选项说法不正确.

B、由知，2与E方向相同,故本选项说法正确.

c、由之=2三知，W与E方向相同，则Z〃E，故本选项说法正确.

D、由之=2与知，|胃=2|石，故本选项说法正确.

放选：A.

【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

5.（2022秋•闵行区期末）下列命题中，正确的是（）

A.如果3为单位向量，那么

B.如果a、b都是单位向量，那么a=b

C.如果a=-b，那么a〃b

D.如果讶=rs,那么;=E

【分析】根据平面向量的定义、共线向量的定义以及平面向量的模的定义进行分析判断.

【解答】解：A.如果彳为单位向量，且蒜W方向相同时，那么之=|力彳，故本选项不符合题意.

B、如果之、E都是单位向量且方向相同，那么W=E，故本选项不符合题意.

C、如果W=-E，则向量Z与-百勺大小相等、方向相反，那么W〃与，故本选项符合题意.

D、若|胃=后，那么W与E的模相等，但是方向不一定相等，即W=E不一定成立，故本选项不符合题意.

放选：C.

【点评】本题主要考查了平面向量的知识，注意平面向量既有大小，又有方向，属于易错题.

6.（2022秋•静安区期末）如果非零向量W、E互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）

A.a〃bB.IaI=IbIC.a+b=0D.a=-b

【分析】非零向量a、b互为相反向量，则非零向量a、b大小相等，方向相反.

【解答】解：•・•非零向量Z、为相反向量，

:.a〃bB.a=-bELla|=|H，

a+b=0-

观察选项，只有选项。符合题意.

牧选：C.

【点评】本题主要考查了平面向量，注意理解平面向量有关的定义是关键.

7.（2022秋•嘉定区校级期末）如图，在△48C中，点。是在边8c上一点，且8O=2CO,AB=bBC=X

那么标等于（）

BDC

~1一——♦9—♦0—•—♦9―•—♦—O—

A.AD=a+bB.AD=^-a-^bCAD=a-bD.AD;bfa

oo

【分析】由BO=2CO,求得面的值，然后结合平面向量的三角形法则求得标的值.

【解答】解：:8。=2。。，

2

：,BD=—BC.

3

,・,拓=之，

工丽多.

3

乂AB=b，

：・AD=BD=b+?a.

3

放选：D.

【点评】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应

用.

g.（2022秋•杨浦区校级期末）下列说法中不正确的是（）

A.如果〃?、〃为实数，那么（m+n）a=ma+na

B.如果左=0或a=0，那么k"0

C.如果4W0,且Z声1，那么k懿方向与施方向相同

D.长度为1的向量叫做单位向量

【分析】由平面向量的性质，即可得力与6正确，又由长度为/的向量叫做单位向量，可得。正确，向

量是有方向性的，所以C错误.

【解答］解：A＞根据向量的性质得（m+n）a=ma+na，故本选项正确；

9、如果A=0或a=0，那么ka=O，故本选项正确；

C、因为向量是有方向性的，所以C错误；

D、长度为/的向量叫做单位向量，故本选项正确.

故选:c.

【点评】此题考查了平面向量的性质.题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是

解此题的关键.

9.（2022秋•青浦区校级期末）已知非零向量2、E，且有7=-2E，下列说法中，不正确的是（）

A.H=2|yB.Z〃E

C.涡E方向相同D.^-2b=0

【分析】根据非零向量Z、E，有W=-2总即可推出后=2市，W〃总Z与E方向相反，a^2b=0＞由

此即可判断.

【解答】解：•・•非零向量7、1,且有；=-2高

，讨=2|三，W，泰三方向相反，&2三=3,

放4B,C正确，。错误，

放选：D.

【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

10.（2022秋•黄浦区期末）矩形/8CQ的对角线/C与8。相交于点O,如果皮=之，DC=b»那么（）

A.D0=2（软-b）B.D0=《（b~a）C.D0=a-bD.D0=《（b+a）

222

【分析】在△ACO中，前的终点是而的起点，两者和是以夕点为起点，。点为终点的向量.

【解答】解：如图所示:

VBD=BC+CD

=BC-DC

=a-b»

.••而='而=4(b-a).

22

故选:B.

【点评】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，注意掌握三角形法则是解此题的关键.

11.（2022秋•徐汇区校级期末）若非零向量Z和E互为相反向量，则下列说法中错误的是（）

A.a//bB.a卢bC.|aI7^IbID.b二-a

【分析】向量工和向量E方向相反，则Z〃总|%=市，京工尸"6,由此结合选项进行判断即可.

【解答】解：二,非零向量a和b互为相反向量，

・••向量a和向量b方向相反，

：•a〃b，a#b

放48不符合题意；

二,向量a和向量b方向相反，

*,•向量a和向量四模相等，

.,・可=两，

效。符合题意；

•・•向量Z和向量E方向相反，

a+b=0，

放。不符合题意；

放选：C.

【点评】本题考瓷平面向量，熟练掌握相反向量的定义及性质是解题的关键.

12.（2022秋•杨浦区期末）已知又为非零向量，a=3ob=-2Q那么下列结论中错误的是（）

A.WB.|%=春石

C.方向相同D.a与b方向相反

【分析】根据平面向量的性质一一判断即可.

【解答】解：・・・Z=3W，b=-2c

m讶=英，z与E发方向相反，

：.A,B,。正确，

放选：C.

【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

二.填空题(共11小题)

13.(2022秋•闵行区期末)化简：—(-3a+b)--b=_

33

【分析】运用实数的运算法则解答即可.

【解答】解：2(-3a+b)~—b

33

=4X<-3a)+1-b-1-b

333

=-2之.

故答案为：-2

【点评】本题主要考查了平面向量的知识，实数的运算法则同样能适用于平面向量的计算过程中.

14.(2022秋•青浦区校级期末)计算：3(a-2b)-2(a-3b)=_J.

【分析】实数的运算法则同样适用于该题.

【解答】解：3(a-2b)~2(a-3b)

=3a-3b-2a+3b

=(3-2)2(-3+3)b

—♦

=a-

放答案是：a.

【点评】考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题.

15.(2022秋•黄浦区期末)计算：3(2a-b)-(3^-2b)=」主道石—•

【分析】运用乘法分配律进行计算.

【解答】解：3(2a-b)-(3a+2b)

=6a-3b-3a-2b

=3a-5b-

放答案为：3a-5b

【点评】本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样能适应于平面向量的计算过程中，属于基础题.

16.（2022秋•青浦区校级期末）计算：3（二2芯）-2（^-b）=_

【分析】乘法结合律也同样应用于平面向量的计算.

【解答】解：原式=3#6b-2a±2b）=a+8b.

故答案是：才8b.

【点评】本题主要考查了平面向量，属于基础题，实数的运算法则同样应用于平面向量的计算.

17.（2022秋•徐汇区期末）如图，在梯形48co中，AD//BC,即是梯形48CO的中位线，分别

—♦—♦

交EF、AC干点G、H,若更=之，前=%则用］、E表示前=_±二亘

【分析】由梯形中位线定理得到所=地出2，结合梯形的性质，平行四边形的判定与性质求得GF的长

2

度，利用平面向量表示即可.

【解答】解：•・•在梯形44。。中，AD//BC,则力。〃〃。，AH//CD,

・•・四边形4HCO是平行四边形.

：,AD=HC.

又EF是梯形ABCD的中位线，

.•.E/7=AD+BC,且GF=4D.

2

:,EG=EF-GF=AP[BC,.氏-AD

22

BC=b»

.••前

2

――♦

放答案是：匕

2

【点评】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向.

18.（2022秋•嘉定区校级期末）如果向量W、E、7满足关系式2-（7-24）=总那么7=_京4_（用向

量a、b表示）.

【分析】根据平面向量的加减法计算法则和方程解题.

【解答】解：a-（x-2b）=b，

a~肝2b-b=0，

a-x4-b=O,

―♦―♦

x=a+b-

放答案是：京工

【点评】此题考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量7的值的，难度不大.

19.（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知在△力8c中，力0=2,AB=5,DE//8C.设标=W，AC=b

试用向量a、bS示向量BE=_2Z-；_.

5

【分析】首先由OE〃8C,得到由标=工，AC=b即可求得前，由相似三角形的对应

边成比例，即可得到由，DE；即可求得箴.

【解答】解：VJD=2,48=5,DE//BC,

:・/\ADEs丛ABC,

.ADDE2

••二一一二一,

ABBC5

29

**,BD=~^_BA,DE=­BO

55

,•*AB=a，AC=b»

*,*BD=^_a,BC=BA+AC=~a+b»

o

—•9—♦9—一

・•・DE《BC《(-a+b)，

DD

，一7、3f2

•,-BE=BD+DE=^4y(-a+b)=­a5a可奉与

o

故答案为：与二.

5

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的意义与运算.此题难度•般，解题时要注意

数形结合思想的应用.

20.（2022秋•金山区校级期末）如图，8E、力。分别是△48C的两条中线，设而=22，BD=b＞那么向量

【分析】根据8E、力。分别是△A5C的两条中线得出8c=290,跖=3BO，再根据平面向量的减法运

2

算法则即可求解.

【解答】解：•••8E、4。分别是△48C的两条中线,

2

:・BC=2BD,Z?E=—BQ,

2

VB0=2a.BD=b

:.BC=2b»BE=3a，

AEC=BC-BE=2b-3^

牧答案为:2b-3a-

【点评】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平

面向量的的减法运算法则是解题的关键.

21.（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在梯形X8CO中，AD//BC,BC=2AD,设向量标=Z，AD=b»

用向量a、b表示AC为_a±2b_-

【分析】根据梯形的性质和三角形法则解答.

【解答】解：如图，在梯形48CQ中，•・ZO〃8C,BC=2AD,AD=b

ABC=2AD=2b

:.AC=AB^BC=a+2b,

故答案是：好2b.

【点评】此题考查了平面向量的知识以及梯形的性质.注意利用图形求解是关键.

22.（2022秋•徐汇区校级期末）如图.点G是的重心，过点G且平行于AC点Q、E分别在

AB、AC_t»设AB=a，AC=b»那么DE=_a一.（用a、小）

33

【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1）,求得正与

京的数量关系，然后再根据我=乖-瓦，可得而与次、点的数量关系.

【解答】解：连接1G,并延长4G交8C于点足

A

,:DE〃BC,

：.AG：AF=DEtBC；

又：点G是△/BC的重心，

：,AG：AF=2：3,

：.DEt5C=2：3；即血:BC=2：3；

VBC=AC-AB>

»O'»»O—>O-♦

ADE=4（AC-AB）=1b-《a，

333

放答案为：

33

【点评】本题主要考查了三角形的重心、平面向量.在解答此题时要注意两点：①三角形的重心的性质:

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1,即4G：GF=2：1,而不是/G：JF=2：1；

②平面向量是有方向的.

23.（2022秋•徐汇区期末）如图，在△/BC中，AB=AC,ADLBC,垂足为点。.设标=2BC=b那

b的式子表示）.

【分析】由在△48C中，AB=AC,AD±BC,根据三线合一的性质可得：BD=-BC=-b.然后由三角

22

形法则，求得答案.

【解答】解：•・•在△48C中，，48=4C,ADLBC,

工丽=2元=春，

22

VAB=X

,AD=®BD=a+二b.

2

放答案为：2/E.

【点评】此题考查了平面向量的知识以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注意掌握三角形法则的应

用.

三.解答题（共11小题）

24.（2022秋•青浦区校级期末）如图，在平行四边形中，E为。C上一点，AE与BD交于点F,DE：

EC=1：2.

（1）求。尸的值：

（2）如果屈=1,屈=总试用W、E表示向量

【分析】（1）由平行四边形的性质得。。〃48,从而△ABFSAEDF,利用相似三角形的性质得比例式,

从而解得BF：DF；

（2）先求出8/=^BD，再利用向量的加法可得答案.

7

【解答】解：（1）•・•四边形4£CO是平行四边形，

:.DC〃AB,DC=AB,

:•△ABFS/\EDF,

,BF_AB

•而而

*：DE：EC=1：2,

：.DC：DE=3：L

：,ABxDE=3：1,

:,BF：DF=3：1；

（2）*：BF：DF=3：1,

:.DF=gD,

4

•:BD=AD-AB，

**•BD=a-b«

.・.布=之丽c二与.

444

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质

是解题的关键.

25.（2022秋•静安区期末）如图，已知在448。中，点。、后分另1.在边48、力。上，且80=24。，AE=^-EC.

2

（1）求证：DE//BCx

（2）设靛=Z，BC=b试用向量之、E表示向量菽.

【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明；

（2）由三角形法则求得前，然后由/E与EC的比例关系求得向量次.

【解答】（1）证明：BD=2AD,AE=^-EC,

2

•AD=AE=_1

,*ABAC

:.DE"BC、，

（2）解：•・•丽Q，BC=b

**•EC-BC~BE—b~a-

【点评】本题主要考查了平面向量，掌握平行线的判定，三角形法则即可解答该题，属「基础题.

26.（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在△月8c中，ABCD=^A,AD=5,08=4.

（1）求8c的长：

（2）若设区:Z，CB=b＞试用Z、E的线性组合表示向量石.

B

【分析】（1）由/8CO=N4,公共角NCBD=N4BC,可证出△BCOs△历1C,再利用相似三角形的性

质可求出8C的长.

（2）由力。：8。=5：4,可得标=土凝，结合而=既+标，即可求出结论.

9

【解答】解：（1）•:/BCD=/A,ZCBD=ZABC,

•••△8CZ）s△切。，

•BC_BDBIjBC4

•怎一记'次—而‘

•••8C=6或8c=-6（不符合题意，舍去），

・・・8C的长为6；

（2）,：ADzBD=5：4,

：,ADtAB=5t9,

・••屈:？施

9

ACD=CA*AD=CAiAD=CA>-^-<AC«CD）=卬二（d'b>=々川三b

99999

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平面向量.解题的关键是：（1）利用相似三角形的判

定定理，证出△灰xS/XA4C；（2）根据各向量之间的关系，用之、E的线性组合表示出向量而•

27.（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知△力8c中，DEHB3AD=3,。8=6,AC=S.

设BA=a，BC=b.

（1）请直接写出向量贡、亚关于二、以勺分解式，DE=_yb_：AE=_-yl-k|b—

（2）连接在图中作出向量瓦分别在之、E方向上的分向量.【可以不写作法，但必须写出结论】

BC

【分析】（1）过点力作8c的平行线，过点C作8%的平行线，两直线相交于点凡得出屈=前=1

^=-BA=-a＞进而得出正二疝+屈二4+三，通过证明^力台〜^花凡根据相似三角形对应边成比例

即可进行解答;

（2）连接8E,过点E作力8的平行线，交BC于点G,即可进行解答.

【解答】解：（1）过点力作8C的平行线，过点C作氏4的平行线，两直线相交于点R

<AF"BC,CF//BA,

・•・四边形ABCF为平行四边形,

；・AF=BC,

,:BA=a»BC=b

***AF=BC=b，AB=-BA=-a*

・'•AC=AB+AF=一a+b，

'：DE//HC,

:・NADE=NB,ZAED=ZC,

•••△ABCs△力of,

••・瞿恶©=/乌则DE&。AE=5-AG

ABBCAC3+633^3^

，桎］正右,AE^AC-y(-a+b)

Oo0o

故答案为:吴崇亭

（2）如图所示：向量标分别在Z、E方向上的分向量为丽、BG.

BC

【点评】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识，数

形结合是解题的关键.

28.（2022秋•闵行区期末）如图，已知△48C中，点。、后分别在边48和4c上，DE//BC.且经过

△/18C的重心，设屈=Z，AC=b.

（1）DE=_^-at-b_（用向量7,版示）;

33

（2）求作：

3

（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

【分析】（1）根据三角形的重心的性质，平面向量的三角形法则即可求解;

（2）根据平面向量的三角形法则作图即可.

【解答】解：（1）经过△48C的重心，DE//BC,

.DEAE2

••।'==g

BCAC3

,**BC—~a+b»

33

被答案为：-33rt'3b；

33

（2）如图所示:

【点评】本题考查了平面向量，三角形的重心，作图一复杂作图，关键是熟练掌握三角形的重心的性质,

平面向量的三角形法则.

29.（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在平行四边形488中，对角线4C、8。相交于点。，点E在边8c

上，力E与4。相交于点G,AG：GE=3：1.

（1）求EC：的值：

【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题;

（2）利用三角形法则计算即可；

【解答】解：（1）•••四边形48。。是平行四边形，

:.AD〃BC,AD=BC,

.ADAG7

BEGE

・B*

BE

:.EC：BC=2：3.

(2)VA0=bAC=2AO,

AAC=2b>

9

,•*BC=AC=a+2b»EC=—BC,

3

YAD//BE,

,BG_EG_1

■*GDAG-^

:.BG=』D,

4

；•BG=](2a+2b,)=-^-b»

422

・・・施〜系-与

22

放答案为

3322

【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

30.（2022秋•浦东新区校级期末）如图，己知平行四边形/4CQ,点V、N是边。C、8C的中点，设靛=

（1）求向量而（用向量W、三表示）；

（2）在图中求作向量而5在瓦、元i方向上的分向量.

（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）.

【分析】⑴由四边形力8CO是平行四边形，可得而，又由点M、N是边QC、8c的中点，根据三角形

中位线的性质，即可求得向量而；

（2）首先平移向量而，然后利用平行四边形法则，即可求得答案.

【解答】解：⑴:屈=1,AD=b

:.DB=AB-AD=a-b»

•・•点M、N分别为。C、8C的中点，

MN卷DB=^-a-^b;

（2）作图：结论：至、与是句量也分别在荒、标方向上的分向量.

【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质.注意掌握平行四

边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键.

31.（2022秋•浦东新区期末）如图，在△48C中,BE平分/ABC,DE//BC,3。=3,DE=2.

（1）求AE：AC的值；

（2）设标=彳，皮=》求向审BE（用向最a、b表示）.

【分析】（1）由4月平分N/4C,DE//BC,可得N4BE=NDEB,BD=DE=2,故姻_=迫=旦，即力E：

ACAB5

AC的值是~1；

5

（2）由4£=31。，可得杷=3@+二1>故BE=B¥AE=-三资金匕

55555

【解答】解：（1）平分N48C,

:.NABE=/CBE,

TDE//BC,

:・/DEB=/CBE,

/ABE=/DEB,

:・BD=DE=2,

VAD=3,

：,AB=AD+BD=3+2=5,

■:DE//BC,

.AE_AD_3

**AC屈F，

AJE：/C的值是巨

5

(2)由(1)知

5

vAC=AB^BC^

***AC=班b»

・•・若年

55

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•••BE=B外AE=-眼纭a^b=-《乔纭匕

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【点评】本题考查平行线分线段成比例，等腰三角形判定，向量和差等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

32.（2022秋•徐汇区期末）如图，在平行四边形/BCD中，点E在边8c上，BE=2CE,AC.力E相交于

点尸.

（1）求DF：E"的值；

（2）如果屈=Z，AD=b>试用Z、E表示向量而.

【分析】（1）利用三角形相似的判定和性质即可解决问题;

（2）利用三角形法则即可解决问题.

【解答】解:（1）♦・•四边形4BCQ是平行四边形,

:.AD=BC,AD//BC,

:AADFSACEF,

.AD=DF

••而W

,:BE=2CE,

：.AD=BC=3CE,

•DF