中考数学中的折叠问题

中考数学中的折叠问题

为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象实力，近几年来中考中常

出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是依

据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可

利用。所以肯定要留意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。

有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难

解决。

例1（成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕,

折叠后的C点落在3M或8'例的延长线上，则/EMF的度数是（

A

A、85°B、90°C、95°D、100°

分析与解答：本题考查了有关折叠的学问。

由题意可知：ZBME=ZEMC,ZCMF=ZFMC,ZBA/C+ZCMC=180°,又CM与BM

重合，

则NEMF=NEMC'+NFMC'二」（N8MC'+NCMCj=』xl800=90°，故选B。

22

例2（武汉市试验区中考题）将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠，折痕为AF,点

E、D分别落在E'、Do已知NAFC=76°,则/。式力等于（

A、31°B、28°C、24°D、22°

分析与解答：本题同样是考查了折叠的学问。依据题意得:

ZAFD=ZAFD=180°-76°=104°，则NCFD,二104’-76°=28°，故选B。

例3（河南省试验区中考题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使0A、

0C分别落在X轴、y轴上，连结0B,将纸片OABC沿0B折叠，使点A落在点A.的位置,

若0B二石，tanZB（9C=-,则点A,的坐标为。

2

分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的实力。

例4（浙江省试验区中考题）现有一张长和宽的比为2：1的长方形纸片，将它折两次

（第一次折后也可打开铺平再折其次次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四

部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不回的操

作，分别将折痕画在矩形中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操相。到的

四个图形，假如能够“配对”得到四组全等的图形，则就认为是相同的操作。如图乙

和图甲是相同的操作）。

（乙）（甲）

例5（南京市中考题）已知矩形纸片，AB=2,AD=lo将纸片折叠后，使顶点A与边CD

上的点E重合。

（1）假如折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1）,AF=-,求DE的长；（2）假如

3

折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2）,ZXAED的外接圆与直线BC相切，求折痕

FG的长。

分析与解答：（1）在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,AE=-,ZD=90°,依据轴对称的性质,

3

得EF=AF=2。,\DF=AD-AF=1，在RtZWEF中，由勾股定理得=_仕］=且。

33VUJ⑶3

（2）设AE与FG的交点为0,依据轴对称的性质，得A0=E0,取AD的中点M,连接

M0,贝IJM0二,DE,M0〃DC。设OE=x,贝UM0=-x,在矩形ABCD中，

22

NC二ND=900・,.AE为aAED的外接圆的直径，0为圆心。延长M0交BC于

点N,则0N〃CD,AZCNM=180°-ZC=90°A0N1BC,四边形MNCD是矩形。

・・・MN=CD=AB=2,・・・0N=MN-M0:2—』x:ZXAED的外接圆与BC相切，，ON是AAED的

2

外接圆的半径。J0E二0N二2-,工，AE=20N=4-1。在RtaAED中，AD2+DE2=AE2：.

2

l2-bx2=(4-x)2解这个方程，得工="。・・・。£=g，OE=2--x=-.依据轴对称

88216

的性质，得AE_LFG,JZF0E=ZD=90°。

又VZFEO=ZAED,AAFEO^AAED,AFQ=—XAD可得产。=口又

ADDEDE30

AB〃CD,「.NEFO=NAGO,NFEONGAO/.AFEO^AGAO

：.?0=G0：.FG=2FO=—fJ折痕FG的长是D。

1515

中考实战一:

一、选择题

1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD

痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A

落在BC上，折痕EF交AD于F.则ZAFE=()

A.60°B.67.5°C.72°D.75°

5.（绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的

新方法,她是通过折一张半透亮的纸得到的（如图⑴〜（4））.

（1）

从图中可知，小敏画平行线的依据有（）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；

③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.

A.①@B.②③C.③④D.①④

6.（贵阳市）如图6T所示，将长为20cm,宽为2cm的长方形白纸条，折伴I6-2所

示的图形并在其一面着色，则着色部分的面耐力I入、|&J、

A.34cm-B.36cm"图6」图6-2

第6题

C.38cmD.40cm2

二、填空题

7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C,D分别落在C',＞的

位置上，EC'交AD于点G.已知NEFG=58°,则/BEG

8.(苏州市)如图，将纸片AABC沿DE折叠，点A落在点A'处,已知Nl+N2=100。，

则/A的大小等于度.

三、解答题

9.(荆门市)如图1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC,已知0(0,0),A(4,

0),C(0,3),点P是0A边上的动点(与点0、A不重合).现将APAB沿PB翻折，得到

△PDB；再在0C边上选取适当的点E,将APOE沿PE翻折，得到APFE,并使直线PD、

PF重合•设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式，并求y的最大值;

如图2,若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;

在⑵的状况下，在该抛物线上是否存在点Q，使APEQ是以PE为直角边的直角三角形?

若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.

图2

第9题

10.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN,再把B点叠在折痕线

上，得到aABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.

求证：ZXPBEsaQAB；

你认为aPBE和ARAE相像吗？假如相像给出证明，如不相像请说明理由；

假如沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？

11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB〃CD,

=BC.翻折纸片ABCD,使点A与点C重合，折痕为EF.已知

1AB.

（1）求证：EF/7BD；

(2)若AB=7,CD=3,求线段EF的长.

12.（烟台市）生活中，有人喜爱把传送的便条折成形态%,折叠过程是这样的（阴

影部分表示纸条的反:）：］

AMBAM

（D②③④

第12题

假如由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm,宽为xcm,分别回答下列问题：

为了保证能折成图④的形态（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围.

⑵假如不但要折成图④的形态，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，

即最终图形是轴对称图形，试求在起先折叠时起点M与点A的距离（用x表示）.

13.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处，折

痕为EF.

（1）求证：△ABEg/\AD'F；

（2）连接CF,推断四边形AECF是什么特别四边形？证

明你的结论.

14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其详细操作过程是：

第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片绽开（如图1）；

其次步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时

得到线段BN（如图2）.

请解答以下问题：

（I）如图2,若延长MN交BC于P,aBMP是什么三角形？请证明你的结论.

（2）在图2中，若AB=a,BC=b,a、b满意什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符

合（1）中结论的三角形纸片BMP?

（3）设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM'为

第14题

y=kx,当BC=60°时，求k的值.此时，将△AEM'沿BW折叠，点A是否落在EF

上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？

15.（邵阳市）如图①，aABC中，ZACB=90°,将aABC沿着一条直线折叠后，使点A

与点C重合（图②）.

（I）在图①中画出折痕所在的直线1.设直线1与AB,AC分别相交于点D,E,连结CD.（画

图工具不限，不要求写画法）

（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形.（不要求证明）

16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN,再把B点叠在折痕线

上，得到aABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.

（1）求证：APBE^AQAB；

（2）你认为APBE和4BAE相像吗？假如相像给出证明，如补相像请说明理由；

（3）假如直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？

BC

17.(临安市)如图，△OAB是边长为2+后的等边三角形，其中。是坐标原点，顶点B

在y轴正方向上，将aOAB折叠，使点A落在边0B上，记为A',折痕为EF.

(1)当NE〃x轴时，求点卜和E的坐标；

_12v

(2)当A'E〃x轴，且抛物线押经过点A'和E时，求抛物线与x轴的交点

的坐标：

(3)当点A'在0B上运动，但不与点0、B重合时，能否

使AA'EF成为直角三角形？若能，恳求出此时点A'的坐

标；若不能，请你说明理由.

第17题

18.（南宁市）如图，在锐用ZiABC中，BC=9,AHJLBC于点H,且AH=6,点D为AB边

上的随意一点，过点D作DE〃BC,交AC于点E.设4ADE的高AF为x（0VxV6）,以

DE为折线将aADE翻折，所得的4A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关

于DE的对称点A'落在AH所在的直线上）.

（1）分别求出当0VxW3与3Vx<6时，y与x的函数关系式；

（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

19.(宁夏回族自治区)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处,

BE交AD于点F,连结AE.证明：

(1)BF=DF；

(2)AE〃BD.

中考实战二:

一、选择题

1.(山东日照4分)在平面直角坐标系中，已知直线)，=-，+3与x轴、)，轴分别交于A、

4

B两点，点C(0,n)是)，轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴

上，则点C的坐标是

A、(0,-)(0,-)C、(0,3)D、(0,4)

2.(天津3分)如图.将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得

折痕BE、BF,则NEBF的大小为()

(A)15°(B)30°(C)45°(D)60°

3.(重庆4分)如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE.将

沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论：①△ABGzzXAFG；

②BG二GC；③AG〃CF；④S△町=3.其中正确结论的个数是

()

A、1B、2C、3D、4

4.(浙江温州4分)如图，0是正方形ABCD的对角线BD上一点，。0与边AB,BC都

相切，点E,F分别在AD,DC上，现将ADEF沿着EF对折，折痕EF与。0相切，此时

点D恰好落在圆心。处.若DE=2,则正方形ABCD的边长是

A、3B、4C、2+x/2D、2x/2

5.（浙江省3分）如图，直角三角形纸片的两直角

边长分别为6、8,按如图那样折叠，使点A与点B

重合，折痕为DE,则S/iBCE：S/SBDE等于（）

A.2：5B.14:25C.16:25

D.4:21

6.（吉林省3分）如图所示，将一个正方形纸片按下列依次折叠，然后将最终折叠的

纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“1”的图形，将纸片绽开，得到的图形是

©A0BscSD

7.（江苏海南3分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点I）恰落在AB边上的点M

处，折痕为AN,则对于结论①MN〃BC,②MN二AM,下列说法正Nc

确的是（）\/\\

A、①②都对B.、①②都错'I\\

C、①对②错D、①错②对

8.（山东荷泽3分）如图所示,已知在三角形纸片ABC中，BC=3,AB=6,ZBCA=90°.在

AC上取一点E,以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BCB仁、

延长线上的点D重合，则DE的长度为（）C卜，•二：、月

A、6B、3C、2GD、Gcl//

9.（山东济介宁3分）如图：AABC的周长为30cm,把aABC

的边AC对折，使顶点C和点A

重合，折痕交BC边于点D,交AC

边与点E,连接AD,若AE=4cm,则aABD的周长是（）

A.22cmB.20cmC.18cmD.15cm

10.（山东泰安3分）如图，点。是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后,

点B恰好与点。重合，若BC=3,则折痕CE的长为（

A、2百B、—C、6D、6

2

1L（广东广州3分）如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着

对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后

的绽开图是（）

A、

12.（河北省3分）如图，在aABC中，ZC=90°，BC=6,

△ABC沿DE折叠，使点A落在点A，处，若A'为CE的中点，则折痕DE的长为（)

A、；B、2C、3D、4

13.（四川宜宾3分）如图，矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折段纸片使AB边与对角

线AC重合，点B落在

点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()

A.3B.4C.5

14.（四川泸州2分）如图，在RtZXABC中,ZABC=90°，ZC=60°，AC=10,将BC向

BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C',折痕为BE,则EC的长度是（)

A、5外B、573-5C、10-5^D、5+56

15.（四川内江3分）如图,在直角坐标系中，矩形ABC0的边0A在x

轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线AC翻

折,B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.则点D的坐标为（）

213

55

16.（甘肃天水4分）如图，有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.将纸片折叠，使得

AD边落在AB边上，折痕为AE,再将4AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F,则

CF的长为（）

A、6B、4C、2D、1

17.（云南昭通3分）如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落

在点C'处，折痕为EF,若NEFC'=125°,则NABE的度数为（）

18,（福建三明4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，沿过

点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N,折痕交CD边于点M,BM与EF交于点

P,再绽开.则下列结论中：①CM=DM；②NABN=30°；@AB2=3CM2；④△PMN是等边三

角形.正确的有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

19,（福建莆田4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上,

沿CE折叠矩形ABCD,使点B落在AD边上的点F处，若AB=4,

BO5,则tanNAFE的值为（）

4334

民CD

4-*5-

3-

5-

20.（黑龙江省绥化3分）如图，在RtAABC中，AB=CB,B0±AC,把AABC折叠，使

AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，绽开后，折痕AD交BO于点F,连接DE、EF.下

列结论：①tan/ADB=2；②图中有4对全等三角形：③若将4DEF沿EF折叠，则点D

A、①②B、②③C、①④D、③④

二、填空题

1.（重庆潼南4分）如图，在AABC中，/C=90°,点D在AC上，将

△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC=5cm,则

点D到斜边AB的距离是cm.

2.（浙江绍兴5分）取一张矩形纸片依据图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形

顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下的①这部分绽开，平铺在桌面上.若平铺的这个图

形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长

之比为

£1te2

3.（浙江台州5分）点D、E分别在等边aABC的边AB、BC±,将△BDE沿直线DE翻

折，使点B落在B1处，DB,.EBi分别交边AC于点F、G.若NADF=80。，则NCGE

4.（广西贺州3分）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合,

折痕为EF.若BF=4,FC=2,则NDEF的度数是

5.（广西贵港2分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交又叠

放，重叠部

C

分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,ZABC=60°,则四边形ABCD

的

面积等于cm2.

6.（湖北荆州4分）如图，双曲线y=2（x＞。）经过四边形OABC的

x

顶点A、C,

ZABC=90°,0C平分0A与x轴正半轴的夹角，AB〃x轴，将AABC

沿AC翻折

后得△AB'C,B'点落在0A上，则四边形OABC的面积是

7.（湖南衡阳3分）如图所示,在Z\ABC中，NB=90°,AB=3,

AC=5,将aABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE,则aABE的周长为

8.（湖南怀化3分）如图,NA二湖°,ZCf=60°,AABC与AA'B'C'关于直线/对称,

则NB二________

9.（江苏南通3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2cm,

点E在

BC±,且AE=CE.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC

上的点R

重合，则AC=cm.

10.（山东滨州4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形.若NCEW=56°,

则/AED的大小是

B

11.（内蒙古包头3分）如图，把矩形纸片0ABC放入平面直角坐标

系中，使0A,0C分别落在x轴、y轴上，连接AC,将矩形纸片0ABC

沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B（l,2）,则点D的横坐标

是.

12.（内蒙赤峰3分）如图，AD是AABC的中线,ZADC=60°,BC=6,

把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C'处，连接BC',则BC'的长为

13.（四川广元5分）如图，M为矩形纸片ABCD的边AD的中

点，将

纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A处，点D落在Di处,若NAM。

=40°,则NBMC的度数为

14.（四川绵阳4分）如图，将长8cm,宽4cm的矩形纸片

ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长等于cm.

16.（贵州安顺4分）如图，在RtZkABC中,ZC=90°,BC=6cm,

AC=8cm,按图中所示方法将ABCD沿BD折叠，使点C落在AB边

的C'点，则△ADC'的面积是.

17.（浙江金华、丽水4分）如图，将一块直角三角板0AB放在平面直角坐标系中，B

（2,0）,ZA0B=60°,点A在第一象限，过点A的双曲线为），=^.在x轴上取一点P,

x

过点P作直线0A的垂线1,以直线1为对称轴，线段0B经轴对称变换后的像是O'B'.

（1）当点0'与点A重合时，点P的坐标是

（2）设P（t,0）,当O'B'与双曲线有交点时，t的取值范围是

18.(重庆江津4分)如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD,其中A(0,0),B(8,

0),D(0,4),若将4ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处.则E点的坐标

是.

三、解答题

1.(贵州遵义10分)把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C

与点F重合(E、F两点均在BD上)，折痕分别为EH、DG.(1)求证：△BHEg^DGF；

(2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长.

2.(黑龙江大庆7分)如图，ABCD是一张边AB长为2、边AD长

为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点用处，折痕

交边AD于点E.

(1)求NDAE的大小;

(2)求△ABE的面积.

3.(广东省7分)如图,直角梯形纸片ABCD中,AD〃BC,ZA=90°,

ZC=30°.折叠纸片使BC经过点D,点C落在点E处，BF是折

痕，且BF=CF=8.

(1)求NBDF的度数;B

（2）求AB的长.

4.（广东深圳8分）如图1,一张矩形纸片ABCD,

其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD折叠，点C

落在点C'的位置，BC'交AD于点G

（1）求证：AG=C'G；

（2）如图2,再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN,EN交AD于M,求EM的长.

5.（四川南充8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，ZXBCE沿BE折段为aBFE,

D

点F落在AD上.

(1)求证：ZXABESZ^DFE

(2)若sin/DFE=L求tan/EBC的值。

3

B

6.（江苏徐州6分）如图，将矩形纸片ABCD按如下依次进行折叠：对折、展平，得折

痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图②）；展平，得折痕

GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C'处（如图④）；沿GC'折叠（如图⑤）;

展平，得折痕GC'、GH（如图⑥）。

⑴求图②中NBCB'的大小;

（2）图⑥中的△GCC'是正三角形吗请说明理由.

7.（山东莱芜9分）已知：矩形纸片ABCD,AB=2,BC=3。操作：将矩形纸片沿EF折

叠，使点B落在边CD上。探究：（1）如图①，若点B与A重合，你认为AEDA'和4FDC

全等吗？假如全等给出证明，假如不全等请说明理由；（2）如图②，若点B与CD中点

重合，求aFCB'与aB'DG的周长之比。

7.（山东威海11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD

的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K,

得到△MNK。D

A

⑴若N1=70°,求NMKN的度数;

⑵aMNE的面积能否小于?？若能’求出此时/I的度数;若不能，试说明理由;

⑶如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的状况，求最大

DCDC

ABAB

值。备用图

8.(湖北十堰8分)如图，AB是半圆0的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD_LAB

交半圆。于点D,将4ACD沿AD折登得到aAED,AE交半圆

于点F,连接DF。

(1)求证：DE是半圆的切线;

(2)连接0D,当0C二BCR寸，推断四边形ODFA的形态，并证

明你的结论。

9.(甘肃兰州12分)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一

次，使点A与点C重合，再绽开，折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接

AF和CE.

(1)求证：四边形AFCE是菱形；

(2)若AE=10cm,Z\ABF的面积为24cm,求AABF的周氏；

(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AEJAOAP?若存在，请说明点P的位置，并

予以证明；若不存在，请说明理由.

10.（辽宁抚顺14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC〃AD,

ZBAD+ZCDA=90°,且tanNBAD=2,AD在x轴上，点A的坐标（一1,0）,点B在y

轴的正半轴上，BC=（）B.

（1）求过点A、B、C的物物线的解析式；

（2）动点E从点B（不包括点B）动身，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点

E作EFLAD于点F,将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形ABEF,点A、B的对

应点分别是点4、B”设四边形ABEF与梯形ABCD重♦合♦部•分•的面积为S,F点的坐标是

（X,0）.

①当点A1落在（1）中的抛物线上口寸，求S的值；

②在点E运动过程中，求S与工的函数关系式.

备用图

11.(黑龙江牡丹江10分)如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边OC

上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点0落在边AB上的点F处，且

tanNBFD=2.若线段0A的长是一元二次方程—一7工一8二0的一个根，又2AB=30A.请

3

解答下列问题：

(1)求点B、F的坐标：

(2)求直线ED的解析式：

(3)在直线ED、FD上是否存在点M、N,使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四

边形，若存在，请干脆写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

12.（湖南怀化10分）在矩形AOBC中，（）B=6,0A=4,分别以（）B,0A所在直线为x轴和

），轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F

点的反比例函数y=V伙＞0）的图象与AC边交于点E.

x

（1）求证：AE*AO=BF-BO；

（2）若点E的坐标为（2,4）,求经过0、E、F三点的抛物线的解析式；

（3）是否存在这样的点F,使得将4CEF沿EF对折后，C点恰好落在0B上？若存在，

求出此时的0F的长：若不存在，请说明理由.

14.（广东珠海9分）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,AD=AB=1,BC=

2.将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为.P（P与D点不重合），折痕EF只

与边AD、BC相交，交点分别为E、F.过点P作PN〃BC交AB于N、交EF于M,连结

PA、PE、AM,EF与PA相交于0.

（1）指出四边形PEAM的形态（不需证明）;

(2)记NEPM=a,△AOM、Z\AMN的面积分别为S1、S2.

Q

①求证：——=-PA3.

o

tan—a

2

②设AN=x,y=四吟，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范

tan—

2

围.

15.（湖北孝感14分）如医（1）,矩形ABCD的一边BC在干脆坐标系中x轴上，折叠边

AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE,已知AB=8,AD=10,并设点B坐标为