中考数学专题复习（四）压轴题北师大版

中考专题复习（四）压轴题（学生卷）

1、（2007宜宾）己知：如图，二次函数尸/+（2女-1）户长1的图象与矛轴相交于。、/两点.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点反使锐知△力0助的坐标；

（3）对于（2）中的点反在抛物线上是否存在点八使/“90°?若存在，求出点〃的坐标,

并求出△「仍的面枳：若不存在，请说明理由.

2、（2007广安）如图，已知抛物线y=-x?+2x+3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），

与y轴交于点C。

（1）求点A、B、C的坐标。

（2）若点M为抛物线的顶点,连接BC、CM、BM,求△BCM的面积。

（3）连接AC,在x轴上是否存在点P使aACP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标:

若不存在，请说明理由。

3

3、（07泸洲）如图9,已知直线/:），二5%及抛物线。：），=0^+/次+。（。工0）,且抛物

线C图象上部分点的对应值如下表:

20234

y|)|5|…

(1)求抛物线C对应的函数解析式；

(2)求直线/与抛物线C的交点A、B的坐标；

(3)若动点M在直线/上方的抛物线C上移动，求AABM的边AB上的高h的最大值＜

4、(07成都)在平面直角坐标系中，已知二次函数)，=t2+/回+以。工0)的图象与x

轴交于43两点(点A在点8的左边)，与y轴交于点C,其顶点的横坐标为1,且过

点(2,3)和(-3,-12).

(1)求此二次函数的表达式；

(2)若直线/:)，=去优工0)与线段BC交于点。(不与点B。重合)，则是否存在这样

的直线/,使得以BO,。为顶点的三角形与△R4C相似？若存在，求出।该直线的函数

表达式及点。的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角

NPCO与/ACO的大小(不必证明)，并写出此时点P的横坐标与的取值范围.

5、(07德阳).如图，已知与五轴交于点A(L0)和8(5,0)的抛物线(的顶点为。(3,4),

抛物线//,与4I关于工釉对称，顶点为C'.

(1)求抛物线4的函数关系式；

(2)已知原点。，定点己(0,4),

，2上的点P与4上的点P'始终关于X轴对称，则当点P运动到何处时，以点DO,P，P

为顶点的四边形是平行四边形？

(3)在上是否存在点M,使8M是以A8为斜边且一个角为30的直角三角形？若

存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

6、(07巴中)如图12,以边长为友的正方形ABC。向对角线所在直

线建立平面直角坐标系，抛物线y=Y+云+c经过点B且与直线AB只

有一个公共点.

(1)求直线A8的解析式.(3分)

(2)求抛物线)，=d+云+c的解析式.(3分)

(3)若点P为(2)中抛物线上一点，过点尸作「轴于点问

是否存在这样的点P,使△PMC△ADC?若存在，求出点P的坐标;

若不存在，请说明理由.(5分)

7、(07自贡)△力8C中，N力，/B,的对边分别为a,b,c,抛物线夕=/一2村+炉

交汗轴于两点MM交y轴于点月其中"的坐标是E+c,0).

(1)求证：△/山。是直角三角形.

。也与y轴交于〃，抛物线的顶点为反

（1）求加的值及抛物线的解析式；

（2）设/DBC;a,/CBE:仇求sin（a~/3）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点只使得以只/I、。为顶点的三角形与△伙若相似？若存

在，请指出点P的位置，并直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

“数形结合”练习

1.已知乙4如=30。，。是射线加上的一点，且比三4.若以。为圆心，r为半径的圆与射

线》有两个不同的交点，则？、的取值范围是.

2.对于任意的有理数"满足aWxWwHO的整数★的个数为—

3.用同样规格的黑白两种颜色的正方形窗传按卜面方式铺地板，则第（3）个图形中的黑色

瓷砖块，第〃个图形中需要

黑色瓷砖块（用含n的代数

式表示）.

4.在直角坐标系中，纵、横坐标都

是整数的点，称为整点.设在为整数,

当一次函数y=x+2与y=kx-4的图象的交点为整点时，k的值可以取（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

5.在一直线型航道上，某人乘船由力地顺流而下到/，地，然后又逆流而上到。地，共乘船

4小时.已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若力、C

两地的距离为10千米，则力、8两地间的距离为（）

2020

A.20kmB.T~kmC.20km或丁kmD.以上都不正确

iJ

6.福娃们在一起探讨研究下面的题目:

参考

下面

福娃

们的

讨论，

请你

解该

题，你选择的答案是()

贝贝：我注意到当X=0时，y=40.

我发现图象的对称轴为>=；.

晶晶:

欢欢:我判断出Xi<a<x2.

迎迎:我认为关键要判断a-1的符号.

妮妮：加可以取一个特殊的值.

7.在数学活动中，小明为了求)+9+*+*+…的值

号果用〃表示)，设计如图1

乙乙乙乙乙

所示的几何图形.

(1)请你利用这个几何图形求)+9

乙乙

+…+"的值为________.

(2)请你利用图2,再设计一个能求

J+JH----F*的值的几何图形.

8.如图，在正△仍。中，AF=CE=BD=\AB,求证：加+游=".

*5

如图，在直角坐标系X勿中，点尸为函数在第一象限内的图象上的任一点，点力

的坐标为(0,1),直线/过6(0,—1)且与x轴平行，过尸作y轴的平行线分别交x轴，

/于GQ,连结四交x轴于区直线ZW交y轴于尼

(1)求证：〃点为线段的中点；

(2)求证：①四边形为平行四边形；

②平行四边形/I/初?为菱形：

(3)除。点外，直线勿与抛物线尸%有无其它公

共点？并说明理由.

10.小明早晨从家里出发匀速步行去上学.小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的

数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时

到达学校.已知小明在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为

千米，且S与［之间函数关系的图像如图中的折线段。所示.

（1）试求折线段01/18所对应的函数关系式；

（2）请解释图中线段力笈的实际意义；

s（千米）

（3）请在所给的图中画出小明的妈妈

在追赶小明的过程中，她所在的位置与家的

距离s（千米）与小明出发后的时间I（分

钟）之间函数关系的图像,（友情提醒：请

对画出的图像用数据作适当的标注）

参考答案：

1.2<z<42.10或113.10,3〃+44.B5.C6.C

7.（1）1一）；（2）答案不唯一，只要符合题意即可，略.

8.提示：由结论中的等式特征联想到勾股定理，于是证明△/，〃/:'为直角三角形.

9.（1）、（2）略；（3）要判断直线力与抛物线尸;V有无其它公共点，只要研究由直

线组的解析式与抛物线的解析式组成的方程组是否有两组不同的解.

10.（1）线段如对应的函数关系式为：

W1W12）；线段月8对应的函数关系式为：s

（12VZW20）.

（2）图中线段46的实际意义是：小明出发

分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的

弧形道路上匀速步行了8分钟.

（3）如图中折线段但应.

2011年中考数学经典几何证明题（三）

1.（1）如图1所示，在四边形A8C。中，AC=BD,AC与8。相交于点。，E、尸分

别是A。、的中点，联结族，分别交4C、BD于点、M、N,试判断的

形状，并加以证明；

（2）如图2,在四边形A3CO中，若=E、尸分别是A。、3c的中点.，联

结座并延长，分别与BA、8的延长线交于点M、N,请在图2中画图并观察，图

中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；

（3）如图3,在ZXA8C中，AOA6,点。在AC上，AB=CD,E、尸分别是

AD.8c的中点，联结FE并延长，与的延长线交于点若NFEC=45。,判

断点例与以力〃为直径的圆的位置关系，并简要说明理由.

图I图2图3

2.(1)如图1,已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EFJ_BD于点F,ECJ_AC

于点G,CH_LBD于点H,试证明CH=EF+EG;

(2)若点E在BC的延长线上，如图2,过点E作EF_LBD于点F,EG_LAC的延长线于点G,

CHJ_BD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(3)如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL,点E是CL上任

一点，EF_LBD于点F,EGJ_BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直

接写出你的猜想；

(4)观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、

EG、CH这样的线段，并满足(1)或(2)的结论，写出相关题设的条件和结论.

3.如图，4ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF,以DF为边在DF

的右侧作等边ED的延长线交AR于H,连接EC,则以下结论:①/AHF+/AFD=180。：

②AF=」BC；③当D在线段BC上（不与B,C重合）运动，其他条件不变时必是定值；④

2BD

-BC+EC

当1）在线段BC上（不与E,C重合）运动，其他条件不变时2---------是定值；

DC

（1）其中正确的是；

（2）对于（1）中的结论加以说明：

4.在△A8C中，AC=BC,NAC3=90。，点〃为力。的中点.

（1）如图1,£为线段加上任意一点，将线段比'绕点〃逆时针旋转90°得到线段分：连

结5过点少作交直线.仍于点〃判断外/与叱的数量关系并加以证明.

（2）如图2,若6为线段加的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中

得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.

A

4

5.如图12,在△46C中，〃为6c的中点，点、£、尸分别在边月6\力6上，并且2月吐/月仍

BE、CF交于点、0.过点。作OPIAC,OQA.AB,P、。为垂足.求证：l）P=DQ.

6.如图。，BD是△ABC的内角平分线，CE是AABC的外角平分线，过点A作AF_LBD,AG_L

CE,垂足分别为F、Go

探究：线段FG的长与AABC三边的关系，并加以证明。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写

出来（要求至少写3步）；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充

或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。

①可画出将4ADF沿BD折叠后的图形；

②将CE变为aABC的内角平分线。(如图2)

附加题：探究BD、CE满足什么条件时，线段FG的长与△ABC的周长存在一定的数量关系,

并给出证明。

7.在四边形力比力中，对角线平分/〃仿.

⑴如图①，当/的Q120°,/B=/D=90°时，求证：AB+AD=AC.

(2)如图②，当N%8=120°,N8与N〃互补时，线段1以4?、力。有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明.

(3)如图③，当/。1片90'‘N"与N〃互补时，线段/以49、力。有怎样的数量关系?写出

你的猜想，并给予证明.

8.设点少是平行四边形A8CD的边/!〃的中点，F是应、边上一点，线段比和"'相交于点P,

点0在线段"上，且力。〃尸C.

(1)证明：PC=2AQ.

(2)当点少为比、的中点时，试比较△月%、和梯形力/TQ面积的大小关系，并对你的结论加以

证明.

9.两块等腰直角三角板△月旗和△画如图摆放，其中/力％=ZDCE=90°,F良DE

的中点，〃是力£的中点，G是劭的中点.

(1)如图1,若点0、夕分别在市7、利的延长线上,通过观察和测量,猜想FH和FG的数

量关系为和位置关系为;

(2)如图2,若将三角板△〃能绕着点C顺时针旋转至月以在一条直线上时，其余条件均不

变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；

(2)如图3,将图1中的△白/绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3,(1)中的猜想还成

立吗？直接写出结论，不用证明.

10.已知△力8C中，AB=AC=3,/为C=90°,点〃为比'上一点，把一个足够大的直角三

角板的直角顶点放在〃处.

⑴如图①，若劭=勿，将三角板绕点〃逆时针旋转，两条直角边分别交火反〃于点反

点凡求出重叠部分力及A的面积(直接写出结果).

(2)如图②，若做=69,将三角板绕点〃逆时针旋转，使一条直角边交48于点反另一

条直角边交月8的延长线于点月设力£=x,重叠部分的面积为必求出y与x的函数

关系式，并写出自变量X的取值范围.

(3)若放=2C〃将三角板绕点〃逆时针旋转，使一条直角边交力。于点尺另一条直角

边交射线力8于点反设gx(x>l),重叠部分的面积为人求出p与x的函数关系

式，并写出自变量x的取值范围.

11已知：如图，在AABC中，AB=AC,/BAC=a,且60°Vo<1200.P为AABC

内部一点，且PC=AC,NPCA=1200-a.

(1)用含a的代数式表示NAPC.得NAPC=

(2)求证：Z_BAP^Z.PCBx

(3)求NPBC的度数.

2011年中考几何经典证明题(二)

1、如图，AABC中，ZBAC=90°,AD1BC,E为CB延长线上一点，且NEAB=NBAD,设

DC=kBD,试探究EC与EA的数量关系。

EBDC

2、如图，ZXABC中，ZBAC=90°,AD±BC,DE±AB,EF±AC,若AB=kAC,试探究BE与

CF的数量关系。

3、如图，在△ABC和中，AC=kBC,DP=kDQ,ZC-ZPDQ,D、E分别是AB、AC的中

点，点P在直线BC上，连接EQ交PC于点儿猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的

猜想，若证明有困难，则可选k=l证明之。

A

4、在AABC中，0是AC上一点，P、Q分别是AB、BC上一点，NB=45°,ZPOQ=135°,

BC=kAB,OC=mAO1,试说明OP与OQ是数量关系，选择条件：(1)m=l,(2)m=k=l。

5、如图，ZXABC中,AD是BC边上的中线，/CAD=/B,AC=kAB,E在AD延长线上,Z

CED=ZADB,探究AE与加的关系。

A

6、如图，ZBAC-9O0,AD±BC,DEXAB,AB-kAC,探究BE与AE是数显关系。

2011年中考数学经典几何证明题(一)

1.(1)如图1所示，在四边形43CD中，AC=BD,AC与B力相交于点0,E、尸分

别是A。、3C的中点，联结Eb,分别交AC、BD于点M、N,试判断△。朋N的

形状，并加以证明；

(2)如图2,在四边形48C。中，若AB=CD,E、尸分别是A。、8C的中点，联

结也并延长，分别与84、CQ的延长线交于点A/、N,请在图2中画图并观察，图

中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；

(3)如图3,在△ABC中，AC>A5,点。在AC上，AB=CD,E、尸分别是

AD.BC的中点，联结此并延长，与84的延长线交于点M,若NFEC=45。,判

断点M与以力〃为直径的圆的位置关系，并简要说明理由.

2.(1)如图1,已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF_LBD于点F,EC_LAC

于点G,CHJJ5D于点H,试证明CH-EF+EG;

(2)若点E在BC的延长线上，如图2,过点E作EF_LBD于点F,EG_LAC的延长线于点G,

CHJ_BD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(3)如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL,点E是CL上任

一点，EF_LBD于点F,EGJ_BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直

接写出你的猜想；

(4)观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、

EG、CH这样的线段，并满足(1)或(2)的结论，写出相关题设的条件和结论.

3.如图，4ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF,以DF为边在DF

的右侧作等边ED的延长线交AR于H,连接EC,则以下结论:①/AHF+/AFD=180。：

②AF=」BC；③当D在线段BC上（不与B,C重合）运动，其他条件不变时必是定值；④

2BD

-BC+EC

当1）在线段BC上（不与E,C重合）运动，其他条件不变时2---------是定值；

DC

（1）其中正确的是；

（2）对于（1）中的结论加以说明：

4.在△A8C中，AC=BC,NAC3=90。，点〃为力。的中点.

（1）如图1,£为线段加上任意一点，将线段比'绕点〃逆时针旋转90°得到线段分：连

结5过点少作交直线.仍于点〃判断外/与叱的数量关系并加以证明.

（2）如图2,若6为线段加的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中

得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.

A

4

5.如图12,在△46C中，〃为6c的中点，点、£、尸分别在边月6\力6上，并且2月吐/月仍

BE、CF交于点、0.过点。作OPIAC,OQA.AB,P、。为垂足.求证：l）P=DQ.

6.如图。，BD是△ABC的内角平分线，CE是AABC的外角平分线，过点A作AF_LBD,AG_L

CE,垂足分别为F、Go

探究：线段FG的长与AABC三边的关系，并加以证明。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写

出来（要求至少写3步）；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充

或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。

①可画出将4ADF沿BD折叠后的图形；

②将CE变为aABC的内角平分线。(如图2)

附加题：探究BD、CE满足什么条件时，线段FG的长与△ABC的周长存在一定的数量关系,

并给出证明。

7.在四边形力比力中，对角线平分/〃仿.

⑴如图①，当/的Q120°,/B=/D=90°时，求证：AB+AD=AC.

(2)如图②，当N%8=120°,N8与N〃互补时，线段1以4?、力。有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明.

(3)如图③，当/。1片90'‘N"与N〃互补时，线段/以49、力。有怎样的数量关系?写出

你的猜想，并给予证明.

8.设点少是平行四边形A8CD的边/!〃的中点，F是应、边上一点，线段比和"'相交于点P,

点0在线段"上，且力。〃尸C.

(1)证明：PC=2AQ.

(2)当点少为比、的中点时，试比较△月%、和梯形力/TQ面积的大小关系，并对你的结论加以

证明.

9.两块等腰直角三角板△月旗和△画如图摆放，其中/力％=ZDCE=90°,F良DE

的中点，〃是力£的中点，G是劭的中点.

(1)如图1,若点0、夕分别在市7、利的延长线上,通过观察和测量,猜想FH和FG的数

量关系为和位置关系为;

(2)如图2,若将三角板△〃能绕着点C顺时针旋转至月以在一条直线上时，其余条件均不

变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请