专题78 平行线的证明章末题型过关卷（北师大版）（解析版）

第7章平行线的证明章末题型过关卷

【北师大版】

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2022•甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学七年级期中）下列命题是假命题的是（）

A.两直线平行，同旁内角相等B.对顶角相等

C.平行于同一条直线的两直线平行D.同位角相等，两直线平行

【答案】A

【分析】根据平行线的性质与判定定理、平行公理、对顶角的定义，分别对选项进行分析，即可得出结论.

【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题错误，故符合题意；

B、对顶角相等，原命题正确，故不符合题意：

C、平行于同一条直线的两条直线平行，原命题正确，故不符合题意：

D、同位角相等，两直线平行，原命题正确，故不符合题意.

故选：A

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定定理、平行公理、对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解本题

的关键.

2.（3分）（2022•山东•东昌府区沙镇中学八年级阶段练习）如图，△。力。三△08C,且乙。二70。，4C=25。,

则乙4EB的度数是（）

A.145°B.140°C.130°D.120°

【答案】D

【分析】利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及四边形内角和定理得出答案.

【详解】解：（?!△OAD三△OBC,

国乙0BC=Z.OAD,

团40=70°,LC=25°,

^OBC=^OAD=180°-zO-zC=85°,

0Z/1FF=360°-Z.O-Z,OAD-Z.OBC=360°-470。-85°-85。=120°.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解

题关键.

3.（3分）（2022•湖北武汉•七年级期末）如图，己知AB||CD,zB=110。，EF平分/BEC,EG1EF,则

乙DEG等于（）

【答案】C

【分析】由A8IICQ，05=100%根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，乂由星平分团BEC,

即可求得团所。的度数，然后由EG0ER根据平角的定义，即可求得团。EG的度数.

【详解】解：0ABHCD,

回回6+08EC=18O°,

005=110%

回回BEC=70°,

13E/平分（3BEC,

^CEF^BEC=35°,

2

0EG0EF,

00GEF=9O%

（30GEF+aCEF+aDEG=18Oo,

团团。£G=180°-90°-35°=55°.

故选：C.

【点睛】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，以及平角的定义，解题的关键是掌握两直线平行，同旁

内角互补定理的应用.

4.（3分）（2022•山东•庆云县尚堂镇大靳初级中学八年级阶段练习）如图，在△/8C中，/ID1.8C于点Q,

8£，46;于点七，8E与4。交于点凡AD=BD=5,则4F+G）的长度为（）

【答案】C

【分析】根据ASA推出480/三△4DC,再根据全等的性质得出CD=DF,即可得出答案.

【详解】解：•••BE1AC,AD1BC,

：.乙AEB=乙ADC=乙BDF=90°,

v£AFE=乙BFD,乙FBD+乙BDF+乙BFD=180°,Z.AEB+^AFE+LDAC=180°,

•••Z.DAC=乙DBF,

在A尸和△力OC中，

fz.FBD=Z.DAC

BD=AD

\LBDF=乙ADC

:.&BDF"ADC（ASA）,

ADF=CD,

:.AF+CD=AF+DF=AD=5：

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定和等腰三角形的性质，找出△BDFwaADC是解题的关键.

5.（3分）（2022•浙江杭州七年级期末）如图，已知工813CD,BE,DE分别平分〃BF和且交于点

E,则（）

A.Z.E=ZFB.ZF+ZF=180°

C.2LE+ZF=360°D.2zE-zF=180°

【答案】C

2022

A，202220232D-22023

【答案】D

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得Z/CD=〃+〃"，LA.CD=

乙4+LA.BC,根据角平分线的定义可得448C=\LABC,LA.CD=\LACD,然后整理得至UNA】=^A,

同理可得/4二^,①，…，从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出4力2023即可.

【详解】解：EL41B平分N4BC41C平分N/CO,

团NAIBC=^Z.ABC,Z-A^D=^Z.ACD,

回4A1CD=4A1+Z.A1BC,

^LACD=匕41+：4力BC,

团/A1（44co-4ABC）,

0Z/1+/.ABC=Z.ACD,

0Z/1=Z.ACD-Z.ABC,

0z4i=^z.A,

12

同理，ZTlz==京44

...9

以此类推，匕上,=5乙4

团442023=^23LA=^23-

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一

个角的一半是解题的关键.

7.（3分）（2022•四川•泸州市第二十八初级中学校七年级阶段练习）如图，已知财=MG凡〃=团1,

且囱+回2=180。。则下列结论：©CEWBF；②助=配）:③A8IICO；④0。=团8,其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据邻补角互补和平行线的判定可得CE||8八欲证明48||CD,只需推知44=2。即可；由平行四

边形的判定与性质可知4C=Na

【详解】证明：然11+团2=180。，

又明。6。+团2=180",

00CGD=[31,

0CFIIBF,故①正确；

00A=[?L4GE,0D=01=0DGC,

XE04GE=0DGC,

0EL4=0D,故②正确；

^AB||CD,故③正确；

0CE||BF,

0Z.C=（BFD,

团4B||CD,

团4B=乙BFD,

0ZF=zf,故④正确.

综上分析可知，正确的结论有4个，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握平行的

判定和性质，找出相应的同位角、内错角和同旁内角.

8.（3分）（2022•江苏•八年级课时练习）如图，在△48c中，乙b4c=120。，点。是8C上一点，8。的

垂直平分线交AB于点E,将△4CD沿AO折叠，点C恰好与点E重合，则N8等于（）

【答案】B

【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得乙B=LEDB；根据三角形外角性质，得N4EO=2NB；根

据轴对称的性质，得"=23LEAD=60°,^ADE=^LADCX根据补角的性质计算得N/OC=90。一号,

根据三角形内角和的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案.

【详解】团8。的垂直平分线交A8于点E,

0FZ?=ED

团NB=心EDB

0Z/1FD=乙B+Z.EDB=2/.B

团将△4CD沿A/5折叠，点。恰好与点石重合，

（3ZC=Z-AED=2Z-B,Z,EAD=Z.CAD=-ABAC=60°,Z.ADE=4ADC

2

0Z.CDF=180°-4EDB=180°-乙B

（21Z/WC=-Z.CDE=90°-—

22

团+LADC+乙。=180°

060+900-y4-=180°

0ZF=20°

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称、三角形内角和、三角形外角、补角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟

练掌握轴对称、三角形内角和、三角形外角的性质，从而完成求解.

9.（3分）（2022•湖北武汉•七年级期中）如图：COIIA从4c平分MCQ,C/平分MCG,同B4O40。，01=02,

则下列结论：①MCE=2B4；②CB0CR（3）01=70°：④133=204,其中正确的是（）

AEB

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】C

【分析】根据角平分线的性质可得乙^ACF=\LACG,再利用平角定义可得附CF=90。，进

而可得②正确；首先计算出0ACB的度数，再利用平行线的性质可得团2的度数，从而可得加的度数，进而

可得③正确；利用三角形内角和计算出明的度数，然后计算出MCE的度数，可分析出①错误；根据团3和

团4的度数可得④正确.

【详解】解：如图，

团8。平分0ACQ,Cr平分财CG,

^ACB=-2/LACD,2/-ACF=-Z-ACG,

的4CG+国4C£>=180°,

00ACF+EL4CB=9O°,

0CB0CF,故②正确，

^CDBAB,0BAC=4O°,

00ACG=4O°,

0GMCF=(34=2O\

豳ZC8=90°-20°=70°,

团团8CQ=70°,

团COM3,

图32=©8CD=70°,

001=02,

001=70%故③正确;

回回6CQ=70°,

配1AC8=7O°,

001=02=70%

003=40°,

配L4CE=30°,

团①（MC£=2134错误；

004=20°,03=40°,

003=204,故④正确，

故选：C.

【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，理清图中角之间的和差关系是解题的关键.

10.（3分）（2022•全国•匕年级）如图，已如氏方形纸片A3CD,点E和点〃分别在边AO和3C上，且即方。-37。,

点”和点G分别是边A。和8c上的动点，现将点A,B,C,D分别沿EF,G”折叠至点N,M,P,K,

若“MIPK,则（3K”。的度数为（）

A.37°或143°B.74°或96°C.37°或105°D.74°或106°

【答案】D

【分析】分两种情况讨论，①当PK在AD上方时，延长MN、KH相交于点Q,根据MNIIPK,推出ENIIKQ,

得到N/1EN=N4，Q,求出N/IEN的度数，再根据NKHD=4/lHQ即可求解；②当PK在BC下方时，延长MN、

”长相交于点O,根据MNIIPK,J隹出EN||”。，得至ijNAEN=N4H0,再4艮据2AHO+NKH0=180。即可求解.

【详解】解：①当PK在力。上方时，延长MN、KH相交于点Q,如图所示

K

^MN\\PK

团4K=乙Q

团iK=90°

团乙Q=90°

配MNE=90°

回ZMNE=乙Q

既N||KQ

团NAEN=4AHQ

0ZFFC=37°,ADIIBC

^AEF=乙EFC=37°

团翻折

^AEF=乙NEF=37°

团zMEN=74°

回ZJ”Q=74°

^/LKHD=(AHQ

团4KHD=74°

②当PK在BC下方时，延长MN、”K相交于点。，如图所示

团4。=Z,OKP=90°

回ZMNE=90°

团乙MNE=LO

团ENIIHO

团乙1£W=4AHO

^LEFC=37°,ADWBC

0Z/1EF=乙EFC=37°

团翻折

^/.AEF=乙NEF=37°

^/.AEN=74°

^AHO=74°

（34AH0+乙KHD=180°

^KHD=106°

故选D.

【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解

是解答本题的关键..

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2022•全国•八年级阶段练习）在中，若44=58。，则418c与24cB的平分线的夹角度

数为

【答案】1190##119®

【分析】由BP、8分别平分乙48。与/4C5可得"BC乙PCB=：乙ACB,由三角形为角和得

Z.BPC=180°-（乙PBC+乙PCB）,最后求出乙48。与乙4C8的平分线的夹角度数.

【详解】如图，设乙4BC与乙4C8的平分线的交点为P,

回BP、CP分别平分乙ABC与匕4C8,

团/P8C=-2/-ABC,2乙PCB=-Z-ACB,

团NBPC=180°-（乙PBC+乙PCB）

=180°-（-/.ABC+-Z.ACB）,

22

=180°--（/.ABC+Z.ACB）,

2

=180°-i（180°—乙力），

2

=180°-90°+-z/l,

2

=90。+29。=119°,

故答案为：119°

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟记三角形的内角的和定理是解题的关键.

12.（3分）（2022•山东淄博•七年级期中）如图，直线"II%，若41=35。，则42—43=

【答案】350##35度

【分析】过点E作EFIIL，利用平行线的性质解答即可.

【详解】解：如下图，过点E作EFlIli，

Hlilllz，EFIIL，

囹EFIIbllL，

001=0AEF=35°,0FEC=03,

回回2=MEF+团产£。=团1唱3=35°+团3,

配1263=35°+团3旬3=35°,

故答案为：35。.

【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，利用数形结合的思想解答.

13.（3分）（2022•江西吉安•七年级期中）如图，已知Nl=Z2,还需再添加一个条件：,可知团EF.

【答案】乙CDG+乙DGE=180°（答案不唯一）

【分析】根据平行线的判定和性质加条件使得S3EF，进而得出AB0EF.

【详解】解：当NCDG+4DGE=18（r^h

001=02,

财加CD,

0ZCDG+Z-DGE=180°,

团CME产，

加£足

故答案为：/CDG+4OGE=180。（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练地掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键.

14.（3分）（2022•河南平顶山•七年级期中）如图，点P是AM上一点，BC,8。分别平分4/BP和/P8N,

交AM于点C,D,=/.CBD=60°,/-ACB=/-ABD,则心力BC的度数为.

【答案】300##30度

【分析】根据团C8O=60。，BC、8Z）分别平分0ABp和137WN,即可得出0A3N=12O。，再根据平行线的性质和三

角形的外角的性质即可得到西BC的度数.

【详解】团8C,分别平分乙A8P和4P8N,

团向C4P=如43P,团O8P=细08N,

22

00CB£>=-(M8P+[3PBN)=^L48N,

22

团NA=乙CBD=60°,

曲BN=12O°,

0(a4+a4B/V=18Oo,a4BC+lW4O=60°,

:.AMWBN,

酿N3A回BDA,

(2Z.ACB=乙ABD,

^BDC+^CBD=^ABC+XBD,

如BOCML48c=(3N8O=30°,

00AfiC=3O0,

故答案为：30。.

【点睛】本题主要考杳了平行线的性质，角平分线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的

关键.

15.(3分)(2022.全国•七年级)如图，直线EF上有两点4、C.分别引两条射线相、CD,Z.BAF=110%

。。与AB在直线EF异侧.若乙DCF=60°,射线48、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时

针转动，设时间为£秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为时，C。与力B平行.

【答案】2秒或38秒

【分析】分①48与CO在E尸的两侧，分别表示出440)与484C,然后根据内错角相等两直线平行，列式计

算即可得解；

②C。旋转至IJ与都在EF的右侧，分别表示出40CF与484C,然后根据同位角相等两直线平行，列式计算

即可得解;

③CD旋转到与都在EF的左侧，分别表示出4DC5与NB4C,然后根据同位角相等两直线平行，列式计算

即可得解.

【详解】解：存在.分三种情况：

如图①，48与。。在"的两侧时，

vZ.BAF=110°,乙DCF=60°,

•••/.ACD=180°-60°-(6£)°=120°-(6t)。，匕BAC=110°-t°,

要使力8//C0,则44CD=Z-BAF,

即120。一(6£)。=110°-t°,

解得t=2；

此H寸(180。-60。)+6=20,

0<t<20；

②。。旋转到与4B都在EF的右侧时，

•••Z.BAF=110°,Z-DCF=60°,

ZDCF=360°-(6t)°-60°=300°-(60°,乙BAC=110°-t°,

要使AB//CD,WJZ.DCF=LBAC,

即300。一(6£)。=110。一£。，

解得t=38,

此时(360。-60。)+6=50,

:.20<t<50；

③CD旋转到与都在EF的左侧时，

v乙BAF=110°,Z.DCF=60°,

AZDCF=(6t)°-(180°-60°+180°)=(6t)°-300°,Z.BAC=t°-110°,

要使A8//C。，fflzDCF=^BAC,

SP(6t)°-300°=t°-110°,

解得t=38,

此时t>50,

•••38<50,

••.此情况不存在.

综上所述，当时间£的值为2秒或38秒时，CD与A8平行.

故答案为：2秒或38秒.

【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况

讨论.

16.（3分）（2022•上海•测试・编辑教研五八年级期末）如图，在△ABGf,乙£48=90。，AB=8,AC=3,

是△718C的中线，将△ABC沿直线翻折，点夕是点8的对应点，点E是线段上的点，如果4C4E=

乙BAB',刃B么CE=.

【答案】评1.8#明

【分析】先证明乙4BB'=乙4CE,Z.AB'B=90°,结合4C4E=/8力r得至Ij/AEC=90°,利用等面积法求出

AE,再利用勾股定理求出EC即可.

【详解】解：如图，是由aCDB翻折，

0ZFCD=乙DCB',LCBD=乙CB'D,AD=DB=DB',

回4D8B'=乙DB'B.

团2/DC8+2乙CBD+2乙DBB，=180°,

0ZDCF+Z.CBD+Z.DBB'=90°.

^CDA=Z.DCB+Z.CBD,Z.ACD+/.CDA=90°,

=Z.ACE.

^AD=DB=DB'=3,

团4D8B'=乙OB'B,Z.DAB'=Z.DB'A.

团乙DB8'+乙DB'B+乙DAB'+乙DB'A=180°,

回2（乙0"8+乙DB'A）=180°,

回+z.DBrA=90°.

^AD'B=乙DB，B十OA=90°.

0ZC/1E=乙BAB',

0Z4FC=Z-ABrB=90°.

在法ZMEC中，AC=3,AD=4,

0CD=y/AC2+AD2=5.

团S“CD=^ACAD=^CD-AE,

回3x4=5AE,

解得：AE=^.

在Rt△ACE中，CE=>]AC2-AE2=J3?一传了=1

故答案为：p

【点睛】本题考杳翻折变换，三角形内角和定理的应用，三角形外角性质，直角三角形斜边中线的性质,

勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型..

三.解答题（共7小题，满分52分）

17.（6分）（2022•福建•明溪县教师进修学校七年级期中）填空，将本题补充完整.

如图，已知E/M4O,01=02,勖AC=65°.将求（MG。的过程填写完整.

c

002=（）

XG01=02（已知）

001=（等量代换）

财圳GO（）

豳8AC+=180°（）

豳8AC=65。（已知）

的4GO=°

【答案】明；两直线平行，同位角相等；03；内错角相等，两直线平行：MG。；两直线平行，同旁内角互

补；115°

【分析】由EFII4D,可得（32=m3,由等量代换可得团1=（33,从而得到。GIIBA,根据平行线的性质可得团B4C

+MGO=180。，即可求解.

【详解】解:0EFH4D（已知）

002=03（两直线平行，同位角相等）

又随1=眼（已知）

001=03（等量代换）

□ABIIG。（内错角相等，两直线平行）

能BAC+MGQ=180°（两直线平行，同旁内角互补）

团团BAC=65°（已知）

鼬4G/）=115°.

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相

等；两直线平行，同旁内角互补定理；内错角相等，两直线平行的应用.

18.（6分）（2022•河南•信阳文华寄宿学校七年级期末）如图,已知点O在直线AB匕射线OE平分0Aoe

过点。作OQ0OE,G是射线OB上一点，连接。G,使团OOG+EQOG=90。.

c

(2)若回ODG=0C,试判断CD与OE的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)CD\\OEt理由见解析

(分析】(1)由OD^OE得到团EOC+团COQ湎4OE+aQOG=90。，再利用等角的余角相等即可证明代团OOG：

(2)证明团EOCWC,利用内错角相等两直线平行，即可证明CDIIOE.

(1)

证明：［3OQ0OE,

00£OC+0COD=a4OE+0DOG=9O°,

团(30DG+团DOG=90°,

0EL4OE=0(7DG：

(2)

解：CDWOE.理由如下:

由(1)^BAOE=BODG,

团射线0E平分0AOC,

^AOE=^EOC,

00ODG=0C,

OOEOC=(3C,

0CDHOE.

【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关

键.

19.(8分)(2022•安徽省安庆市外国语学校八年级期中)如图①，凹四边形力BCD形似圆规，这样的四

边形称为“规形〃，

C

AA

(1)如图①，化规形A8C'。中，若=Z.BDC=130°,^ACD=30",贝汁乙48〃="；

(2)如图②，将△4BC沿OE,EF翻折，使其顶点A,B均落在点O处，若乙CD。+乙CFO=72°,MzC=。；

(3)如图③，在规形力BCD中，zB/C、NBDC的角平分线AE、DE交于点E,且NB>NC,i式探究乙B,zC,zE之

间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)20

(2)54

=理由见解析

【分析】(1)连接力0,并延长到点E,根据三角形外角的性质得出43=41+48、Z4=Z2+ZC,即可

得出N80C=NB/C+NB+NC,根据乙力二80。，Z.BDC=130°,Z-ACD=30°,即可得出答案；

(2)根据翻折得出乙4=乙DOE,乙B="。凡根据三角形内角和得出41+乙8=180°-“，在根据/OOF=

AC4-ACDO+/.CFO=180°-ZC.列出关于NC的方程，解方程即可得出答案：

(3)根据角平分线的定义结合解析(1)得出乙3=[480c=：(y"+ZJ?+乙C)，△1根据匕E=

Z5-Z3,45=41+28,即可得出答案.

【详解】(1)解：如图1,连接力D,并延长到点E,

图1

则，3=zl+乙B、z4=Z2+4C,

0Z.3+乙4=41+乙2++1,BPz5DC=Z.BAC+4B+乙C,

0Z4=80°,乙BDC=130°,/.ACD=30°,

0Z/WD=Z.BDC-ABAC-Z.ACD=20°,

故答案为：20；

（2）解：园各△48C沿DE,EF翻折，顶点A,3均落在点。处,

0Z4=Z.DOE,乙B=LEOF,

团/DOF=Z.A+Z.B,

+NB+NC=180°,

团NA+NB=180°-zC,

包乙DOF=ZC+Z-CDO+Z-CFO=180°-乙C,

0zf+72°=180°-zC,

团匕C=54°.

（3）解：=理由如下：

如图3,

A

E

图3

由（1）知NBDC=++iC,

ME平分4BDC,

0Z3=\乙BDC=1（乙BAC+zfi+zC）,

EL4E平分NB/C,

0Z1=-2^BAC,

0zE=z5—z3,z5=Z14-乙B,

=Z14-ZB-Z.3

11

=-Z.BAC+Z.B--Z.BDC

22

=1Z.BAC+—；（Z.BAC+乙8+乙C）

11

=-Z.B——乙C

22

即/E=二乙8—二乙C.

22

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练学

握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

20.（8分）（2022•江苏•飞达路中学八年级阶段练习）【阅读理解】在解决几何问题时，我们时常需要构

造全等三角形，比如：如图，在△48C中，点。是8。的中点，延长人。到点Q,使得OQ=/1D,连接QC,

就可构造出△力三△QCO,请说明理由.

【问题探究】请利用上面构造方法解决下面问题：

如图，。八=。氏Z.AOB=a,OC=OD,乙DOC=B，点M是BC的中点.

探究一：当。=6=90。时，试说明：AD=2MO.

探究二：当。和/?满足时，结论"40=2MO”依然成立.

【答案】阅读理解：证明见解析；问题探究：探究一：证明见解析；探究二：a+/?=180°

【分析】阅读理解：

延长AQ到点Q,使得。Q连接QC,利用SAS即可证明A4?。三△QG）：

问题探究：

探究一：延长0W到点产，使MF=OM,连接3尸，利用SAS证明△BMFWACM。，根据全等三角形得性质

BF=OC,乙F=cMOC,进而得到BFIIOC,根据平行线的性质及周角的定义得出匕尸80=400力，利用SAS

证明△FBO-△DOA,根据全等三角形的性质即可求解；

探究二：延长OM到点R使MF=0M,连接利用SAS证明△8MF三△CM。，根据全等三角形得性质

BF=OC,乙F=^MOC,进而得到BFIIOC,根据平行线的性质及周角的定义得出乙FBO=利用SAS

证明△FBO根据全等三角形的性质即可求解.

【详解】阅读理解：

延长人。到点Q,使得0Q=4D,连接QC,

团。是8C的中点，

(3BD=CD,

在小80和4QCO中，

(AD=DQ

〃0B=40C,

(BD=CD

团△力8。三△QCO(SAS)：

问题探究：

探究一：延长0M到点凡使Mr=0M,连接BF,

(32OM=0F,

团M是8c的中点,

团BW=CM,

在ABMF和ACM。中，

(BM=CM

1/.BMF=Z.CMO,

(MF=OM

0ABMFCMO(SAS),

0^F=OC,4F=乙MOC,

0FFIIOC,

^Z.FBO+Z.BOC=180°,

^Z.BOA+乙COD=90°,

团4D04+LBOC=360°-Z-AOB-乙COD=180°,

0ZF5O=Z.DOA,

囹0。=OD,

(3BF=OD,

在AFBO^'l^Z)。力中，

(BO=AO

1/.FBO=Z.DOA,

IBF=OD

(?!△FBO三△D04(SAS),

回OF=AD,

团40=2MO：

探究二：当a和0满足a+6=180。时，结论“力。=2MO”依然成立，理由如下:

延长。M到点凡使MF=0M,连接8F,

团20M=OF,

团M是的中点，

团=CM,

在A8MF和^CMO中，

(BM=CM

△BMF=Z.CMO,

(MF=OM

^BMF三4CMO(SAS),

团BF=OC,Z-F=乙MOC,

团呐。C,

^FBO+乙BOC=180°,

团/BOA+乙COD=a+B=180°,

^DOA+LBOC=360°-(4A08+乙COD)=180°,

0ZFDO=乙。04,

0OC=OD,

0FF=OD,

在A尸80和40。力中，

(BO=AO

ZFB。=^DOA,

(BF=OD

0AFBO三A。。力(SAS),

国OF=AD,

a4D=2M0,

故答案为：a+/?=180°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质和周角的定义，解决本题的关键是作出合理

的辅助线构造全等三角形.周角：一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角.

21.(8分)(2022•黑龙江鹤岗•七年级期末)如图①，/WIIC。，M为平面内一点，若BMQMC,则易证B/WM

与M)CM互余.

图①图②备用图

（1）如图②，ABWCD.点M在射线E4上运动，猜想点例在点A和。之间时，团8WC与（M8M、（3QCM之间

的数显关系，并证明.

⑵在（1）的条件下，当点M在射线£4的其它位置上时（不与点七，A,。重合）请直接写出（38WC与M4M、

团。CM之间的数量关系.

【答案】⑴0ABM+（3OCM=[38MC,理由见解析

(2)0Z?AfC-0DGV/-SAZ?M或［38MC-IZ/WM-囹OCM.

【分析】（1）过M作MQ4B,交BC于F,根据平行线的性质可得（WCM=（3尸MC,可得

a4^W+@DGW=0WF+0GWF=（3BMC；

（2）分两种情况：当点”在石、人两点之间时；当点M在人。的延长线上时；进行讨论可求用BMC与

团OCM的数量关系.

（1）

解：理由如下：

如图，过M作MFIIA8,交BC于F,则团48MWBMR

又(L48IICQ,

(3A/FHCD,

酿。CM=MMC,

00ABM+SDCM=0BMF+0CMF=0BA/C；

(2)

解：当点"在£、A两点之间时，如图3,

过做作MPIIA8,交EC于F,则汕8MW8MF,

又加例CQ,

陇。CMWFMC,

WMC=^CMF-^BMF=WCM-^ABMx

当点M在AO的延长线上时，如图4,^BMC-^ABM-^DCM.

过做作MFIIAB,交EC于F,则0148MW8MF,

图4

又（L48IICD,

团MFIICO,

酿。CMM3FMC,

^BMC=^BMF-^CMF=^BM-WCM.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，关键是构建平行线，利用平行线的性质进行解答.解题时注意

分类思想的运用.

22.（8分）（2022•辽宁•大连高新技术产业园区普罗旺斯学校七年级期中）已知直线ABIICO,点七在直线

A4、C。之间，点M、N分别在直线A/T、CO上.

(1)如图1,直线5y过点石，分别与直线AH、交于点G、H,lMA7h=L?lG/V/J,求证：皿心‘〃也用七"=180”；

⑵如图2,点尸在直线CO上，ME、NE分别平分(MMF、即仆/F,若团FMN=2⑦MEN,求团MEN的度数；

⑶如图3,M。平分团4M£平分财ME,GN平分⑦ENC.直线GN与MH交于点H,NK平分耻:ND,NFWMQ.求

证：但MHG司KNF.

【答案】(1)见解析

(2)zMEN=45°

(3)见解析

【分析】(1)先证明GMIMQ,再利用平行线的性质、邻补角的定义即可证明结论；

(2)设(MM斤团FME=x°,^MNE^ENF=y0,推出团ME7V=(x+)，)°,由已知得至崛BWN=(2x+2.y)°,利用平角的定

义得到2x+2(x+)，)+2产180,据此求解即可；

(3)设aAMQr。，团GNC=y。，推出团M£N=(2.i+2y)。，由平行线的性质推出mA〃/SW4M〃=9(T-x。，

©ENF=©FNH=90°-y°,在ANLP中,得至胞LNP=180。-国VLP-配PN=x。，据此通过计算即可证明国M〃G*KNA

(1)

证明：延长ME交CD于点Q,如图，

财BIICD,

回胴M母团MQO,

回0AWEWGND,

酿MQQWGM),

团GMIMQ,

^NGH^GEM,

回回GEM+团M£H=180°,

00?/G/7+0MEA7=18O°；

(2)

解：过E作EQIIAB,如图.

囹设国MNE事ENF=)，°.

(3EQIA8,ABWCD.

(3EQIICQ,

回EQIIAB.

^ME()=^AME=x°.

^EQWCD.

^NEQ=^ENF=y°.

^MEN=^MEQ+^NEQ=(x+y)°.

^FMN=2^MEN,

^FMN=(2x+2y)°,

EL4BIICQ,

00^W7V=0/W/VF=2yo.

^AMF+^FMN+^BMN=18Q°,

团2x+2(x+y)+2y=180,

(?Lv+y=45，

回回M£N=45°；

(3)

证明：过E作EOM8,EJWQM,过〃作"S||C。，如图.

回MQ平分以4MbGN平分⑦ENC,

设（L4MQN°,团GNC”°,

由（2）方法可得用A〃W=（2A+2〉，）。，

^HSWCD,

团〃SIIA例C。，

^GHS=^GNC=y\团M”S=^8/W”=；（180（＞-2x°）=9（r-x°,

团团M//G-囹M//SH3G//S-90°-x°-y°,

囹N/平分I3END,

^ENF=^FNH=^END=90°-y°,

2-

（2ABHCD,

^LPN=^BMH=90°-xQ,

团QMIINR

团团ML”=l3QMH=（EQA/£+®£M〃=x°+90°-x°=90°,