中考数学解题大招复习讲义专题74 圆中的新定义问题（解析版）

专题剧中的新定义问题

【例1】.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEr…叫做"正三角形的渐开线”，其中弧C。、

弧。£、弧£尸的圆心依次按A、B、。…循环，它们依次相连接.若A8=l,则曲线COEF

的长是4n.

解：•••△A8c是正三角形,

,NCAD=NDBE=NECF=120°，

又・・・AB=1,

•*AC=1»80=2,CE=3,

120X兀X12几

・・・CO弧的长度=

兀兀

OE弧的长度=120xX24

EF弧的长度=VO义-X3=2m

180

所以曲线CDEF的长为22L+W2L+2n=4ir.

33

故答案为：41T.

》变式训练

【变17].对于平面图形A,如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不

大于这个圆的半径，则称圆形A被这个圆“覆盖”.例如图中的三角形被一个圆“覆盖”.如

果边长为1的正六边形被一个半径长为宠的圆“覆盖”，那么R的取值范围为.

解：・・•正六边形的边长等于它的外接圆半径，

・•・边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为：R21.

故答案为：R2L

【变1-2].在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a,b）和正实数k,给出如下定义：当

妨2+〃>。时，以点夕为圆心，打2+人为半径的圆，称为点。的，“倍雅圆”

例如，在图1中，点尸（1,1）的“I倍雅圆”是以点尸为圆心，2为半径的圆.

（1）在点Pi（3,1）,P2（1，-2）中，存在“1倍雅圆”的点是Pi.该点的“1

倍雅圆”的半径为10.

（2）如图2,点M是），轴正半轴上的一个动点，点N在第一象限内，且满足

30°,试判断直线ON与点M的“2倍雅I员I”的位置关系，并证明：

（3）如图3,已知点A（0,3）,Z?（-1,0）,将直线A/3绕点A顺时针旋转45°得到

直线I.

①当点C在直线/上运动时，若始终存在点。的“女倍雅圆”，求Z的取值范围：

②点。是直线AB上一点，点D时倍雅圆"的半径为R,是否存在以点D为圆心，樗鼻

为半径的圆与直线/有且只有1个交点，若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明

解：（1）对于Pi（3,1）,圆的半径为&P+%=1X32+1=1O>O,故符合题意;

对于P2（l，-2）,圆的半径为小+8=1乂12-2=-1<0,故不符合题意；

故答案为B，10;

（2）如图1,过点M作MQ_LON于点Q,

图1

则点M(0,m)(m>0),则圆的半径「=2X0+"?=〃?,

则Rl^MQ。中，NMOQ=NMON=30°,

22

，直线ON与点例的“2倍雅圆”的位置关系为相交;

(3)①过点8作8E_L直线/于点E,过点E作x轴的垂线交x轴于点G,交过点力与x

轴的平行线于点F,

设点E(x,y),

将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线/,贝Ij/E/W=45°,故EA=EB,

VZFEA+ZME=90°,NGEB+NFEA=90°,

：./FAE=/GEB,

•；NAFE=NEGB=90°,EA=EB,

:.△AFEQXEGB(AAS),

：,EF=BG,EG=FA,即3・y=・1・x,y=7，

解得：x=-2,y=2,故点E(-2,2)；

1

设直线/的表达式为尸近+。，则作打，解得，上至，

I2=-2k+bb=3

故直线/的表达式为y=/x+3,

设点CJ,』工+3),

2

•・•始终存在点。的“上倍雅圆”时，则圆的半径「=小+工户3>0恒成立,

2

・・・k>0且△V0成立，即攵>0且4=(2)2-4X3JC<0,

2

解得：心>。；

48

②存在，理由:

如图2,过点。作。H_L/于点”,

由点A、8的坐标同理可得，直线A8的表达式为y=3x+3,

设点。(x,3x+3),

由点A.D的坐标得(x-0)2+(3x+3-3)2=/记1巾则”。=返/。=遍打1,

2

则/?=履2+8="!/+3六3=-1(x+2)2,M^y-R=V5|x+2|,

假设存在以点。为圆心，楞鼻为半径的圆与直线/有且只有.1个交点,

则DH=:V5k+2|=V5l.rb

解得：x

故点。的坐标为：(-1,0).

【例2].我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与

“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A，B,C,。分

别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点。的坐标为(0,-3),48为半圆的直径，半圆

圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.开动脑筋想一想，经过点。的“蛋圆”切线

的解析式为.

解：因为经过点。的“蛋圆”切线过。(0，-3)点，所以设它的解析式为)，=攵「3,

•••A8为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2,

(-1,0),B(3,0),

•・•抛物线过点A、B,

，设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),

又•・•抛物线过点。(0,-3),

-3=a*1•(-3),即a=l,

-2x-3.

又'・,抛物线-2x-3与直线y=kx-3相切，

.•・、2・2-3=h・3.BPx2-(2+A)r=0只有一个解.

.*.△=(2+A)2-4X0=0,

・・・A=-2即经过点。的“蛋圆”切线的解析式为y=-2x-3.

»变式训练

【变2-1].已知定点P(小b),且动点Q(x,)，)到点夕的距离等于定长心根据平面内

两点间距离公式可得(x-a)2+(y-b)2=r,这就是到定点P的距离等于定长「圆的

方程.已知一次函数的)，=-2计10的图象交y轴于点4,交x轴于点3,。是线段A3

上的一个动点，则当以。。为半径的QC的面积最小时，0C的方程为(.「4)?+(y

解：•・•一次函数的y=-2x+l()的图象交)，轴于点A,交x轴于点8,

・"(0,10),B(5,。)，

・・・。4=10,08=5,

=22

ABVOAOB=V102+52=5后

•・•以。。为半径的OC的面积最小，

：.OCLAB,

S^BO=­AB^OC=-OA*OB,

22

.QROA・OB_10X5一"正

AB5V5

设C(f,-2/+10),

则OC1=t2+(-2/+10)2=(2^5)2,

解得：八=/2=4,

:.C(4,2),

・••以0C为半径的0c的OC的方程为（x-4）2+（＞-2）2=（2V5）2,

故答案为：（x-4）2+（y-2）2=（2遥）2.

【变2-2].

【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所

成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，N4P8是点P对线段A8的视角.

【应用】

（1）如图②，在直角坐标系中，已知点4(2,V3)，B(2,2近)，C(3,则

原点。对三角形/WC的视角为30°；

（2）如图③，在直角坐标系中，以原点。，半径为2画圆。以原点0,半径为4画

圆。2,证明：圆。2上任意一点。对圆。1的视角是定值；

【拓展应用】

（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④.现在有一条笔直

的天桥，标志性建筑外延呈正方形,摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍

摄.现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为1=-

5,正方形建筑的边长为4,请直接写出直线上满足条件的位置坐标.

解：（1）延长3A交x轴于点D,过点。作CE_Lx轴于点E,

・・•点A(2,V3),B(2,273),C(3,V3),

・•・"〃)，轴，CE=4，0E=3,

•"BLi轴，

.'.BD=2V3，00=2,

tanZBOD=^r=V3»tanZCOE=-^-»

UUUDO

・・・N8O£>=6()°,NCOE=30°,

，ZBOC=/ROD-/COE=30°,

即原点。对三角形ABC的视角为30°过答案为：30°(2)证明：如图，过圆3上任

一点P作圆Oi的两条切线交圆O1于人，B,连接OA,OB,0P,则有CM_L必，OBL

・・・/0雨=30°,

同理可求得：ZOPB=30°,

AZAPB=60°,

即圆3上任意一点P对圆O1的视角是60°,

・♦•圆3上任意一点P对圆O\的视角是定值.

(3)当在直线AB与直线CD之间时，视角是N4PZ),此时以E(-4,0)为圆心，EA

半径画圆，交直线于尸3,代，

VZDP3Z?>ZDP.VA=45°，NA7VC>NO7VC=45°,

不符合视角的定义，入，尸6舍去.

同理，当在直线上方时，视角是N4PO,

此时以A（-2,2）为圆心，4B半径画圆，交直线于Pi，P5,尸5不满足;

过点P1作P1ML4。交延长线于点M,则APi=4,PiM=5-2=3,

・•・AMRAPJ-PJI=V7，

・・.P］（_5,2+行）当在直线下方时，视角是NA小，

此时以。（-2,-2）为圆心，OC半径画圆，交直线于冷，P4,尸4不满足；

同理得：P（-5,-2-V7）5

综上所述，直线上满足条件的位置坐标p（-5,2+近）或D（-2-V7）-

1P4-5,

1.如图,六边形ABCDEF是正六边形，曲线"KK2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，

其中前；可口后已审fX）…的圆心依次按点A，B,C,D,

E,尸循环，其弧长分别记为/l，/2,/3,14,k，16,….当48=1时，/20U等于（）

A2011兀R2011兀2011兀*n―*•2011兀

2346

,-60Hxi_71

解:/|-------------------

1803

,_60兀X2_2兀

卜一-iso—r

._60兀X3_3兀

/3=^80-=—

_6QKX4_47T

'-180"I"

按照这种规律可以得到:

2011兀

**«/2011=

T

故选：B.

2.已知线段48,OM经过A、8两点，若90°WNAM8W120°,则称点M是线段A8的

“好心”；OM上的点祢作线段A/6的“闪光点”.已知人(2,0),B(6,0).

①点M(4,2)是线段AB的“好心”；

②若反比例函数y=K上存在线段48的“好心”，则理③W&W8；

x3

③线段人8的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形;

④若直线y=x+。上存在线段A8的“闪光点”，则・10W〃W2.

上述说法中正确的有()

A.®®®®B.①®④C.①@D.①②

AC=CM=BC=2,/ACM=9(T,

・••圆M经过A、B两点,且/AMB=90°,

:.点M（4,2）是线段A8的“好心”，

故①正确：

②若反比例函数），=区上存在线段的“好心”，

x

/.90°WN4MBW120。，

i）点M在x轴上方时，当NAM3=90°时，如图1,此时点/（4,2）,即M在反比例

函数y=K图象上，

x

，仁2X4=8；

当NAM8=120°时，如图2,过点M作MC_LAB于C,

64-y

5-

4-

3-

2-A/

1-

111『/1Ci1

■

-2-10123456J

—1-

-2-图2

：,ZBAM=30°,

VAC=2,

V33

:.M（4,

3

•・•M在反比例函数y=区图象上，

X

33

3

ii）点M在x轴的下方时，同理可得-

3

故②不正确;

③线段AB的闪光点组成的图形如图3所示:

所以线段AB的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形:

④当直线,，=户方与上述两个大圆相切时属于临界状态，在两条切线范围内存在“闪光点”,

设直线)，=履+。与圆M相切于点P,则MP与之垂直，且线段BM是直径，

，：B(6,0),M(4,2),

:.P(2,4),

代入y=x+b得，2+力=4,

:・b=2；

设直线与圆M'相切于点"则M'”与之垂直，且线段AH是直径，

V4(2,0),M'(4,-2),

・・・P(6,-4),

代入y=x+〃'得，6+b'=-4,

：,b'=-10；

综上可知，。的取值范围是-10W〃W2,

故④正确；

所以上述说法中正确的有①③④.

故选：B.

3.我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车做向前的直线运动，又以车轴为

圆心做圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出

了一道道优美的弧线.其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产

生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段底而复始的圆弧，也有人认为这个轨

迹是一段段的抛物线.你认为呢？摆线(Cycloid)：当一个圆沿一条定直线做无滑动的滚

动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线.定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点

称为摆点：

现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币做无

滑动的滚动，那么：

(1)当右侧硬币上接触点4的运动轨迹大致是什么形状？

(2)当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向还是向下？

(3)当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？()

A.一条围绕于硬币的封闭曲线，向上；1圈

B.一条摆线；向上；1圈

C.一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈

D.一条摆线；向下；2圈

解：（1）根据题意中的表述，可知其运动轨迹是一条围绕于硬币的封闭曲线；

（2）当右侧硬币转到左侧时，硬币自身转动了1圈，故硬币面上的图案向上;

（3）分析可得：当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动2圈.

故选：C.

4.定义：如果。是圆O所在平面内的一点，Q是射线。尸上一点，且线段OP、0Q的比例

中项等于圆。的半径，那么我们称点P与点。为这个圆的一对反演点.已知点M、N为

圆。的一对反演点，且点M、N到圆心。的距离分另J为4和9,那么圆0上任意一点到

点M、N的距离之比细=2.

AN-3-

解：由题意OO的半径J=4X9=36,

Vr>0,

；・r=6,

当点4在NO的延长线上时，4W=6+4=10,AN=6+9=15,

.AM=_10=_2

•项"15

当点A"是ON与O。的交点时，A"M=2,A"N=3,

・A"M2

N

当点A'是。。上异与A,A”两点时，易证△OVMs/\ONA'，

・A'M_OA'_6_2

"NON93,

综上所述，幽=2.

AN3

故答案为：2

3

5.如图，在△48C中，D,E分别是△4BC两边的中点，如果DE(可以是劣弧、优弧或半

圆)上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称标为△ABC的中内弧，例如，图中而是

△A8C其中的某一条中内弧.若在平面直角坐标系中，已知点尸(0,4),0(0,0),H

(4,0),在△E。，中，M,N分别是尸O,产H的中点,△尸0”的中内弧诵所在圆的圆

心P的纵坐标m的取值范围是〃W1或加22.

解：如图，连接

由垂径定理可知，圆心P一定在线段MN的垂直平分线上，

作MN的垂直平分线QP,

VM,N分别是“。，用的中点，且尸(0,4),O(0,0),H(4,0),

:.M(0,2),N(2,2),Q(1,2),

若圆心在线段MN上方时,

设PQ,/〃)由三角形中内弧定义可知，圆心P在线段MN上方射线QP上均可，

当圆心在线段MN下方.时，

•：OF=OH,ZFOH=90°

/.ZFHO=45°,

，：MN〃OH,

：.ZFNM=ZFHO=45°,

作NG_LF〃交直线。尸于G,QG=NQ=1,

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方1含点G)的直线QP上时也符合要

求；

.二/后1,

综上所述，mW1或〃?22,

故答案为〃WI或m22.

6.如图(1),AABC是正三角形，曲线。…叫做"正三角形ABC的渐开线”，其中

"A^C,…依次连接，它们的圆心依次按A,从C循环•则曲线CABCi

叫做正△ABC的I重渐开线，曲线CAIBCI4282c2叫做正△ABC的2重渐开线，…，曲

线C48C1A2…A〃B〃G叫做正△A8C的n重渐开线.如图(2),四边形48CO是正方形,

曲线。出1。。1…叫做"正方形ABC。的渐开线”，其中工7^7，后©，前;..

依次连接，它们的圆心依次按4，B,C,。循环.则曲线。AiBiGDi叫做正方形48C。

的1重渐开线，…，曲线£>4BICIZM2…4&Cn。”叫做正方形A8CQ的〃重渐开线.依

次下去，可得正〃形的〃重渐开线(〃23).

若AB=1,则正方形的2重渐开线的长为I8n；若正〃边形的边长为I,则该正〃边形的

n重渐开线的长为〃(/『+1)TT.

解：若正〃边形的边长为1,

则该正〃边形的第一重渐开线长=啥■，二重庭舒1+蹩

第,?重渐开线的长9°兀义L+90兀X2十…十go兀义且

180180180

这是四边形，如果是〃边形，

则内角和是(〃-2)X1804-/2,

所以正〃边形的边长为I,

则该正n边形的〃重渐开线的长为2TT/“(1+2+…+〃)+2TT/〃[(〃+1)+(〃+2)+…+(〃+〃)]+…

+2n〃?H(〃-1)/1+1]+[(/?-1)〃+2]+…+[(〃-1)〃+〃]=〃(/+])n.

7.一个玻璃球体近似半圆O,A8为直径.半圆O上点。处有个吊灯EF//AB,COL

AB,E尸的中点为。，04=4.

(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上,OM=1.6,。r=0.8,求CO的长度.

(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，，为切点，W为08上一点，为入射光线,

N”为反射光线，N()HM=NOHN=45。，tan/C0H=3,求QV的长度.

4

(3)如图③，M是线段08上的动点，M”为入射光线，NH0M=50°,HN为反射光

线交圆。于点N,在M从。运动到8的过程中，求N点的运动路径长.

AOMB

解：(1)V0M=1.6,。/=0.8,EF//AB,

J。尸是△COM的中位线，

・••点D是。。的中点，

•・・OC=OA=4,

：・CD=2；

(2)如图②，过点、N作ND上OH于点、D,

：/OHN=45°，

••△M7O是等腰直角三角形,

•.ND=HD,

VtanZC0/7=—,NNDO=900，

4

・ND=3

**0D1

设ND=3A=HD,则0。=4人，

\*OH=OA=4,

，O”=3x+4.i=4,

•.•Xr—_4—,

7

：.ND=-X3=—,0D=-X4=—,

7777

22

：•^=7OD+ND=平：

(3)如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点8时，点N

运动至点7,故点N他运动路径长为。4+薪的长，

：.ZOHB=ZOBH=65a,

VZOHM=Z0H7\OH=OT,

；・/OTH=NOHT=65°,

：.ZTOH=50°,

・・・NAOT=180°-50°-50°=80°,

.•A的长=80X71X4=1^,

1809

，点N的运动路径长=44上@71.

9

8.我们不妨定义：有两边之比为1：«的三角形叫敬“勤业三角形”.

(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是®®；(填序号)

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三

角形.

(2)如图I,△八夕。是。。的内接三角形，4c为直径，D为AB上一点，BD=2AD,

作OE_LO4,交线段0A于点F,交00于点连接BE交AC于点G.试判断△4庭）

和△ABF是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出毁的值；如果不是，请

BE

说明理由；

（3）如图2,在（2）的条件下，当A/：FG=2：3时，求N8EO的余弦值.

解：①等边三角形各选的比值为1,故等边三角形不是“勤业三角形"；

②等腰直角三角形两直角边的比值为1,直角边与斜边的比为1：6,故等腰直角三角

形不是“勤业三角形”；

③设含30角的直角三角形的最短边长为小则斜边长为2小另一条直角边长为百〃，

返〃=1：如,故含30°角的直角三角形是“勤业三角形”；

④如图：ZVIBC中，AB=AC,Z«=120°,过点A作AO_L8C于点。，

・・・NB=NC=30°,

设人。=小则48=AC=2«,BD=DC=y[3a>

:・BC=2%i,

•MB：BC=AC：BC=\：低

・••含120°角的等腰三角形是“勤业三角形”，

故答案为：③④；

（2）解：△AEO和△A8£都是“勤业三角形”,

证明如下：

如图：连接OE,设NABE=a,

c

4yDy®

/.ZAOE=2ZABE=2a,

*：OA=OE,

・・・NOAE=2(180。-NAOE)=▲(180°-2a)=90°-a

22

y.*：DEVAC,

/.AAED+AOAE=W,即乙4ED+90"-a=90°,

；・ZAED=ZABE=a,

又•••/E4O=NBAE,

・•・XNDEsXAEB,

.AEADDE

AB"AE-EB

AE1=AD^AB,

•:BD=2AD,

：,AD=^-AB,

3

・・・AE24AB2,AE2=3AD2,

.AE1AD1

ABV3AEV3

•••△A£3和△ABE都是“勤业三角形"，

.DE_AE_1_V3

(3)解：如图：过点G作G/〃4B交。E于点/,

.,.△FG/^AMD,AEIGSAEDB,

,GIJYJYJEG二”二jJ

"AD"DF'AFEB"BD'ED

：.GI=—AD,

2

'：BD=2AD,

•GI3

••,二

BD4

,EG_GI_EI_3

一函画'而N

设£:G=3mEB=4a,

由（2）知，毁"1.

BE3

•—■^-ED=y[3a,DI=ED-E\-a-V3a-"^3~a

+oo

・5=右1卓2，

DD

・•・EF=EI+IF=心+率a=塔"a，

55

在RL^EFG中,

673

RR

cosZFEG=—

EG'3a-5

即cos/BED=^^~

5

9.对于平面内的两点K、L,作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称

点。是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°,则称点。是点L关于点K佗锐角

旋转点.如图1,点Q是点L关于点K的锐角旋转点.

(1)己知点A(4,0),在点Q(0,4),Qi(2,2^)，。3(-2,2^3)»QA(272.

-2V2)中，是点A关于点。的锐角旋转点的是」22X_24_.

(2)已知点B(5,0),点C在直线y=2x+b上，若点C是点B关于点。的锐角旋转点，

求实数力的取值范围.

(3)点。是x轴上的动点,D(t,0),E93,0),点尸(,，〃)是以。为圆心，3

为半径的圆上一个动点，且满足〃20.若直线)，=2i+6上存在点尸关于点E的锐角旋转

点，请直接写出，的取值范围.

yk

Ox

备川图

・・.Q4=OQi=4,ZAOQi=90°,

・••点Q\不是点A关于点O的锐角旋转点；

•・・02（2,W§）,作0门」轴于点R

2222=4=

・•・^2=^OF+Q2F=V2+（2V3）

VtanZ。2。/=&巨=V3»

2

，/。2。产=60°，

・•・点Qi是点A关于点O的锐角旋转点;

•・・Q（・2,蓊），作Q3GL•轴于点G,

・・・NQ30G=60°,

・•・。。3=——%=——L<_=4=OA,

cosNQ30Gcos60

VZAOQ3=180°-60°=120°,

・・・。3不是点A关于点。的锐角旋转点；

VG4（2^2.-2破；，作0〃_1_犬轴干点从

Q4H

则tanNQ4O〃=^-=-^^=1，

OH2V2

AZQAOH=45°,

・.・O0OH—2&—《—on

cosZQ40Hcos45°

・•・Q4是点A关于点O的锐角旋转点：

综上所述，在点Q,02,。3,。4中，是点4关于点。的锐角旋转点的是。2,。4，

故答案为：。2,Q4.

(2)在)，轴上取点P(0,5),当直线y=2A+〃经过点P时，可得5=5,

当直线y=2t+〃经过点4时，则2X5+b=0,

解得:b=-10,

・•・当・10V〃V5时，OB绕点。逆时针旋转锐角时，点。一定可以落在某条直线y=2x+b

•**ST=VOS2OT2=(-yb)2+(-b)2=一哼5,

当OG=5时，〃取得最小值，

V5X(-返》)=-bX(--/?),

22

：.b=-545,

，-5赤。＜5.

(3)根据题意，点?关于点E的锐角旋转点在半圆£上，设点尸在半圆S上，点。在

半圆了上(将半圆。绕点七旋转)，如图3(1),半圆扫过的区域为图3(I)中阴影部

分,

如图3(2)中，阴影部分与直线y=2x+6相切于点G,tan/EMG=2,SG=3,过点G

作GILx轴于点/,过点S作SJA-GI于点

/.NSGJ=/EMG,

AtanZSGJ=tanZEMG=2,

・/，,3A/5CZ6^5

55

・・・G/=GJ+〃=3+3Zl,

5

・13,3A/5

2210

：,OE=IE+MI-OM=^^--—,即XE=I-3=^Z1-3,

2222

解得『3应+2,

22

如图3(3)中，阴影部分与HK相切于点G,tan/OMK=tan/£MH=2,EH=6,则

MH=3,EM=38

•\xE=t-3=-3-3蓝,

解得t=-3遥,

观察图象可知，-3*《3+对£+旦.

10.在平面直角坐标系xOy中，正方形4BCO的顶点分别为A(0,1),8(-1,0),C(0,

-1),D(1,0).对于图形M,给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形

ABCO边上任意一点，如果尸，Q两点间

的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M).

已知点E(3,0).

①直接写出d(点E)的值；

②过点E画直线y=kx-3k与y轴交于点忙当d(线段EF)取最小值时，求k的取值

范围；

③设/是直线_>，=-x+3上的一点，以r为圆心，加长为半径作or.若4（0。满足“

亩用图

解：①”（3,0）,4（-1,0）,

：・d（点E）=BE=4；

②,：d（线段EF）取最小值，

:・d（线段EF）的最小值=d（点E）=4,

：.d（点F）W4,

当d（点尸）=4时，尸（0,3）或（0,-3）,

当F（0,3）时，k=-1,

当产（0,-3）时，k=l,

/.-0W1；

③由②可知，d（点E）=d（点尸）=4〈旦。15，

2

・・・。点T在第二象限或第四象限，

设T（x,-x+3）,

当7点在第二象限时，7c=2历时，/+（-x+3+l）2=—,

24

解得x=2-返豆或x=2+返豆（舍）；

22

当7点在第四象限时，时，（A-+I）2+（-A-+3）2=—

24

解得工=1+返9•或x=\-Y亘（舍）；

22

•:d（07）>—V10+V2»

2

•••'"等或、＜2•等・

11.【概念认识】

与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第I类圆；与

矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第II类圆.

【初步理解】

（1）如图①〜③，四边形ABC。是矩形，。0］和。。2都与边4。相切，。。2与边

相切，。0|和。Q都经过点B,。。3经过点。，3个圆都经过点C.在这3个圆中，是

矩形A3C。的第【类圆的是①，是矩形A3c。的第I【类圆的是②.

【计算求解】

（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6,直接写出它的第I类圆和第H类圆的

半径长.

【深入研究】

（3）如图④，已知矩形ABCD,用直尺和圆规作图.（保留作图痕迹，并写出必要的文

字说明）

①作它的1个第I类圆；

②作它的1个第II类园.

解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边AO与OOi相切，点8、。在圆上，

，①是第I类圆：

②的矩形有两条边AD、A8与。3相切，点。在圆上，

・•・②是第H类圆；

故答案为：①，②；

(2)如图1,设AO=6,A8=4,切点为E,过点。作E凡L8C交BC于立交A。于E,

连接B0,

设BO=r,则OE=r,OF=4-r,

由垂径定理可得，BF=CF=3,

在尸中,7=(4-r)2+32,

解得,•=争：

如图2,设从。=4,BC=6,切点为E,过点。作E匚LBC交8c于F,交A。于E,连

接30,

设130=r,则OE=r,0F=6-r,

由垂径定理可得，BF-CF-2,

在RtZ\8。/中，/=(6-r)2+22,

解得,•=£；

综上所述：第「类圆的半径是空或卫；

83

如图3,AD=6,AB=4,过点。作MNJ_A。交于点M,交BC于点M连接OC,

设A8边与O。的切点为G,连接0G,

.\G01AB,

设OM=r,则OC=r,则0N=4一,

•：OG=r,

:.BN=r,

:,NC=6-r,

在RtZ\OCN中，J=(4-r)2+(6-r)2,

解得r=10-4近，

・••第II类圆的半径是10-4V3：

(3)①如图4,

第一步，作线段A。的垂直平分线交4D于点E,

第二步，连接EC，

第三步，作EC的垂直平分线交E尸于点O，

第四步，以。为圆心，E。为半径作圆，

・・・。。即为所求第I类圆：

②如图5,

第一步：作NB/W)的平分线；

第二步：在角平分线上任取点E,过点£作垂足为点B

第三步：以点E为圆心，E尸为半径作圆石，交AC于点G,连接尸G；

第四步：过点。作C〃〃尸G,CH交AD于点H；

第五步：过点”作A。的垂线，交N8AD的平分线于点。；

第六步：以点。为圆心，。〃为半径的圆，OO即为所求第1【类圆•

图2

12.在平面直角坐标系入S中，OO的半径为1，已知点A，过点从作直线MM对于点A

和直线MM给出如下定义：若将直线MN绕点AJI/时针旋转，直线与。。有两个

交点时,则称MN是。。的“双关联直线”，与。。有一个交点P时，则称MN是。。的

“单关联直线”，AP是。。的“单关联线段”.

（1）如图1,A（0,4）,当MN与），轴重合时，设WN与。0交于C,D两点.则MN

是OO的“双关联直线”（填“双”或"单”）；£的值为3或区；

-----AD-5-3-

（2）如图2,点A为直线y=-3x+4上一动点，AP是。。的“单关联线段”.

①求OA的最小值；

②直接写出△人尸O面积的最小值.

解：（1）当MN与），轴重合时，

:MN与。。交于C,D两点，

・•・根据。。的“双关联直线”的定义可知：MN是。。的“双关联直线”;

当点C在y轴的正半轴时，AC=3,AD=5,

.AC_3

••;

AD5

当点。在y轴的正半轮时，AQ=3,AC=5,

•AC5

AD3

综上，旭的值为：2或区，

AD53

故答案为：双；旦或王；

53

（2）①过点O作OA垂直于直线y=-3x+4F点A，如图，

因为垂线段最短，则此时0A最小，

设直线y=-3x+4与y轴交于点M,与x轴交于点M

令x=0,贝ljy=4,

:,M(0,4),

・・・OM=4,

令y=0,贝ij-3x+4=0,

・丫一4

••X—,

3

:,N（生0）,

3

：.ON=生,

3

・•・MJV=VOM2ON2=-

O

SAOW4XOM・ON=3XOA・MN,

乙乙

：,4X^=.^^.XQA,

33

②△APO的面积最小值为15..理由：

10

•••人夕是oo的“单关联线段”，

JAP与O。相切于点P,则OPJ_Q4,即尸。为直角三角形，

由于△APO的一个直角边为1,当OA最小时，△APO的面积最小,

:.当0A垂直于直线y=-3x+4于点A时，△APO的面积最小.

连接OP,如图，

由题意：AP为OO的切线，

：,APVOP,

22

・•・^=VOA-OP=4^'

•••△APO的面积最小值为工x退X1=退.

2510

13.在平面直角坐标系X。），中，。0的半径为1,4为任意一点，B为OO上任意一点.给

出如下定义：记A,8两点间的距离的最小值为〃（规定：点A在。0上时，〃=0］，最

大值为q,那么把等的值称为点A与。。的“关联距离”，记作d（A,GO）.

（1）如图，点Q,E,/的横、纵坐标都是整数.

①dCD,QO）=2；

②若点M在线段Er上，求〃（M,00）的取值范围；

（2）若点N在直线上，直接写出d（M。0）的取值范围；

（3）正方形的边长为泊，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P,OO）的最小值

为1，最大值为小而，直接写出机的最小值和最大值.

y

解：(1)①•・•/)(0,2)到o。的距离的最小值〃=1,最大值g=3,

：・d(D,。。)=上曳=2,

2

故答案为：2；

②当M在点E处，d(E,OO)=2,

当M在点尸处，d(凡00)=21=3,

2

：,2Wd(M,。0)W3；

(2)设0N=d,

.*./?=4/-r=d-1,q=d+r=d+l,

:・dkN,90)=互辿=立三"L=d,

22

•・•点N在直线y=V3K+2V3上，

设直线交x轴于点从交)，轴于点A,如图1,

贝Ux=0时，y=2y/3,y=0时，x=・2,

・・・A(0,2V3)，B(-2,0),

：.0N=?g08=2,

・•・AB-VOA2OB2-4,

当。N_LA8时，d(MOO)最小，

Z.S^OB=—OA*013=—AB*ON,即▲X2V3X2=—X40N,

2222

••・0N=«,

•••ON无最大值，

：.d(MOO)>V3;

（3）如图2,・・・d（P,。0）的最小值为1,最大值为

・•・两个同心圆中，小圆的半径为1,大圆的半径为JI5，

VATL=V10-I，

・•・〃?的最小值是薄二-Y2,

V22

在RlZXOMH中，0M=V15，OH=m-1,

2

:.（m-1）2+（-1///）2=（V10）2,

2

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点8的坐标分别是（1,0）,（7,0）.

（1）对于坐标平面内的一点P,给出如下定义：