中考压轴-动点问题

中考动点专题

所渭“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线.上运动的一类开放性

题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.

关犍:动中求静.

数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手

段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何

图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力.图

形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数

学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展.这

些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用

意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）

分类思想；（5）转化思想等.研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成

和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向.只的这样，才能更好的培养学生解题素

养，在索质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测景点的存

在性和区分度小题处理手法提出自己的观点.

专题一：建立动点问题的函数解析式

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数

思想，由于某■个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的•种变化关系，这种变化关系

就是动点问题中的函数关系.那么我们怎样建立这种函数解析式呢？下面结合中考试题举例分析.

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1（2000年・上海）如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形0AB的弧AB上,有一个动点P,PII10A,垂足

为H,A0PH的重心为G.

⑴当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并

求出相应的长度.

⑵设PH=x,GP=）',求）'关于大的函数解析式，并写出函数的定义域（即自变量x的取值范围）.

⑶如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PII的长.

解：（1）当点P在弧AB上运动时,0P保持不变,于是线段GO、GP、GH中，有

22

长度保持不变的线段，这条线段是GH=』NH=320P=2______

⑵在Rt△POH中，OH=、OP?-PH”=飞36-£,:.

MH=-OH=-V36-x2

22

在RtZXMPH中，

MP=」PH〜MH?=Jx2+9--x2=-736+3?

V42

--736+37"

:GP=3Mp=3(0<x<6).

⑶△PGH是等腰三角形有三种可能情况:

①GP二PH时，336+3”-:解得”=几经检验，X二灰是原方程的根，且符合题意.

-A/36+3X2=2

②GP二GH时，3，解得x=°.经检验，戈=°是原方程的根，但不符合题意.

③PH=GH时，％=2.

综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为6或2.

二、应用比例式建立函数解析式

例2(2006年•山东)如图2,在△ABC中,AB=AO1,点D,E在直线BC上运动.设BD二x，CE二V.

⑴如果NBAC=30°,NDAE=105。，试确定)与4之间的函数解析式;

(2)如果NBAC的度数为a,ZDAE的度数为△，当。，夕满足怎样的关系式时，(1)中)与/之间的函数

解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在4ABC中，・.・AB=AC,ZBAC=30°,

/.ZABC=ZACB=75°,/.ZABI)=ZACE=105°.

VZBAC=30°,ZDAE=105°,/.ZDAB।ZCAE=75°,

又NDAB+NADB=NABC=75°,

・*ZCAE=ZADB,

ABHP

AAADB^AEAC,:・CEACf

1x1图2

-=-y=—

・・.)’i,.

90°--

⑵由于NDAB+NCAE=£—a,又NDAB+NADB=NABC=2，且函数

关系式成立，

90°--P-=

.・.?邛R一匕整理得〃29()。.

Qa_I

p-----=y=一

当290。时，函数解析式上成立.

例3(2005年・上海)如图3⑴，在△ABC中，NABC=90。，AB=4,BC=3.点

0是边AC上的一个动点，以点0为圆心作半圆，与边AB相切于点I),交线

段于点作交射线于点交射线于点

0CE.EP1ED,ABP,CBF.3(1)

(1)求证:AADE^AAEP.

(2)设OA=x,AF=y,求y关于工的函数解析式,并写出它的定义域.

⑶当BF=1时，求线段AP的长.

解：⑴连结0D.

根据题意，得ODLAB,工NODA=90°,NODA二NDEP.

又由OD=OE,得NODE二NOED.・•・NADE二NAEP,:.AADE^AAEP.

(2)'：ZABC=90°,AB=4,BC=3,:.AC=5.VZABC=ZAD0=90o,

ODxADx

-----=—

3(2)

AODZ/BC,；・.3545>

3438

-x—xx+-x-x

・・・0D-5,ADL5AAE-5-5.

84

-x-x

55

AEAD16

VAADE^AAEP,:.人夕AE*5

(3)当BF=1时，

①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1),则CF=4.

VZ/\DE=ZAEP,工/PDE=NPEC.VZFBP=ZDEP=90°,ZFPB-ZDPE,

・・・NF=NPDE,AZF=ZFEC,，CF=CE.

・•・5-5=4,得8.可求得y=2,即AP=2.

②若EP交线段CB于点F,如图3⑵,则CF=2.

类似①,可得CF=CE.

815

-XX——

・・・5-5=2,得8.

可求得>=6,即AP=6.

综上所述，当BF=1时，线段AP的长为2或6.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4(2004年•上海)如图，在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC=2&,G)A的半径为1.若点0在BC边上运动(与

点B、C不重合)，设BO=x,A\OC的面积为北

⑴求关于］的函数解析式，并写出函数的定义域,•

⑵以点0为圆心,B0长为半径作圆0,求当。0与。A相切时，

△A0C的面积.

解：(1)过点A作AH±BC,垂足为H.

VZBAC=90°,AB=AC=2&，，BC=4,AH=2BC=2..*.0€=4-^,

=\OCAH一八

・.・m。。2,Ay=-x+4(0<x<4),

⑵①当00与。A外切时，

_7

在RtZXAOH中,0A=x+l,0H=2r,.・.U+l)"=22+(2-x)2解得忆.

,717

4—=—

此时,ZXAOC的面积)丁66.

②当。0与OA内切时，

_7

在RSA0H中，0A-X-1,0H：X-2,・•.(xT>=2?+(x-2)2解得3.

,7I

此吐△AOC的面枳y=22.

17

综上所述，当。。与OA相切时，AAOC的面积为6或5.

专题二：动态几何型压轴题

动态几何特点一一问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析

过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.0)动点问题一直是中考热

点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊

角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题

(一)点动问题.

1.(09年徐汇区)如图，中，AB=AC=U)fBC=12,点D在边BC上,且30=4,以点

D为顶点作NEDF=NB,分别交边A3于点E,交射线6于点尸.

(1)当4七=6时，求A尸的长；

(2)当以点°为圆心07长为半径的。C和以点A为圆心长为半径的。A相切时，

求1的长;

（3）当以边AC为直径的。°与线段DE相切时，求/E的长.

［题型背景和区分度测量点］

本题改编自新教材九上《相似形》24.5（4）例六,典型的一线

三角（三等角）问题，试题在原题的基础上改编出第一小题，

当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系（相切问

题）的存在性的研究形成了第二小题，加入直线与圆的位置

关系（相切问题）的存在性的研究形成了第三小题.区分度测

量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，从而利用

方程思想来求解.

［区分度性小题处理手法］

C

1.直线与圆的相切的存在性的处理方法:利用d=r建立方

程.

2.圆与圆的位置关系的存在性（相切问题）的处理方法：利用d=R±r（R>〃）建立方程.

3.解题的关键是用含工的代数式表示出相关的线段.

［略解］

CFCD

解：（1）证明ACObsAEBQ，BE,代入数据得C/=8,.・.AF=2

CF=2

（2）设BE=x,则利用（1）的方法

^9

10=10-x+—

相切时分外切和内切两种情况考虑：外切，xx=4叵.

32

10=I0-X-—L

内切，X,x=10±2V17v0<x<10

・•・当（DC和。A相切时，8£的长为4友或10-2折.

BE=—

（3）当以边AC为直径的。。与线段力E相切时，3.

类题⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、

⑵两个动点；09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题.

（二）线动问题

在矩形ABCD中，AB=3,点。在对角线AC上，直线1过点0,且与AC垂直交AD于点E.（1）若直线1过点

B,把4ABE沿宜线1翻折，点A与矩形ABCD的对称中心重合，求BC的长；

（2）若直线1与AB相交于点F,且AO=IAC,设AD的长为",五边形BCDEF

的面积为S.①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

2

②探索：是否存在这样的X,以A为圆心，以1一1长为半径的圆与直线1

相切，若存在，请求出工的值；若不存在，请说明理由.

［题型背景和区分度测最点］

本题以矩形为背景,结合釉对称、相似、三角等相关知识编制得到.第一小

题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容：当直线/沿AB边

向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置

关系（相切问题）的存在性的研究形成了区分度测量点二.

［区分度性小题处理手法］

1.找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形

用割补法.

2.直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程.

B

3.解题的关键是用含大的代数式表示出相关的线段.

［略解］

1

(1)VA,是矩形ABCD的对称中心・・・A'B=AA'=2AC

VAB=A,B,AB=3AAC=6BC=36

1,

AF=—(X2+9)

⑵①AC=6+9,4124x

=gAEAF=，+9f

96x

-/+270/一81

96%(V3<x<3\/3)

x__3_—__1yr-r+-9^x?

②若圆A与直线1相切，则44,司=°(舍去)，5：~5・・・不存在这样的

%,使圆A与直线1相切.

［类题］09虹口25题.

(三)面动问题

如国，在A48C中，AB=AC=5,BC=6。、E分别是边AB、

fAC上的

两个动点(。不与A、B重合)，且保持以DE为边,在点A的

异侧作正方形DEFG.

(1)试求MBC的面积；

(2)当边尸G与8c重合时，求正方形OE/G的边长；

(3)设=与正方形OEFG重叠部分的面积为儿试求〉关于工

的函数关系式，并写出定义域；

(4)当MOG是等腰三角形时，请直接写出AO的长.

［题型背景和区分度测量点］

本题改编自新教材九上《相似形》24.5⑷例七，典型的共角相以三角形问题，试题为了形成坡度，在原题

的基础.上改编出求等腰三角形面积的第一小题，当D点在AB边上运动时，正方形力石/G整体动起来，GF

边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高二对应的小边比大边，

探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类

习题来设置区分测量点一，用等搂三角形的存在性来设置区分测量点二.

［区分度性小题处理手法］

AAAA

B&Ce遭L后广且

图3T图3-2图3-3图3-4图3—5

1.找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图37、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包

括两种情况.

2.正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决.

3.解题的关犍是用含x的代数式表示出相关的线段.

［略解］

解：(1)12.

a_4-a

(2)令此时正方形的边长为。，则64,解得5

(6V362

y=\—X=­x

⑶当0YXW2时，(5J25,

64z,x2424

y=-X-—(5-x)=——x-----x2

当2YXY5时，55525

一、1252520

(4)73117.

［类题］改编自09奉贤3月考25题，将条件(2)“当点M、N分别在边BA、CA上时”，去掉，同时加到

第(3)题中.

已知：在aABC中，AB=AC,NB=30°,BO6,点D在边BC上，p

点E在线段DC上，DE=3,Z\DEF是等边三角形，边DF、EF与边A

BA、CA分别相交于点M、N./\

(1)求证：△BDMs^CEN；///

(2)设BD=x,AABC与4DEF重叠部分的面积

为y，求关于工的函数解析式，并写出定义域.//\

(3)当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点I),使以M为//\

圆心，BM为半径的圆与直线EF柱切，如果存在，请求Hix的值：BDEC

如不存在，请说明理由.

例1：已知。0的弦AB的长等于00的半径，点C在。0上变化

(不与A、B)重合，求NACB的大小.

分析：点C的变化是否影响NACE的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下，如何变化呢？可能在优弧AB

上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，NACB所对

的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结A0、B0,则由于AB=0A=0B,

1

即三角形ABC为等边三角形，则NA0B=6()0,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出:ZACB=2Z

A0B二300,

当点C在劣弧AB上变化时，/ACB所对的弧是优弧AB,它的大小为优弧AB的一半，由/A0B=600得，优

弧AB的度数为3600-600=3000,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出:ZACB=1500,

因比，本题的答案有两个，分别为300或1500.

反思：本题通过点C在圆上运幼的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需

要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。

变式1：已知AABC是半径为2的圆内接三角形，若AB=2M,求NC的大

小.

木邈与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了一些变化，其解题方法与

］—AB万

sin-ZAOB=--=——/AOB=60°

上面一致，在三角形A0B中，2082,则2,

即NA08=120°

从而当点C在优弧AB上变化时，NC所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB的一半，即NC=60°,

当点C在劣弧AB上变化时，/C所对的弧是优弧AB,它的大小为优弧AB的一半，由NAOB=1200得，优弧

AB的度数为3600-1200=2400,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出:

ZC=1200,

因此NC=60°或/c=120().

变式2:如图,半经为1的半圆0上有两个动点A、B,若AB=1,

判断NAOB的大小是否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。

四边形ABCD的面积的最大值。

解：（1）由于AB=OA=OB,所以三角形AOB为等边三角形，则/A0B=600,即NAOB的大小不会随点A、B

的变化而变化。

V3

（2）四边形ABCI）的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的面积为4,而三角

-ODxAF+-OCxBG=-（AF^-BG）

形AOD与三角形BOC的面积之和为222,又由梯形

~（AF+BG）=EH

的中位线定理得三角形AOD与三角形BOC的面积之和2,要四边形

ABCD的面积最大，只需EH最大，显然EHWOE=2,当AB〃CD时，EH=OE,因此

6636

四边形ABCD的面积最大值为4+2=4.

对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD的周长的变化范围.

变式3:如图，有一块半圆形的木板，现要把它截成三角形板块.三角形

的两个顶点分

别为A、B,另一个顶点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的

面积最大？要求说明理由（广州市2000年考题）

分析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的

直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C作CD_LAB于点D,连

结CO,

由于CDWC0,当0与D重合，CD=CO,因此，当C0与AB垂直时，即C为

半圆弧

的中点时，其三角形ABC的面积最大。

本题也可以先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故

只需另选一个位置C1（不与C重合），，证明三角形ABC的面积大于三

角形ABC1的面积即可。如图

显然三角形ABC1的面积=2ABXCH）,而CHKC10=C0,则三角形ABC1的

11

面积=2ABXC1D<2ABXC10=三角形ABC的面积,因此对于除点C外的任意点C1,都有三角形ABC1的面

积小于三角形三角形ABC的面积,故点C为半圆中点时,三角形ABC面积最大.

本题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。

提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB为常数，gc

只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2ACXBC=AB2+4XAABC的面积，

因比AABC的面积最大时，AC+BC最大，从而△ABC的周长最大。\

从以上一道题及其三个变式的研亢我们不难发现，解决动念几何问题的常见（〃XX\

特殊探路，一般推证£丁节--------E

例2：（2004年广州市中考题第11题）如图,。01和。02内切于A,001

的半径为3,。02的半径为2,点P为。01上的任一点（与点A不重合），直线PA交。02于点C,PB切

BP

。02于点B,则产。的值为

3V6

(A)叵(B)6(C)5(D)2

分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以

取一个特殊位置进行研究,当点P满足PB1AB时，可以通过计算得出

pg=A/32—I2=2\/2

BCXAP=BPXAB,因此

ABxBP_8a_8j2_4V2

BC二JAB?+8尸J16+82A/6V6

4BP1-BC-=—

在三角形BPC中，PC=3,

BP

所以，PC=△选（B）

BPA—

当然，本题还可以根据三角形相似得尸CBP,即可计算出结论。

作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是

一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立。

例3：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BO4,OA，BC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保

持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。

判断AOEF的形状，并加以证明。

判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变

化范围，若不变化，求它的值.

△AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，

若不变化，求它的值。

分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F分

别为AB、AC中点，显然有△EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E

与A无限接近时，点F与点C无限接近，止匕时AEOF无限接近AAOC,而B

AA0C为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出△EOF为等腰直角

三角形。一般情况下成立吗？0E与OF相等吗？NE0F为直角吗？能否证明。

如果它们成立，便可以推出三角形OFC与三角形OEA全等，一般情况下这两

个三角形全等吗？

不难从题目的条件可得：0A=OC,Z0CF=Z0AE,而AE=CF,贝ijAOEAg△OFC,

则0E二OF,且NFOONEOA,所以/EOF=NE0A+NA0F=NF0C+NF0A=900,贝lj

NE0F为直角，故AEOF为等腰直角三角形。

动手实践，操作确认

例4（2003年广州市中考试题）在。0中，C为弧AB的中点，D为弧AC上

任一点（与A、C不重合）,则

（A）AC+CB=AD+DB（B）AC+CB<AD+DB

（0AC+CB>AD+DB（D）AC+CB与AD+DB的大小关系不确定

分析:本题可以通过动手操作一下，度量AC、CB、AI）,DB的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论

(C)

例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD,延长CA和CD与大圆

分别交于点B、E,则下列结论中正确的是（*）

（A）DE=AB（B）DE>AB

（C）DE<AB（D）。瓦A8的大小不确定

分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B）

本题也可以可以证明得出结论，连结DO、E0,则在三角形OED中，由于两边之差小于第三边，则

OE—OD<DE,即OB—OA〈DE,因此AB<EDylipDE>AB

建立联系，计算说明

例6：如图，正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1,N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的

最小值为

分析：能否将DN和NM进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，

很自然地想到轴对称问题，由于ABCD为正方形，因此连结BN,显然有ND二NB,

则问题就转化为BN+NM的最小值问题了，一般情况下：BN+N心BM,只有在B、

N、M三点共线时，BN+NM=BM,因此DN+MN的最小值为BM=JAC，+CM?=5

本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线

时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出

结论。

例7：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4,OA-tBC于0,点E和点F

分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A

重合。

判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围,若不变化，求它的值.

△AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。

（如例3的第2、第3问）

分析：（2）本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF与AE长的

函数关系式，如设AE=x,则AF=2四-"，

272

而三角形A0B的面积与三角形AOE的面积之比=X，而三角形A0B

1x

—xOBxOA=2~r=

的面积=2,则三角形A0E的面积=42,同理三角

2^2-xx+（2V2-x）2

形A0F的面积;行，因此四边形AEOF的面积二行；即AE0F的面积不会随点E、F

的变化而变化，是一个定值，且为2.

当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE与三角形C0F全等，则四边形AEOF的面积与三角形A0C

的面积相等，而AOC的面积为2,因此AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.

本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系，然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.

—x（2,\/2—x）=—（X—V2）~+1

第（3）问，也可以通过建立函数关系求得，AAEF的面积=22，又x的变

化范围为°vx<2日，由二次函数知识得AAEF的面积的范围为：

o<AAEF的面积41.

本题也可以根据三角形AEF与三角形OEF的面积关系确定AAEF的面积范围：

不难证明AAEF的面积W^OEF的面积，它们公用边EF,取EF的中点H,显然由于&OEF为笔腰直角三角

1”

—EF

形，则OH_LEF,作AG_LEF,显然AGWAH=AG（=2）,所以AAEF的面积W^OEF的面积，而它们的和

为2,因此AAEF的面积KL

本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：

比如，比较线段EF与A0长度大小等（可以通过A、E、0、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论）

例8：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB选从点A开

始句点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘

米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0Wt

APB

W6），那么：

（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？

（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；

（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与AABC相似？

分析：（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于NA为直角，只能是AQ二AP,建立等量关系，2/=6-Z,

即'=2时'三角形QAP为等腰三角形；

（2）四边形QAPC的面积;ABCD的面积一三角形QDC的面积一三角形PBC的面积

12x6——x12xx——（12—2x）x6

=22=36,即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。

（3）显然有两种情况:△PAQSAABC,AQAP^AABC,

2x12■---2x6■---

由相似关系得6-x6或6一112,解之得x=3或x=1.2

建力关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大

值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些儿何上的关系，描述图形的特征，如

全等、相似、共圆等方面的知识求解。

作为训练同学们可以综合上述方法求解：

练习1：2003年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）

已知△ABC为直角三角形，AC=5,BC=12,NACB为直角，P是AB边上

的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上动点（与点B、C不重合）

如纽，当PQ〃AC,且Q为BC的中点，求线段CP的长。

当PQ与AC不平行时，ACPQ可能为直角.三角形吗？若有可能，求出

线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。

14n13

-AB=—

第1问很易得出P为AB中点，则CP=22

第2问：如果ACPQ为直角三角形，由于PQ与AC不平行，则NQ

不可能为直角

又点P不与A重合，则NPCQ也不可能为直角，只能是/CPQ为直角，

即以CQ为直径的圆与AB有交点，设CQ=2x,CQ的中点D到AB的距

离DM不大于CD,

DMDBDM\2-x5（12-x）

-----=----------=--------DM=----------

ACAB,即513,所以13，由

八八，5（12-x）_、1010,，

DM=----------<CD=xx>————<A<6—<CQ<12

13，即3,而xv6,故3,亦即3时，ACPQ可能

为直角三角形。

当然还有其它方法。同学们可以继续研究。

练习2：（广东省2003年中考试题最后一题）在Rt^ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,0为BC的中点,

（1）写出点0到4ABC的三个顶点A、B、C距离的大小关系。

（2）加果点M、N分别在线段AR、AC上移动，移动中保持A\=RV,请判断

△0MN的形状，并证明你的结论。

该题与例3类似，同学们可以仿

本大类习题的共性：

1.代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考

查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数.

2.以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特

殊情况下的函数值.

专题三：双动点问题

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载

体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它

能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著

称的双动点问题更成为今年中包题的热点，现采撷几例加以分类浅析•，供读者欣赏.

1以双动点为载体，探求函数图象问题

例1(2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，ZC=90°,高CD=6cm(如图1).动点P,Q同时从点B出

发，点P沿BA,AD,DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是lcm/s.而

当点P到达点A时，点Q正好到达点C.设P,Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为

y(cm)2(如图2).分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t

的函数图象是图3中的线段MN.

(1)分别求出梯形中BA,Al)的长度；

(2)写出图3中M,N两点的坐标；

(3)分别写出点P在BA边.上加DC边.上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图

3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.

评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相

成，给人以清新、淡雅之感.本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运

用,解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与I的函数关系

式，进而根据函数关系式补充函数图象.

2以双动点为载体，探求结论开放性问题

例2(2007年泰州市)如图5,RtZ^ABC中,ZB=90°,NCAB=30°.它的顶点A的坐标为(10,0),

顶点B的坐标为(5,53),AB=10,点P从点A出发，沿A-B-C的方向匀速运动，同时点Q从点1)(0,2)

出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.

(1)求NBAO的度数.

(2)当点P在AB上运动时,aORQ的面枳S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,

(如图6),求点P的运动速度.

(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.

(4)如果点P,Q保持⑵中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，NOPQ的大小随着时间t的增大而

增大；沿着BC边运动时，NOPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使N0PQ=90°

的点P有几个?请说明理由.

解(l)ZBA0=60°.

(2)点P的运动速度为2个单位/秒.

评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题.试题有难度、有梯度也有

区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题.解决本题的关键是从图象中获取P的速度为2,然后建立S

与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4),考生要从题目的信息中确定建立

以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.

3以双动点为载体，探求存在性问题

例3(2007年扬州市)如图8,矩形ABCD中，AD=3厘米,AB=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点出发,

分别沿B-A,B-C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分别交AN,CD于P,Q.当点N到达终

点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.

(1)若a=4厘米，t=l秒，则PM=厘米;

(2)若a=5厘米，求时间t,使△PNBS^PAD,并求出它们的相似比；

(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都

相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.

评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代

数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3；,解决此题

的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM,进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关

系式，再利用t的范围确定的a取值范围.第(4)小题是题⑶结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，

要有全局观念以及对问题的整体把握.

4以双动点为载体，探求函数最值问题

例4(2007年吉林省)如图9,在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它

们分别从点A、C同时出发，沿对角线以lcm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交RtAACD的直角边

于H；过F作FG垂直AC交RtAAOD的直角边于G,连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1,

AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为3).E到达C,F到达A停止.若E的运动时

间为x(s),解答下列问题：

⑴当(KX

(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；(图10为备用图)

②求y的最大值.

解(1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82,所以AO16,过B作B0

_LAC于0,则0B=89,因为AE=x，所以S2=4x,因为HE=AE=x,EF=16-2x,所以Sl=x(16-2x),当S1=S2

时，4x=x(16-2x),解得xl=0(舍去)，x2=6,所以当x=6时，S1=S2.

(2)①当0Wx<8时,y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x,

当8WxW16时,AE=x,CE=HE=16-x,EF=16-2(16-x)=2x-16,

所以Sl=(16-x)(2x-16),所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②当0Wx<8时,y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50,所以当x=5时,y的最大值为50.

当8WxW16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82,

所以当x=13时,y的最大值为82.

综上可得，y的最大值为82.

评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画

出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式.本

题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思

维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.

专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题

例题如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点0,与x轴的另一个交点为B。

12

V=—一X+X

⑴求抛物线的解析式；(用顶点式求得抛物线的解析