2026年高考数学第一轮专题复习：直线与方程 含答案

/直线与方程一．选择题（共8小题）1．（2025春•浙江期中）若直线l1：2x﹣y+1＝0与直线l2：kx+y﹣2＝0（k∈R）平行，那么这两条直线之间的距离为（）A．35 B．15 C．352．（2025春•昌江区校级期中）已知直线2x+my+m+6＝0与直线mx+2y﹣4＝0互相平行，则m为（）A．−12 B．﹣2 C．﹣2或23．（2025春•宝山区期中）在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线以点P出发经BC、CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQB的面积等于（）A．163 B．4 C．5 D．4．（2025春•广安区校级期中）直线x﹣y﹣5＝0的倾斜角为（）A．﹣45° B．45° C．90° D．135°5．（2025春•西昌市期中）AB→=e1→+2e2→，BC→=−5A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线6．（2025•内蒙古二模）若点A(−12，32)关于直线y＝kx对称的点在圆（x﹣3）A．1 B．2 C．3 D．27．（2024秋•乐山期末）点（0，﹣1）到直线λx﹣y+λ＝0（λ为任意实数）距离的最大值为（）A．22 B．1 C．2 8．（2025春•北仑区校级期中）已知直线l经过点P（1，2），与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．8二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•北仑区校级期中）直线l：xsinθ﹣y+3＝0（θ∈R）的倾斜角可以为（）A．5π6 B．3π4 C．（多选）10．（2025•湖北模拟）已知直线l的方程为（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O为原点，则（）A．若OP≤2，则点P一定不在直线l上 B．若点P在直线l上，则OP≥2 C．直线l上存在定点P D．存在无数个点P总不在直线l上（多选）11．（2025•新余校级模拟）台球是一项有趣的体育项目，如图的球桌上在左下角的D点有一颗球（体积忽略不计），现击打该球使其在球桌上做理想运动，碰撞到桌壁后反弹时满足反射角＝入射角，设洞口E为CD中点，ADAB=λ(0＜λA．若λ=23，球仅碰撞桌壁一次即可进入洞口E，则B．若λ=23，球第一次碰撞在BCC．不论λ的值为多少，一定存在某种击打方式使球碰撞桌壁两次可进入洞口E D．若击出的球可以依次碰撞桌壁BC、AD、AB后进入洞口E，则λ可以为0.8（多选）12．（2025春•横峰县校级期中）若直线l1的斜率k1=34，直线l2经过点A（3a，6），B（0，a2+1），且l1⊥lA．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5三．填空题（共4小题）13．（2025春•秦都区校级期中）已知A（1，2），B（m，4），C（3，6），且A，B，C三点共线，则m＝．14．（2025春•琼山区校级月考）x225+y29=115．（2024秋•廊坊期末）已知直线l经过点（3，2），且与直线x+2y﹣4＝0平行，则直线l的方程为．16．（2025春•宝山区期中）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则实数a＝．四．解答题（共4小题）17．（2025春•北仑区校级期中）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（﹣4，2）．（1）若AC边上的高BE所在的直线方程为x﹣3y+10＝0，求边AC所在的直线方程；（2）若AB边上的中线CF所在直线方程为x+2y﹣5＝0，∠B的平分线BD所在的直线方程为y＝2x，求边BC所在的直线方程．18．（2025春•湖南期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A（1，0），B（5，﹣2），C（8，4）．（1）求顶点D的坐标；（2）求△ADC的面积．19．（2025春•杨浦区期中）已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（3，1）、C（﹣1，0）．（1）求△ABC的面积S；（2）求BC边上的中线与AC边上的高的交点坐标．20．（2025春•宝山区校级期中）已知点P（1，2），直线l：2x﹣y﹣1＝0．（1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程；（2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程．

直线与方程答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•浙江期中）若直线l1：2x﹣y+1＝0与直线l2：kx+y﹣2＝0（k∈R）平行，那么这两条直线之间的距离为（）A．35 B．15 C．35【考点】两条平行直线间的距离；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】D【分析】根据直线l1与直线l2平行，列式算出k＝﹣2，然后运用两条平行线之间的距离公式算出答案．解：根据直线l1：2x﹣y+1＝0与直线l2：kx+y﹣2＝0平行，可得k2=1所以直线l2：﹣2x+y﹣2＝0，即2x﹣y+2＝0．直线l1与直线l2之间的距离d=|1−2|故选：D．【点评】本题主要考查两条直线平行与方程的关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题．2．（2025春•昌江区校级期中）已知直线2x+my+m+6＝0与直线mx+2y﹣4＝0互相平行，则m为（）A．−12 B．﹣2 C．﹣2或2【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【正确答案】D【分析】利用两直线平行的性质列方程求出m的值，再检验两直线是否重合即可．解：因为直线2x+my+m+6＝0与直线mx+2y﹣4＝0互相平行，所以m2＝4，解得m＝2或﹣2，当m＝﹣2时，两直线重合，不符合题意，舍去，当m＝2时，两直线不重合，符合题意，所以m＝2．故选：D．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．3．（2025春•宝山区期中）在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线以点P出发经BC、CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQB的面积等于（）A．163 B．4 C．5 D．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】A【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过三角形ABC的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积．解：由题意等腰直角△ABC中，AB＝AC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线以点P出发经BC、CA边反射后又回到点P，光线QR经过△ABC的重心，可建立直角坐标系，可得B（6，0），C（0，6），故直线BC的方程为x+y＝6，则三角形ABC的重心为(0+0+6设P（a，0），其中0＜a＜6，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足a+x2+0+y2=6易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k=6−a−06−(−由于直线QR过三角形ABC的重心（2，2），代入得2=6−化简得a＝2或a＝0（舍去），故P（2，0），P1（6，4），P2（﹣2，0），直线QR的方程为y=联立x+y=6y=12则三角形PQB的面积S=故选：A．【点评】本题考查了直线的方程，对称问题的求解，是中档题．4．（2025春•广安区校级期中）直线x﹣y﹣5＝0的倾斜角为（）A．﹣45° B．45° C．90° D．135°【考点】直线的倾斜角．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】B【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解．解：因为直线x﹣y﹣5＝0的斜率为k＝1，又因为直线的倾斜角θ∈[0，π），且k＝tanθ＝1，所以θ＝45°．故选：B．【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．5．（2025春•西昌市期中）AB→=e1→+2e2→，BC→=−5A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线【考点】三点共线．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】B【分析】结合向量共线的定义，即可求解．解：BC→=−5e则BD→故A，B，D三点共线．故选：B．【点评】本题主要考查共线的定义，属于基础题．6．（2025•内蒙古二模）若点A(−12，32)关于直线y＝kx对称的点在圆（x﹣3）A．1 B．2 C．3 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；分析法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【正确答案】C【分析】根据点关于直线对称的性质，直线与直线垂直的性质计算即可．解：设点A(−12，32)关于直线y＝kx对称的点为B则AB中点坐标为(x0−12所以代入化简得3+2又因为经过A，B两点的直线与直线y＝kx垂直，所以斜率互为负倒数，即y0−3结合①②可得x由题意可知点B在圆上，所以代入将x0，y0的值代入圆方程中，即[k化简上式可得k4因式分解得(k解得k=故选：C．【点评】本题考查直线与直线垂直，点关于直线对称的性质，计算量大，属于中档题．7．（2024秋•乐山期末）点（0，﹣1）到直线λx﹣y+λ＝0（λ为任意实数）距离的最大值为（）A．22 B．1 C．2 【考点】点到直线的距离公式．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】C【分析】求出直线过的定点，再由几何关系可得点（0，﹣1）到点（﹣1，0）的距离即为所求．解：直线λx﹣y+λ＝0可化为：λ（x+1）﹣y＝0，由x+1=0y=0所以直线λx﹣y+λ＝0过定点（﹣1，0），则点（0，﹣1）到直线λx﹣y+λ＝0距离的最大值即为点（0，﹣1）到点（﹣1，0）的距离，因为(0+1)所以点（0，﹣1）到直线λx﹣y+λ＝0距离的最大值为2．故选：C．【点评】本题考查点到直线的距离求法，属于基础题．8．（2025春•北仑区校级期中）已知直线l经过点P（1，2），与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】直线的点斜式方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】C【分析】不妨设直线l分别交x、y轴于点A（a，0）、B（0，b），则a＞0，b＞0，可得出直线l的截距式方程为xa+yb=1解：直线l经过点P（1，2），与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，不妨设直线l分别交x、y轴于点A（a，0）、B（0，b），则a＞0，b＞0，所以，直线l的截距式方程为xa+yb=1，因为点P由基本不等式可得1=1a+2b当且仅当1a=2故△AOB的面积的最小值为4．故选：C．【点评】本题主要考查三角形的面积以及不等式的应用，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•北仑区校级期中）直线l：xsinθ﹣y+3＝0（θ∈R）的倾斜角可以为（）A．5π6 B．3π4 C．【考点】直线的倾斜角．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】ABD【分析】由题易知k＝sinθ∈[﹣1，1]，结合倾斜角与斜率的关系可得的倾斜角的范围．解：将直线l整理为：y＝sinθx+3，假设直线l的倾斜角为α，则α∈[0，π），则k＝tanα＝sinθ∈[﹣1，1]，当k∈[﹣1，0）时，则α∈[3π4，当k∈[0，1]时，则α∈[0，π4故选：ABD．【点评】本题考查直线的倾斜角的范围的求法，属于基础题．（多选）10．（2025•湖北模拟）已知直线l的方程为（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O为原点，则（）A．若OP≤2，则点P一定不在直线l上 B．若点P在直线l上，则OP≥2 C．直线l上存在定点P D．存在无数个点P总不在直线l上【考点】恒过定点的直线．【专题】对应思想；综合法；直线与圆；数学抽象．【正确答案】BD【分析】由已知结合点到直线距离公式，直线系方程恒过定点问题检验各选项即可判断．解：O到l的距离d=2(1+若OP≤2，则点P有可能在直线l上，A错误；由O到l的距离d=2(1+a2)(a2−1)原直线可变形为a2（x+2）﹣a•2y+2﹣x＝0，令x+2=02y=02−x=0，此时无解，即直线l不过定点，一定存在无数个P故选：BD．【点评】本题主要考查了直线系方程的应用，考查了分析问题的能力，属于中档题．（多选）11．（2025•新余校级模拟）台球是一项有趣的体育项目，如图的球桌上在左下角的D点有一颗球（体积忽略不计），现击打该球使其在球桌上做理想运动，碰撞到桌壁后反弹时满足反射角＝入射角，设洞口E为CD中点，ADAB=λ(0＜λA．若λ=23，球仅碰撞桌壁一次即可进入洞口E，则B．若λ=23，球第一次碰撞在BCC．不论λ的值为多少，一定存在某种击打方式使球碰撞桌壁两次可进入洞口E D．若击出的球可以依次碰撞桌壁BC、AD、AB后进入洞口E，则λ可以为0.8【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】BC【分析】可将台球的运动用“平面展开法”来分析（即每碰到一次边就将球桌作相应的镜像反射，从而把带有反射的运动转化为在多个拼接的“镜像球桌”中的直线运动），然后对各个选项的情况进行分析判定．解：由题意洞口E为CD中点，ADAB=λ(0＜λ对于选项A：当λ=23时，可设AD＝8，AB＝12．击打球使其碰撞AB靠近A端的四等分点，反射后再正好进入洞口E，所以μ对于选项B：当λ=23时，可设AD＝8，AB假设碰撞两次进入洞口，则第二次碰撞一定在AB边上，将桌面依次向右、向上翻折一次，E到达E′，观察线段DE′，要求此线段完全在桌面与翻折桌面构成图形的内部，设直线kDE′=令y＝8得x＝9＜12＝AB，所以线段不可能完全在桌面与翻折桌面构成图形的内部，即不可能两次碰撞入洞．如第二张图，计算得：μ=8+812+12+6=8对于选项C：如第三张图，依次将桌面向上、向右翻折，对应连接D、E′得到线段DE′，观察线段EE′，其经过B点，所以DE′与直线AB的交点M在线段AB上，故线段DE′完全在桌面与翻折桌面构成图形的内部，这意味着这样击球球将依次碰撞桌壁AB、BC后进洞，碰撞了两次，故选项C正确．对于选项D：如第四张图，同C翻折，同理分析，观察线段E′E″，交点恰好在转折点处，所以线段DE′一定不可能完全在桌面与翻折桌面构成图形的内部，故选项D错误．．故选：BC．【点评】本题考查了直线的方程，是中档题．（多选）12．（2025春•横峰县校级期中）若直线l1的斜率k1=34，直线l2经过点A（3a，6），B（0，a2+1），且l1⊥lA．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】AD【分析】根据直线垂直的性质求解即可．解：因为直线l1的斜率k1=34，直线l2经过点A（3a，6），B（0，a2+1），且l1所以a2+1−60−3故选：AD．【点评】本题主要考查两直线垂直的性质应用，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•秦都区校级期中）已知A（1，2），B（m，4），C（3，6），且A，B，C三点共线，则m＝2．【考点】三点共线．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】2．【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可．解：A（1，2），B（m，4），C（3，6），则AB→=(m因为A，B，C三点共线，所以4（m﹣1）﹣4＝0，解得m＝2．故2．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．14．（2025春•琼山区校级月考）x225+y29=1上的点到直线4x【考点】点到直线的距离公式．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】6541【分析】利用三角换元，根据点到直线的距离公式与辅助角公式化简所求距离，结合余弦函数的最值算出答案．解：由x225+y29=1，设x225=cos2α，y29设P（5cosα，3sinα），则P到直线4x﹣5y+40＝0的距离d=|4×5cosα当cos（α+φ）＝1时，d达到最大值541故6541【点评】本题主要考查点到直线的距离公式、两角和与差的三角函数公式、余弦函数的最值等知识，属于中档题．15．（2024秋•廊坊期末）已知直线l经过点（3，2），且与直线x+2y﹣4＝0平行，则直线l的方程为x+2y﹣7＝0．【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】x+2y﹣7＝0．【分析】法（i）设出直线l的方程，利用待定系数法求出方程；法（ii）由题意可得已知直线的斜率，设直线l的方程，将点（3，2）代入直线l的方程，可得参数的值，即求出直线l的方程．解：法（i）由直线l与直线x+2y﹣4＝0平行，设直线l的方程为x+2y﹣m＝0（m≠4），由直线l经过点（3，2），得3+2×2﹣m＝0，解得m＝7，所以直线l的方程为x+2y﹣7＝0．法（ii）因为直线x+2y﹣4＝0的斜率为−1所以设与直线x+2y﹣4＝0平行的直线l的方程为y=−12x+将点（3，2）代入直线l的方程为：2=−12×3+b＝0，解得即直线l的方程为y=−12x即x+2y﹣7＝0．故x+2y﹣7＝0．【点评】本题考查与已知直线平行的直线方程的求法，属于基础题．16．（2025春•宝山区期中）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则实数a＝﹣1．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【正确答案】﹣1．【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可．解：因为直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，且l1∥l2，所以a2＝1×1，解得a＝1或a＝﹣1，当a＝1时，直线l1：x+y＝1，l2：x+y＝1重合，故舍去，故a＝﹣1．故﹣1．【点评】本题主要考查平行直线的性质，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•北仑区校级期中）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（﹣4，2）．（1）若AC边上的高BE所在的直线方程为x﹣3y+10＝0，求边AC所在的直线方程；（2）若AB边上的中线CF所在直线方程为x+2y﹣5＝0，∠B的平分线BD所在的直线方程为y＝2x，求边BC所在的直线方程．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【正确答案】见试题解答内容【分析】（1）利用垂直关系得到直线AC的斜率，再利用点斜式求解即可；（2）设点B坐标，利用已知信息求得点B坐标，再求点A关于直线BD的对称点，由两点式可求直线方程．解：（1）若AC边上的高BE所在的直线方程为x﹣3y+10＝0，则kBE=13因A（﹣4，2），则直线AC的方程为y﹣2＝﹣3（x+4），即y＝﹣3x﹣10．（2）设点B（a，b），顶点A（﹣4，2）．则线段AB的中点为(a将其代入CF所在直线方程x+2y﹣5＝0中，得a+2b＝10，将点B代入BD所在的直线方程y＝2x中，得b＝2a，解得a＝2，b＝4，即B（2，4），设点A关于直线y＝2x对称得点A′（m，n），则n−2m+4=−1因B、C、A′三点共线，则kBC直线BC所在的直线方程为y﹣4＝﹣3（x﹣2），即y＝﹣3x+10．【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．18．（2025春•湖南期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A（1，0），B（5，﹣2），C（8，4）．（1）求顶点D的坐标；（2）求△ADC的面积．【考点】点到直线的距离公式．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．【正确答案】（1）（4，6）；（2）15．【分析】（1）根据AB→=DC（2）先求AD→⋅DC解：（1）设顶点D的坐标为（x，y），因为AB→=（5﹣1，（﹣2）﹣0）＝（4，﹣2），又因为AB→=DC→，所以（4，﹣2）＝（8﹣即4=8−x−2=4−y所以点D的坐标为（4，6）；（2）由（1）可知，AD→=(3，6)，所以|AD→|=因为AD→⋅DC