大学文科数学（9-12章共16章）254

第9章线性方程组9.1线性方程组的消元解法9.2线性方程组有解的判定定理9.3向量及其线性运算9.4向量组的线性相关性*9.5极大无关组与向量组的秩*9.6线性方程组解的结构*9.7线性方程组的应用

9.1线性方程组的消元解法

9.1.1线性方程组的矩阵表示

形如(9.1.1)的方程组，称为线性方程组.若令其中,A称为系数矩阵，x称为未知向量，b称为常数向量，则方程组可用矩阵表示为

Ax=b

(9.1.2)矩阵称为增广矩阵.9.1.2线性方程组的消元解法——高斯消元法

例9.1.1

解线性方程组（每写一个方程组，同时写出对应的增广矩阵）对应的增广矩阵为解对线性方程组做消元法:式②+式①×(－2),式③+式①×(－3)后,线性方程组及其增广矩阵变为

例9.1.2

解线性方程组解对增广矩阵做初等行变换对应的同解方程组为这就是原方程组的解.

9.2线性方程组有解的判定定理

9.2.1齐次方程组的解的判定

对于齐次线性方程组它的矩阵形式为

Ax=0

(9.2.2)(9.2.1)定理9.2.1

齐次线性方程组(9.2.2)有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩

R(A)<n.

本定理所述条件R(A)<n的必要性是克莱姆定理的推广(克莱姆定理只适用于m=n的情形),其充分性则包含了克莱姆定理的逆定理.证先证必要性.设方程组(9.2.2)有非零解,要证R(A)<n.用反证法,设R(A)=n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而Dn所对应的n个方程只有零解(根据克莱姆定理),这与原方程组有非零解矛盾,因此R(A)=n不成立,即R(A)<n.

例9.2.1

求解齐次线性方程组:

解对系数矩阵A做初等行变换,得因R(A)=2<4(方程组中未知数的个数),所以齐次线性方程组有无穷多个解.而它的同解线性方程组为选取x2、x4为自由未知量,令x2=k1,x4=7k2,得从而得

推论9.2.1

若齐次线性方程组(9.2.1)的方程个数小于未知数的个数,即m<n,则它必有非零解.

证由矩阵的定义可知,m×n矩阵A的秩R(A)≤min{m,n}

=m<n.再由定理9.2.1知,齐次线性方程组有非零解.定理9.2.1及推论9.2.1实际上是克莱姆法则的推广，因此，可以得到下面的推论：

推论9.2.2

含n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式|A|=0;方程组仅有零解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0.

例9.2.2

当λ为何值时,齐次方程组有非零解并解之.解由于这是含三个方程的三元线性方程组，所以可通过系数行列式是否为零来确定该方程是否有非零解.

当λ=－1时，9.2.2非齐次方程组的解的判定

对于线性方程组(9.2.3)它的矩阵记法为

Ax=b(9.2.4)定理9.2.2

n元非齐次线性方程组(9.2.3)有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A:b)的秩.

证先证必要性.设方程组Ax=b有解，要证R(A)=R(B).用反证法，设R(A)<R(B)，则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1，这与方程组有解相矛盾.因此R(A)=R(B).记B=(A:b)，则由定理9.2.1及定理9.2.2的结果，可简要总结如下:

例9.2.3

下面非齐次线性方程组是否有解？解对增广矩阵B做初等行变换,得可见R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解.

例9.2.4

解线性方程组:解对线性方程组的增广矩阵B做初等行变换，得矩阵R对应的线性方程组为将x3看成自由未知数,取x3=2k,k为任意实数,得可写成下列的解向量形式:即得

例9.2.5

设有线性方程组:问λ为何值时,此方程组

(1)有唯一解;

(2)无解;

(3)有无穷多解？并在有无穷多解时求通解.解对增广矩阵B=(A:b)做初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,有

例9.2.6

证明方程组有解的充要条件是a1+a2+a3+a4+a5=0.在有解的情况下,求出它的全部解.证对增广矩阵B做初等变换,得在有解的情况下，原方程组等价于方程组故所求全部解为(c为任意实数)

9.3向量及其线性运算

9.3.1n维向量

定义9.3.1

n个有序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为

n维向量,记为其中,第i个数ai称为向量α的第i个分量(或坐标).

n维向量可以写成一列，也可以写成一行，分别称为列向量和行向量.按第8章中的规定，也就是行矩阵和列矩阵，并规定行向量与列向量按矩阵的运算规则进行运算.因此，n维列向量与n维行向量例9.3.1

任意一个m行n列矩阵A,它的每一行是一个n维行向量,称为矩阵A的行向量,它的每一列是一个m维列向量,称为矩阵A的列向量.矩阵A的各个行构成了A的行向量组,A的各个列构成了A的列向量组.反之,给定了有限个向量构成的向量组,可以用这些向量作为行(列)构成一个矩阵.9.3.2向量的线性运算

n维向量可如同矩阵一样进行运算.

定义9.3.2

设λ是实数,α、β是n维向量则向量的线性运算满足以下运算规则(设α、β、γ是n维向量,λ、μ是实数):

9.4向量组的线性相关性

9.4.1向量组的线性组合

例9.4.1

则它们之间满足关系α3=α1+2α2.

例9.4.2

设向量组那么任意三维向量α=(a1,a2,a3)都满α=a1α1+a2α2+a3α3.

定义9.4.1

给定向量组A:α1,α2,…,αm，向量k1α1+k2α2+…+kmαm称为向量组A的一个线性组合，k1,

k2,…,km这组数称为这个线性组合的系数.

定义9.4.2

如果存在一组不全为零的实数k1,k2,…,km，使得

α=k1α1+k2α2+…+kmαm

即α可表示为向量组α1,α2,…,

αm的一个线性组合，则称

α可由向量组α1,α2,…,

αm线性表示.9.4.2向量组的线性相关和线性无关

定义9.4.3

设向量组A：α1,α2,…,αm是n维向量组，如果存在一组不全为零的实数k1,k2,…,km，使得

k1a1+k2a2+…+kmam=0

则称向量组A是线性相关的；如果上述等式只能在k1,k2,…,

km全为零时才成立，则称向量组A是线性无关的.

定理9.4.1

向量组α1,α2,…,αm(m≥2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余m－1个向量线性表示.

定理9.4.2

若向量组α1,α2,…,αn线性无关，而向量组α1,α2,…,

αn,β线性相关，则β可以由α1,α2,…,αn线性表示，且表示式唯一.

定理9.4.3

设αi=(αi1,αi2,…,αin)(i=1,2,…,s)，则向量组线性相关的充分必要条件是方程组(9.4.1)有非零解，而方程组（9.4.1）有非零解当且仅当系数矩阵A的秩小于s,即R(A)<s；向量组线性无关的充分必要条件是方程组（9.4.1）只有零解.特别地，当s=n时，α1,α2,…,αn线性相关的充分必要条件是

α1,α2,…,αn线性无关的充分必要条件是

推论9.4.1

两个向量线性相关的充分必要条件是它们的坐标对应成比例；它们线性无关的充分必要条件是坐标不对应成比例.

推论9.4.2

n阶方阵A的n个行向量（列向量）线性相关的充分必要条件是|A|=0，n个行向量（列向量）线性无关的充分必要条件是|A|≠0，即当且仅当A是可逆矩阵.

推论9.4.3

任何多于n个向量的n维向量必线性相关.

特别地，n+1个n维向量一定线性相关.

定理9.4.4

如果向量组A：α1,α2,…,αn中有部分向

量线性相关，则向量组A线性相关.反言之，如果向量组A：α1,α2,…,

αn线性无关，则A的任意部分组也线性无关.

定理9.4.5

设即向量aj添上一个分量后得向量βj,如果向量组A:α1,α2,…,αm线性无关,则向量组B:β1,β2,…,βm也线性无关;反言之,若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关.

例9.4.3

讨论向量组的线性相关性.解因为α1、α2的对应坐标不成比例，所以α1、α2线性无关.例9.4.4

讨论向量组的线性相关性.解设有数k1、k2、k3,使得即由方程组的系数行列式

*9.5极大无关组与向量组的秩

9.5.1等价向量组

定义9.5.1

给定两个向量组A：α1,α2,…,αr和向量组B：β1,β2,…,

βs.若向量组A中的每一个向量αi(i=1,2,…,r)都能由向量组B线性表示，即存在矩阵K，使得A=BK，其中

A=(α1,α2,…,αr)

B=(β1,β2,…,βs)9.5.2向量组的秩

定义9.5.2

设A是n维向量组，如果满足：

(1)在A中存在r个向量α1,α2,…,αr线性无关；

(2)在A中任意r+1个向量(如果存在的话)线性相关,

则称α1,α2,…,αr是向量组A的一个极大线性无关组，简称极大无关组；数r称为向量组A的秩.

例9.5.1

设有向量组试求向量组的一个极大无关组.

解因为向量α1,α2对应分量不成比例，所以向量组

α1,α2线性无关.又因为α3=α1+α2，即向量组α1,α2,α3线性相关，所以α1,α2是向量组α1,α2,α3的一个极大无

关组.

定理9.5.2

m×n矩阵A的秩等于矩阵A的列向量组的秩，也等于矩阵A的行向量组的秩.

由定理9.5.2可知，设m×n矩阵A中有一个r阶子式D不等于零，则D所在的r个列(行)向量线性无关；A中所有r+1阶子式全等于零，则A中任意r+1个列(行)向量线性相关.从而，A中最高阶非零子式所在的列(行)向量组是A的列(行)向量组的一个极大无关组.

例9.5.2

求矩阵的列向量组的秩和它的一个极大无关组.解A的二阶子式为A的三阶子式共有4个，且都等于零，可见二阶子式D是A的最高阶非零子式，R(A)=2.由定理9.5.2知，A的列向量组的秩为2，它的一个极大无关组是例9.5.3

求向量组的一个极大无关组.解设α1,α2,α3,α4构成的矩阵A=(α1,α2,α3,α4),对A做初等行变换,可得由此可知R(A)=3,所以向量组α1,α2,α3,α4的秩为3,

A1的三阶子式9.5.3极大无关组和秩的求法

定理9.5.3

如果矩阵A经有限次初等行(列)变换变到矩阵B，则A与B的行（列）向量组等价，且A的任意r个列(行)向量与B的对应的r个列(行)向量有相同的线性相关性.

例9.5.4

求列向量组的一个极大无关组和秩.解设α1,α2,α3,α4构成的矩阵A=(α1,α2,α3,α4),对A做初等行变换,可得

*9.6线性方程组解的结构

9.6.1齐次线性方程组的解的结构

设n元齐次线性方程组它的矩阵形式为

Ax=0

(9.6.2)(9.6.1)若x1=ξ11,x2=ξ21,…,xn=ξn1是齐次方程组(9.6.1)的解，那么称为齐次线性方程组(9.6.1)的解向量，也是矩阵方程(9.6.2)的解.

性质9.6.1

若ξ1、ξ2为矩阵方程(9.6.2)的解，则x=ξ1+ξ2也是矩阵方程(9.6.2)的解.

证只要验证x=ξ1+ξ2满足矩阵方程（9.6.2)即可.

性质9.6.2

若ξ1为矩阵方程(9.6.2)的解，k为实数，则x=kξ1也是矩阵方程(9.6.2)的解.

证性质9.6.1和性质9.6.2表明：如果ξ1,ξ2,…,ξt是齐次线性方程组(9.6.1)的解，则它们的线性组合

k1ξ1+k2ξ2+…+ktξt仍是齐次线性方程组(9.6.1)的解.其中k1,k2,…,kt∈R.

定理9.6.1

设n元齐次线性方程组(9.6.1)有非零解(即其系数矩阵的秩R(A)=r<n)，则它必有基础解系，且基础解系所含线性无关的解的个数等于n－r(这里n－r也是齐次线性方程组(9.6.1)的自由未知量的个数).证不妨设齐次线性方程组(9.6.1)系数矩阵A的前r个列线性无关，则A可以经过有限次初等行变换化成行最简形矩阵，从而得齐次线性方程组(9.6.1)的同解线性方程组为(9.6.3)其中,xr+1,xr+2,…,xn是n－r个自由未知数,取xr+1=k1,xr+2=k2,…,xn=kn－r,得若令得齐次线性方程组(9.6.1)的通解为(9.6.4)

例9.6.1

求齐次线性方程组的基础解系.解对系数矩阵A做初等行变换,得从而可知R(A)=2<4.原方程组的同解线性方程组为其中,x3、x4是自由未知数,取x3=2k1,x4=k2,得原线性方程组的通解为所以,原线性方程组的基础解系为其通解可由基础解系表示为

例9.6.2

求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵A做初等行变换,化为行最简矩阵:得到原方程组的同解方程组并由此得到通解9.6.2非齐次线性方程组解的结构

设n元非齐次线性方程组为(9.6.5)它的矩阵记法为Ax=b(9.6.6)

性质9.6.3

如果η1、η2都是非齐次线性方程组(9.6.5)的解，则x=η2－η1是其导出组（9.6.1）的解.

证因为

A(η1－η2)=Aη2－Aη1=b－b=0

所以，x=η2－η1是其导出组（9.6.1)的解.

性质9.6.4

如果x=η*是非齐次线性方程组(9.6.5)的解，x=ξ是其导出组(9.6.1)的解，则x=ξ+η*仍是非齐次线性方程组(9.6.5)的解.

证因为

A(ξ+η*)=Aξ+Aη*=0+b=b

所以，x=ξ+η*仍是非齐次线性方程组(9.6.5)的解.

例9.6.3

求解线性方程组：解对增广矩阵做初等行变换,得可见R(A)=R(A:b)=2,故方程组有无穷多解,原方程组的同解方程组为取x2、x4为自由未知数,并令x2=0,x4=0,代入上面方程组,得方程组的一个特解:原方程组的导出组的同解方程组为令x2=k1,x4=k2,得导出组的通解为其中是其导出组的一个基础解系.所以原非齐次线性方程组的通解为

例9.6.4

设四元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3,已知它的三个解向量为η1、η2、η3,其中求该方程组的通解.解依题意,方程组Ax=b的导出组的基础解系含4－3=1个向量,于是导出组的任何一个非零解都可作为其基础解系.

显然是导出组的非零解,可作为其基础解系.故方程组Ax=b的通解为

*9.7线性方程组的应用

9.7.1网络流模型

图9.7.1（a）、（b）分别说明了流量从一个或两个分支流入联结点.x1、x2和x3分别表示从其他分支流出的流量,x4和x5表示从其他分支流入的流量.因为流量在每个联结点守恒,所以有x1+x2=60和x4+x5=x3+80.图9.7.1例9.7.1

图9.7.2的网络给出了在下午一两点钟,某市区部分单行道的交通流量(以每刻钟通过的汽车数量来度量).试确定网络的流量模式.图9.7.2解根据网络流模型的基本假设,在节点(交叉口)A、B、C、D处,我们可以分别得到下列方程:此外,该网络的总流入量(20+30+50)等于网络的总流出量(30+x3+40+10),化简得x3=20.把这个方程与整理后的前四个方程联立,得如下方程组:

取x5=c(c为任意常数),则网络的流量模式表示为

x1=40+c,x2=30+c,x3=20,x4=40+c,x5=c9.7.2人口迁移模型

如果存在矩阵A,并给定初始向量x0,使得x1=Ax0,x2=

Ax1，…,即

xn+1=Axn(n=0,1,2,…)

(9.7.1)

则称方程(9.7.1)为一个线性差分方程或者递归方程．假设每年大约有5％的城市人口迁移到农村(95％仍然留在城市),有12％的农村人口迁移到城市(88％仍然留在农村),如图9.7.3所示,忽略其他因素对人口规模的影响,则一年之后,城市与农村人口的分布分别为因此,2003年全部人口的分布为即图9.7.3如果人口迁移的百分比保持不变,则可以继续得到2004年,2005年,…的人口分布公式:

x2=Mx1,x3=Mx2,…

一般地,有

xn+1=Axn(n=0,1,2,…)

这里,向量序列{x0,x1,x2,…}描述了城市与农村人口在若干年内的分布变化.

例9.7.2

已知2008年的城市人口为500000000,农村人口为780000000．计算2010年的人口分布．

解因2008年的初始人口为故对2009年,有对2010年,有9.7.3物资调运问题

例9.7.3

有三个生产同一产品的工厂A1、A2和A3，其年产量分别为40（吨）、20（吨）和10（吨），该产品每年有两个用户B1和B2，其用量分别为45（吨）和25（吨），由各产地Ai到各用户Bj的距离Cij（公里）如表9.7.1所示（i=1,2,3;j=1,2），各厂的产品如何调配才能使运费最少？解为了解决这个问题,我们假设各厂调运到各用户的产品数量分别如表9.7.2所示.容易看出，三个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以对产地来说产品应全部调出，因此有(9.7.2)(9.7.3)(9.7.4)同时对用户来说调来的产品刚好是所需要的，因此又有(9.7.5)(9.7.6)从式（9.7.2）到式（9.7.6）就是x1,…,x6应满足的一些条件.下面再来看如何刻画运费.我们知道，在道路情况相同的情况下运费与距离成正比,因此把x1（吨）的货物由A1运到B1的运费为45x1的倍数，而把x1（吨）的货物由A1运到B2的运费为58x4的倍数，因此，它们的和

S=45x1+58x2+92x3+58x4+72x5+36x6

(9.7.7)

就可以用来刻画运费.所以，这个物资运费问题就是在条件式(9.7.2)到式(9.7.6)下，求使得S最小的x1，x2，x3，x4，x5，x6.第10章随机事件及其概率10.1随机事件10.2随机事件的概率

10.3条件概率

10.1随机事件

10.1.1随机试验

(1)可以在相同的条件下重复地进行；

(2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．

E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况;

E2：将一枚硬币抛五次，观察出现正面的次数;

E3：抛一枚骰子，观察出现的点数;

E4：记录车站售票处一天内售出的车票数;

E5：一口袋中装有许多红色、白色、蓝色的乒乓球，在其中任取两只，观察它们的颜色;

E6：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度．10.1.2样本空间

S1={H，T}；

S2={0，1，2，3，4，5}；

S3={1，2，3，4，5，6}；

S4={1，2,…,n}，这里的n是售票处一天内准备出售的车票数；

S5={红白，红蓝，蓝白，红红，蓝蓝，白白}；

S6={(x,y)|T0≤x≤y≤T1}，这里x表示最低温度，y表示最高温度,并设这一地区的温度不会小于T0，也不会大于T1．10.1.3随机事件

在E3中，如果用A表示事件“掷出奇点数”，那么A是一个随机事件．由于在一次投掷中，当且仅当掷出的点数是1、3、5中的任何一个时才称事件A发生了，所以我们把事件A表示为A={1,3,5}．同样地，若用B表示事件“掷出偶点数”，那么B也是一个随机事件，B={2,4,6}．10.1.4事件间的关系与运算

（1）事件的包含与相等.若事件A发生必然导致事件B

发生，则称事件A包含事件B，记为A

B．若A

B且

B

A，即A=B，则称事件A与事件B相等．

（2）事件的和.事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的和事件，记为A∪B.事件A∪B发生意味着：或事件A发生，或事件B发生，或事件A与事件B都发生．（3）事件的积.事件A与事件B都发生的事件称为事件

A与事件B的积事件，记为A∩B，也简记为AB．事件A∩B（或AB）发生意味着:事件A发生且事件B也发生，即A与B都发生．（4）事件的差.事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差事件，记为A－B．

例如，从1,2,3，…，10这10个数中任取一个，A={取奇数}={1,3,5,7,9}，B={取3的倍数}={3,6,9}，则A－B=

{1,5,7}，B－A={6}．

（5）互不相容事件(互斥).若事件A与事件B不能同时发生，即AB=，则称事件A与事件B是互斥的，或称它们是互不相容的．若事件A1,A2,…,An中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的．

(6)对立事件.“A不发生”的事件称为事件A的对立事件，记为A.A和A满足：

A∪A=S，AA=，A=A．（7）事件运算满足的定律.设A、B、C为事件，则有

10.2随机事件的概率

10.2.1概率的统计定义

例10.2.1

将一枚硬币掷n次，观察在n次试验中“正面向上”这个事件A出现的可能性的大小，两位学者的试验结果如表10.2.1所示．定义10.2.1

设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时，事件A的发生频率fn(A)稳定在某数p附近摆动，而且随着试验次数的增大，摆动的幅度越来越小，则称数p为事件的概率，记为P(A)=p.

概率的这种定义，称为概率的统计定义．

定义10.2.2

设随机试验E的样本空间为S，若对于E的每一个事件A都有一个实数P(A)与之对应，且P(A)满足下列三个条件：

（1）非负性：对E中的每一个事件A，有0≤P(A)≤1；

（2）规范性：P(S)=1；

（3）可列可加性：对于两两互不相容的事件A1,A2,…,An,…，有

则称P(A)为事件A的概率．10.2.2概率的基本性质

由概率的定义及事件的运算关系，可以证明以下性质：特别地，若A

B，则P(B－A)=P(B)－P(A)，P(B)≥P(A)；（6）对任意两个事件A、B，有

P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)

这条性质可以推广到多个事件．设A1,A2,…,An是任意n个事件，则有10.2.3等可能概型（古典概型）

例10.2.3

从30名学生中随机挑选一人参加社会实践，显然，每个人都可能被选到，即有30个样本点，而且由于选到30名学生中的任何一名机会均等，故选到每名学生的可能性都是1／30．设随机试验E的样本空间为S={e1,e2,…,en}，P(ei)=1／n．若事件A包含k个基本事件，则

例10.2.5

在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率．

解从100个产品中任意抽取5个产品，共有C5100种抽取方法，事件A={有1个次品，4个正品}的取法共有C13C497种取法，故得事件A的概率为

例10.2.6

将N个球随机地放入n个盒子中(n>N)，求：

（１）每个盒子最多有一个球的概率；

（２）某指定的盒子中恰有m（m<N）个球的概率．解这显然也是等可能问题．

先求N个球随机地放入n个盒子的方法总数．因为每个球都可以落入n个盒子中的任何一个，有n种不同的放法，所以N个球放入n个盒子共有种不同的放法．（1）事件A={每个盒子最多有一个球}的放法．第一个

球可以放进n个盒子之一，有n种放法；第二个球只能放进余下的n－1个盒子之一，有n－1种放法；…;第N个球只能放

进余下的n－N+1个盒子之一，有n－N+1种放法.所以共有

n(n－1)…(n－N+1)种不同的放法．故得事件A的概率为（2）事件B={某指定的盒子中恰有m个球}的放法．先从N个球中任选m个分配到指定的某个盒子中，共有CmN种选法；再将剩下的N－m个球任意分配到剩下的n－1个盒子中，共有(n－1)N－m种放法．所以，事件B的概率为注意有许多问题和本例具有相同的数学模型．例如，假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的（都为1/365），那么随机选取N个人（N≤365），他们的生日各不相同的概率可由本例（1）的结果给出（这里n=365），即

因而，N个人中至少有两人生日相同的概率为例10.2.7在１~９的整数中可重复地随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率：

（１）６个数完全不同；

（２）６个数不含奇数；

（３）６个数中５恰好出现4次．解从9个数中允许重复地取6个数进行排列，共有96种排列方法．

（1）事件A={６个数完全不同}的取法有9×8×7×6×

5×4种，故（2）事件B={６个数不含奇数}的取法．因为6个数只能在2、4、6、8四个数中选，每次有4种取法，所以共有46种取法．故（3）事件C={６个数中５恰好出现4次}的取法．因为6个数中５恰好出现4次可以是6次中的任意4次，出现的方式有C46种，剩下的两种只能在1、2、3、4、6、7、8、9中任取，共有82种取法．故*10.2.4几何概型

（1）样本空间S是一个大小可以计量的几何区域（如线段、平面、立体）;

（2）向区域内任意投一点，落在区域S内任意点处都是“等可能的”．那么，随机点落在区域A的概率为称上式定义的概率为几何概率．

例10.2.8

在区间［０，４］上任投一点，求此点落入区间（1，2）内的概率．

解因必然事件S就是区间［0，4］，故按几何概率的定义可得所求概率

例10.2.9

甲、乙两人相约８至12点在预定地点会面，

先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲、乙两人能会面的概率．

解以X、Y分别表示甲、乙两人到达的时刻，那么8≤X≤12，8≤Y≤12．若以（X，Y）表示平面上的点的坐标，则所有基本事

件可以用这平面上的边长为4的一个正方形：8≤X≤12、8≤Y≤12内的所有点表示出来．两人能会面的充分必要条件是|X－Y|≤1/2（图10.2.1中阴影部分），所以所求的概率为图10.2.110.3条件概率

10.3.1条件概率

例10.3.1

某师范大学教育系一年级共有学生100人，其中女生80人，来自甲省的40人中有女生35人.设事件A为从全年级学生中任抽取一人为女生，事件B为从全年级学生中任抽取一人来自甲省，求从来自甲省的学生中任抽取一人为女生的概率.解显然P(A)=0.8，P(B)=0.4,而P(A|B)=35/40≠P(A)，即附加条件B之后，A的概率发生了变化，而定义10.3.1

设A、B是两个事件，且P(B)>0，称10.3.2乘法公式

定理10.3.1（乘法公式）设P(A)>0，P(B)>0，则有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

利用这个公式可以计算积事件的概率．乘法公式可以推广到n个事件的情形：若n≥2，P(A1A2…An－1)>0，则

例10.3.3

两个学生依次从10道试题中各抽取一题口试，设抽到每道题是等可能的.如果第一个学生把抽到的题放回去，第二个学生再抽，求两个学生都抽到试题1的概率.

解设第i个学生抽到试题1的事件为Ai(i=1,2)，则两个学生都抽到试题1的事件为A1A2．由乘法公式得

P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)由于抽取方式是有放回的，因此第二个学生抽到试题1的概率不受第一个学生是否抽到试题1的影响，即故

定义10.3.2(事件的独立性）设A、B是两事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、B相互独立．

定理10.3.2

设事件A、B相互独立，且P(AB)>0，则

P(A|B)=P(A)．

例10.3.4

两门高射炮彼此独立地射击一门敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率．解设A={甲炮击中敌机}，B={乙炮击中敌机}，那么，{敌机被击中}=A∪B.因为A与B相互独立，所以有10.3.3全概率公式和贝叶斯公式

1.全概率公式

定理10.3.4（全概率公式）若A1,A2,…,An为样本空间

S的一个事件组，且满足：

（1）A1,A2,…,An两两互不相容，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n);

（2）A1∪A2∪…∪An=S,

则对S中的任意一个事件B都有

例10.3.5

某厂有四个分厂生产同一种产品，这四个分厂的产量分别占该厂总产量的15％、20％、30％、35％,又知这四个分厂的次品率依次为0.05、0.04、0.03、0.02,现从该厂产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率为多少？解令B为任取一件为次品，Ai为任取一件为第i个分厂生产的产品（i=1,2,3,4），则由全概率公式得=0.0315=3.15％

2.贝叶斯公式

设B是样本空间S的一个事件，A1,A2,…,An为S的一个事件组，且满足：

（1）A1,A2,…,An互不相容，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n);

(2)A1∪A2∪…∪An=S,

则

例10.3.6

在例10.3.5中，若该厂规定，出了次品要追究有关分厂的责任.现在从生产产品中任取一件发现为次品，但该件产品是哪一分厂生产的标志已脱落，问厂方如何处理这件次品较为合理？换句话说，哪个分厂的责任应该较大？解从概率的角度考虑，显然按P(Ai|B)的大小追究各分厂的责任较为合理.由条件概率定义以及全概率公式可知如若考虑第4分厂应承担的责任，则即第4分厂应承担22.2％的责任．同理可算出P(A1|B)、P(A2|B)、P(A3|B)．第11章随机变量及其分布11.1随机变量的概念11.2离散型随机变量及其概率分布11.3连续型随机变量及其概率密度

11.1随机变量的概念

有些随机事件本身就表现为一种数量，如某城市的年降雨量，某次考试的成绩等．另外，有些事件不表现为数量，如做一道正误判断题是“对”还是“错”，掷一次硬币是出现“正面”还是“反面”等，但可以给它们以数量标识，比如“正面”记为1，“反面”记为0，“选对”记为1，“选错”记为0．

这样，对任意一样本点e∈S，都可以让一个数与之对应，记为X(e)．显然X(e)是随试验结果不同而变化的一个变量，称之为随机变量．简言之，反映随机事件的变量叫随机变量．

定义11.1.1

设随机试验E的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.若对于任意实数x，集合{e|X(e)≤x}有确定的概率,则称X=X(e)为随机变量．有许多随机试验，它的结果本身是一个数，即样本点e

是一个数．我们令X=X(e)=e，那么X就是一个随机变量．例如，用Y表示某学校一天的缺课人数，W表示某商场一个月的营业额，Z表示某工厂一天的耗电量,那么Y、W、Z都是随机变量．本书中，我们一般以大写字母(如X,Y,Z,W,…)表示随机变量，而以小写字母(x,y,z,w,…)表示实数．

11.2离散型随机变量及其概率分布

11.2.1离散型随机变量的分布律

定义11.2.1

设离散型随机变量X所有可能的取值为

xk(k=1,2,…)，X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概

率为

P{X=xk}=pk

（k=1,2,…)

(11.2.1)

则我们称式(11.2.1)为离散型随机变量X的分布律．分布律也可以用表格形式来表示，如表11.2.1所示.（11.2.2）（11.2.3）

例11.2.1

设一辆汽车在开往目的地的道路上需经过两组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过．以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的)，求X的分布律．

解以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知X的分布律为或写成11.2.2几种常见的离散型概率分布

1.0-1分布

如果随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是

P{X=k}=pk(1－p)1－k(k=0,1;0<p<1)

则称X服从0-1分布或两点分布．对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S={e1,e2}，我们总能在S上定义一个服从0-1分布的随机变量

来描述这个随机试验的结果.例如，检查产品的质量是否合格、某试验是否成功、抛硬币是否出现正面等都可以用0-1分布的随机变量来描述．0-1分布是经常遇到的一种分布．

2.二项分布（n重伯努利分布）

若随机变量X的分布律为

(k=0,1,…,n;0<p<1,q=1－p)

则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X~B(n,p)．若以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，因此事件A在指定的k(0≤k≤n)次试验中发生，在其他n－k次试验中A不发生(例如在前k次试验中发生，而在后n－k次试验中不发生)的概率为这种指定的方式共有Ckn种，它们是两两互不相容的，

故在n次试验中A发生k次的概率为Cknpk(1－p)n－k，记q=1－p，即有显然

例11.2.2

某人购买彩票，设每次买一张，中奖率为0.01，共买500次，试求他至少中奖两次的概率．

解将每次购买彩票看成是一次试验，设中奖的次数为X，则X~B(500,0.01)．X的分布律为于是所求概率为这个概率很接近于1．我们讨论这一结果的实际意义．虽然每次彩票的中奖率很小（为0.01），但如果购买500次，则中奖至少两次是几乎可以肯定的．设X~B(n,p)，当n很大（指n≥10），p很小（指p≤0.1），且λ=np是一个大小适当的数（通常0<np≤8）时，有回到例11.2.2.有λ=500×0.01=5，因此

例11.2.3（寿命保险问题）设某保险公司的某人寿保险险种有2500人投保，在一年内，每个人死亡的概率为0.002，且每个人是否死亡是相互独立的，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金．试求:

(1)

保险公司亏本的概率；

(2)

保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率．解（1）以“年”为单位来考虑，在一年的1月1日，保险公司总收入为

2500×12=30000（元）

设X为2500个投保人中在未来一年内死亡的人数，对每

个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次伯努利试验，2500人就是做2500重伯努利试验，因此X~B(2500,0.002)，则保险公司在这一年中应付出2000X（元）.要使保险公司亏本，则必须2000X>30000，即X>15（人），因此（2）即保险公司获利不少于10000元的概率在98％以上．以上结果说明“保险公司为什么乐于开展保险业务”的道理．

3.泊松分布

设随机变量X所有可能的取值为0，1，2，…，而取各个值的概率为其中λ>0是常数,则称X服从参数为λ的泊松（Poisson）分布，记为X~π(λ)．

1837年，法国数学家泊松发现，当n很大，p很小，λ=np时，有

即当n充分大而p很小时，服从二项分布B(n,p)的随机变量近似地服从参数为λ=np的泊松分布．

例11.2.4

某商店出售某种商品．根据经验，此商品的月销售量X服从λ=3的泊松分布．问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率不脱销？

解设月初库存M件，依题意那么

11.3连续型随机变量及其概率密度

11.3.1分布函数、密度函数及其性质

定义11.3.1

设X是随机变量，x是任意实数，函数

F(x)=P{X≤x}

称为X的分布函数．显然，F(x)有以下性质：（1）F(x)是一个不减函数．即对于任意实数x1、x2

(x1<x2)，有

F(x2)－F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0

（2）0≤F(x)≤1,且下面我们只从几何上说明上面两个性质．在图11.3.1中，将区间端点x沿数轴无限向左移动(即x→－∞)，则“随机点X

落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有F(－∞)=0；又若将点x无限向右移动(即x→+∞)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于1，即有F(+∞)=1．图11.3.1（3）F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的．

定义11.3.2

设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使对任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数（简称密度函数），并称X的分布为连续型分布．(11.3.1)由式(11.3.2)可知，若不计高阶无穷小，则有

P{x<X≤x+Δx}≈f(x)Δx

(11.3.3)

这表示X落在小区间(x,

x+Δx］上的概率近似地等于f(x)Δx．图11.3.2图11.3.311.3.2几种常见的连续型分布

1.均匀分布

定义11.3.3

设随机变量X的密度函数为

(11.3.4)则称X在区间(a,b)内服从均匀分布，其中a、

b为两个参数，且a<b，并记为X~U(a,b)．

f(x)的图形如图11.3.4所示.图11.3.4在区间(a,b)内服从均匀分布的随机变量X具有下述意义

的等可能性，即它落在区间(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的．事实上，对于任一长度l的子区间(c,c+l),a≤c<c+l≤b,有

由式(11.3.1)得X的分布函数为

例11.3.2

已知某路公交车每5分钟一趟，设X表示乘客在某车站的候车时间，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解显然，连续型随机变量X在［0,5］内服从均匀分布，故

2.指数分布

定义11.3.4

设随机变量X的密度函数为(11.3.5)图11.3.5中画出了λ=3，λ=1，λ=1/2时f(x)的图形．图11.3.5

3.正态分布

定义11.3.5

设随机变量X的密度函数为(11.3.7)其中μ、

σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ的正态分布或高斯分布，记为X~N(μ,σ2)．

f(x)的图形如图11.3.6所示，正态分布的两个参数μ和σ分别称为位置参数和刻度参数.μ决定曲线的对称位置，σ决定曲线的陡缓和宽窄形态．图11.3.6给出了固定μ值，σ分别为0.5、1.0、1.5时的正态概率密度曲线．图11.3.6由式（11.3.7）得X的分布函数为（见图11.3.7）(11.3.8)特别地，当μ=0,σ=1时，称X服从标准正态分布（见图11.3.8），记为X~N(0,1)．其密度函数和分布函数分别用φ(x)、

Φ(x)表示，即有易知(11.3.9)(11.3.10)(11.3.11)图11.3.7图11.3.8

例11.3.3

设X~N(1,4)，计算:

（1）P{0<X≤1.6}；

（2）P{X>2}；

（3）P{|X|≤4}．解（1）（2）（3）设X~N(μ,σ2)，由Φ(x)的函数表还能得到（见图11.3.9）：由此可见，在一次试验中，X的值落在区间(μ－3σ,μ+3σ)以外的概率可以忽略不计，这就是通常所说的3σ规则．图11.3.9第12章随机变量的数字特征12.1数学期望12.2方差12.1数学期望

12.1.1离散型随机变量的数学期望

定义12.1.1

设离散型随机变量X的分布律为

pk=P{X=xk}(k=1,2,…)

若则称为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为E(X)．即(12.1.1)期望公式（12.1.1）实际上是随机变量X的取值以概率为权的加权平均，其物理意义为：质量为单位1的一根金属细棒，其质量散布在坐标为x1,x2,…的质点M1,M2,…上.

例12.1.1

设X服从参数为p的0-1分布，求E(X)．

解

X的分布律为

pk=P{X=k}=pk(1－p)1－k(k=0,1;0<p<1)

由公式（12.1.1）得

E(X)=0×(1－p)+1×p=p

例12.1.2

甲、乙两人进行打靶，所得环数分别记为X1、X2，它们的分布律分别为试评定他们的成绩的好坏．解由公式（12.1.1）得

E(X1)=7×0.2+8×0.2+9×0.2+10×0.4=8.8（环）

这意味着，如果甲进行多次射击，则所得环数的平均值就接近于8.8．类似得

E(X2)=7×0.1+8×0.3+9×0.5+10×0.1=8.6(环)

显然，乙的成绩不如甲的成绩．

例12.1.3

设X~B(n,p)，求E(X)．

解X的分布律为由公式（12.1.1）得（令l=k－1）

例12.1.4

设X~π(λ)，求E(X)．

解X的分布律为由公式（12.1.1）得12.1.2连续型随机变量的数学期望