2026届新高考数学考前热点冲刺复习离散型随机变量的分布列及数字特征

2026届新高考数学考前热点冲刺复习离散型随机变量的分布列及数字特征微点1

求解离散型随机变量的分布列、期望和方差微点2

二项分布、超几何分布微点3

正态分布【考情分析】

离散型随机变量的分布列及数字特征是概率中的重要内容，且这部分内容在考试中经常出现.题目多与经济、生活实际紧密相关，要求考生能在复杂的描述中找出数量关系，建立数学模型，并运用模型解决相关问题.微点1

求解离散型随机变量的分布列、期望和方差例1（1）[2024·北京卷]

某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.①估计一份保单索赔次数不少于2的概率.

索赔次数01234单数800100603010例1（1）[2024·北京卷]

某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.②一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

索赔次数01234单数800100603010例1（1）[2024·北京卷]

某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.②一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

索赔次数01234单数800100603010（2）[2025·河南信阳期末]

五一劳动节期间，信阳市书画协会组织举办了专题书画展，展出的200幅优秀作品生动呈现了该市人民在党的领导下，在参与国家建设进程

解：这200位作者年龄的平均数

（2）[2025·河南信阳期末]

五一劳动节期间，信阳市书画协会组织举办了专题书画展，展出的200幅优秀作品生动呈现了该市人民在党的领导下，在参与国家建设进程中付出的

012

【规律提炼】求解离散型随机变量的分布列、期望和方差的步骤：第一步，求解分布列.（1）确定随机变量的所有可能取值.（2）求出每一个可能取值所对应的概率.（3）将随机变量的所有可能取值及其对应的概率列成表格形式，即得到离散型随机变量的分布列.

【巩固训练】1.学校购买了三本红色文化书籍与两本非红色文化书籍，并给每本书对应做好了一张书签，这些书签的形状大小都一样，某位同学在一个不透明的盒子中随机将这五张书签排成一行，并依次抽取.若抽到红色文化书籍书签则停止，否则继续抽取书签.（1）求这五张书签共有多少种不同的排列方式？

1.学校购买了三本红色文化书籍与两本非红色文化书籍，并给每本书对应做好了一张书签，这些书签的形状大小都一样，某位同学在一个不透明的盒子中随机将这五张书签排成一行，并依次抽取.若抽到红色文化书籍书签则停止，否则继续抽取书签.（2）求停止时已抽取非红色文化书籍书签数量的数学期望和方差.

2.[2025·广东惠州质检]

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从某个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，1个为20元，其余2个均为10元.

20306070

2.[2025·广东惠州质检]

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从某个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，1个为20元，其余2个均为10元.

2.[2025·广东惠州质检]

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从某个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的奖励额.（2）商场对奖励总额的预算是60

000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

2060100

406080

微点2

二项分布、超几何分布例2（1）[2025·重庆渝北区三模]

某学校为了了解高三年级学生参加户外拓展意愿的情况，随机抽取了50位高三年级学生进行问卷调查，其中参加户外拓展的意愿分三种情况，每种情况对应的人数如表所示:意愿情况非常期待无所谓不愿意人数30155①若从样本中随机抽取2位学生，求所抽取的2位学生意愿情况不同的概率.

例2（1）[2025·重庆渝北区三模]

某学校为了了解高三年级学生参加户外拓展意愿的情况，随机抽取了50位高三年级学生进行问卷调查，其中参加户外拓展的意愿分三种情况，每种情况对应的人数如表所示:意愿情况非常期待无所谓不愿意人数30155

012

学生编号123456测试成绩608580789091①若该校高二年级有600名学生，将样本频率视为概率，试求在高二年级学生中任意抽取1人，抽到“体质优秀”学生的概率.

学生编号123456测试成绩608580789091

学生编号123456测试成绩608580789091

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【规律提炼】二项分布和超几何分布可以从以下几个方面进行区分：二项分布超几何分布定义与适用场景描述独立重复试验成功的次数描述有限总体无放回抽样中特定属性样本的数量抽样方式有放回抽样，每次抽取概率独立无放回抽样，每次抽取概率都变化概率计算计算成功次数的概率，涉及组合数与概率乘积计算特定属性样本数量的概率，涉及不同组合数的乘积与比值【巩固训练】1.[2025·上海长宁区二模]

某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）.方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.若摸出3个红球，则享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠.

1.[2025·上海长宁区二模]

某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）.方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.若摸出3个红球，则享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠.

①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）；

800650500150

1.[2025·上海长宁区二模]

某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）.方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.若摸出3个红球，则享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠.

（ⅱ）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球的比例估计总体中绿球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际含义.

微点3

正态分布

√√

（2）为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（2）为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图.②结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小

（2）为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图.③用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设

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【巩固训练】

080016002400

1.离散型随机变量的分布列、期望与方差，二项分布及概率最大值问题.

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（2）已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率.

2.条件概率、超几何分布以及随机变量期望的综合计算.由频数关系求解未知频数、分层随机抽样、离散型随机变量的分布列及期望、正态分布的应用.例3

[2025·甘肃白银模拟]

某校高一年级学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加.（1）求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学