数字信号处理真题及答案2026

数字信号处理真题及答案2026一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知离散时间信号x[n]=δ[n]+2δ[n-1]，其Z变换X(z)为A.1+2zB.1+2z⁻¹C.1-2z⁻¹D.2+z⁻¹答案：B2.对连续信号x(t)=cos(2π·1000t)以采样频率f_s=1.8kHz进行理想采样，则采样后数字频率ω（rad/sample）为A.2π/9B.10π/9C.9π/10D.π/9答案：B3.下列关于FIR滤波器线性相位条件的说法正确的是A.单位脉冲响应h[n]必须对称且长度为奇数B.单位脉冲响应h[n]必须反对称且长度为偶数C.单位脉冲响应h[n]必须满足h[n]=±h[N-n]，N为阶数D.单位脉冲响应h[n]必须满足h[n]=h[N-n-1]，N为阶数答案：C4.若某8点按时间抽取基2-FFT算法所需复乘次数为A.12B.24C.48D.64答案：B5.已知系统函数H(z)=1/(1-0.5z⁻¹)，其收敛域为|z|>0.5，则该系统A.因果但不稳定B.非因果但稳定C.因果且稳定D.非因果且不稳定答案：C6.对实序列x[n]做N点DFT，若N为偶数，则X[N/2]的值为A.纯实数B.纯虚数C.模为0D.无法确定答案：A7.窗函数法设计FIR低通滤波器时，增大窗长N将导致A.过渡带变宽，阻带衰减减小B.过渡带变窄，阻带衰减增大C.过渡带变窄，阻带衰减减小D.过渡带不变，阻带衰减增大答案：B8.已知x[n]=cos(πn/4)，其离散时间傅里叶变换DTFT在ω=π/4处的幅度为A.πB.2πC.π/2D.2答案：A9.对序列x[n]={1,2,3,4}做4点DFT，则X[2]等于A.1+jB.-2+2jC.-2D.2答案：C10.双线性变换将s平面虚轴映射到z平面的A.单位圆内部B.单位圆外部C.单位圆上D.实轴答案：C二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列关于离散时间系统性质的描述，正确的是A.y[n]=x[-n]是时变系统B.y[n]=nx[n]是线性系统C.y[n]=x[n]+2是因果系统D.y[n]=x[n]·u[n]是稳定系统答案：A、B、D12.下列关于FFT的说法正确的是A.按频率抽取基2-FFT输入为自然序，输出为倒序B.按时间抽取基2-FFT输入为倒序，输出为自然序C.FFT算法可将DFT计算量由O(N²)降至O(Nlog₂N)D.FFT算法适用于任意长度序列答案：A、B、C13.下列关于IIR滤波器设计的说法正确的是A.脉冲响应不变法可能出现频率混叠B.双线性变换法无频率混叠但存在频率畸变C.双线性变换法适合设计高通、带阻滤波器D.脉冲响应不变法适合设计低通、带通滤波器答案：A、B、C、D14.下列关于DFT与DTFT关系的说法正确的是A.DFT是DTFT在单位圆上的等间隔采样B.DFT长度为N时，频域采样间隔为2π/NC.对有限长序列，DFT是其DTFT的采样D.对无限长序列，DFT无法完全表示其DTFT答案：A、B、C、D15.下列关于数字滤波器实现结构的说法正确的是A.直接Ⅰ型需要更多存储单元B.级联型对系数量化误差敏感度低C.并联型便于并行处理D.频率采样型适合窄带滤波器答案：A、B、C、D三、填空题（每空2分，共20分）16.已知x[n]=aⁿu[n]，|a|<1，其DTFT为X(e^{jω})=________。答案：\frac{1}{1-ae^{-jω}}17.序列x[n]=cos(πn/3)的周期N=________。答案：618.对连续信号x(t)=e^{-100t}u(t)以f_s=1kHz采样，所得序列x[n]的Z变换收敛域为________。答案：|z|>e^{-0.1}19.8点按时间抽取基2-FFT第1级蝶形运算的旋转因子W₈¹=________。答案：e^{-jπ/4}20.用窗函数法设计FIR低通滤波器，要求通带截止频率0.2π，阻带起始频率0.3π，则理想截止频率ω_c常取________。答案：0.25π21.已知系统差分方程y[n]-0.8y[n-1]=x[n]，其单位脉冲响应h[n]=________。答案：0.8ⁿu[n]22.序列x[n]={1,1,1}与h[n]={1,2}的线性卷积结果为________。答案：{1,3,3,2}23.已知X(k)={4,1-j,0,1+j}为4点DFT，则x[2]=________。答案：024.双线性变换中，若模拟滤波器截止频率Ω_c=200πrad/s，采样周期T=0.5ms，则数字截止频率ω_c=________。答案：2arctan(100π·0.0005)=0.308π25.对实序列做N点DFT，若N=1024，则复乘次数约________。答案：5120四、简答题（每题6分，共18分）26.简述用窗函数法设计FIR低通滤波器的步骤。答案：(1)根据指标确定理想低通冲激响应h_d[n]=sin(ω_c(n-M/2))/(π(n-M/2))，M为阶数；(2)选取合适窗函数w[n]（如汉宁、汉明、凯泽），权衡主瓣宽度与旁瓣衰减；(3)得实际冲激响应h[n]=h_d[n]w[n]；(4)验证频率响应，若不满足指标则增大M或换窗；(5)对h[n]做量化并选用合适结构实现。27.说明脉冲响应不变法与双线性变换法的优缺点。答案：脉冲响应不变法：优点：时域脉冲响应严格对应，线性频率关系；缺点：存在频谱混叠，仅适合带限模拟滤波器。双线性变换法：优点：无混叠，适合各类滤波器；缺点：频率轴非线性畸变，需预畸校正，相位非线性。28.给出按时间抽取基2-FFT算法原位运算的实现要点。答案：(1)输入序列按码位倒序排列；(2)每级蝶形采用原位复数加减，旋转因子按需读取；(3)仅需N个复数存储单元；(4)通过循环结构实现级间迭代，蝶形间距逐级减半；(5)输出自然序，无需额外缓存。五、计算题（共47分）29.（8分）已知序列x[n]={1,2,3,4}，求其4点DFTX(k)，并验证Parseval定理。答案：X(k)=\sum_{n=0}^{3}x[n]e^{-j\frac{2π}{4}kn}X(0)=1+2+3+4=10X(1)=1+2e^{-jπ/2}+3e^{-jπ}+4e^{-j3π/2}=1-2j-3+4j=-2+2jX(2)=1+2e^{-jπ}+3e^{-j2π}+4e^{-j3π}=1-2+3-4=-2X(3)=1+2e^{-j3π/2}+3e^{-j3π}+4e^{-j9π/2}=1+2j-3-4j=-2-2jParseval：\sum|x[n]|²=1+4+9+16=30\frac{1}{4}\sum|X(k)|²=\frac{1}{4}(100+8+4+8)=30，验证成立。30.（10分）系统函数H(z)=\frac{1+z^{-1}}{1-0.5z^{-1}+0.25z^{-2}}，|z|>0.5，(1)求差分方程；(2)画直接Ⅱ型结构图；(3)判断稳定性。答案：(1)y[n]-0.5y[n-1]+0.25y[n-2]=x[n]+x[n-1]；(2)图略（标准二阶直接Ⅱ型，两条反馈支路系数-0.5、0.25，两条前馈支路1、1）；(3)极点z=0.25±j0.433，模0.5<1，收敛域包含单位圆，系统稳定。31.（9分）用双线性变换法设计一阶数字低通滤波器，3dB截止频率f_c=200Hz，采样率f_s=2kHz，求传输函数H(z)。答案：预畸：Ω_c=2πf_c=400π，ω_c=2/T·tan(Ω_cT/2)=4000tan(0.2π)=4000×0.7265=2906rad/s模拟原型H_a(s)=Ω_c/(s+Ω_c)双线性s=2/T·(1-z⁻¹)/(1+z⁻¹)=4000(1-z⁻¹)/(1+z⁻¹)H(z)=2906/[4000(1-z⁻¹)/(1+z⁻¹)+2906]化简得H(z)=\frac{0.421(1+z^{-1})}{1-0.158z^{-1}}32.（10分）序列x[n]=cos(0.4πn)+0.5cos(0.8πn)，0≤n≤99，(1)估计其功率谱密度，采用周期图法，写出MATLAB关键代码；(2)若用Bartlett平均，分段长度L=50，50%重叠，求方差改善比。答案：(1)```matlabn=0:99;x=cos(0.4pin)+0.5cos(0.8pin);n=0:99;x=cos(0.4pin)+0.5cos(0.8pin);[Pxx,f]=periodogram(x,rectwin(100),100,1);plot(f,10log10(Pxx));plot(f,10log10(Pxx));```(2)分段数K=fix((100-50)/(500.5))+1=3，方差改善比≈K=3。(2)分段数K=fix((100-50)/(500.5))+1=3，方差改善比≈K=3。33.（10分）已知FIR滤波器阶数M=20，要求低通，通带0−0.3π，阻带0.5π−π，通带波纹δ_p=0.01，阻带衰减δ_s=0.001，(1)用凯泽窗设计，求β与估计窗长；(2)给出h[n]表达式；(3)画出幅频响应草图并标出关键频率。答案：(1)A=-20log₁₀√(δ_pδ_s)=46dB，β=0.1102(A-8.7)=4.1，M≥\frac{A-7.95}{2.285Δω}=46.5→取M=48。(2)h[n]=\frac{sin[0.4π(n-24)]}{π(n-24)}·I₀(4.1√(1-((n-24)/24)²))/I₀(4.1)，0≤n≤48。(3)图略：通带0−0.3π波动±0.01，阻带0.5π以下衰减−60dB，过渡带约0.2π。六、综合设计题（20分）34.设计一个采样率16kHz的实时语音增强系统，要求：(1)用512点FFT实现均匀滤波器组，子带带宽31.25Hz；(2)给出分析-综合结构框图；(3)推导子带信号抽取因子D与重构条件；(4)若第k子带采用增益g_k=|X(k)|^{-0.5}进行谱减，写出增强后输出y[n]表达式；(5)分析引入的算法延迟并给出降低延迟的改进方案。答案：(1)512×31.25=16kH