人教版七年级数学下册期末解答题压轴题及答案

人教版七年级数学下册期末解答题压轴题及答案

一、解答题

1.如图1,用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形.

图1图2图3

(1)如图2,若正方形纸片的面积为1dm?,则此正方形的对角线4C的长为_dm.

(2)如图3,若正方形的面积为16cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积

为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2,他能裁出吗？请说明理由.

2.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸

板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长.

3.张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长

方形纸片，使它的长宽之比为3：2.他不知能否裁得出来，正在发愁.李明见了说：“别

发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意李明的说法吗？张华能

用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

4.如图，在3x3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位.请解决

下面的问题.

(1)阴影正方形的面积是?(可利用割补法求面积)

(2)阴影正方形的边长是?

(3)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由.

5.求下图4x4的方格中阳影部分正方形面积与边长.

二、解答题

6.如图1,点A在直线MN上，点6在直线sr上，点C在MN,sr之间，且满足

/MAC+ZACB+NSBC=360°.

(1)证明：MNHST；

(2)如图2,若NAC8=60。，4O//C8,点E在线段AC上，连接AE,且

ZDAE=2/CBT,试判断NC4E与NOW的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,若ZAC4=一乙(〃为大于等于2的整数；，点E在线段8C上，连接AE,

7.如图1,已知直线COIIEF,点48分别在直线CO与EF上.P为两平行线间一点.

(1)若NDAP=40°,ZF3P=70°,则N4P8=

(2)猜想［04P,ZFBP,NAP8之间有什么关系？并说明理由；

(3)利用(2)的结论解答：

①如图2,APlt8Pl分别平分NOAP,Z.F8P,请你写出NP与NP］的数量关系，并说明理

由；

②如图3,AP2,8P2分别平分/CAP,ZEBP,若NAP8=B，求/4P28.(用含B的代数式

表示)

8.已知，A811co，点E在C。上，点G,F在A8上，点H在48,C。之间，连接FE,

EH,HG,ZAGH=Z.FED,FE±HE,垂足为£.

(1)如图1,求证：HGLHE；

(2)如图2,GM平分NHG8,EM平分NHE。，GM,EM交于点M,求证：ZGHE=

2ZGME；

（3）如图3,在（2）的条件下，FK平分NAFE交CD于点K,若NKFE：ZMGH=13：5,

9.如图，直线PQUMN,点。是PQ、MN之间（不在直线PQ,MN上）的一个动点.

（1）如图1，若N1与Z2都是锐角，请写出NC与N1,Z2之间的数量关系并说明理由:

（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点。在两条平行线之间，C8与PQ交于点

D,C4与MN交于点E,84与PQ交于点〃，点G在线段CE上，连接。G,有

/AFN

/BDF=NGDF,求一「的值；

NCDG

（3）如图3,若点。是MN下方一点，BC平分/PBD,AA/平分NC4。，已知

/尸8c=25。，求NAC8+NADB的度数.

10.阅读下面材料:

小痉同学遇到这样一个问题：

已知：如图甲，AB//CD,E为AB,C。之间一点，连接BE,DE,得到N8E。.

求证：ZBED=Z8+ND.

（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整.

证明：过点E作EF//A8,

则有/BEF=___.

•••AB//CD,

//

ZFED=

/.ZBED=ABEF+ZFED=NB+ND.

(2)请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，

已知：直线a//b,点48在直线。上，点C,。在直线b上，连接AD,BC,8E平分

N48C,0E平分NADC,且8£,DE所在的直线交于点E

①如图1,当点8在点4的左侧时，若NABC=60。，Z.ADC=70o,求NBED的度数；

②如图2,当点8在点八的右侧时，设/48C=a,/4DC=6,请你求出N8E。的度数

(用含有/6的式子表示).

11.如图1,由线段八民4组成的图形像英文字母称为形&war.

(1)如图1,M形B4A7CO中，若48〃CRNA+NC=50。，则NM=；

(2)如图2,连接M形朋MCD中用力两点，若/B+NO=15(r,NAMC=a,试探求乙4

与N。的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，且AC的延长线与的延长线有交点，当点用在线段

8。的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出乙4与/C所有可能的数量关系.

12.如图，AB±AKf点人在直线MN上，AB.AK分别与直线EF交于点8、C,

ZMAB+^KCF=90°.

(2)如图2,NM48与NECK的角平分线交于点G,求NG的度数；

(3)如图3,在N/VW8内作射线4Q,使NM4Q=2/Q48,以点C为端点作射线CP,交再

线4Q于点T,当/。以=60。时，直接写出NFCP与N4CP的关系式.

13.已知射线A3//射线CO,P为一动点，AE平分NR记,CE平分NPCD,且4E与CE

相交于点£.(注意：此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答)

A

BB

AB

E

£<P

DCDCDC

图1图2图3

(1)在图1中，当点P运动到线段AC上时，ZAPC=180°.直接写出4EC的度数;

(2)当点P运动到图2的位置时，猜想4EC与乙4PC之间的关系，并加以说明；

当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否丕成立？若成立，请说明理由：若

不成立，请写出NAEC与4PC之间的关系，并加以证明.

14.课题学习：平行线的“等角转化”功能.

阅读理解：

如图1,已知点A是8c外一点，连接48,AC,求NB4C+N8+NC的度数.

（1）阅读并补充下面推理过程

解：过点4作IIBC,

N8=/EAB,NC=

又;ZE48+N8AC+NDAC=180°

：.Z8+NBAC+Z.C=180°

解题反思：

从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化〃的功能，将NMC,N8,/«奏〃在一

起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

方法运用：

（2）如图2,已知4811ED,求N8+N8CD+N。的度数.（提示：过点C作CFII48）

深化拓展：

（3）如图3,已知4811CD,点C在点。的右侧，NADC=70。，点8在点4的左侧，

NA8c=60。，BEABC,DE平分NADC,BE,OE所在的直线交于点£,点E在AE与

CD两条平行线之间，求N8E。的度数.

图3

/1II/2,点48在直线上，点4在点8的左边，点C,。在直

线〃上，且满足N4/5C=4480=115”.

(1)如图①，求证:ADWBC；

(2)点M,N在线段C。上，点M在点/V的左边且满足NM4C=NB4C,且AN平分

ZCAD；

(I)如图②，当ZACO=3(r时，求/DAM的度数；

(II)如图③，当NC4£)=8ZM4N时，求NACD的度数.

四、解答题

16.在△48C中，射线AG平分N84c交8c于点G,点D在8c边上运动(不与点G重

合)，过点。作。£11AC交48于点E.

(1)如图1,点D在线段CG上运动时，DF平分NEDB

①若/BAC=100°,ZC=30°,则NAFD=：若NB=40°,则NAFD=；

②试探究/AFD与NB之间的数量关系？请说明理由；

(2)点D在线段BG上运动时，ZBDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究

NAFD与NB之间的数量关系，并说明理由

17.在.A4C中，射线AG平分加C交8c于点G,点D在4c边上运动(不与点G重

合)，过点。作OE//AC交AB于点E.

(1)如图1,点。在线段CG上运动时，DF平分/EDB.

①若NR4C=100°,NC=3()°,WHZAFD=；若N8=40°,则Z4TO=；

②试探究NAF£＞与DB之间的数量关系？请说明理由：

(2)点力在线段BG上运动时，的角平分线所在直线与射线AG交于点".试探究

NAFD与D“之间的数量关系，并说明理山.

18.如图1,CE平分NACO,A石平分N84C,NE4C+44CE=90

（1）请判断AB与CO的位置关系并说明理由；

（2）如图2,当/E=90且/W与C。的位置关系保持不变，移动直角顶点£,使

/MCE=NECD,当直角顶点E点移动时，问44七与否存在确定的数量关系？并

说明理由.

（3）如图3,。为线段AC上一定点，点。为直线CO上一动点且48与CO的位置关系保持

不变，①当点Q在射线CD上运动时（点。除外），NCPQ+NC。尸与/8AC有何数量关

系？猜想结论并说明理由.②当点。在射线。。的反向延长线上运动时（点C除外），

NCPQ+NCQP与N84C有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由.

19.【问题探究】如图1,

何数量关系？并说明理由；

【问题迁移】

如图2,DFIICE,点P在三角板AB边上滑动，ZPCE=Za,ZPDF=Z（3.

（1）当点P在E、F两点之间运动时,如果a=30。，3=40%则NDPC=

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出NDPC

与a、B之间的数量关系，并说明理由.

（图1）（图2）

20.问题情境：如图1,ABHCD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求NAPC度数.

小明的思路是：如图2,过P作PEIIAB,通过平行线性质，可得NAPC=50°+60°=110°.

问题迁移：

（1）如图3,ADIIBC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，

ZADP=Za,ZBCP=ZZCPD./a、/。之间有何数量关系？请说明理由；

⑵在⑴的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、。三点不重合），请

你直接写出NCPD、Na、NB间的数量关系.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）;（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长;

（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可.

【详解】

解：

解析：（1）V2;（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长;

（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可.

【详解】

解：（1）••・正方形纸片的面积为1曲广，

正方形的边长AB=BC=\dm,

•••AC=y]AB2+BC2=y/2dm•

故答案为：&.

（2）不能；

根据题意设长方形的长和宽分别为和2xcm.

长方形面积为：3.1?R2,

解得：X=E，

长方形的长边为3夜（?〃?.

，•,3夜＞4，

他不能裁出.

【点睛】

本题考查了算术平方根在长方形和正方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根计算及无

理数大小比较是解题的关诞.

2.正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边

长是厘米，根据题意得：

取正值，可得，

解析：正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是2K

厘米，根据题意得：

2xx=162,

x2=81,

取正值x=9,可得2x=l8,

答：正方形纸板的边长是18厘米.

【点评】

本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式.

3.不同意，理由见解析.

【详解】

试题分析：设面积为300平方座米的长方形的长宽分为3x厘米，2x座米，则

3x*2x=300,x2=50,解得x=,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20座

米，由于

解析：不同意，理由见解析.

【详解】

试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x・2x=300,

*2=50,解得x-5及，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20座米，由于15女＞20,

所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方

厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2.

试题解析：解：不同意李明的说法.设长方形纸片的长为3x（x>0）cm,则宽为2xcm,

依题意得：3x«2x=300,6/=300,x2=50,<x>0,x=、65=5&，...长方形纸片的长为

15&cm,V50>49,「.5夜>7,「.15&>21,即长方形纸片的长大于20cm,由正方形

纸片的面积为400cm2,可知其边长为20cm,.•.长方形纸片的长大于正方形纸片的边长.

答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

点睛；本题考查了算术平方根的定义：--个正数的正的平方根叫这个数的算:术平方根；0

的算术平方根为。.也考查了估算无理数的大小.

4.（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析

【分析】

（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；

（2）根据实数的性质即可求解；

（3）根据实数的估算即可求解.

【详解】

（1）阴影正方形的

解析：（1）5；（2）石；（3）2与3两个整数之间，见解析

【分析】

（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；

（2）根据实数的性质即可求解；

（3）根据实数的估算即可求解.

【详解】

（1）阴影正方形的面积是3x3-4xjx2xl=5

故答案为：5；

（2）设阴影正方形的边长为x,则X2=5

Ax=V5（-逐舍去）

故答案为：5,

（3）,/"<石<百

2<4s<3

・•・阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间.

【点睛】

本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法.通过观察可知阴

影部分的面积是5个小正方形的面积和.会利用估算的方法比较无理数的大小.

5.8；

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为

8,然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4XX2X2=8；

正方形的边

解析：8：2&

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利

用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4x4-4xgx2x2=8；

正方形的边长=际=2&.

【点睛】

本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于0,即x2=a,那么这个正数x

叫做。的算术平方根.记为石.

二、解答题

6.(1)见解析；(2)见解析;(3)n-1

【分析】

(1)连接AB,根据己知证明NMAB+NSBA=180。，即可得证；

(2)作CFIIST,设NCBT=a,表示出/CAN,ZACF,ZBCF,根据

解析：(1)见解析；(2)见解析；(3)n-1

【分析】

(1)连接48,根据已知证明NMA8+NS8A=180。，即可得证；

(2)作CFIIS7,设NCBT=a,表示出NC4V,NACF,4BCF,根据ADII8C,得到

ZDAC=12Q\求出NCAE即可得到结论;

(3)作CFIIS7,设/CBT=6,得到/CB丁=/8CF=6,分别表示出/C4V和/CAE,即可■得到

比值.

【详解】

解：(1)如图，连接

Z/VMC+ZACB+ZSBC=360°,

ZACB+ZABC+ZBAC=180。,

.\ZMAB+ZSBA=IS(T,

:.MN"ST

(2)ZC4E=2ZCW,

理由：作b〃ST,则MA7/U7/ST,如图,

设NCW=a,])\\\ZDAE=2a.

NBCF=/CBT=a,NGW=ZAC尸=60°-。，

VAD//BC,ZmC=18O0-ZAC«=12O°,

:.ZCAE=1200-Z.DAE=120>—2a=2(60°-a)=2ZC47V.

BPZCAE=2ZCAN.

(3)作则MN〃C尸〃S「如图，设NC8T=A,则NM4E=〃/7.

CF//ST,

NCBT=NBCF=0,

nn

ZCAE=180°-ZMAE-ZCAN=180°-np-----+/=^(180°-〃/),

nn

ZCAE.ZCAN=—-.-=n-\,

nn

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式.

7.(1)110°；(2)猜想：ZAPB=ZDAP+ZFBP,理由见解析；(3)

①NP=2ZPl,理由见解析；②/AP2B=.

【分析】

(1)过P作PMIICD,根据两直线平行，内错角相等可得NAPM二

解析：(1)110°；(2)猜想：ZAPB=ADAP+AFBP,理由见解析；(3)①/P=2/Pi,

理由见解析；②N4P28=I8O。—/y.

【分析】

(1)过P作PMIICD,根据两直线平行，内错角相等可得NAPM=NDAP,再根据平行公理

求出CDIIEF然后根据两直线平行，内错角相等可得N/VIP8NF8P,最后根据

ZAPM+AMPB=NDAP+Z.FBP等量代换即可得证；

（2）结论：ZAPB=，DAP+NFBP.

（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得

ZAPBNDAP+乙FBP,ZAP?B=4C4P2+ZEBP2,然后根据角平分线的定义和平角等于180°

列式整理即可得解.

【详解】

（1）证明：过P作PMIICD,

⑴题图

/.ZAPM=ADAP.（两直线平行，内错角相等），

CDIIEF（已知）,

APMIICD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），

；./MPB=/FBP.（两直线平行，内错角相等），

ZAPM+NMPB=NDAP"FBP.（等式性质）即NAPB=ZDAP+Z.FBP=40°+70°=110°.

（2）结论：ZAPB=ZDAP+NFBP.

理由：见（1）中证明.

（3）①结论：ZP=2N%；

理由：由（2）可知：NP=NDAP+NFBP,NPkNDAPi+4FBPi,

ZDAP=2ZDAPx,ZFBP=2ZFBPi,

：.ZP=2ZPi.

②由①得NAPB=Z.04P+NFBP,ZAP2B=^CAP2+^EBP2,

•:APz、8P2分别平分NCAP、ZEBP,

ZC4P2=-JZCAP,ZEBP2=^EBP,

Z4P28=gNCAP+^Z.EBP,

（180°-ZDAP）（1800-ZFBP）,

=180°-g（ZDAP+ZFBP）,

=180°-g/APB,

=180°-^6.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题H，

难点在于过拐点作平行线.

8.（1）见解析：（2）见解析；（3）40°

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点H作HPIIAB,根据平行线的性质解答即可;

（3）过点H作HPIIAB,根据平行线的性质解答即可.

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）40。

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点H作/■/PIIAB,根据平行线的性质解答即可；

（3）过点H作MPIIA8,根据平行线的性质解答即可.

【详解】

证明：（1）;A8IICD,

ZAFE=4FED,

ZAGH=AFED,

...NAFE=NAGH,

EFWGH,

/.ZFfH+ZH=180°,

,/FE工HE,

ZFEH=90°,

ZH=180°-ZFEH=90\

/.HG-LHE；

（2）过点M作MQIM8,

'：ABWCD,

：.MQIICD,

过点"作HPIIAB,

•「A8IICD,

：.HPWCD,

GM平分NHGB,

/.ZBGM=AHGM=^NBGH,

EM平分NHED,

ZHEM=NDEM=^NHED,

：MQIIAB,

Z8GM=NGMQ,

•/MQIICD,

：.ZQME=AMED,

ZGME=AGMQ+ZQME=N8GM+NMED,

■：HPllAB,

/.ZB6H=ZGHP=2ZBGM,

,/HPIICD,

：.ZPHE=NHED=2AMED,

/.ZGHE=Z.GHP+NPHE=2ABGM+2AMED=2(ZBGM+NMED),

ZGHE=N2GMEi

(3)过点M作MQIIA8,过点H作HPIIA8,

图3

由NKFE：ZMGH=13：5,设NKFE=13x,ZMGH=SXr

由（2）司.知：ZBGH=2AMGH=lOx.

,/ZAFE+NBFE=180°,

ZAFE=180°-lOx,

•••FK平分NAFE,

ZAFK=AKFE=gZAFE,

即:（180-0x）=13x,

解得：x=5°,

ZBGH=10x=50°,

HPIIAB,HPIICD,

/.ZBGH=ZGHP=50",ZPHE=AHED,

ZG”E=90°,

ZPHE=4GHE-ZGHP=90°-50°=40°,

/.ZWED=40°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线

是解题的关键.

9.（1）见解析；（2）；（3）75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即G求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以

解析：（1）见解析；（2）/；（3）75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可.

【详解】

解：（1）ZC=Z1+Z2,

证明：过C作/IIMN,如下图所示，

图1

1•,/IIMN,

Z4=Z2（两直线平行，内错角相等），

/IIMN,PQIIMN,

/./IIPQ,

AZ3=Z1（两直线平行,内错角相等），

Z3+Z4=Z1+Z2,

ZC=Z1+Z2；

（2）/Z8DF=NGDF,

,/Z80F=NPDC,

/.NGDF=ZPDC,

•「ZPDC+ZCDG+N6DF=180°,

ZCDG+2ZPDC=180°t

...ZPDC=900-yZCDG,

由（1）可得，NPOC+NCEM=NC=90。，

ZAEN=ACEM,

...4AEN_4CEM_90。_/尸乙（7_90。一（90。一；NCDG）_1，

~ZCDG~~2CDG~NCDG~ZCDG-2

（3）设8D交MN于J.

D

•/8c平分/PBD,AM平分NCAD,ZPBC=25°f

ZP8D=2NPBC=50°,ZCAM=^MAD,

PQIIMN,

/.ZBJA=/PBD=50°,

/.ZADB=Z.AJB-Z.以。=50°-/以。=50°-/CAM,

由(1)可得，ZACB=APBC+Z.CAM,

：.ZACB+Z.ADB=NP8C+NC4M+500-ZCAM=250+50°=75°.

【点睛】

本题考杳了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关

系.

10.(1)ZB,EF,CD,ZD；(2)①65°；@180°-

【分析】

(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即汇；

(2)①如图1,过点E作EFIIAB,当点B在点A的左侧时，根据NABC=

60°,

解析：(1)ZB,EF,CD,ND；(2)①65°；②180°-；a+g〃

【分析】

(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2)①如图1,过点£作EFIM8,当点B在点4的左侧时，根据N48C=60。,AADC=

70。，参考小亮思考问题的方法即可求/BED的度数；

②如图2,过点『作EFIIA8,当点8在点A的右侧时，ZABC=a,N/WC=B，参考小亮

思考问题的方法即可求出NBED的度数.

【详解】

解：(1)过点E作EFWAB,

则有/BEF=N8,

,「48IICD,

：.EFWCD,

ZFED=ZD,

ZBED=N8EF+NFED=48+ND；

故答案为：/B：EF；CD；ND；

(2)①如图1,过点E作EFIM8,WzBEF=ZEBA.

图1

1/ABWCD,

EFWCD.

：.ZFED=AEDC.

ZBEF+NFED=AEBA+ZEDC.

即NBED—EBA+Z.EDC,

...BE平分/ABC,DE平分NADC,

ZEBA=^Z.ABC=30°,ZEDC=yZ.ADC=3Sa,

/.ZBED=NEBA+Z.EDC=65°.

答：N8E。的度数为65"；

②如图2,过点E作EFIIA8,有N8EF+NE8A=180°.

/.ZBEF=1300-ZEBA,

4811CD,

/.EFWCD.

/.ZFED=AEDC.

Z8EF+NFED=180°-ZEBA+Z.EDC.

即/BED=180°-ZEBA+ZEDC,

,/BE平分/ABC,DE平分/ADC,

：.Z.EBA=^rZ.ABC=-a,ZEDC=Z.ADC=-,

2222

/.ZBED=180°-ZEBA+ZEDC=130°--«+-/?.

22

答：/8EO的度数为180°・；夕.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

三、解答题

11.(1)50°：(2)ZA+ZC=30°+a,理由见解析：(3)NA-NDCM=3(T+a或

30°-a

【分析】

(1)过M作MNIIAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长BA,DC交于E,

解析：(1)50°；(2)N4+NC=30°+a,理由见解析；(3)N4/DCM=30°+a或30”

【分析】

(1)过M作MNII4B,由平行线的性质即可求得NM的值.

（2）延长84DC交于£,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题.

（3）分两种情形分别求解即可；

【详解】

解：（1）过M作MNIM8,

图1

,/4811CD,

.,.4811MNWCD,

Z1=ZA,Z2=ZC,

/.ZAMC=A1+Z2=ZA+ZC=50°；

故答案为：50°；

(2)ZA+ZC=30°+a,

延长BA,DC交于E,

EA9»

Z8+Z0=150°,

...Z£=30°,

ZBAM+A0cM=360°-(ZEAM+AECM)=360°-(3600-ZE-ZM)=30°+a；

即N八+NC=300+a；

(3)①如下图所示：

延长840C使之相交于点E,延长MC与8A的延长线用交于点F,

•「N8+N。=150°,ZAMC=at：.Zf=30°

由三角形的内外角之间的关系得：

Z1=30°+/2

Z2=Z3+a

Zl=30°+Z3+a

/.Z1-Z3=300+a

即：ZA-AC=30°+a.

②如图所示，210-/4=(180°-ZDCM)+a,即N4/0CM=3(Ty.

综上所述，Z4NDCM=3Q°+a或30。匕.

【点睛】

本题考查了平行线的性质,解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线川48,利用平行

线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角NM与已知角NA、NC的数量关系联系起

来，从而求得NM的度数.

12.（1）见解析；（2）ZCGA=45°；（3）NFCP=2NACP或

ZFCP+2ZACP=180°.

【分析】

（1）有垂直定义可得NMAB+NKCN=90。，然后根据同角的余角相等可得

ZKAN=ZK

解析：（1）见解析；（2）ZCGA=45°；（3）ZFCP=2AACPngzFCP+2ZACP=180°.

【分析】

（1）有垂直定义可得NM48+NKC/V=90。，然后根据同隹的余角相等可得NKAN=NKCE从

而判断两直线平行；

（2）校4KANMKCF=a,过点G作GHIIEF,结合角平分线的定义和平行线的判定及性质

求解；

(3)分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解.

【详解】

解：(1)---AB.LAK

：.ZBAC=90°

ZMAB+NKAN=90Q

ZMAB-FAKCF=90°

ZKAN=NKCF

：.EFWMN

(2)设/KAN=Z.KCF=a

贝lj/BAN=4BAC+Z.KAN=9Q0+a

ZKC8=180°-NKCF=130°-a

AG平分NNAB,CG平分NECK

ZGAN=^AB4/V=45°+ga,ZKCG=^NKCB=90°-^a

ZFCG=NKCG+NKCF=90°-\-^a

过点G作GHIIEF

ZHGC=Z.FCG=90°+；Q

又〈MNWEF

：.MNWGH

ZHGA=NGAN=45°-\-^a

ZCGA=AHGC-Z.H6A=(90°+ya)-(45。+/。)=45°

（3）①当CP交射线4Q于点7

•「ZCTA+ZTAC+ZACP=180°

ACTA+ZQAB+ZBAC+ZACP=180°

又NC7>V=60o,NH4C=90。

/.NQAB+NACP=30°

由(1)可得；CFWMN

ZFCA=ZMAC

•「ZFCP=ZFCA+ZACP

ZFCP=ZMAC+ZACP

•「ZM4C=ZMAQ+Z.QAB+ZBAC,ZMAQ=2ZQAB

/.ZMAC=3NQAB+90°=3(30°-ZACP)+90。=180°-3ZACP

N/CP=1800-3ZAC尸一ZACP

BPzFCP+2Z4cp=180°

②当CP交射线AQ的反向延长线于点T,延长BA交CP于点G

/FCP=/FCA—ZACP,由EFIIMN得NM4C=N尸C4

ZFCP=ZMAC-ZACP

又N：MG=NQA8,/刖C+NC4G=180。，ZBAC=90°

ZC4G=1800-ABAC=90°

ZG4T=ZC4G-ZTAG=90°-ZQAB

•••ZCAT+^CTA+ZACP=180°,NG=60。

ZC4T+ZACP=120°

/.900-ZQAB+ZACP=\20°

NQA8=NAC尸-30。

由①可得/MAC=3NQA8+90°

/.ZA14C=3(ZACP-30°)+90°=3ZACP

ZFCP=ZMAC-ZACP=3ZACP-ZACP=2ZACP

综上，ZFCP=2NACP或NFCP+2AACP=180°.

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关

键.

13.(1)；(2),证明见解析；(3),证明见解析.

【分析】

(1)过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平

行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得；

解析：(1)90°；(2)ZAPC=2ZAEC,证明见解析；(3)Z4PC+2Z4EC=360°,证

明见解析.

【分析】

(1)过点E作EF//AB,先根据平行线的性质、平行公理推论可得

ZAEF=NBAE/CEF=NDCE,从而可得N4£C=NBAE+ZDCE,再根据平行线的性质可

得NB43+NPCO=180。，然后根据角平分线的定义可得

NBAE=；NPAB,NDCE=；NPCD,最后根据角的和差即可得；

(2)过点E作EF/伏乩过点P作PQ〃AB,先根据(1)可得

ZAEC-ZBAE+ZDCE--(ZPAB+ZPCD),再根据(1)同样的方法可得

2

ZAPC=NPAB+NPCD,由此即可得出结论；

(3)过点E作EF//AB,过点P作PQ〃AB,先根据(1)可得NP4?+NPCD=2NAEC,

再根据平行线的性质、平行公理推论可得4PQ=180O-NP/W,NbQ=180。-/人?。，然

后根据角的和差、等量代换即可得出结论.

【详解】

解：(1)如图，过点E作所〃A8,

;.ZAEF=NBAE,

QAB//CD,

..EF//CD,

zLCEF=ADCE,

ZAEC=ZAEF+ZCEF=/BAE+ZDCE,

又QAB/CD,且点P运动到线段AC上，

.­.ZE4B+ZPCD=180°,

TAE平分N/%4,CE平分NP8,

NBAE=-NPAB,ZDCE=-4PCD,

22

ZAEC=-NPAB+-/PCD=-(4PAB+/PCD)=90。；

222

(2)猜想NA尸C=2NAEC,证明如下：

如图，过点、E作EF7/AB,过点。作PQ//A8,

”,

EQpy-Q

D

由(1)已得：NAEC=NBAE+NDCE=-(NPAB+NPCD),

2

同理可得：ZAPC=NPAB+NPCD,

.\ZAPC=2ZAEC；

(3)ZAPC+2ZAEC=360°,证明如下：

如图，过点E作曰WA8,过点。作“2〃人4,

由(1)已得：公EC=NBAE+/DCE='(/PAB+/PCD),

2

即ZPAB+/PCD=2ZAEC,

PQ//AI3,

NAPQ+ZPAB=180°,即ZAPQ=180°-ZPAB,

QAB//CD,

PQ//CD,

ZCPQ+/PCD=180°,即NCPQ=180°-/PCD,

/.ZAPC=ZAPQ+4CPQ,

=180°-NPAB+180°-/PCD,

=360o-(Z/^4B+ZPCD),

=360°-2ZAEC,

即ZAPC+2ZAEC=360°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的

性质是解题关键.

14.(1)ZDAC；(2)360°；(3)65°

【分析】

(1)根据平行线的性质即可得到结论；

(2)过C作CFIIAB根据平行线的性质得到/D=ZFCD,ZB=ZBCF,然后根据

已知条件即可得到结论；

解析：(1)ZDAC；(2)360°；(3)65°

【分析】

(1)根据平行线的性质即可得到结论；

(2)过C作CFWAB根据平行线的性质得到/D=ZFCD,ZB=ZBCF,然后根据已知条件即

可得到结论；

(3)过点E作EFIIAB,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度数.

【详解】

解：(1)过点4作foilBC,

Z8=NEAB,ZC=ZDCA,

文：ZE4B+NBAC+AD4C=180°,

/.Z8+NBAC+Z.C=180°.

故答案为：ZDAC；

(2)过C作CFIIAB,

/_____B

图2

•「A8IIDE,

：.CFWDE,

...ZD=ZFCD,

1/CFIIAB,

/.Z8=NBCF,

,/Z8CF+N8C0+NDCF=360°,

ZB+Z8CD+Z0=360°；

(3)如图3,过点E作FFII48,

■「A8IICD,

」.4811CDIIEF,

：.ZA8E=NBEF,ZCDE=£DEF,

•「8E平分N48C,。£平分N40C,Z486=60°,ZADC=73°,

ZABE=gZ48c=30°,ZCDE=工ZADC=35\

22

ZBED=A8EF+NO£F=300+35°=65°.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行

推算.

15.(1)证明见解析；(2)(I)；(II).

【分析】

(1)先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的判定

即可得证；

(2)(I)先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据角的和差可得

解析：(1)证明见解析；(2)(I)ZDAM=5°i(n)ZACD=25°.

【分析】

(1)先根据平行线的性质可得/射0=65。，再根据角的和差可得NBW+44C=180。，

然后根据平行线的判定即可得证；

(2)(I)先根据平行线的性质可得N84C=NAC£>=30。，从而可得NM4C=30。，再根

据角的和差可得〃AC=35。，然后根据NZMM=N0AC-NM4C即可得；

(II)设NM4N=x,从而可得NC4O=8i,先根据先平分线的定义可得

/CAN=3NCA£>=44，再根据角的和差可得/84C=NM4c=5x,然后根据

NC4力+/B4C=NB4D=65。建立方程可求出x的值，从而可得/的。的度数，最后根据平

行线的性质即可得.

【详解】

(1)•;〃〃2，/ADC=115°,

/./BAD=180°-ZADC=65°,

又.ZABC=115°,

ZR4D+ZABC=180°,

AD//BC；

(2)(I)V/1///2,Z4CD=30°,

：.ZBAC=ZACD=30°,

•••NM4C=N84C,

/.ZAMC=30°,

由(1)已得：ZBA£>=65°,

/.ZDAC=/BAD-ZBAC=35°,

/.Z£MM=Z£MC-NM4c=35°-30。=5°；

<n)设NAWV=x,则NCAQ=8x,

•••力义平分/。。，

ZC4?/=-ZCAD=4x,

2

ZM4C=NC47V+NMW=5x,

・・・/M4C=N84C,

/.ZBAC=5x,

由(1)已得：ZBAD=65°,

NC4O+ZBAC=ZI3AD=65°,即8A+5X=65°,

解得x=5°,

/.ABAC=5x=25°,

又Q〃4，

ZACD=ABAC=250.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的几何应用

等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键.

四、解答题

16.(1)①115。；110°；②；理由见解析；(2)；理由见解析

【分析】

(1)①若NBAC=10(r,ZC=30°,由三角形内角和定理求出NB=50。，由平行

线的性质得出NEDB=ZC=30°,由

解析：(1)①115。：11。。：②NA产。=90。+3/8：理由见解析：(？)

Z4FD=90°--ZB；理由见解析

2

【分析】

(1)①若/BAC=100。，NC=30。，由三角形内角和定理求出NB=50。，由平行线的性质得

出NEDB=NC=30。，由角平分线定义得出/BAG='/8AC=50。，ZFDG=-=15°,由

22

三角形的外角性质得出/DGF=100。，再由三角形的外角性质即可■得出结果；若NB=40。，则

ZBAC+ZC=1800-40*=140\由角平分线定义得出N6AG=g/bAC,NFDG=；/EDB,由

三角形的外角性质即可得出结果；

②由①得：ZEDB=ZC,ZBAG=-ZBAC=50°,NFDG，NEDB=15。,由三角形的外角

22

性质得出NDGF=ZB+NBAG,再由三角形的外角性质即可得出结论；

(2)由(1)得：ZEDB=ZC,ZBAG=-ZBAC,=1/互犯='/。,由三角形的外

222

角性质和三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】

(1)①若NBAC=100°,ZC=30°,

则NB=180o-100o-300=50%

1/DEIIAC,

/.ZEDB=ZC=30°,

AG平分/BAC,DF平分NEDB,

/BAG=-ZBAC=50°,ZFDG=-NEDB=15。，

22

/.NDGF=ZB+ZBAG=50o+50o=100",

/.ZAFD=ZDGF+ZFDG=lD0o+15o=115°；

若NB=40°,则/BAC+ZC=180°-40°=140°,

「AG平分/BAC,DF平分/EDB,

/.ZBAG=-ZBAC,NFDG=L/EDB,

22

*.*ZDGF=ZB+ZBAG,

ZAFD=ZDGF+ZFDG=ZB+ZBAG+ZFDG

=Zfi+-(ZBAC+ZC)

=40°+-xl400

2

=4004-70O=110°

故答案为：115°；