人教版七7年级下册数学期末解答题复习含答案

人教版七7年级下册数学期末解答题复习含答案

一、解答题

1.已知在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.

（1）计算图①中正方形A8CD的面积与边长.

（2）利用图②中的正方形网格，作出面积为8的正方形，并在此基础上建立适当的数

轴，在数轴上表示实数决和-应.

1\

\

\\

\

2.如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.

（1）求出这个魔方的棱长；

（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的边长.

3.张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长

方形纸片，使它的长宽之比为3：2.他不知能否裁得出来，正在发愁.李明见了说：“别

发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片."你同意李明的说法吗？张华能

用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

4.小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为

20cm?的长方形纸片，使它的长是宽的2倍.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了

说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出〜块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？

你认为小丽能川这块纸片裁出符合要求的纸片吗?为什么？

（1）求正方形钢板的边长.

（2）李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为

3:2,问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由.（参考数

据：＞/2«1.414,V3«1.732）.

二、解答题

6.已知：直线48IICD,直线MN分别交48、C。于点£、F,作射线EG平分N8EF交8

于G,过点F作FH_LM/V交EG于H.

(1)当点H在线段EG上时，如图1

①当NBEG=36°时，则NHFG=_.

②猜想并证明：N8EG与NHFG之间的数量关系.

(2)当点H在线段EG的延长线上时，请先在图2中补全图形，猜想并证明：NBEG与

ZHFG之间的数量关系.

7.如图1,ABIICD,点、E、尸分别在A3、上，点。在直线A3、CO之间，且

ZEOF=100°.

图1图2

图3

(1)求N8fO+NOQ的值；

(2)如图2,直线MN分别交/BE。、/ObC的角平分线于点M、N,直接写出

/EMN-/FNM的值;

(3)如图3,EG在NAEO内，ZAEG=m/OEG；FH在/DFO内,

/DFHnnNOFH,直线MV分别交EG、777分别于点M、N,且

4FMN-/ENM=50°,直接写出，〃的值.

8.已知：如图，直线A8//CD,直线EF交八8,CD于P,。两点，点M,点N分别是直线

（1）点机N分别在射线QC,QF上（不与点Q重合），当NAPM+/QMN=90。时，

①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；

②若以平分NEPM,ZMNQ=20°,求/EP8的度数.（提示：过N点作A8的平行线）

（2）点M,N分别在直线CO,£F上时，请你在备用图中画出满足PMJ_MN条件的图形,

并直接写出此时NAPM与NQMN的关系.（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）

9.综合与实践

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的

直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直

线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合恃推

理的基础.

已知：AMIICN,点8为立面内一点，A8_L8c于8.

问题解决：（1）如图1,直接写出N4和/C之间的数量关系；

（2）如图2,过点8作8D_L4M于点。，求证：ZABD=AC；

（3）如图3,在（2）问的条件下，点E、F在。例上，连接8E、BF、CF,8F平分NDBC,

8E平分/ABD,若NFC8+ZNCF=180°,Z8FC=3/DBE,则/EBC=_.

10.如图1,把一块含30,的直角三角板48c的8c边放置于长方形直尺。EFG的EF边上.

（1）根据图1填空：Z1=。，Z2=。：

（2）现把三角板绕8点逆时针旋转〃。.

置平面镜MV,可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）

（3）如图3,直线E/7上有两点4、C,分别引两条射线A5、CD.ZBAF=105°,

/DCF=65。,射线A3、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转

动，设时间为t,在射线。。转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与A8平行？

若存在，求出所有满足条件的时间t.

13.如图1,点。在MN上，^OB=90°,ZAOM=nf,ZOCQ=,射线08交PQ于点C,已

知m,c满足：|，〃-20|+（〃-70）2=。.

（2）如图2,。。平分4ON,平分NOCQ,直线。。、CF交于点E,则

ZOEF=°；

（3）若将4408绕点。逆时针旋转a（0<a<90。），其余条件都不变，在旋转过程中,

N0E/的度数是否发生变化？请说明你的结论.

14.如图，AB±AKf点人在直线MN上，AB.AK分别与直线EF交于点8、C,

ZMAB+AKCF=90°.

（2）如图2,NM48与/ECK的角平分线交于点G,求NG的度数；

（3）如图3,在NMA8内作射线AQ,使NA4AQ=2NQA8,以点C为端点作射线CP,交再

等4Q于点了，当NC以=60。时，直接写出NFCP与N4CP的关系式.

15.如图，已知4VHI8MN4=64。.点P是射线AM上一动点（与点八不重合），BC、

8。分别平分/ABP和NPBN,分别交射线4M于点C,D.

(1)①N八BN的度数是；AMWBN,NACB=N

(2)求/CBD的度数；

(3)当点P运动时，N4P8与N4D8之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写

出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；

(4)当点P运动到使NACB=N八8。时，N28C的度数是.

四、解答题

16.在△ABC中，射线4G平分/8AC交8c于点G,点D在8c边.上运动(不与点G重

合)，过点。作。日"C交48于点E.

(1)如图1,点D在线段CG上运动时，DF平分NEDB

①若NBAC=100°,ZC=30°,则NAFD=；若NB=40°,则NAFD=；

②试探究/AFD与/B之间的数量关系？请说明理由；

(2)点D在线段BG上运动时，ZBDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究

NAFD与NB之间的数量关系，并说明理由

17.(1)如图1,NB4。的平分线4E与N8CD的平分线CE交于点£,ABWCD,

NAOC=50。，ZABC=40°,求/4EC的度数；

图3

(2)如图2,N%。的平分线AE与N8C。的平分线CE交于点E,ZADC=a°,NA8C邛。，

求/AEC的度数；

(3)如图3,PQ_LMN于点。，点4是平面内一点，AB.AC交MN于8、C两点，4。平

ZADP

分/84C交PQ于点。，请问|NACB一NABC|的值是否发生变化?若不变，求出其值；若改

变，请说明理由.

18.解读基础：

（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出4、D8、NC、之间的关系，并

说明理由；

（2）图2形似8字，我们称之为“八字形"，请写出乙4、DB、NC、NO之间的关系，并

说明理由：

应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题

（3）①如图3,在A48C中，BD、C力分别平分和NAC8,请直接写出44和

的关系—;

②如图4,ZA+N8+NC+NO+NE+ZF=.

（4）如图5,NBAC与NBOC的角平分线相交于点尸，NGDC与NCA厂的角平分线相交

于点E,已知N8=26。，NC=54。，求//和NE的度数.

19.在一AAC中，NA4c=100°,ZABC=ZACB,点。在直线BC上运动（不与点8、。重

合），点E在射线AC上运动，且乙位应=NA£D,设/D4C=〃。.

/CDE=°；

（2）如图②，当点。运动到点8的左侧时，其他条件不变，请猜想NW）和NCDE的数

量关系，并说明理由；

（3）当点。运动到点C的右侧时，其他条件不变，ZMD和N8E还满足（2）中的数量

关系吗？请在图③中画出图形，并给予证明.（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）

20.加图①所示，在二集形纸片ARC中，ZC=70°,/。=65。，将纸片的一角折益，使

点A落在AA8c内的点A处.

（1）若Nl=40。，Z2=.

（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想Nl,Z2,44之间的数量关系，直接写出结论.

②当点A落在四边形8COE外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，

请说明理由，若不成立，4,Zl,N2之间又存在什么关系？请说明.

（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图

中的N1+N2+/3+N4+N5+N6和是.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）正方形的面积为10,正方形的边长为；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积，然后根据算术

平方根的意义即可求出边长；

（2）根据（1）的方法画

解析：（1）正方形A8CD的面积为10,正方形45co的边长为标；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形A8CO的面积，然后根

据算术平方根的意义即可求出边长；

（2）根据（1）的方法画出图形，然后建立数轴，根据算术平方根的意义即可表示出结

论.

【详解】

解：（1）正方形48co的面积为4x4-4xgx3xl=10

则正方形A68的边长为亚；

（2）如下图所示，正方形的面积为4x4—4xgx2x2=8,所以该正方形即为所求，如图建立

数轴，以数轴的原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，分别交数轴于两点

「•正方形的边长为应

.•・弧与数轴的左边交点为-布，右边交点为次，实数次和-4在数轴上如图所示.

【点睛】

此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴，掌握算术平方根的意义和利用数轴表示

无理数是解题关键.

2.（1）棱长为4；（2）边长为:（或）

【分析】

（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算

得到答案.

【详解】

解：（1）设正方体的棱长为，则，所以，即正方体的棱长为4.

解析：（1）棱长为4；（2）边长为：瓜（或2啦）

【分析】

（1）由立方体的体积为板长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案.

【详解】

解：（1）设正方体的棱长为“，则r'=64,所以工=4,即正方体的棱长为4.

（2）因为正方体的棱长为4,所以AB=j2：+22=&=2万

【点睛】

本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一

个数的立方根与算术平方根是关键.

3.不同意，理由见解圻.

【详解】

试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则

3x*2x=300,x2=50,解得x二，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘

米，由于

解析：不同意，理由见解析.

【详解】

试题分析,：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x・2x=300,

X2=5O,解得*=5侦，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20座米，由于150>20,

所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方

厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2.

试题解析：解：不同意李明的说法.设长方形纸片的长为3x（x>0）cm,则宽为2xm,

依题意得：3x<2x=300,6产=300,X2=50,.>0,x=廊=5技.,•长方形纸片的长为

15&cm,V50>49,/.55/2>7,A1572>21,即长方形纸片的长大于20cm,由正方形

纸片的面积为400cm2,可知其边长为20cm,.•.长方形纸片的长大于正方形纸片的边长.

答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

点睛：本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0

的算术平方根为0.也考查了估算无理数的大小.

4.不同意，理由见解析

【分析】

先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为，长为，然后依据矩形的面积为20

列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断.

【详解】

解：不同意，

因为正方形的面积为，

解析：不同意，理由见解析

【分析】

先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为X,长为2x,然后依据矩形的面积为20列方

程求得x的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断.

【详解】

解：不同意，

因为正方形的面积为36cm"故边长为6cm

设长方形宽为x,则长为2工

长方形面积=x•2x=2d=20

x2=10,

解得（负值舍去）

长为25/10cm>6cm

即长方形的长大于正方形的边长，

所以不能裁出符合要求的长方形纸片

【点睛】

本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键.

5.（1）4米（2）见解析

【分析】

（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；

（2）设长方形的长宽分别为米、米，由其面积大得x值，比较长方形的长和宽

与正方形边长的大小可得结论.

【详解】

解

解析：（1）4米（2）见解析

【分析】

（1）根据正方形边长与面枳间的关系求解即可；

（2）设长方形的长宽分别为米、2x米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正

方形边长的大小可得结论.

【详解】

解：（1）正方形的面积是16平方米，

•••正方形钢板的边长是J记=4米；

（2）设长方形的长宽分别为3x米、2无米,

则3x・2x=12,

丁=2,

X=42,

3x=3夜>4，2X=2N/2<4，

二长方形长是3万米，而正方形的边长为4米，所以李师傅不能办到.

【点睛】

本题考查了算术平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是

解题的关键.

二、解答题

6.(1)①18°；@2ZBEG+ZHFG=90°,证明见解析；(2)2ZBEG-

ZHFG=90。证明见解析部

【分析】

(1)①证明2/BEG+NHFG=90。，可得结论.②利用平行线的性质证明即

可.

解析：(1)①18°；②2/8EG+NHFG=90°,证明见解析；(2)2/8EG-NHFG=90°证明见

解析部

【分析】

(1)①证明2/8EG+NHFG=90。，可得结论.②利用平行线的性质证明即可.

(2)如图2中，结论：24BEG-NHFG=90°.利用平行线的性质证明即可.

【详解】

解：(1)①•「EG平分NBEF,

/.ZBE6=ZFEG,

,/FHJ.EF,

ZEFH=90°,

'：ABWCD,

Z8EF+NEFG=180°,

/.2Z8£G+90°+NHFG=18C°,

/.2ZBEG+ZHFG=90°,

'：Z8EG=36°,

ZHFG=18°.

故答案为：18。.

②结论：2NBEG+Z.HFG=90°.

理由：「EG平分N8EF,

Z8EG=NFEG,

FH工EF,

/.ZEFH=90°,

A8IICD,

：.Z8EF+NEFG=180°,

2Z8£G+90°+NHFG=18C°,

2ZBEG+ZHFG=90°.

(2)如图2中，结论：248EG-NHFG=90°.

AB

F1\G

C~~\D

图27H

理由：fEG平分N8EF,

ZBEG=NFEG,

FHJLEF,

/.ZEF斤=90°,

:A8IICD,

：.ZBEF+NEFG=18Q°,

：.2Z8£G+900-NHFG=130\

/.2NBEG-2HFG=90°.

【点睛】

本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于

中考常考题型.

7.(1)；(2)的值为40。；(3).

【分析】

(1)过点。作OGIIAB,可得ABIIOGIICD,利用平行线的性质可求解；

(2)过点M作MKIIAB,过点N作NHIICD,由角平分线的定义可设/BEM

解析：(1)ZBEO+ZDFO=260°；(2)NEMN—/FNM的值为40。；(3)

【分析】

(1)过点。作OGII48,可得4811OGII8,利用平行线的性质可求解；

(2)过点M作MKWAB,过点N作NHWCD,由角平分线的定义可设/8EM=NOEM=x,

，CFN=4OFN=y,由/8E0+/OFO=260°可求x-y=40°,进而求解；

(3)设直线FK与EG交于点H,FK与A8交于点K根据平行线的性质即三角形外角的性

质及NFMN-/ENM=50。,可得NKF7)-NAEG=50。，结合

ZAEG=，?NOEG,DFK=nZOFK,NB石O+ND回0=260°,可得

ZAEG+-ZAEG+\S0°-^KFD--^KFD=\00°,

nn

即可得关于〃的方程，计算可求解〃值.

【详解】

证明：过点。作OGII4B,

E

图1

ABWCD,

「.ABIIOGIICD,

Z/?EO+Z£OG=180°,NDFO+NFOG=18(T,

NBEO+NEOG+ZDFO+/FOG=360°,

即/BEO+ZEOF+ZDFO=360°,

ZEOF=100°,

/.ZBEO+4DF。=260。：

(2)解：过点M作MKIM8,过点N作NHIICD,

E

图2

,.1EM平分NBEO,FN平分/CFO,

设/BEM=/OEM=x,/CFN=/OFN=y,

•/ZBEO+ZDFO=260°

ZBEO+ADFO=2x+180°-2y=260°,

x沙=40。，

MKWAB,NHWCD,ABWCD,

：.AB\\MKl\NHWCD,

/EMK=/BEM=x,/HNF=NCFN=y,/KMN=NHNM,

•••4EMN+/FNM=4EMK+4KMN-(/HNM+4HNF)

=x+4KMN-/HNM-y

=x-y

=40°,

故4EMN—4FNM的值为40°；

(3)如图，设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K,

图3

■：AB\\CD,

/."KF=/KFD,

ZAKF=/EHK+NHEK=/EHK+ZAEG,

/KFD=/EHK+公EG,

,：ZLEHK=/NM卜一乙ENM=5U0,

/.Z/；FD=50°+Z4EG,

即ZKFD-ZAEG=50°,

•「ZAEG=n/OEG,FK在NOF。内，4DFK=nZOFK.

NCFO=180。-NDFK-NOFK=180。-NKFD-工NKFD,

n

AAEO=ZAEG+ZOEG=/AEG+-AAEG,

n

ZBEO+ZDFO=260°.

...ZAEO+ZCFO=100°,

ZAEG+-ZAEG+1800-Z.KFD--NKFD=100°,

nn

即(1+}'(/K/7)-/AEG)=80。，

...(1+450。=80°,

解得”=g.

经检验，符合题意，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

8.(1)①PM_LMN,理由见解析；②NEPB的度数为125。；(2)ZAPM

+ZQMN=90°或/APM-ZQMN=90°.

【分析】

（1）①利用平行线的性质得到NAPM=NPMQ,再根据已知条

解析：（1）①PMLMN,理由见解析；②NEP8的度数为125。；（2）NAPM

+ZQMA/=90°或/APM-ZQMA/=90°.

【分析】

（1）①利用平行线的性质得到NPMQ,再根据已知条件可得到PM_LMN；

②过点N作/VHIICD,利用角平分线的定义以及平行线的性质求得/MNH=35。，即可求

解；

（2）分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决.

【详解】

解：（1）①PMLMN,理由见解析：

•/AB//CD,

/.ZAPM=ZPMQ,

1/ZAPM+NQM/V=90%

ZPMQ+ZQMN=90°,

：.PM±MN；

②过点N作NHWCD,

---AB//CD,

：.AB//NHWCD,

：.ZQMN=NMNH,ZENH,

PA平分/EPM,

/.ZEPA=Z.MPA,

,/ZAPM+Z.QMN=9Q0,

：.ZEPA+ZMNH=90°,即/ENH+ZMNH=90°,

ZMNQ,+ZMNH+ZMNH=90°,

ZMNQ=20°,

ZMNH=35\

：.ZEPA=AENH=AMNQ+ZMNH=55°,

ZEPB=1800-55o=125°,

AZEPB的度数为125°；

(2)当点M,N分别在射线QC,QF上时，如图:

E

B

Q

D

M

N

PM±MN,AB//CD,

：.ZPMQ+ZQMN=90°,ZAPM=NPMQ,

/.ZAPM+ZQM/V=90°；

当点M,N分别在射线QC,线段PQ上时，如图:

PM上MN,AB//CD,

ZPMN=90°,ZAPM=ZPMQ,

/.ZPMQ-ZQMN=90°,

/.ZAPM-ZQMN=90°；

当点M,N分别在射线OD,OF上时，如图:

PM1MN,AB//CD,

ZPMQ+ZQMN=90°,ZAPM+NPMQ=180°,

ZAPM+90°-ZQMN=180°,

ZAPM-ZQM/V=90°；

综上，ZAPM+ZQMN=90°或NAPM-ZQMN=90\

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行,

同旁内角互补；两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键.

9.(1)；(2)见解析；(3)105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质

解析：（1）ZA+ZC=90°；（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点8作8GliDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】

解：（1）如图1,设AM与8c交于点OJFMIICN,

NC^~Z.AOB»

,/AB±BC,

NA8C=90°,

/.ZA+Z408=90°,

Z4+ZC=90°,

故答案为：NA+/C=90。；

图2

•/BD±AM,

/.O8_L8G,

Z08G=90°,

：.AABD+ZABG=9O\

•••AB±BC,

ZC8G+NA8G=90。，

/.ZABD=Z.C8G,

〈AMIICN,

：.ZC=ZCBG,

ZABD=ZCi

(3)如图3,过点8作BGIIDM,

EA

DM

旃^^…厂G

N..............—

图3

••,8F平分N08C,8E平分N48D,

ZDBF=Z.CBF,ZDBE=ZABE,

由（2）矢口NA80=NCBG，

/ABF=Z.GBF,

设/08E=a,NA8F=6,

则/ABE=a,ZABD=2a=Z.CBG,

ZG8F=NAFB=6t

ZBFC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6,

ZAFC+NNCF=180°,/FCB+N/VCF=180°,

ZFC8=N4FC=3a+6,

△8CF中，由/C8F+NBFC+N8CF=180°得：2a+6+3a+3cr+6=180°,

•「AB±BC,

6+6+2a=90°,

a=15°,

NA8E=15°,

ZFBC=ZABEA-Z』BC=1S°+9O°=1OS°.

故答案为：105°.

【点睛】

本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

10.（1）120,90；（2）①N1=1205,Z2=90°+n°；②见解析

【分析】

（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；

（2）①根据邻补角的定义求出NABE,再根据两直线平行，同位角相

解析：（1）120,90；（2）0Zl=120°-n°,N2=90°+。°；②见解析

【分析】

（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；

（2）①根据邻补角的定义求出NA8E,再根据两直线平行，同位角相等可得N1=NABE,

根据两直线平行，同旁内角互补求出/8CG,然后根据周角等于360。计算即可得到N2；

②结合图形，分4B、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解.

【详解】

解：（1）Z1=180°-60°=120°・

Z2=90°；

故答案为:120,90；

(2)①如图2,

Z八8£=180°-605=1205,

,/DGWEF,

：.Z1=ZABE=1200-n\

ZBCG=1800-ZCBF=180°-n\

•「Z4CB+ZBCG+Z2=360°,

Z2=360°-/ACB-Z.BCG

=360o-900-(1805)

=90o+no：

②当c=30。时，NA8c=60。,

N48F=30°+60°=90°,

AB±DG(EF)；

当“=90。时,

ZC=ZCBF=90°,

/.BC±DGCEF),AC±DE(GF)；

当"二120。时，

/.AB±DE(GF).

【点睛】

本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性

质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键.

三、解答题

11.(1)50°；(2)ZA+ZC=30°+a,理由见解析；(3)NA-NDCM=30°+a或

30°-a

【分析】

(1)过M作MNIIAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长BA,DC交于E,

解析：(1)50°;(2)Z/A+ZC=30°+a,理由见解析；(3)N4NDCM=30°+a或30F

【分析】

(1)过M作MNIIA8,由平行线的性质即可求得NM的值.

(2)延长84DC交于E,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题.

(3)分两种情形分别求解即可；

【详解】

解：(1)过M作MNII48,

2

M

BD

图1

,/ABWCD,

」.4811MNWCD,

Z1=ZA,N2=NC,

ZAMC=A1+Z2=ZA+NC=50°；

故答案为：50。；

(2)Z4+ZC=30°+a,

延长B4OC交于£,

图2

Z8+N0=150°,

/.ZE=30*,

,/ZBAM+N0cM=360°-(ZEAM+NECM)=360°-(360°-Zf-ZM)=30°+a：

UPz4+ZC=30°+a；

(3)①如下图所示：

延长84、OC使之相交于点E,延长MC与8A的延长线用交于点F,

•/Z8+Z0=150°,ZAMC=a,/.ZE=30°

由三角形的内外角之间的关系得：

Z1=30°+/2

N2=N3+a

Z1=30°+/3+a

Z1-Z3=300+a

即：ZA-Z.C=30°+a.

②如图所示,210-ZA=<180°-ZDCM)+a,即N4/DCM=30°-a.

A

综上所述，ZA-Z0cM=30°+a或30°-a.

【点睛】

本题考查了平行线的性质.解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线川A8,利用平行

线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角NM与已知角NA、NC的数量关系联系起

来，从而求得NM的度数.

12.（1）平行，理由见解析；（2）65。；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根据等角的补角相等求出N3与N4的补角相等，再根据内错角相等，两

直线平行即可判定aIIb；

（2）根据入射光线与镜面的夹角与反

解析：（1）平行，理由见解析；（2）65。；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根据等角的补角相等求出N3与/4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即

可判定allb；

（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得N1=N2,然后根据平

角等于180。求出N1的度数，再加上40。即可得解；

（3）分①48与CO在EF的两侧，分别表示出N4CD与N84C,然后根据两直线平行，内

错角相等列式计算即可得解；②8旋转到与48都在EF的右侧，分别表示出NDCF与

N8AC,然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；③8旋转到与48都在EF

的左侧，分别表示由NOCF与N8AC,然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得

解.

【详解】

解：（1）平行.理由如下：

图1

如图1,N3=N4,

Z5=Z6,

•/Z1=Z2,

Z1+Z5=Z2+Z6,

・•.allb（内错角相等，两直线平行）；

（2）如图2：

・「入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等,

Z1=Z2,

V入射光线a与水平线0C的夹角为40。，b垂直照射到井底，

/.N1+Z2=1800-400-900=50<>,

Zl=ix50o=25°,

・•・MN与水平线的夹角为：25。+40。=65。，

即MN与水平线的夹角为65。，可使反射光线b正好垂直照射到井底;

（3）存在.

如图①，48与CO在EF的两侧时，

①

,/Z8AF=105°,ZOCF=65‘，

/./4CD=180°-65°-^r=1

ZBAC=105°-t°,

要使48IICD,

则/ACD=Z.BAC,

即115-3t=105-t,

解得t=5；

如图②，CD旋转到与AB都在EF的右侧时,

•••ZBAF=105°tNDCF=65‘，

•••ZDCF=3600-3r-65o=295o-3r,

Z84c=105°-t°,

要使八8IICD,

则/DCF=ZBAC,

即295-31=105-3

解得t=95；

如图③，CD旋转到与A8都在EF的左侧时,

Z8AF=105°,ZOCF=65',

/.ZDCF=3t°-(180°-65°+180°)=3t°-295°,

ZBAC=t°-105°,

要使4811CD,

则/DCF=ZBAC,

即3t-295=t-105,

解得t=95,

此时t>105,

---此情况不存在.

综上所述，t为5秒或95秒时，CD与A8平行.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性

质是解题的关键，(3)要注意分情况讨论.

13.(1)见解析；(2)45；(3)不变，见解析；

【分析】

(1)由可求得m及n,从而可求得NMOC=/OCQ,则可得结论；

(2)易得NAON的度数，由两条角平分线，可得NDON,NOCF的度数，也

解析：(1)见解析；(2)45；(3)不变，见解析；

【分析】

(1)由帆-20|+(/?-70/=。可求得m及〃，从而可求得NMOC=NOCQ,则可得结论；

(2)易得NAON的度数，由两条角平分线，可得NOON,NOCF的度数，也易得/COE的

度数，由三角形外角的性质即可求得NOEF的度数；

(3)不变，分三种情况讨论即可.

【详解】

(1)V|rn-20|^0,(M-70)2>0,且|/〃一20|+(〃-70)2=0

|/n-20|=0,(〃-70尸=0

m=20,n=70

/.ZMOC=900-ZAOM=70°

/.ZMOC=ZOCQ=70°

/.MNWPQ

(2)ZAON=180°~ZAOM=160°

又。0平分N4ON,C/平分NOCQ

/./DON=gZAON=80°,NOCF=g/OCQ=35。

/MOE=/DON=W

：.ZCOE=ZMOE-^MOC=10°

...40EF=4OCF+NCOE=350+10°=45°

故答案为：45.

(3)不变，理由如下：

如图，当0A<a<20■时,

CF平分/OCQ

ZOCF=ZQCF

设NOCF=ZQCF=x

则N0CQ=2x

•「MNWPQ

ZM0C=Z0CQ=2x

••­ZAON=360°-90°-(1800-2x)=90°+2x,0。平分NAON

ZDON=45"+x

ZMOE=ADON=45°+x

NCO£=NMOE-NMOC=45°+x-2x=45°~x

ZOEF=NCOE+ZOCF=45°~x+x=45°

D

当a=20°时，。。与08共线，则NOCQ=90°,由CF平分N0CQ知，NOEF=45

当20°<a<90。时,如图

,/CF平分NOCQ

ZOCF=NQCF

设NOCF=ZQCF=x

则N0CQ=2x

•/A4/VIIPQ

ZA/OC=1800-ZOCQ=180°~2x

,/ZAON=90'+(1802x)=270°—2x,ODAON

/.ZAOE=135°~x

ZCOE=900-ZA0E=9Q°-(1350-x)=x-45°

ZOEF=ZOCF-ACOE=x-(x-45°)=45°

综上所述，/EOF的度数不变.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，角的和差关系，注意分类讨论，

引入适当的量便于运算简便.

14.（1）见解析：（2）NCGA=45。：（3）NFCP=2NACP或

ZFCP+2ZACP=180°.

【分析】

（1）有垂直定义可得NMAB+NKCN=90。，然后根据同角的余角相等可得

ZKAN=ZK

解析：（1）见解析：（2）NCG4=45°；（3）ZFCP=2AACPfigzFCP+2ZACP=180°.

【分析】

（1）有垂直定义可得NMA8+NKC/V=90。，然后根据同住的余角相等可得NKA心NKCF,从

而判断两直线平行；

（2）设NK4心NKCF=a,过点G作GHIIEF,结合角平分线的定义和平行线的判定及性质

求解；

（3）分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解.

【详解】

解：（1）VAB±AK

/.ZBAC=90°

/.ZMAB+^KAN=90°

ZMAB+ZKCF=9Q°

ZKAN"KCF

：.EFWMN

（2）设/KAN=Z.KCF=a

则/BAN=NBAC+Z.KAN=9Q°+a

ZKCB=1800-NKCF=180°-a

•「AG平分NNAB,CG平分/ECK

NGAN=』ZB4/V=45°4-ya,N«G=；NKCB=90°—ya

ZFCG=ZKCG+AKCF=90°+

过点G作GHIIEF

/.ZHGC=Z.FCG=90°+；Q

又〈MNWEF

/.MNWGH

：.ZHGA=Z.64/7=45。+；a

/.ZCGA=AHGC-Z.HGA=（90。+为）一（45。+l）=45°

22

ZCT4+Z7XC+ZACP=180°

/.ZCTA+ZQAB+ZBAC+^ACP=180°

又♦「NCT4=60°.N8AC-90。

ZQAB+ZACP=30°

由(1)可得：EFWMN

：./FCA=/MAC

•/ZFCP=ZFCA+ZACP

/.ZFCP=ZMAC+ZACP

ZMAC=ZMAQ+Z.QAB+Z.BAC,ZMAQ=2ZQAB

ZMAC=3NQAB+90°=3(30°-ZACP)+90°=l80°-3Z4CP

/FCP=180°-37ACP-/ACP

即NFCP+2ZACP=18Q°

②当CP交射线AQ的反向延长线于点T,延长BA交CP于点G

ZFCP=ZFCA-ZACP,由EFIIMN得NM4C=N/C4

•••ZFCP=ZMAC-ZACP

又N7XG=NQA8,ZMC4-ZC4G=180°,ZBAC=90°

/.ZC4G=180o-ZA4C=90°

ZC4T=ZCAG-^TAG=90°-NQAB

•「ZG47'+ZC7X+z64CP=180o,ZC7>l=60o

ZC4T+ZACP=120°

90°-ZQAB+ZACP=120°

ZeAB=ZACP-30°

由①可得NM4C=3ZQAB+90°

ZA^4C=3(Z4CP-30°)+90°=3ZACP

ZFCP=ZMAC-ZACP=3ZACP-ZACP=2ZACP

综上，NFCP-2NACP或NFCP+24ACP-1800.

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关

键.

15.(1)①②；(2)；(3)不变，，理由见解析；(4)

【分析】

(1)①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行

线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出：

(2)由角平分线的

解析：(1)①116。，②CBN：(2)58°；(3)不变，ZAPB:ZADB=2:\,理由见解析;

(4)29°.

【分析】

(1)①由平行线的性质,两直线平行,同旁内角互补可直接求出;②由平行线的性质,

两直线平行，内错角相等可直接写出：

(2)由角平分线的定义可以证明NCBD=g/ABN,即可求出结果：

(3)不变，ZAPB：ZADB=2：1,证NAPB=NPBN,ZPBN=2ZDBN,即可推出结论;

(4)可先证明NABC=NDBN,由(1)ZABN=116°,可推出NCBD=58°,所以

ZABC+ZDBN=58°,则可求出NABC的度数.

【详解】

解：⑴①•「AM〃BN,ZA=64\

/.ZABN=1800-ZA=116°,

故答案为：116°；

②:AM//BN,

/.ZACB=ZCBN,

故答案为：CBN：

(2),/AM//BN,

/.ZABN+ZA=180°,

ZABN=180°-64°=116°,

/.ZABP+ZPBN=116°,

TBC平分NABP,BD平分/PBN,

AZABP=2ZCBP,ZPBN=2ZDBP,

2ZCBP+2ZDBP=116°,

ZCBD=ZCBP+ZDBP=58°；

(3)不变，

ZAPB：ZADB=2：1,

,/AM//BN,

/.ZAPB=ZPBN,ZADB=ZDBN,

•「BD平分NPBN,

NPBN=2ZDBN,

/.ZAPB：ZADB=2：1；

(4),/AM//BN,

ZACB=ZCBN,

当NACB=ZABD时，

则有/CBN=ZABD,

ZABC+ZCBD=ZCBD+ZDBN

/.ZABC=ZDBN,

由(1)ZABN=116V,

ZCBD=58°,

ZABC+ZDBN=58°,

ZABC=29°,

故答案为：29。.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关健是能熟练运用平行线的性质并能

灵活运用角平分线的定义等.

四、解答题

16.(1)①115。；110°；②；理由见解析；(2)；理由见解析

【分析】

(1)①若NBAOIOOIZC=30°,由三角形内角和定理求出NB=50。,由平行

线的性质得出NEDB=ZC=30°,由

解析：(1)①115。；11C。；②乙4产。=90。+3/8；理由见解析；(2)

ZAFD=90°-^ZB；理由见解析

【分析】

(1)①若NBAC=100。，ZC=30°,由三角形内角和定理求出NB=50。，由平行线的性质得

出NEDB=NC=30。，由角平分线定义得出/R4G=L/3AC=50。，ZFDG=-ZEDB=15°,由

22

三角形的外角性质得出NDGF=100。，再由三角形的外角，生质即可得出结果；若NB=40。，则

ZBAC+ZC=180o-40°=140,,,由角平分线定义得出N84G=，/FDG'/EDB,由

22

三角形的外角性质即可得出结果；

②由①得：zEDB=ZC,ZBAG=-ZBAC=50°,ZFDG=-ZEDB=\5°,由三角形的外角

22

性质得出NDGF=ZB+NBAG,再由三角形的外角性质即可得出结论；

(2)由(1)得：ZEDB=ZC,ZBAG=-ZBAC,=1/七。8=1/。,由三角形的外

222

角性质和三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】

(1)①若/BAC=100°,ZC=30°,

则NB=180o-100o-300=50%

,/DEIIAC,

ZEDB=ZC=30°,

♦AG平分NBAC,DF平分NEDB,

/.ZBAG=-ZBAC=50°,ZFDG=-4EDB=15°,

22

ZDGF=ZB+ZBAG=50o+50o=100°,

ZAFD=ZDGF+ZFDG=130°+15°=115°；

若NB=40°,则/BAC+ZC=180o-40°=140°,

••AG平分/BAC,DF平分NEDB,

NBAG=L/BAC,ZFDG==NEDB,

22

ZDGF=ZB+ZBAG,

...ZAFD=ZDGF+ZFDG=ZB+ZBAG+ZFDG

=/8+g(N8AC+/C)

=40°+-xl400

2

=4004-700=110°

故答案为：115。；1