人教版七年级数学下册期末解答题复习及答案

人教版七年级数学下册期末解答题复习及答案

一、解答题

1.已知在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.

（1）计算图①中正方形A8CD的面积与边长.

（2）利用图②中的正方形网格，作出面积为8的正方形，并在此基础上建立适当的数

轴，在数轴上表示实数决和-应.

①②

2.工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工科上裁剪出一块面积为24平方分

米的长方形的工件.

（1）求正方形工料的边长；

（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3,问这块正方形工料是否满足需要？（参考数

据：\/2«1.414,5/3%1.732）

3.张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长

方形纸片，使它的长宽之比为3：2.他不知能否裁得出来，正在发愁.李明见了说：“别

发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.〃你同意李明的说法吗？张华能

用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

4.如图，在3x3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位.请解决

下面的问题.

（1）阴影正方形的面积是?（可利用割补法求面积）

（2）阴影正方形的边长是?

（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由.

5.小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为

20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了

说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片."你同意小明的说法吗?

你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?为什么？

二、解答题

（1）若N1的度数为“，试求/2的度数（用含。的代数式表示）；

（2）如图②，再将纸片沿对折，使得C。落在。Q'的位置.

①若EF”C'G,N1的度数为〃，试求N3的度数（用含。的代数式表示）；

②若3/_LCG,N3的度数比N1的度数大20。，试计算N1的度数.

7.（1）（问题）如图1,若AB//CD,ZAEP=40°,ZPFD=130°.求NEP尸的度数；

（2）（问题迁移）如图2,A8〃C。，点P在48的上方，问4PFC,NEP尸之恒1

有何数量关系？请说明理由；

（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知NEW=a,NPE4的平分线和

8.综合与探究

（问题情境）

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动

（1）如图1,EFHMN,点A、6分别为直线石尸、MN上的一点，点。为平行线间一点,

请直接写出NPA尸、NPBN和NA/%之间的数量关系：

图

1图2

备用图备用图

(问题迁移)

(2)如图2.射线OW与射线OV交干点O,直线〃?//〃,有线机分别交。“、ON干点、A、

D,直线〃分别交。例、ON于点、B、C,点尸在射线。以上运动，

①当点尸在A、B(不与A、B重合)两点之间运动时，设NAOP=Na,

NBCP=NQ.则NCPD,Na,〃之间有何数量关系？请说明理由.

②若点尸不在线段A8上溶动时(点尸与点A、B、。三点都不重合)，请你画出满足条

件的所有图形并直接写出NCPD，Na,N尸之间的数量关系.

9.已知：A8IICD,截线MN分别交A8、CD于点、M、N.

(1)如图①，点8在线段MN上，设NEBM=a°,/D/VM=。。，且满足Jq-30+(p-

60)2=0,求/BEM的度数；

(2)如图②，在(1)的条件下，射线OF平分且交线段8E的延长线于点F；请

写出NOEF与/CDF之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图③，当点P在射线N7■上运动时，NDCP与N8M7■的平分线交于点Q,则NQ与

/CPM的比值为(直接写出答案).

图①图②图③

10.已知AM〃。/V,点8为平面内一点，A8_L8C于心

(1)如图1,求证：ZA+ZC=90°；

(2)如图2,过点4作3D_LM4的延长线于点。，求证：Z4BD=ZC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，点E、尸在上，连接跖、BF、CF,且8万平分

NDBC,BE平分ZABD,若NAFC=NBCF,4BFC=34DBE,求NE8C的度数.

三、解答题

11.如图1,由线段A3,CM,C。组成的图形像英文字母加，称为“M形84MCZT.

(1)如图1,M形8AMe。中，若AB〃CQ,NA+NC=50。，则NM=：

(2)如图2,连接M形5AMe。中用。两点，若N3+NO=150o,NAMC=a,试探求44

与NC的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，且AC的延长线与80的延长线有交点，当点M在线段

BO的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出44与NC所有可能的数量关系.

12.阅读下面材料：

小颖遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB"CD,E为AB,CD之间一点,连接

BE,DE,/B=35°,ND=37。，求/BE。的度数.

A---------------yB

H《…-万

C---------------

图甲

她是这样做的：

过点E作EF//48,

则有NBEF=NB,

因为A4//CD,

所以律//CD①

所以N在笛=/£>,

所以NBEF+/FED=NB+ZD,

即ZBED=;

1.小颖求得N8ED的度数为_；

2.上述思路中的①的理由是；

3.请你参考她的思考问题的方法，解决问题：

已知：直线〃/他点A8在直线。上，点C,。在直线人上，连接ADBC8E平分乙4BCDE

平分NAOC,且BE,DE所在的直线交于点E.

(1)如图1，当点3在点A的左侧时，若NA3C=a,乙4。。=〃，则N8E。的度数

为：(用含有。，力的式子表示).

BA

图1

(2)如图2,当点8在点A的右侧时，设NA8C=a,4OC=力，直接写出N8ED的度数

(用含有d〃的式子表示).

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.

(1)如图1,EFIIMN,点48分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请

直接写出NPAF、ZPBN和/APB之间的数量关系；

(问题迁移)

(2)如图2,射线0M与射线ON交于点。，直线mil〃，直线m分别交OM、ON于点

A、D,直线〃分别交OM、ON于点8、C,点P在射线0M上运动.

①当点P在4、B(不与A、8重合)两点之间运动时，设NAOP=Na,N8CP=N。.则

NCPD,Na,N0之间有何数量关系？请说明理由；

②若点P不在线段48上运动时(点P与点48、。三点都不重合)，请你画出满足条件

的所有图形并直接写出/CPD，Za,之间的数量关系.

14.如图，直线PQHMN、一副三角板(NA3C=NCOE=90。，ZAC«=30°,

/£AC=60。,NDCE=/DEC=45°)按如图①放置，其中点E在直线上，点及C均在直线

MN上,且CE平分ZACN.

EEQ

OQ

图①图②图③

(1)求/DE。的度数.

(2)如图②，若将三角形A8C绕8点以每秒5。的速度按逆时针方向旋转(4。的对应点

分别为EG).设旋转时间为/秒(0W36).

①在旋转过程中，若边BGHCD,求，的值；

②若在三角形ABC绕B点旋转的同时，三角形CDE绕E点以每秒4。的速度按顺时针方向

旋转(CD的对应点分别为从K).请宜接写出当边皮7///7K时f的值.

15.如图1,D是△ABC延长线上的一点，CE//AB.

(1)求证：ZACD=ZA+ZB；

如图九过点A作RC的平行线交CF于点H.CF平分/FCD,FA平分/HAD,若

ZBAD=70°,求NF的度数.

(3)如图3,AH//BD,G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分/QGD交AH于R,QN

16.在8c中，射线4G平分/8AC交8c于点G,点D在8c边上运动(不与点G重

合)，过点。作DEIIAC交48于点E.

(1)如图1,点D在线段CG上运动时，DF平分NEDB

①若/BAC=100°,ZC=30°,则NAFD=；若NB=40°,则NAFD=；

②试探究/AFD与NB之间的数最关系？请说明理由；

(2)点D在线段BG上运动时,ZBDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究

NAFD与/B之间的数量关系，并说明理由

17.（生活常识）

射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相

等.如图1,M/V是平面镜，若入射光线4。与水平镜面夹角为N1,反射光线0B与水平镜

面夹角为N2,则N1=N2.

（现象解释）

如图2,有两块平面镜OM,ON,且0Ml.ON,入射光线48经过两次反射，得到反射光线

C。.求证48IICD.

（尝试探究）

如图3,有两块平面镜OM,ON,且NMON=55。，入射光线八8经过两次反射，得到反射

光线CD,光线AB与CD相交于点E,求N8EC的大小.

（深入思考）

如图4,有两块平面镜OM,ON,且NMON=a,入射光线48经过两次反射，得到反射光

线CD,光线人8与。。所在的直线相交于点E,/8EO=6,a与6之间满足的等量关系

是.（直接写出结果）

18.如图1,CE平分乙4a）,4石平分/8AC,ZE4C+ZACE=90

（1）请判断与8的位置关系并说明理由；

（2）如图2,当/E=90且与。。的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使

ZMCE=ZECD,当直角顶点E点移动时，问的石与/MCO否存在确定的数显关系？并

说明理由.

（3）如图3,P为线段AC上一定点，点。为直线CO上一动点且48与CO的位置关系保持

不变，①当点。在射线C。上运动时（点。除外），NCPQ+NCQP与/8AC有何数量关

系？猜想结论并说明理由.②当点。在射线。。的反向延长线上运动时（点。除外），

NCPQ+NCQP与N8AC有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由.

ZA8C与NACB的角平分线交于。点.

(1)若4=40。，则NMC=。；

(2)若44=/产，则N/欢;=°；

(3)若4=〃。，N43C与44cB的角平分线交于。点，/48。的平分线与NACO的三分

线交于点。一,/O汕,8。的平分线与NOzomCE的平分线交于点。刈7,则/。刈7=

20.【问题探究】如图1,DFIICE,ZPCE=Za,ZPDF=Z0,猜想NDPC与a、B之间有

何数量关系？并说明理由；

【问题迁移】

如图2,DFIICE,点P在三角板AB边上滑动,ZPCE=Za,ZPDF=Zp.

(1)当点P在E、F两点之间运动时，如果a=30。，P=40°,则NDPC=

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出/DPC

与a、。之间的数量关系，并说明理由.

（图1）（图2）

【参考答窠】

一、解答题

1.<1）正方形的面枳为10，正方形的边长为：（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直侑三角形的面积即正求出正方形的面积，然后根据算术

平方根的意义即可求出边长；

（2）根据（1）的方法画

解析：（1）正方形A8CZ）的面积为10,正方形A8CO的边长为加；（2）见解析

【分析】

（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形A8CO的面积，然后根

据算术平方根的意义即可求出边长：

（2）根据（1）的方法画出图形，然后建立数轴，根据驿术平方根的意义即可表示出结

论.

【详解】

解：（1）正方形A8CO的面积为4x4—4xgx3xl=：L0

则正方形A8C。的边长为历；

（2）如下图所示，正方形的面积为4x4—4xgx2x2=8,所以该正方形即为所求，如图建立

数轴，以数轴的原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，分别交数轴于两点

・•.正方形的边长为血

・•・弧与数轴的左边交点为-次，右边交点为我，实数次和在数轴上如图所示.

【点睛】

此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴，掌握算术平方根的意义和利用数轴表示

无理数是解题关键.

2.（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求

出长方形的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（

解析：（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出A的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出“，求出长方形

的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（1）正方形工料的边长为A=6分米；

（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3a分米.

则4。-3。=24,

解得：a=>/2♦

・••长为4〃45.656<6,宽为3aH4.242<6.

满足要求.

【点睛】

本题主要考杳了算术平方根及实数大小比较，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问

题.

3.不同意，理由见解析.

【详解】

试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则

3x>2x=300,x2=50,解得x=，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘

米，由于

解析：不同意，理由见解析.

【详解】

试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x・2x=300,

x2=50,解得x=5&，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于15五>20,

所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方

厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2.

试题解析；解：不同意李明的说法.设长方形纸片的长为3x（x>0）cm,则宽为2xcm,

依题意得:3x*2x=300,6x2=300,x2=50,；x>0,后屈=5上，..•长方形纸片的长为

1572cm,50>49,7.5夜>7,15近>21,即长方形纸片的长大于20cm,由正方形

纸片的面积为400cm2,可知其边长为20cm,••.长方形纸片的长大于正方形纸片的边长.

答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

点睛：本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0

的算术平方根为。.也考查了估算无理数的大小.

4.（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析

【分析】

（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；

（2）根据实数的性质即可求解；

（3）根据实数的估算即可求解.

【详解】

（1）阴影正方形的

解析：（1）5；（2）75;（3）2与3两个整数之间，见解析

【分析】

（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；

（2）根据实数的性质即可求解;

（3）根据实数的估算即可求解.

【详解】

（1）阴影正方形的面积是3x3-4x；x2xl=5

故答案为：5；

（2）设阴影正方形的边长为X,则>2=5

Ax=75（一百舍去）

故答案为：逐；

（3）口〈非<也

2<75<3

.•.阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间.

【点睛】

本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法.通过观察可知阴

影部分的面积是5个小正方形的面积和.会利用估算的方法比较无理数的大小.

5.不同意，理由见解析

【分析】

先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为，长为，然后依据矩形的面积为20

列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断.

【详解】

解：不同意，

因为正方形的面积为，

解析：不同意，理由见解析

【分析】

先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为工，长为2x,然后依据矩形的面积为20列方

程求得x的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断.

【详解】

解；不同意，

因为正方形的面积为36cnf,故边长为6cm

设长方形宽为x,则长为2x

长方形面积=x-2x=2x2=20

f=10,

解得x=J历(负值舍去)

长为2x/15cm>6cm

即长方形的长大于正方形的边长，

所以不能裁出符合要求的长方形纸片

【点睛】

本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键.

二、解答题

6.(1)；(2)①；②

【分析】

⑴由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，Z2=ZBFE,再根据平角的定义

求解即可；

(2)①由(1)知，，根据平行线的性质得到，再由折叠的性质及平角的定义

解析：(1)90。-；。；(2)①45。+为；050°

【分析】

⑴由平行线的性质得到N4=NZT/C=a,由折叠的性质可知，N2=NBFE,再根据平角的

定义求解即可；

（2）①由（1）知，/8叫=90。-为，根据平行线的性质得到NBFE=NCGB=90。-9,

再由折叠的性质及平角的定义求解即可；

②由（1）知，NBFE=/七/由'=90。一；/1,由8/_LC'G可知：

ZB-FC+ZFGC'=90°,再根据条件和折叠的性质得到

ZB'FC+ZFGC'=Z1+140°-2Z1=90°,即可求解.

【详解】

解：（1）如图，由题意可知4E//8/,

Nl=N4=a,

,/AD//BC,

ZA-Z.B'FC=a»

N3"B'=180°-a,

(2)①由题(1)可知N8FE=90。—go,

1.,EF/CG,

ZBFE=NCG3=90。」a,

2

再由折叠可知：

Z3+ZHGC=1800-NCGB=180°一(9()。一ga)=90。+；o,

②由4/_LCG可知：NB，FC+NFGC,=90°,

由(1)知/引茁=90。」/1,

2

.・./&FC=180。—2/BFE=180。—2卜0°—；N1)=N1,

又N3的度数比N1的度数大20。，

Z3=Z1+2O°,

/.Z.FGC=180°-2Z3=180o-2(Zl+20o)=140°-2Z1,

/.ZBFC+4FGC'=Zl+140°-2ZI=90°,

Zl=50°.

【点睛】

此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等"、

“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键.

7.(1)90°；(2)ZPFC=ZPEA+ZP：(3)ZG=a

【分析】

(1)根据平行线的性质与判定可求解；

(2)过P点作PNIIAB,则PNIICD,可得NFPN=ZPEA+ZFPE,进而可得/PF

解析：(1)90°；(2)4PFC=NPEA+NP；(3)ZG=^a

【分析】

(1)根据平行线的性质与判定可求解；

(2)过P点作PA/IIAB,则PNIICD,可得NFPN=NPEA+Z.FPE,进而可得

ZPFC=ZPEA+ZFPE,即可求解；

(3)令A8与PF交点为。，连接EF,根据三角形的内角和定理可得NGEF+NGFE=

g4PEA+g/PFC+4OEF+4OFE,由(2)得NPEA=NPFC-a,由/OFE+/OEF=180°-

ZFOE=180°-ZPFC可求解.

【详解】

解：(1)如图1.过点P作PMH48.

/.Z1=ZAEP.

又NA£P=40°,

/.Z1=40°.

1/ABWCD,

PMIICD,

/.Z2+ZPFD=180°.

,/ZPFD=130°,

Z2=180°-130°=50°.

...Z1+Z2=400+50o=90°.

即NEPF=90°.

(2)ZPFC=ZPEA+NP.

理由：过P点作PNII28,则PNIICD,

AB

E

C~~F口

图2

/.ZPEA=ANPE.

,/ZFPN=ANPE+4FPE,

ZFPN=^PEA+乙FPE,

,/PNWCD,

：.ZFPN=NPFC,

ZPFC=NPEA+Z.FPE,即/PFC=APEA+NP；

(3)令AB与PF交点、为0,连接£F,如图3.

图3

在^GFE中，ZG=180°-(ZGFE+NGEF),

,/ZGEF=；ZPE4+NOEF,Z6FE=；ZPFC+NOFE,

...ZGEF必GFE=^Z.PEA+^APFC+NOEF+NOFE,

...由(2)知NPFC=NPEA+NP,

/.ZPEA=ZPFC-a,

ZOFE+ZOEF=1800-ZFOE=1800-ZPFC,

/.ZGEF+zGFE=y(ZPFC-a)+yZPFC+180°-ZPFC=180°-；a,

ZG=1800-UGEF+NGFE)=180°-180°+^a=^a.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质与判定，员活运用平行线的性质与判定是解题的关键.

8.(1)；(2)①，理由见解析；②图见解析，或

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论

解析：(1)ZPAF+APBN+ZAPB=360°；(2)①4CPD=4a+4/3,理由见解析;

②图见解析，NCPD=—4a或4CPD=4a—40

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过P作PE//A。交CD于七，由平行线的性质，得到Na=NDPE,Z/?=ZCPE,

即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在84延长线时；当户在80之间时；与①

同理，利用平行线的性质，即可求出答案.

【详解】

图1

/EF//MN,

/.EF//MN//PQ,

ZPAF+ZAPQ=180°,APBN+NBPQ=180°,

ZAPB=/APQ+/BPQ

：.ZPAF+ZPI3N+ZAPB=360°；

(2)①NCTO=Na+4?；

理由如下：如图，

过P作依双4。交CO于E,

•/AD//BC,

AD//PE//BC,

4a=/DPE,“=/CPE,

：.NCPD=/DPE+NCPE=Na+N0；

②当点P在区4延长线时，如备用图1：

备用图1

,/PEWADW8C,

NEPC=0,ZEPD=a,

：.NCTO="-Na；

当尸在8。之间时，如备用图2：

备用图2

PEWADWBC,

ZEPD=a,zCPE=0,

ZCPD=Za-Z/y.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行

内错角相等，从而得到角为关系.

9.(1)30°；(2)NDEF+2NCDF=150°,理由见解析；(3)

【分析】

(1)由非负性可求a,0的值，由平行线的性质和外角性质可求解；

(2)过点E作直线EHIIAB,由角平分线的性质和平行

解析：(1)30°；(2)ZDEF+2ZCDF=150°,理由见解析；(3)；

【分析】

(1)由非负性可求a,B的值，由平行线的性质和外角性质可求解；

(2)过点E作直线EHIIA8,由角平分线的性质和平行线的性质可求/。£尸=180。・30°・

2*。=150。-2x。，由角的数量可求解；

(3)由平行线的性质和外角性质可求/PM8=2NQ+NPC。，4cpM=24Q,即可求解.

【详解】

解：(1);Va-30+(P-60)2=0,

a=30,。=60,

,•1ABWCD,

：.ZAMN=4MND=60°,

,/ZAMN=Z.B+ZBEM=60a,

/.ZBEM=60°-30°=30°：

(2)ZOEF+2NCDF=150°.

理由如下：过点E作直线EHII48,

图2

DF平分/CDE,

：.设NCDF=ZEDF=x°；

1/EHIIAB,

：.ZDEH=Z.EDC=2x0,

：.ZDEF=180°-30°-2x°=150°-2x°；

ZDEF=1500-2ZCDF,

即/DEF+2Z.CDF=150°；

(3)如图3,设MQ与CD交于点£,

...MQ平分/BMTtQC平分/DCP,

：.ZBMT=2Z.PMQtZDCP=2Z.DCQ,

,/ABWCD,

：.ZBME=NMFC,ZBMP=/PND,

,/ZMEC=/Q+ZDCQ,

2ZMEC=2NQ+2ZDCQ,

/.ZPMB=2NQ+ZPCD,

'：ZP/VD=ZPCD+ZCPM=NPMB,

ZCPM=2NQ,

NQ与NCPM的比值为

故答案为：-j-.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键.

10.（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【分析】

（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；

（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可;

（3）设NDBE二a,则NBFC=3

解析：(1)见解析；(2)见解析：(3)ZEBC=105°.

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NC=N6ZM,然后结合ABJ.4C即可证明；

(2)过B作BH//DM,先说明ZA3Z)=NC3"，然后再说明8H//NC得到NC8”=NC,

最后运用等量代换解答即可；

(3)设3。阵a,则38FC=3a,根据角平分线的定义可得N48D=NC=2a,

ZFBC=；，DBC=a+45°,根据三角形内角和可得/8FC+NFBC+NBCF=180°,可得

NAFC=ZBCF的度数表达式，再根据平行的性质可得/AFC+NNCF=180”,代入即可算出a

的度数，进而完成解答.

【详解】

(1)证明：•「AM//CN,

/.4C=4BDA,

•「A8_L3C于8,

/.ZB=90°,

ZA+ZBDA=90°,

/.ZA+ZC=90°；

(2)证明：过B作BH//DM,

BDVMA,

ZABD+ZABH=90°,

又•••AB±BC,

：.ZABH+NCBH=琳,

：.ZABD=/CBH,

•「BH//DM,AM//CN

/.BH//NC,

/.ZCBH=ZC,

ZABD=ZC；

(3)设NO8£=a,则N8FC=3a,

••18E平分NABD,

ZABD=Z.C=2a,

又;AB1.BC,BF平分NDBC,

N08C=N48。+/48c=2。+90,即：/FBC=；ND8C=a+45°

乂N8FC+NF8C+NBCF=180°,即：3a+o+45°+ZBCF=180°

Z8CF=135°-4a,

/.ZAFC=4BCF=135°-4a,

又AM//CN,

NAFC+NNCF=18CT,即：Z4FC+Z8C/V+ZBCF=180u,

135°-4a+135°-4o+2a=180,解得。=15°,

...ZABE=1S°,

ZEBC=ZABE+AZ\BC=15o+90o=105o.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角

平分线的性质是解答本题的关键.

三、解答题

11.（1）50°；（2）ZA+ZC=30°+a,理由见解析；（3）NA-NDCM=3（T+a或

30°-a

【分析】

（1）过M作MNIIAB,由平行线的性质即可求得NM的值.

（2）延长BA,DC交于E,

解析：（1）50°；（2）N4+/C=30°+a,理由见解析：（3）/4/DCM=30°+a或30”

【分析】

（1）过M作M/VII48,由平行线的性质即可求得NM的值.

（2）延长84DC交于邑应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题.

（3）分两种情形分别求解即可；

【详解】

解：（1）过M作MNII48,

V

BD

图1

,/ABWCD,

ABWMNWCD,

/.Z1=ZA,Z2=ZC,

/.ZAMC=Z.1+Z2=ZA+ZC=50°；

故答案为：50°：

(2)Z4+ZC=300+a,

延长84OC交于£,

EA9•

图2

*/Z8+Z0=150°,

/.ZE=30°,

ZBAM+N0cM=360°-(ZEAM+AECM)=360°-(360°-/£-ZM)=30°+a；

即NA+NC=3(T+a：

延长BA.DC使之相交于点E,延长MC与BA的延长线用交于点F,

,/ZB+ZD=150°,ZAMC=af/.ZE=30°

由三角形的内外角之间的关系得：

Z1=30°+/2

Z2=Z3+a

Zl=30<,+Z3+a

/1-Z3=ao0+a

即：ZA-Z.C=3Q°+a.

②如图所示，210-ZA=(180°-ZDCM)+a,即N4/DCM=30°-a.

A

【点睛】

本题考查了平行线的性质.解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线川48,利用平行

线的性质(两直线平行内借角相等)将所求的角NM与已知角NA、NC的数量关系联系起

来，从而求得NM的度数.

12.;2.平行于同一条直线的两条直线平行；3.(1)：(2).

【分析】

1、根据角度和计算得到答案；

2、根据平行线的推论解答；

3、(1)根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；

(2)根据B

解析：1.72；2.平行于同一条直线的两条直线平行；3.(1)；。+?夕；(2)

【分析】

1、根据角度和计算得到答案：

2、根据平行线的推论解答；

3、(1)根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；

(2)根据8E平分/48COE平分乙4OC,求出=过点£作

22

EFWAB,根据平行线的性质求出/8EF=1a,ZDEF=180°-ZCDE=180°-^/?,再利用

22

周角求出答案.

【详解】

1、过点£作痔〃4氏

则有NBW=N8,

因为A8//CR

所以£尸//8.①

所以NFED=ND,

所以Z.BEF4-NFED=NB+/D,

即NBED=72；

故答案为：72；

2、过点E作E”〃A8,

则有/8石/=/区，

因为A8//CD,

所以EFIICD（平行于同一条直线的两条直线平行），

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；

3、（1）•一平分ZABC.DE平分Z.ADC,

AABE=-ZABC=-ctyZCDE=-ZADC="/?,

2222

过点E作EFWA8,由1可得NBED=ABEF+AFED=ZABE+ZCDE,

…11c

..ZBED=QC（+,

故答案为：；a+g/7；

(2)VBE平分^ABC,DE平分NADC

...ZABE=-ZABC=-ct,ZCDE=-ZADC=-/3,

2222

过点E作EFWAB则NABE=NBEF=-a,

t2

I,1AB//CD,

：.EFWCD,

ZCDE+ZDEF=180°,

ZDEF=180°-ZCDE=180°-^,

Z1BED=3600-ZLDEF-Z1BEF=360°-(1800-1//)-=180-+；夕.

B

DCb

图2

【点睛】

此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，平行线的推

论，正确引出辅助线是解题的关键.

13.(1)NPAF+NPBN+NAPB=360°；(2)①，见解析；②或

【分析】

(1)作PCIIEF,如图1,由PCIIEF,EFIIMN得到PCIIMN,根据平行线的性

质得NPAF+NAPC=180°,Z

解析：(1)NPAF+NP8N+/AP8=360°；(2)①NCPD=Na+“,见解析；

②=或=

【分析】

(1)作PCIIEF,如图1,由PCIIEF,EFIIMN得到PCIIMN,根据平行线的性质得N%F

+ZAPC=180°,ZP8N+/CPB=180°,即有/PAF+z.PBN+NAPB=360°；

(2)①过P作PEII4?交O/V于E,根据平行线的性质，可得到NEPD=Na,

ZCPE=Z/?,于是NCPO=Na+N/?；

②分两种情况：当P在。8之间时：当P在。人的延长线.上时，仿照①的方法即可解答.

【详解】

解：(1)N%F+/P8N+NAP8=360°,理由如下：

图1

PCIIEF,EFWMN,

/.PCIIMN,

：.ZP4F+ZAPC=180°,ZPBN+NCPB=180°,

ZPAF+ZAPC+ZP8/V+NCPB=360°,

ZPAF+ZPBN+N4P8=360°；

(2)①/CPD=/a+4、

理由如下：如答图，过P作P£ll交。N于£,

,/ADWBC,

PEWBC,

Z.EPD=Na,4CPE=4,

NCTO=Na+N4

,：ADWBC,

PEWBC,

../EPD=Na,/CPE=",

：.4CPD=4a-乙0；

当P在。人的延长线上时，NCPD=N”/a,理由如下：

如备用图2,过P作PEIIAD交ON于E,

,/ADWBC,

/.PtIIBC,

；./EPD=/a,4CPE=“,

NCPD=40-4a、

综上所述，NCPD,Na,/0之间的数量关系是/。?。=/尸一/二或/60=/。一//.

【点睛】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.难点

是分类讨论作平行辅助线.

14.(1)60°；(2)①6s；②s或s

【分析】

(1)利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题.

(2)①首先证明NGBC=NDCN=30。，由此构建方程即可解决问题.

②分两种情形：如图③中，当

解析：(1)60°；(2)①6s；②或—s

33

【分析】

(1)利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题.

(2)①首先证明NG8CN007=30。，由此构建方程即可解决问题.

②分两种情形：如图③口，当8GIIHK时，延长交MN于R.根据NGB心NKR/V构建

方程即可解决问题.如图③-1中，当8GIIHK时，延长/7K交MN于R.根据

ZG8N+/KRM=1800构建方程即可解决问题.

【详解】

解：(1)如图①中,

图①

,/ZACB=30°,

/.ZAC/V=1800-ZAC8=150’，

7CE平分/ACN,

ZECN=^ACN=75°t

PQIIMN,

：.ZQEC+NECN=180°,

：.ZQEC=180°-75°=105°,

/.ZD£Q=ZQfC-ZCFD=105°-45o=60°.

（2）①如图②中，

图②

,/BGIICD,

ZG8C=NDCN,

'：ZDC/V=ZECN-NfCD=75o-45o=30°,

/.ZG8C=30°,

/.5t=30,

t=6s.

了.在旋转过程中，若边8GlicD,t的值为65.

图®

8GliKR,

/.ZGBN=4KRN,

•：ZQEK=60°+43ZK=NQEK+/KRN,

/.ZKRN=90°-(60°+4t)=30°-4t,

5t=30°-4t,

10

t=—s.

'：8GliKR,

ZG8A/+NKRM=180°,

,/ZQ£K=600+43ZEKR=£PEK+2KRM,

：.ZKRM=90°-(180°-60°-4t)=4t-30。，

/.5t+4t-30°=180°,

70

/.t=—s.

3

综上所述，满足条件的t的值为号5或与S.

【点睛】

本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解

题的关健是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问

题，属于中考压轴题.

15.(1)证明见解析；(2)NF=55°；(3)NMQN=NACB；理由见解析.

【分析】

(1)首先根据平行线的性质得出NACE=/A,ZECD=ZB,然后通过等量代

换即可得出答案；

(2)首先根据角

解析：(1)证明见解析；(2)ZF=55°；(3)/MQN=^NACB；理由见解析.

【分析】

(1)首先根据平行线的性质得出NACE=NA,ZECD=ZB,然后通过等量代换即可得出

答案；

(2)首先根据角平分线的定义得出NFCD=g/ECD,ZHAF=yZHAD,进而得出NF=

!(ZHAD+ZECD),然后根据平行线的性质得出NHAD+NECD的度数，进而可得出答

案；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义得出NQGR=g/QG。，/NQG=；AAQG、

NMQG+NQGR=18()。，再通过等量代换即可得出NMQN=g/ACB.

【详解】

解：(1)VCE//AB,

ZACE=ZA,ZECD=ZB,

•「ZACD=ZACE+ZECD,

ZACD=ZA+ZB；

(2)VCF平分NECD,FA平分NHAD,

ZFCD=yZECD,ZHAF=yZHAD,

NF=；NHAD+；NECD=；(ZHAD+ZECD),

,/CH//AB,

/.ZECD=ZB,

,/AH//BC,

/.ZB+ZHAB=180°,

•「ZBAD=70°,

/.Zfi+Z/M£>=110°,

NF=；(ZB+ZHAD)=55°；

(3)ZMQN=^ZACB,理由如下：

•.•GA平分/QGD,

NQGR=；NQGD.

•.GN平分乙4QG,

...NNQG=；NAQG.

QM//GR,

.•.NMQG+NQGR=180。.

ZMQN=/MQG-ZNQG

=180°-ZQGR-ZNQG

=180°-(ZAQG+ZQGD)

=180°-g(180°-ZCQG+1800-ZQGC)

=g(ZCQG+ZQGC)

=yZACB.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解

题的关键.

四、解答题

16.(1)①115。；110°；②；理由见解析；(2)；理由见解析

【分析】

(1)①若NBAC=1OO。，ZC=30\由三角形内角和定理求出NB=5O。，由平行

线的性质得出NEDB=ZC=30°,由

解析：(1)①115。；11C。；②N4FQ=90o+g/8：理由见解析；(2)

Z4FD=90°--ZB；理由见解析

2

【分析】

(1)①若NBAC=100。，ZC=30°,由三角形内角和定理求出NB=50。，由平行线的性质得

出NEDB=NC=30。，由角平分线定义得出/BAG=L/8AC=50。，NFDG」NEDB=15°,由

22

三角形的外角性质得出NDGF=100。，再由三角形的外角性质即可得出结果；若NB=40。，则

ZBAC+ZC=180°-40o=140°,由角平分线定义得出/BAG=，NFDG，/EDB,由

22

三角形的外角性质即可得出结果；

②由①得：zEDB=ZC,ZBAG=-ZBAC=50°,ZFDG=-ZEDB=\5°t由三角形的外角

22

性质得出NDGF=ZB+NBAG,再由三角形的外角性质即可得出结论；

(2)由(1)得：NEDB=/C,^BAG=-ZBAC,=由三角形的外

222

角性质和三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】

(1)①若NBAC=100°,ZC=30°,

则NB=180o-100°-30°=50o,

DEIIAC,

/.ZEDB=ZC=30°,

AG平分/BAC,DF平分NEDB,

/.ZBAG=-ZfiAC=50°,NFDG=L/EDB=15。,

22

/.ZDGF=ZB+ZBAG=50o+50o=100°,

ZAFD=ZDGF+ZFDG=130o+150=115<>：

若NB=40°,则NBAC+ZC=180o-40°=140°,

•「AG平分NBAC,DF平分NEDB,

/.ABAG=-/BAC,/FDG=-/F.DR,

22

,/ZDGF=ZB+ZBAG,

ZAFD=ZDGF+ZFDG=ZB+ZBAG+ZFDG

=ZB+1(ZBAC+ZC)

=40°+-xl400

2

=400+70o=110°

故答案为：11S°：110。：

@ZAFD=90°+1zB；

理由如下：由①得：ZEDB=ZC,N84G=g/BAC,"DG=；NEDB,

'：ZDGF=ZB+ZBAG,

ZAFD=ZDGF+ZFDG

=ZB+ZBAG+ZFDG

=ZB+^(ZBAC