人教版七年级数学下册同步练习专题01平行线间的拐点问题(原卷版+解析)

专题01平行线间的拐点问题

类型一：“猪蹄”模型

类型二：“铅笔”模型

类型三：“鹰嘴”模型

平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。

一.选择题

I.（2023•新城区校级一模）如图，直线〃?〃〃，含有45°角的三角板的直角顶点。在直线机上，点A在直

线〃上，若Nl=20°,则N2的度数为（）

2.（2023•海南）如图，直线加〃小△A8C是直角三角形，NB=90°,点C在直线〃上.若Nl=50°,

A.60°B.50°C.45°D,40°

3.（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线GEJ_E尸于点E.若/£7力=32°,则/BGE的度数

是（）

4.（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知48〃CQ,BE,OE分别平分N48尸和NC。立且交于点E,则

()

A.NE=NFB.ZE+ZF=180°

C.2Z£+ZF=360°D.2ZE-ZF=180°

5.（2022秋♦榆树市期末）如图，AB//CD,则图中Nl、N2、/3关系一定成立的是（）

A.Zl+Z2+Z3=180°B.Nl+N2+N3=360°

C.Z1+Z3=2Z2D.N1+N3=N2

6.（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放.若Nl=120°,则

C.140°D.150°

二.填空题

7.（2023•江油市开学）如图，AB//CD,P为AB,C。之间的一点，已知N2=28°,ZBPC=58°,则/

1=

8.（2023秋•南岗区校级期中）如图,已知DE//BC,ZABC=\05°，点尸在射线84上，且/EDF=125°,

则NO尸8的度数为.

9.（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学

校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动.图1是一位同学跳

绳时的一个瞬间.数学老师把它抽象成图2的数学问题：已

知AB//CD,/EAB=7（）°,ZECD=105°,则NAEC

图1

10.（2022秋•雅安期末）如图，AB//CD,NOCE的角平分线CG的反向延长线和NABE的角平分线8厂交

11.（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB//CD,NA8G的平分线与NCDE的平分线交于点M,Z

W=45°,NF=64°,ZE=66°,则NG=°.

三.解答题

12.（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ,点A、8为分别在直线MN、PQ上，点。为平面内一点,

连接4C、BC,且NC=/NAC+/C8Q.

（1）求证：MN//PQ：

（2）如图2,射线AE、8D分别平分NMAC和NC8Q,AE交直线PQ于点E,B。与/NAC内部的一条

图1图2

小明的思路是：如图2,过。作通过平行线性质，可得乙4PC=500+60°=110°.

问题迁移：

（1）如图3,AO〃8C,点P在射线OM上运动，当点P在4、B两点之间运动时，NAQP=Na,ZBCP

=Zp.4CPD、/a、N0之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、4两点外侧运动时（点。与点A、B、。三点不重合），请你直

接写出NCP。、Na、N0间的数量关系.

15.（2023春•鼎城区期末）已知有线点。为首1线A*U。所确定的平面内的一点.

问题提出：（1）如图1,ZA=120°,NC=130°,求NAPC的度数；

问题迁移：（2）如图2,写出/APC,NA,NC之间的数量关系，并说明理由；

问题应用：（3）如图3,点E在射线84上，过点E作EF〃/作/PEG=NPEF,点G在直线CO上,

作N8EG的平分线E”交PC于点“，若N4PC=20°,N周8=150°,求/PE/7的度数.

16.（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB//CD,直线£户分别交CD于点、G,〃，点。为直线

以上的点，连接AHCF.

（1）如图【，点P在线段G“上时，请你直接写出N8八P,/DCP,/APC的数量关系；

（2）如图2,点P在”G的延长线上时，连接CP交A8于点。，连接”Q,AC,若NACP+NPHQ=N

CQH,求证：AC//EF,

（3）在（2）的条件下，如图3,CK平分NACP,GK平分/AGP,GK与CK交点、K,连接AK,若N

PQH=4ZPCK+2ZPHQ,NCKG=NCHQ,NAKC+N必。=159°,求NBAC的大小.

17.（2023秋•道里区校级期中）已知：直线A8与直线C。内部有一个点P,连接BP.

（1）如图1,当点E在直线CZ）上，连接PE,若NB+NPEC=/P,求证：AB//CD：

（2）如图2,当点£在直线A3与直线。。的内部，点〃在直线。。上，连接若NABP+NPEH=

NP+NEHD,求证：AB//CD,

（3）如图3,在（2）的条件下，BG、EF分别是N48P、NPE”的角平分线，8G和E/相交于点G,

E/和直线A8相交于点R

图1

18.（2023秋•南岗区校级期中）已知，过NEC77内一点4作A/）〃/EC交CT于点。，作4B〃/C/交CE于

点B,

(1)如图1,求证：ZABE=ZADF；

(2)如图2,射线BM,射线DN分别平分NA8七和求证：

(3)如图3,在(2)的条件下，点G,。在线段。户上，连接AG,AQ,AC,AQ与DN交于点H,反

向延KAQ交8M于点P,如果/GAC=NGC4,AQ平分/G4。，ZQAC=50°,求/M阴+NPQr的

度数.

19.(2023秋•南岗区校级期中)已知,射线/G分别交射线48、DC于点F、G,点E为射线FG上一点.

(1)如图1,若NA+ND=NAEO,求证：AB//CD.

（2）如图2,若AB"CD,求证：ZA-ZD=ZAED.

⑶如图3,在⑵的条件下，9交4于点I,交AE于点K,/ED1=S/CDE,NBAj=

-ZEAh

44

ZZ=ZAED=25°,求NEK。的度数.

图3

20.（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：

如图①，AB//CD，点、E是AB,CZ）内部一点，连按8E,DE.若N/I8E—40°,上。。£一60°,求/BED

的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整:

解：过点E作后厂〃人8

；・NABE=NBEF()；

*：EF//AB,AB//CD(已知)；

：.EF//CD()；

:・/CDE=()()；

又,：NBED=NBEF+/DEF()；

AZBED=ZABE+ZCDE()；

•・・NA5E=40°,ZCDE=600(已知)；

A^BED=ZABE+ZCDE=\00°(等量代换)；

【问题迁移工

①②③

如图③，AB//CD,射线OM与直线A8,C。分别交于点A,C,射线ON与直线48,C。分别交于点B,

D，点。在射线ON上运动，连接AP,CP,设N84〃=a,ZDCP=p.

(1)如图③，当点、P在8,。两点之间运动时(点P不与点B,。重合)，写出a,和NAPC之间满足

的数量关系，并说明理由；

(2)当点P在B,。两点外侧运动时(点P不与点、B,。重合)，请画出图形，并直接写出a,(3和/

APC之间满足的数量关系.

专题01平行线间的拐点问题

类型一：“猪蹄”模型

类型二：“铅笔”模型

类型三：“鹰嘴”模型

平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。

一.选择题

I.（2023•新城区校级一模）如图，直线〃?〃〃，含有45°角的三角板的直角顶点。在直线机上，点A在直

线"上，若/1=20°,则N2的度数为（）

A

A.15°B.25°C.35°D.45°

【分析】过B作BK〃机，推出8K〃小由平行线的性质得到NO3K=/l=20°,/2=NA8K,求出/

AI3K=ZABO-ZO13K=25a,即可得到N2=25°.

【解答】解:过8作〃机，

■:in//n,

：,BK//n,

・・・NOBK=NI=20°,N2=NABK,

•.•NA6O=45°,

/.ZABK=ZABO-ZOBK=450-20°=25°,

：,Z2=ZABK=25°.

故选：B.

A

2.（2023•海南）如图，直线〃7〃“△ABC是直角三角形，NB=90°,点C在直线〃上.若Nl=50°,

则N2的度数是（)

A

A.60°B.50°C.45°D.40°

【分析】根据平行线的性质可以得到N1=N8Z）C,然后直角三角形的性质，即可求得N2的度数.

【解答】解：延长A4交直线〃于点。,

•，〃〃〃，Zl=50°,

/.Zl=ZBDC=50°,

「NA3c=90°，

・・・NCBO=90°,

AZ2=90°-NBDC=90°-50°=40°,

故选：D.

3.（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB〃C。，GE1EF于点、E.若NEFD=32°,则/8GE的度数

是（）

A.62°B.58°C.52°D.48°

【分析】过点£作48的平行线〃/,利用平行线的性质即可求解.

【解答】解：过点E作直线小〃A&

VAB//CD,AB//HLNEFD=32°,

：.CD//H1,

：・NHEF=NEFD=32°,

•••GEJ_E产于点E,

AZGEF=90°,

:・NGEH=NGEF・NHEF=90°-32°=58°,

'：AB"Hl,

，NBGE=NGE”=58°.

故选:B.

4.(2022秋•杜尔伯特县期末)如图，已知A8〃CO,BE,。七分别平分NAB"和/CO”，且交于点£,则

()

A./E=NFB.ZE+ZF=180°

C.2ZE+ZF=360°D.2ZE-ZF=180°

【分析】过点E作EM//AB,利用平行线的性质可证得NBEO=2(NABF+NCDF),可以得到/BE。

2

与NBF。的关系.

【解答】解：过点E作EM〃48,如图：

VAB//CD,EM//AB

：.CD//EM,

/.NABE=NBEM,ZCDE=NDEM,

VZABF的平分线与NCZ)厂的平分线相交于点E,

/.ZABE=^-ZABF,ZCDE=—ZCDF,

22

・•・ZBED=NBEM+NDEM=I(NABF+NCDF),

2

VZA8F+ZBFD+ZCDF=360°,

/.ZABF+ZCDF=360a-ZBFD,

・・・NBED=2(360°-/BFD),

2

整理得：2NBED+NBFD=360”.

故选：c.

5.（2022秋•榆树市期末）如图，AB//CD,则图中N1、/2、/3关系一定成立的是（）

A.Zl+Z2+Z3=180°B.Zl+Z2+Z3=360°

C.Z1+Z3=2Z2D.Z1+Z3=Z2

【分析】首先过点£作£尸〃48,由A8〃C。，可得EF//A8〃C。，然后根据两直线平行，内错角相等,

即可求得NAE尸=N1,ZC£F=Z3,继而可得N1+N3=N2.

【解答】解：过点E作石/〃/48,

'：ABIICD,

：,EF//AB//CD.

AZAEF=Z\,ZCEF=43,

VZ2=ZAEF+ZCEF=Z1+Z3.

故选：D.

6.（2023秋•湖北月考）将含有3（）。角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放.若N1=I2O。，则

C.140°D.150°

【分析】过人作八8〃八，得到八8〃/2，推出/3—/1一120°,N2-N8AC,即可求出/2—N3+N4-

300+120°=150°.

【解答】解：过4作A8〃/i,

V

••・N3=Nl=120°,Z2=ZBAC,

・・・N2=N3+N4=30°+120°=150°.

故选：D.

1

A

h

B

A

二.填空题

7.（2023•江油市开学）如图，AB//CD,P为AB,C。之间的一点，已知/2=28°,ZBPC=58°,则/

1=30°

【分析】过。作PQ〃A4,得到夕。〃CO,推出NCPQ=N2=28°,NBPQ=Nl,求出N8PQ=/4PC

-NC尸Q=30°,即可得到N1的度数..

【解答】解：过P作PQ〃A8,

•:AB"CD、

・•・PQ//CD,

，NCPQ=N2=28°,ZBPQ=Z1,

•：NBPQ=NBPC-NCPQ=58°-28°=30°,

AZ1=30°.

故答案为：30°.

8.（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知。E〃BC,NA8C=105°,点尸在射线BA上，且NEQF=125°,

则ND网的度数为20°

BC

【分析】过”作「M〃。区推出〃水?，得至ljNA3C+NMF3=180°,ZD+ZA/FD=180°,求出/

M尸8=75。，ZMFD=55°,即可得到N。"8=/MF8-NM/7)=20°.

【解答】解：过/作FM//DE,

*：DE//BC,

:.FM〃BC,

・・・N48C+NMF8=18(r,ZD+ZMFD=180°,

VZABC=\05°,ZEDF=}25°,

:・NMFB=75°,ZMFD=550,

NDFB=NMFB-ZA/FD=20°.

故答案为：20°.

At

FV--------乂

\\DE

BC

9.（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动.图

I是一位同学跳绳时的一个瞬间.数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知A8〃C。，ZEAB=7O°,

【分析】过E作E/〃A8,则E/〃A8〃C。，利用平行线的性质求得NFE4=110°,ZFEC=15°,进

而可求解.

【解答】解：过七作七/〃AB,

B

\'AB//CD,

：.EF//AB//CD,

.\ZEAB+ZFE4=I8O°，NECQ+N产EC=180°,

VZEAB=10°,Z£CD=105°,

，NFEA=110°,ZFEC=75°,

：・NAEC=NFEA-NFEC=35°,

故答案为：35°.

10.(2022秋•雅安期末)如图，A8〃CO,NOCE的角平分线CG的反向延长线和/ABE的角平分线B尸交

【分析】过尸作尸”〃A从依据平行线的性质，可设乙AB卜=NE8F=a=NOCG=N«CG=B

=/CFH,根据四边形内角和以及NE・NF=60°,即可得到N£的度数.

【解答】解：如图，过尸作刊/〃A8,

■:AB//CD,

：,FH//AB//CD,

•・・/OCE的角平分线CG的反向延长线和N48E的角平分线8r交于点F,

；・可设/48产=ZEBF=a=NBFH,4DCG=NECG=B=ZCFH,

r.ZFCF=1800・0,/BFC=NBFH-/CFH=a・B，

；・四边形6FCE中，ZE+Z13FC=3600-a-(1800-0)=180°-(a-p)=1800-ZBFC,

即NE+2N8尸C=I8O°,①

又・・・NE-NB尸C=60°,

:.NBFC=NE-60",②

・•・由①②可得，NE+2(NE-60°)=180°,

解得NE=100°,

11.（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB//CD,NA8G的平分线与NCDE的平分线交于点M,Z

W=45°,ZF=64°，ZE=66°,则NG=88°

【分析】过点G,F、E、”分别作FQ//AB,EP//AB,MN//AB,根据平行线的传递性得出

AB//CD//GH//FQ//EP//MN,再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解：

【解答】解：过点G、F、石、M分别作G”〃44,FQ//AB,EP//AB.MN//AB,

：.AB//CD//GH//FQ//EP〃MN,

:./BNN=/1,ZNMD=Z4,

*/BM平分NA8G,MO平分NCDE,

••-Z1=Z2=4ZBHN»/3=/4蒋/皿

VZBMD=45°,

r.2Zl+2Z3=90°,

AZ5=2Z1,Z10=2Z3,Z6=Z7,Z8=Z9,

AZGFE=Z7+Z8=Z6+Z9=64°,

ZFED=Z9+Z£>=Z9+2Z3=66°,

A2Z3-Z6=2°,

A2Z1+Z6=9O°-2°=88°,

・・・N8G尸=N5+N6=2N1+N6=88°.

故答案为：88°.

三.解答题

12.（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ,点A、B为分别在直线MN、PQ上，点。为平面内一点,

连接4C、BC,且NC=NN4C+NC8Q.

（1）求证：MN//PQ,

（2）如图2,射线从£、〃。分别平分N/WAC和NC伙2,4?交直线〃。于点£,4。与NNAC内部的一条

射线AO交于点。，若NC=2/D,求NEA。的度数.

【分析】（1）过C作CS〃MM由已知可以得到PQ〃CS,从而得到MN〃PQ：

（2）连接。C并延长交于点八由已知可以得到/D4C=2NN4C,再由NE4O=N丛C+NC4Q及

2

平角的意义可以得到解答.

【解答】（1）证明：过C作CS〃MM如图,

；・ZNAC=ZACS,

•・•ZACB=NACS+NBCS=/NAC+NCBQ,

：.ZBCS=ZCBQ,

・•・PQ//CS,

:・MN〃PQ；

（2）解.：如图，连接。。并延长交A£于点F,则:

ZACF=ZDAC+ZADC,NBCF=NDBC+NBDC,

：.NACB=ZDAC+ZDBC+ZADB=2ZADB,

/.ZADB=/DAC+/DBC,

：.2ZADB=2ZDAC+2ZDBC=2ZDAC+ZQBC,

又4ACB=NNAC+NCBQ=2NADB.

：・4NAC+/CBQ=24DAC+/QBC,即NNAC=2NOAC,

AZZ)AC=—ZA64C,

2

・•・ZEAD=ZEAC+ZCAD

=—^MAC+—ZNAC

22

="(NMAC+NM4C)

2

=90°.

13.(2022秋•莘县期末)综合与实践

如图，已知/W〃CQ,现将一直角三角形PMN放入图中，其中NP=9()°,PM交AB于点、E,PN交CD

于点F.

(2)当所放位置如图②所示时，求证：ZPFD-ZAEM=9G°；

(3)在(2)的条件下，若MN与CQ交于点。，且NQON=15°,ZPEB=30°,求NN的度数.

【分析】(I)作尸〃〃/W,根据平行线的性质得到N4EM=NHPM,4PFD=ZHPN,根据NMPN=9()°

解答；

(2)根据平行线的性质得到NPFQ+N8〃N=18O°,根据/尸=90°解答：

(3)根据平行线的性质、对顶角相等计算.

【解答】解：(1)如图①，作PH〃AB,

①

,:AB〃CD,PH//AB,

：.PH//CD,

/.NPFD=N1HPN,

•：NMPN=90”,

.•・NPFD+NAEM=90°,

故答案为：NPFO+NAEM=90°；

(2)猜想：ZPFD-ZAEM^O0；

理由如下：如图②，

②

,CAB//CD,

:・NPFD+/BHN=180°,

：NBHN=NPHE,

；・NPFD+/PHE=180°,

VZP=90°,

：・NPHE+NPEB=90°,

•；NPEB=NAEM,

：.ZPHE+ZAEM=90°,

工NP/；D-NAEM=9()°:

(3)如图②，VZP=90°,NPEB=15：

/.ZPHE=ZP-ZPEB=90°-15°=75°,

:・/BHF=NPHE=15°,

'：AB//CD.

；・NDFH+NBHF=180°,

：.ZDFH=180a-ZBHF=\05°,

ZOFN=ZDFH=1050,

■:NDON=2C,

/.ZW=180°-乙DON—乙OFN=55".

14.(2022秋•洛宁县期末)问题情境：如图1,AB//CD,ZPAB=\30°,ZPCD=120°.求NAPC度数.

小明的思路是：如图2,过P作通过平行线性质，可得NAPC=50°+60°=110°.

问题迁移：

(1)如图3,AO〃8C,点P在射线OM上运动，当点尸在A、8两点之间运动时，ZADP=Za,ZBCP

=Zp.NCPD、Na、N0之间有何数量关系？请说明理由；

(2)在(1)的条件下，如果点P在4、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直

接写出NCP。、Na、N0间的数量关系.

【分析】（1）过P作PE〃人。交CD于£推出/1O〃PE〃4C,根据平行线的性质得出/a=NOPE,N

B=NCPE,即可得出答案；

（2）化成图形，根据平行线的性质得出Na=/QPE,Z^=ZCPE,即可得出答案.

【解答】（1）解：ZCPD=Za+Zp,

：.AD//PE//BC,

：.Za=ZlDPE,ZP=ZCPE,

；・ZCPD=ZDPE+ZCPE=Za+Zp：

(2)当尸在孙延长线时，

ZCPD=Zp-Na；

当P在AB延长线时,

A

B

/a\

VID7C£M

/图5

ZCPD=Za-Zp.

15.（2023春•鼎城区期末）已知直线A3〃CD,点产为直线A3,CD所确定的平面内的一点.

问题提出：（1）如图1,NA=120°,ZC=130°,求NAPC的度数；

问题迁移：（2）如图2,写出NAPC,NA,NC之间的数量关系，并说明理由；

问题应用：（3）如图3,点E在射线84上，过点E作E尸〃尸C,作NPEG=NPEF,点G在直线CO上,

作NBEG的平分线EH交PC于点H,若N4PC=20°,NM8=I5（）°,求NPE”的度数.

【分析】（1）首先过点P作尸Q〃人以则易得人8〃QQ〃CZ）,然后由两直线平行，同旁内角互补，即可

求得NA尸。=60°,ZCPQ=50°,最后可以求出N4PC=110°；

（2）作PQ〃A3,易得A3〃PQ〃CQ,根据两直线平行，内错角相等，即可证得NAPC=乙4-NC：

（3）由（2）知，Z.APC=ZPAB-ZPCD,先证N8EP=NQQ8=110°、ZPEG=—ZFEG,NGEH

2

=—ZBEG,根据/P"/=NPEG-NGEH可得答案.

2

【解答】解：（1）NA+NC+NAPC=360°

如图1所示，过点P作PQ//AB,

图1

...NA+N4PQ=180°,

VZA=120°,

・・・NAPQ=1800-ZA=180°-120°=60°,

'：AB//CD,

：,PQ//CD,

：.ZC+ZCPQ=m)9,

VZC=130°,

・・・/CPQ=1800-ZC=180°-130°=50°,

AZAPC=ZAPQ+ZCPQ=6^+50°=110°；

(2)ZAPC=ZA-ZC,理由如下：

如图2,PQ//AB,

图2

；・ZA=ZAPQ,

•：AB//CD,

C.PQ//CD,

・・・NC=NCPQ,

•・•ZAPC=ZAPQ-NCPQ,

・・・/4PC=NA-ZC；

(3)由(2)知，ZAPC=ZPAB-ZPCD,

VZAPC=20°,N%6=150‘，

AZPCD=130°,

\'AB//CD,

：,ZPQB=ZPCD=\30°,

EF//PC,

；・NBEF=NPQB=130°,

♦：/PEG=/PEF,

:・NPEG=Z/FEG,

2

■:EH平令NBEG,

：.ZGEH=-ZBEG,

2

，ZPEH=ZPEG-ZGEH

=—ZFEG~—ZBEG

22

=—ZBEF

2

=65°.

16.（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，A8〃CD,直线所分别交AB,CD于点、G,”，点P为直线

EF上的点、,连接/IP,CP.

（1）如图1,点。在线段G"上时，请你直接写出N3AP,/DCP,NAPC的数量关系；

（2）如图2,点尸在“G的延长线上时，连接CP交人8于点Q,连接〃Q,AC,若NACP+NP"Q=N

CQH,求证：AC//EF；

（3）在（2）的条件下，如图3,CK平分NACP,GK平分/AGP,GK与CK交点、K,连接4K,若N

PQH=4NPCK+2NPHQ,NCKG=NCHQ,ZAKC+ZKAC=\59Q,求N4AC的大小.

【分析】（1）过P作/W〃4B,根据平行线的传递性得出/W〃CD,再根据两直线平行，内错角相等即

可解答；

（2）过点Q作QN〃AC,证出NP〃Q=N2,根据平行线的造递性即可证明；

（3）根据三角形内角和即可算出N1=21°,再根据角平分线定义以及已知条件即可得出/尸Q〃=4N2+2

Z5=84°+2N5,结合（2）即不解出N5=18°,过K作KM〃AC,证出NCKG=N1+N3=21°+N3,

根据平行线性质得出NEG4-N£〃C,即可得N3-N5°+21°—18°+21°—3。°,即可求解；

【解答】解：（1）过尸作

：,ZBAP=Z\,

*：AB//CD,

:・PN〃CD,

••・NOCP=N2,

・•・NAPC=Zl+Z2=NBAP+NDCP；

(2)过点Q作QN〃4C,

ZACP+ZPHQ=ZCQH,

N1+N2=NCQH,

：・4PHQ=N2,

：.QN//EF,

：.AC//EF；

(3)：CK平分N4CP,GK平分NAGP,

r.Zl=Z2,Z3=Z4,

Z1AKC+ZKAC=159°,

•・•/】=180°-159°=21°,

；・NPQH=4NPCK+2N/¥/Q=4N2+2N5=840+2/5,

由(2)知NACP+NPHQ=NCQH,

即42°+Z5=180°-ZPQH,

：.180°-42°-N5=840+2/5,

.,.Z5=18°,

过K作KM//AC,

M

CD

*：AC//EF,

：.KM//AC//EF,

：.ZCKM=Z\,NGKM=N3.

・・・NCKG=/1+N3=21°+Z3.

VAB//CD,NCKG=NCHQ,

；・NEGA=NEHC,

即2/3=N5+NC〃Q=N5+NCKG=Z5+Z3+21

AZ3=Z50+21°=180+21'=39°,

t：AC//EF,

・・・N8AC=NEGA=2N3=78°.

17.(2023秋•道里区校级期中)已知：直线48与直线C。内部有一个点P,连接8P.

(I)如图I,当点石在直线CO上，连接PE,若NB+NPEC=NP,求证：AB//CD.

(2)如图2,当点E在直线4B与直线CD的内部，点H在直线CO上，连接EH,若/ABP+NPEH=

NP+/EHD,求证：AB//CD,

(3)如图3,在(2)的条件下，BG、七尸分别是NA8P、NPE”的角平分线，8G和E尸相交于点G,

E厂和直线相交于点F,

【分析】(1)过点P作PF〃抽，推出NPEC=/EPF,进而得PF//CD,根据平行公理的推论即可得证;

(2)分别过点P和点E作PF〃A8,EM//CD,推出NP£M=/FPE,进而得PF〃£M,根据平行公理

的推论即可得证;

(3)过点石作EN//AB,根据(1)(2)的思、路证NFEN+NNEH=NBFE+NEHD,设NEHD=a,NPBG

=0,PEG=y，则N8R7=a+10°,结合角平分线的定义及［2)的条件得20+2丫=90°+a,接着分别用

含a的式子代替0和Y，代入邛+2丫=90°+a求出a的值即可.

【解答】解：(1)证明：过点P作「尸〃49,

图1

:"B=4BPF,

*/ZB+ZPEC=ZBPE=ZBPF+ZEPF,

/PEC=NEPF,

：.PF//CD,

:.ABaCD；

（2）证明：如图2,分别过点。和点£作PF〃/W,EM//CD,

CHD

图2

/./ABP=NBPF,NMEH=NEHD,

•・•ZABP+ZPEH=ZP+ZEHD,即/ABP+/PEM+/MEH=ZBPF+ZFPE+ZEHD,

；・/PEM=ZFPE,

・•・PF//EM,

:.EM"AB,

：.AB//CD；

（3）如图3,过点E作回V〃/法,

图3

由（2）得AB〃CD,

：,EN//CD,

4BFE=/FEN,4NEH=/EHD,

；・ZFEH=ZFEN+ZNEH=ZBFE+ZEHD,

设NEHD=a,NP8G=B，PF.G=y,则/8HG=a+10°,

<BG、EF分别是N48P、NPE”的角平分线，

AZABP=2P，ZPEH=2y,

■:BPIPE,

・・・NP=90°,

由（2）得NABP+NPEH=NP+NEHD,

A2p+2Y=900+a,

：NFEH=NFEN+NNEH=NBFE+NEHD,

/.y=a+10°+a=2a+10°,

VZBGE=36°,ZFGB=180°-(/BFG+/FBG),ZFGB=180°-ZBGE,

工NBFG+NFBG=NBGE=36°,

Aa+100+0=36°,

AP=26O-a,

A2(26°-a)+2(2a+10°)=90°+a,

・・・a=18°.

18.(2023秋•南岗区校级期中)已知，过NEC尸内一点A作AZ)〃/EC交C尸于点。，作AB〃/C/交CE于

点、B.

(I)如图I,求证：ZABE=^ADFx

(2)如图2,射线BM,射线DN分别平分NABE和NAOF,求证：BM〃DN；

(3)如图3,在(2)的条件下，点G,Q在线段。尸上，连接AG,AQ,AC,AQ与DN交于点H,反

向延长AQ交4M于点P,如果NG4C=NGC4,AQ平分/G4。，NQAC=5()°,求NMB4+NPQ/的

度数.

图1图2图3

【分析】(1)由平行线的性质得出/A=N48E,ZA=ZADF,即可得出结论;

(2)过点A作AG平分N3AD,由角平分线定义得出ND4G=N/MG=2N/MQ,ZABM=—ZABE,

22

NADN=L/ADF,证出N4HM=NOAG=N8AG=NAQM得出4M〃AG,DN//AG,即可得出结论；

2

(3)设NG4Q=/Q4O=x,则NO4C=50°-x,ZG4C=50°+x=/GC4,得出NB/W=100°,Z

B4Q=100°+%,由平行线的性质得出NB4C=NGC4=50°+%,求出/8A尸=180°-NB4Q=80°-x,

过点尸作过点Q作Q/〃AC,由平行线的性质得出NMP〃=NA8M=50°,ZHPA=ZPAB

=80°-x,NQAC=N/Q八=50°,NFQJ=NFCA=500+x,求出/MP"+N，M=500+8°

-x=130°-x,NPQF=N/Q4+NFQ/=50°+50°+x=IOO3+x,即可得出答案.

【解答】(1)证明：・・・4O〃EC,AB//CF,

：.ZA=ZA13E,ZA=ZADF,

/.ZABE=ZADF；

（2）证明：过点A作4G平分N84Q,如图2所示:

则^DAG=ZBAG=—^BAD,

2

•・•射线BM,射线DN分别平分/48E和NAOF,

/.ZABM=—ZABE,ZADN=^ZADF,

22

丁/ABE=NADF=/BAD,

：.NABM=ZDAG=NBAG=4ADN,

:,BM〃AG,DN//AG,

:,BM〃DN：

(3)解：TAQ平分NGA。，

：.ZGAQ=ZQAD,

设NGAQ=/QAO=%,则NOAC=50°・x,NGAC=50°+x=ZGCA,

.•・NBAO=1()0°,

・・・NB4Q=1000+x,

,:AB〃CF,

：.ZBAC=ZGCA=5()°+x,

•・・NB4P+NB4Q=180°,

••・NBAP=1800-NR4Q=80°-x,

过点P作PH〃AB,过点。作Q/〃AC,如图3所示：

*：AD//EC,

：,^BAD=ZABE=\00°,ZABM=—ZABE=50°,

：,ZMPH=ZABM=50°,ZHPA=ZPAB=S0°-x,ZQAC=ZIQA=50°,ZF0/=ZFC4=500+x,

/.ZMM=ZMPH+ZHPA=50°+80°-x=130°-x,NPQF=N/QA+/rQ/=500+50°+x=1000+x,

：.ZMPA+ZPQF=\2>0Q-x+100°+x=230°.

\/\G/

EBC

图2

19.（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线R7分别交射线48、DC于点F、G,点月为射线/G上一点.

(I)如图1,若NA+N3=NAEQ,求证：AB//CD.

(2)如图2,若A8〃CQ,求证：ZA-ZD=ZAED.

（3）如图3,在（2）的条件下，/力交A/于点I,交AE于点K,ZED/=—ZCDE,ZBAi=-ZEAh

44

图1图2图3

【分析】（1）过点£作EH//AB,证明NA=NAM,再根据已知条件证明/。=NOER从而证明EF

//CD,最后根据平行公理的推论证明结论即可；

（2）先根据平行线的性质证明NA=NE〃G,再根据外角性质证明NA=ND+NAEO,通过变换得出结

论即可：

（3）设从£与。。交于点〃，ZEAI=x,把NZM/和NE44都用x表示出来，然后根据已知条件，找出

角与角之间的关系，最后得出/CHE=NCOE+/4EO,列出关于x的方程，求出x,最后根据NEKO=

N4K/=180°-ZEAI-ZZ,求出答案即可.

【解答】（1）证明：如图所示：过点£作E/7//A8,

工乙4=乙4七凡

*/NA+NQ=ZAED,ZAED=ZAEF+ZDEF,

:,ND=NDEF,

：.EF//CD,

：.AB//CD,

(2)证明：*：AB//CD,

：./A=NEHG,

'：ZEHG=ZD+ZAED,

，ZA=ZD+ZAED,

：.乙A-ND=ZAED；

(3)解：设AE与CD交于点、H,ZEA/=x,则/84/=卷乂，ZEAB=x+^x=^-x«

7

：.ZEHC=^EAB=­,

4X

VZ/=^AED=25°,NEKI=NEAI+/I=NEDI+NAED,

：.x+25°=NEDI+25°,

NEDI=x,

3

VZE/)/=—ZCDF,

4

・・・/CD/=JNED得