人教版中学七年级数学下册期末解答题压轴题附答案

人教版中学七年级数学下册期末解答题压轴题附答案

一、解答题

1.如图，用两个面积为8cm?的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形.

（1）大正方形的边长是cm；

（2）请你探究是否能将此大正方形纸片沿着边的方向裁出一个面积为14cm?的长方形纸

片，使它的长宽之比为2:1,若能，求出这个长方形纸片的长和宽，若不能，请说明理

由.

2.工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工科上裁剪出一块面积为24平方分

米的长方形的工件.

（1）求正方形工料的边长：

（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3,问这块正方形工料是否满足需要？（参考数

据：＞/2as1.414,5/3SS1.732）

3.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长

方形纸片.

⑴请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；

⑵若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽

设计一种裁剪方案，若不能，请简要说明理由.

4.如图，在3x3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位.请解决

下面的问题.

（1）阴影正方形的面积是?（可利用割补法求面积）

（2）阴影正方形的边长是?

（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由.

5.求下图4x4的方格中阴影部分正方形面积与边长.

二、解答题

6.已知直线48〃CD,点P、Q分别在48、CD±,如图所示，射线P8按逆时针方向以每

秒12。的速度旋转至以便立即回转，并不断往返旋转；射线ac按逆时针方向每秒3。旋转

至QD停止，此时射线P8也停止旋转.

(1)若射线P8、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，P8,与QC*的位置关系为；

(2)若射线QC先转15秒，射线P8才开始转动，当射线P8旋转的时间为多少秒时，

PB'//QC.

■A

D(备用图)~~QC

p

R4

0・.°・.

(各用图)Q(各用图)Q

7.已知，4811c。，点E在8上，点G,F在48上，点H在48,C。之间，连接FE,

EH,HG,ZAGH=Z.FED,FE±HE,垂足为E.

(1)如图1,求证：HG±HE；

(2)如图2,GM平分NHG8,EM平分NHE。，GM,EM交于点M,求证：ZGHE=

(3)如图3,在(2)的条件下，FK平分NAFE交CD于点K,若，KFE：ZMGH=13：5,

8.如图，已知直线”〃2,点48在直线4上，点C、力在直线4上，点C在点力的右侧,

/4QC=80。,48c=(2〃)。,跖平分乙48CDE平分直线BE、DE交于点、E.

B

(1)若〃=20时，则N8ED=:

(2)试求出的度数(用含〃的代数式表示)：

(3)将线段AC向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出N8E。的度

数.(用含〃的代数式表示)

9.已知，ABWCD.点M在48上，点N在8上.

(1)如图1中，ZBME.NE、NEN。的数量关系为：；(不需要证明)

如图2中，ZBMF.NF、NFND的数量关系为：：(不需要证明)

(2)如图3中，NE平分1FND,M8平分NFME,且2/E+/F=180。，求NFME的度

数；

(3)如图4中，ZBME=60°,EF平分NMEN,NP平分NEND,且EQII/VP,则NFEQ的大

小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出NFEQ的度数.

10.已知，AB//CD.点加在A8上，点N在。。上.

(1)如图1中，NBME、NE、NEND的数量关系为：：(不需要证明)；如图2

中，/BMF、4F、/冷。的数量关系为：：(不需要证明)

(2)如图3中，NE平分/FND,MB平分/FME,且2NE+N/=180,求NRWE的度

(3)如图4中，/AM忖=60,EF平令/MEN.NP平分4END,且EO//A",则/在。

图1

图2图3

①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b,使直线b经过点P,且6/a,要求俣留

折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果.无需写画法：

②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的一线.

（2）已知，如图3,ABHCD,8E平分448C,CF平分N8CO.求证：BE//CF（写出每

步的依据）.

14.已知射线射线CD,P为一动点，AE平分NRV?,CE平分NPCD,且4E与CE

相交于点£.（注意：此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答）

图1图2图3

（1）在图1中，当点P运动到线段4c上时，ZAPC=180°.直接写出NAEC的度数；

（2）当点P运动到图2的位置时，猜想NAEC与4PC之间的关系，并加以说明；

（3）当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由：若

不成立，请写出乙4EC与NA/C■之间的关系，并加以证明.

15.已知ABIICD,点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之

间，NAMP=NPQN=a,PQ平分NMPN.

（1）如图①，求NMPQ的度数（用含a的式子表示）；

（2）如图②，过点Q作QEIIPN交PM的延长线于点E,过E作EF平分/PEQ交PQ于点

F.请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN,若NE平分NPNQ,请你判断NNEF与NAMP

的数量关系，并说明理由.

BE

M

R

D

图①图②

四、解答题

16.解读某础：

（1）图1形似燕尾，我们称之为"燕尾形”，请写出乙4、听NC、/£＞之间的关系，并

说明理由；

（2）图2形似8字，我们称之为〃八字形"，请写出4、DB、NC、N。之间的关系，并

说明理由：

应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题

（3）①如图3,在AABC中，BD、CO分别平分N48。和ZACA,请直接写出乙4和N。

的关系一；

②如图4,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=.

（4）如图5,N8AC与NBOC的角平分线相交于点尸，NGDC与NC4产的角平分线相交

于点E,已知”=26。，NC=54。，求/厂和/石的度数.

17.如图所示，已知射线C8//QAA8//OCNC=NQ45=100；＞gE、F在射线CB上，且

^^ZFOB=ZAOB,0E平分NCO/7

（1）求NEOB的度数；

（2）若平行移动AB,那么NO8U/O回。的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规

律.若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使NQEC=NQ3A?若存在，求出其度

数.若不存在，请说明理由.

18.如图1,CE平分NACO,AE平分NB4C,ZE4C+ZAC£=90

⑴请判断与co的位置关系并说明理由;

（2）如图2,当NE=90且A3与。。的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使

/MCE=/ECD,当直角顶点E点移动时，问血上与4/C。否存在确定的数量关系？并

说明理由.

（3）如图3,P为线段AC上一定点，点Q为直线CO上一动点且A8与CO的位置关系保持

不变，①当点。在射线CQ上运动时（点C除外），/CPQ+NCQP与/BAC有何数量关

系？猜想结论并说明理由.②当点。在射线。。的反向延长线上运动时（点C除外），

NCPQ+/CQP与/8AC有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由.

19.直线M/V与直线PQ垂直相交于0,点八在射线0P上运动，点8在射线0M上运

动,4、8不与点0重合，如图1,已知4：、8c分别是/84P和/A8M角的平分线，

（1）点48在运动的过程中，/ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出NACB的大小.

（2）如图2,将△A8c沿直线48折叠，若点C落在直线PQ上，则N48。=,

如图3,将△A8c沿直线A8折叠，若点C落在直线M/V上，则/八8。=

（3）如图4,延长84至G,已知N8A。、N04G的角平分线与N8。。的角平分线及其反

3

向延长线交于E、F,则N£4F=_；在中，如果有一个角是另一个角的彳倍，求NA8。

的度数.

20.如果三角形的两个内角。与夕满足2a+/=90。，那么我们称这样的三角形是“准互余

三角形

图1图2

(1)如图1,在中，ZAC8=90。，4。是一八3c的角平分线，求证：△4B。是

“准互余三角形〃；

(2)关于“准互余三角形”，有下列说法：

①在，A4C中，若NA=100。，N3=70。，ZC=10°,则一4?。是“准互余三角形”；

②若"3C是"准互余三角形"，ZC>90°,ZA=60°,则4=20。；

③“准互余三角形”一定是钝角三角形.

其中正确的结论是(填写所有正确说法的序号)；

(3)如图2,D,。为直线/上两点，点A在直线/外，且NABC=50。.若〃是直线/上一

点，且A48产是“准互余三角形”，请直接写出N4依的度数.

【参考答案】

一、解答题

1.(1)4；(2)不能，理由见解析.

【分析】

(1)根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

(2)先设未知数根据面积=14(cm2)列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方

形边长比较大小再

解析：(1)4；(2)不能，理由见解析.

【分析】

(1)根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

(2)先设未知数根据面积=14(cm?)列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方

形边长比较大小再判断即可.

【详解】

解：(1)两个正方形面积之和为：2x8=16(cm?),

・••拼成的大正方形的面积=16(cm2),

大正方形的边长是4cm；

故答案为:4；

(2)设长方形纸片的长为2xcm,宽为xcm,

则2x・x=14,

解得：x=出,

2x=2币>4,

「•不存在长宽之比为2:1且面积为14cm2的长方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根，能够根据题意列出算式是解此题的关键.

2.（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求

出长方形的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（

解析：（1）6分米；（2）满足.

【分析】

（1）由正方形面积可知，求出后的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3。分米，根据面积得出方程，求出求出长方形

的长和宽和6比较即可.

【详解】

解：（1）正方形工料的边长为质=6分米；

（2）设长方形的长为4。分米，则宽为3a分米.

则4a-3a=24,

解得：a=6.

长为4a»5.656<6,宽为3ap4.242<6.

「•满足要求.

【点睛】

本题主要考查了算术平方根及实数大小比较，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问

题.

3.（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段

作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

解析：（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即

可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.

【解析】

（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm

a2=400

又a>0

a=20

又要裁出的长方形面积为300cm2

若以原正方形纸片的边长为长方形的长，

则长方形的宽为：3004-20=15(cm)

・••可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符

合要求的长方形

(2)•.•长方形纸片的长宽之比为3：2

设长方形纸片的长为3xcm,则宽为2xcm

6x2=300

.,.x2=50

又「x>0

••-x=5x/2

长方形纸片的长为15〃

又(15V2)2=450>202

即：15a>20

小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片

4.(1)5：(2)：(3)2与3两个整数之间，见解析

【分析】

(1)通过割补法即可求出阴影正方形的面积；

(2)根据实数的性质即可求解；

(3)根据实数的估算即可求解.

【详解】

(1)阴影正方形的

解析：(1)5；(2)75;(3)2与3两个整数之间，见解析

【分析】

(1)通过割补法即可求出阴影正方形的面积；

(2)根据实数的性质即可求解；

(3)根据实数的估算即可求解.

【详解】

(1)阴影正方形的面积是3x3-4x；x2x1=5

故答案为；5；

(2)设阴影正方形的边长为X,则X2=5

Ax=x/5(-小舍去)

故答案为：石；

(3)"<逐<百

2〈逐〈3

阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间.

【点睛】

本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法.通过观察可知阴

影部分的面积是5个小正方形的面积和.会利用估算的方法比较无理数的大小.

5.8；

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为

8,然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4XX2X2=8；

正方形的边

解析：8；2&

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利

用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4X£X2X2=8；

正方形的边长=返=2及.

【点睛】

本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于。，即x2=a,那么这个正数x

叫做。的算术平方根.记为八.

二、解答题

6.(1)PBUQU；(2)当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，

PB'IIQ.C

【分析】

(1)求出旋转10秒时，NBPB，和NCQU的度数，设PB，与QC咬于0,过。作

OEIIAB,根

解析：(1)P8」QC；(2)当射线P8旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，P8」lQC

【分析】

(1)求出旋转10秒时，NBP&和NCQC的度数，设P8,与交于。，过。作OEIIAB,根

据平行线的性质求得NPOE和NQOE的度数，进而得结论；

(2)分三种情况：①当。〈区15时，②当15Vt$30时，③当30VtV45时，根据平行

线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间.

【详解】

解：(1)如图1,当旋转时间30秒时，由已知得NBPg=l(Txl2=120。，ZCQC=

3°xl0=30°,

过。作OEIIAB,

..W8IICD,

AtiWOEWCD,

ZPOE=1800-ZBPB1=60°,ZQOE=NCQC=30°,

ZPOQ=90°,

PB'±QC,

故答案为：PB,-LQC；

B.

E・

------J

D-（看用图）Q

(2)①当0VA15时,如图，则N8P8'=12t°,ZCQC*=45o+3to,

A8IICD,PB'WQC,

/.ZBPB'=Z.PEC=Z.CQC,

即12t=45+33

解得，t=5；

C’

B.r

D—---------•-C

/您用西Q

B1

②当15VM30时,如图,则N4P8，=12t-180。,ZCQC=3t+45°,

VABWCD,PB'WQC,

Z8P8'=NBEQ=NCQC,

即12t-180=45+3f,

解得，t=25；

8

砂

Dt)c

9

③当30<t<45时，如图，则NBPB'=12t-360°,ZCQC=3t+45°,

Cf

D_b

\

\\

B，

,/ABWCD,PB'WQC,

ZBPB'=NBEQ=NCQC,

即12f-360=45+36

解得，t=45；

综上，当射线P8旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，P&llQC.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（；题大键是分情况讨

论，运用方程思想解决几何问题.

7.（1）见解析；（2）见解析；（3）40°

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点H作HPIIAB,根据平行线的性质解答即可；

（3）过点H作HPIIAB,根据平行线的性质解答即可.

解析；（1）见解析；（2）见解析；（3）40°

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定解答即可：

（2）过点H作”PII48,根据平行线的性质解答即可；

（3）过点H作HPII48,根据平行线的性质解答即可.

【详解】

证明：（1）,：ABWCD,

•••ZAFE=NFED,

,/ZAG”=NFED,

ZAFE=£AGH,

EFWGH,

ZFEH+NH=180°,

•/FE±HE,

ZFEH=90°,

/.ZH=180°-ZFEH=90i,

HG±HE：

(2)过点AB,

图3

•「A8IICD,

MQWCD,

过点H作HPWAB,

'：AB\\CD,

HPIICD,

丁GM平分/HGB,

：.ZBGM=Z.HGM=gZBGH,

•「EM平分NHED,

ZHEM=tDEM=-^Z.HED,

,/MQWAB,

ZBGM=NGMQ,

1/MQWCD,

ZQME=ZMED,

：.ZGME=AGMQ+ZQME=4BGM+AMED,

,/HPIIAB,

ZBGH=Z.GHP=2NBGM,

,/HPllCD,

：.ZPHE=4HED=2AMED,

ZGHE=£GHP+APHE=24BGM+2NMED=2(ZBGA4+ZMED),

ZGHE=N2GME；

(3)过点M作MQIIAB,过点H作HPIIAB,

图3

由NKFE：ZMGH=13：5,设NKFE=13x,ZMGH=Sx.

由(2)可知：ZBGH=2AMGH=lOx.

,/ZAFE+N8FE=180°,

ZAFE=180°-lOx,

FK平分NAFE,

ZAFK=NKFE=gZAFE,

BP-(180-10x)=13x,

2

解得：x=5°,

Z8GH=10x=50°,

HPIIAB,HPWCD,

ZBGH=NGHP=50°,ZPHE=NHED,

,•1ZGHE-900,

：.ZPHE=4GHE-ZGHP=90°-50°=40°,

/.ZHE。=40°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线

是解题的关键.

8.(1)60°；(2)n°+40°；(3)n°+40°或n°-40°或220°-n°

【分析】

(1)过点E作EFIIAB,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度

数；

(2)同(1)中方法求解

解析：(1)60°；(2)ne+40°；(3)〃。+40。或。。-40。或220。力。

【分析】

(1)过点E作EFII4B,然后根据两直线平行内错角相等，即可求N8E。的度数：

(2)同(1)中方法求解即可；

(3)分当点8在点A左侧和当点8在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点f■作

EFWAB,由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可.

【详解】

解：(1)当。=20时，NA8C=40°,

过E作EFWAB,则EFWCD,

：.Z8EF=NABE,ZDEF=ZCDE,

BE平分/48C,DE平分/ADC,

/.ZBfF=ZABE=20°,ZDEF=ZCDf=40°,

ZBED=NBEF+ND£F=60°；

(2)同(1)可知:

Z8£F=NABE=n°,ZDEF"CDE=4Q°,

：.ZBEDS8EF+NO£F=〃°+40°；

(3)当点B在点人左侧时，由(2)可知：ZeED=n0+40°；

当点B在点A右侧时，

如图所示,过点E作EFIM8,

,/BE平分NABC,DE平分/ADC,ZABC=2n°fZADC=80°,

/.ZABE=^ABC=n°,ZCDG=^Z.ADC=40°,

VABWCDIIEF,

/.ZBEF=AABE=n°,ZCDG=ZD£F=40°,

ZBED=NBEF-Z.DEF=n0<0°；

••8E平分/ABC,。£平分N/WC,ZABC=2n\N4OC=80。,

NA8£=；N48C=〃。，NCOG=g//WC=40。，

・「4811CDIIEF,

/.ZBFF=1800-ZABE=180°-n°fZCDE=NDEF=40°,

Z8ED=/BEF+ZDEF=1805+400=2205；

如图所示，过点E作EFIMB,

BE平分/ABC,DE平分/ADC,ZABC=n°,ZADC=70a,

：.ZABG=^ZABC=n°,ZCDE=^Z4DC=40°.

■：ABWCDIIEF,

；./BEF=/ABG=n°,ZCDE=ZDEF=40%

Z8ED=NBEF-NDEF=n°~40°；

E

综上所述，ZBED的度数为〃。+40。或〃。-40。或220。-〃。.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角

之间关系是解题关键.

9.(1)ZBME=ZMEN-ZEND；ZBMF=ZMFN+NFND；(2)120°；

(3)不变，30°

【分析】

(1)过E作EHIIAB,易得EHIIABIICD,根据平行线的性质可求解；过F作

FHIIAB

解析：(1)NBME=NMEN-NEND；NBMF=NMFN+4FND；(2)120°；(3)不变,

30。

【分析】

(1)过E作EHII48,易得EHII4811C。，根据平行线的性质可求解；过F作FHIMB,易

得FHII4811CD,根据平行线的性质可求解；

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(ZBME+ZEND)+ZBMF-Z.FND=180\

可求解N8MF=60°,进而可求解：

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知/FEQ=g/8ME,进而可求解.

【详解】

解：(1)过E作EHWAB,如图1,

ZBME=/MEH,

,/ABWCD,

/.HEWCD,

ZEND=£HEN,

：.ZMEN=NMEH+/HEN=N8ME+NEND,

即/BME=NMEN-ZEND.

如图2,过F作FHIIAB,

ZBMF=NMFK,

,/ABWCD,

FHWCD,

/.ZFND=4KFN,

：.ZMFN=,MFK-ZKFN=Z.BMF-ZFND,

图2

故答案为NBME=AMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

(2)由(1)得NBME=£MEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

NE平分NFND,MB平分/FME,

ZFME=NBME+ABMF,ZFND=£FNE+NEND,

1/2ZMEN+NMFN=18Q*,

/.2(Z8ME+NEND)+/BMF-ZFND=180°,

：.2Z8A4E+2ZEND+NBMF-ZFND=180°,

即2NBMF+ZF/VO+NBMF-ZFND=180°,

解得NBMF=60°,

ZFME=2Z8MF=120°；

(3)NFEQ的大小没发生变化，ZFEQ=30°.

由(1)知：4MEN=NBME+NEND,

,/EF平分/MEN,NP平分/END,

I.乙FEN=g/MEN=gQBME+NEND),iENP=g4END,

,/EQIINP,

ZNEQ=NENP,

，2FEQ=NFEN-4NEQ=W(乙BME+乙END)-^END=^Z.BME,

•••ZBME=6Q°,

ZF£Q=-jx60o=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

10.(1)ZBME=NMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.(2)120°(3)

NFEQ的大小没发生变化，ZFEQ=30。.

【分析】

(1)过E作EHAB,易得EHABCD,根据平行线的性质

解析：(1)ZBME=NMEN-，END；NBMF=WMFN+NFND.(2)120°(3)NFEQ的

大小没发生变化，zFEQ=30°.

【分析】

(1)过E作EH//A8,易得EH/IAB//CD,根据平行线的性质可求解；过F作FH//48,易

得FHHABHCD,根据平行线的性质可求解：

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(N8ME+/END)+zBMF-AFND=

180。，可求解/BMF=60°,进而可求解；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知/FEQ=g/8ME,进而可求解.

【详解】

解：(1)过E作如图1,

图I

/.ZBME=NMEH,

,:AB"CD,

/.HE//CD,

ZEND=NHEN,

ZMEN=Z.MEH+NHEN=N8ME+NEND,

即NBME=NMEN-4END.

如图2,过F作FH//AB,

图2

/.ZBMF=NMFK,

•：AB//CD,

：.FH//CD,

/.ZFNO=/KFN,

：.ZMFN=NMFK-Z.KFN=/BMF-NFND,

UP：4BMF=NMFN+NFND.

故答案为NBME=NMEN-4END；ZBMF=NMF/V+NFND.

(2)由(1)得NBME=£MEN-NEND；NBMF=NMFN+NFND.

NE平分/FND,MB平分/FME,

：.ZFME=N8ME+NBMF,ZFND=AFNE+NEND,

1/2ZMEN+NMF/V=180・，

/.2(Z8ME+NEND)+/BMF-Z.F/VO=180°,

...2Z8ME+2NEND+NBMF-AFND=180°,

即2/8MF+NFND+，8MF-NFND=180°f

解得NBMF=60°,

ZFME=2A8MF=120°；

(3)NFEQ的大小没发生变化，ZFEQ=30°.

由(1)知：4MEN=NBME+NEND,

丁EF平分/MEN,NP平分NEND,

:.NFEN=；NMEN=gQBME+/END),4ENP=』，END,

,/EQ/jNP,

...ZNEQ=/ENP,

ZFEQ=NFEN-NNEQ=g(Z8ME+/END)END=g/BME,

ZBME=6Q°,

ZF£Q=gx60°=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键.

三、解答题

11.(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，ZBAC=2ZBCD

【分析】

(1)根据NBAM+NBAN=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度

数；

(2)设A灯转动t秒，

解析：(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，Z3AC=2ZBCD

【分析】

(1)根据N84M+N84V=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到/84V的度数；

(2)设八灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0VtV90时，根

据2t=1・(30+t),可得t=30；当90Vt<150时，根据1・(30+t)+(2M80)=180,可得

t=110；

(3)设灯4射线转动时间为t秒，根据N8AC=2t-108°,ZBCD=1260-ZBC4=t-54°,即可得

出N8AC：ZBCD=2：1,据此可得NBAC和/8CD关系不会变化.

【详解】

解：(1)N84M+/BAN=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,

ZB4A/=180°x-=72°,

5

故答案为：72；

(2)设八灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0VtV90时，如图1,

QCBP

,/PQIIMN,

ZPBD-Z.BDAf

,/ACWBD,

ZCAMMBDA,

：.ZCAMMPBD

2t=l・(30+t),

解得t=30；

②当90VtV150时，如图2,

•「PQIIMN,

：./PRD+/

1/ACWBD,

ZCAA/=ZBDA

ZP8D+NCAN=180°

1・(30+f)+(2M80)=180,

解得t=110,

综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行;

(3)/84C和/8CD关系不会变化.

理由：设灯八射线转动时间为t秒，

QBDP

ZBAC=72°-(1800-2r)=2t-108°,

又•「ZABC=108°-t,

Z8C4=180°-ZABC-Z.84c=180”,而/ACD=126°,

/.ZaCD=1260-ZBC4=126#-(1800-t)=t-54°,

/.ZBAC：ZBCD=2：1,

即NBAC=2ZBCD,

/.Z84c和/BCD关系不会变化.

【点睛】

本题主要考查J'平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想

进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等：两直线平行，同旁内角互补.

12.(1)；(2)；⑶不发生变化，理由见解析

【分析】

⑴如图1,延长DE交AB于点F,根据平行线的性质推出；

(2)如图2,过点E作ESIIAB,过点H作HTIIAB,根据ABIICD,ABIIE

解析：⑴ZAC4+NBEO=180。；(2)1(X)。；⑶不发生变化，理由见解析

【分析】

⑴如图1，延长DE交48于点F,根据平行线的性质推出NAC8+N8EO=18()。；

(2)如图2,过点E作ESIIA8,过点H作/'/"I48,根据八811CD,A8IIES推出

/BED=ZABE+/CDE,再根据4811TH,八811C。推出NG〃O=N777D-N*78,最后根

据/BED比NBHD大60得出NBED的度数；

⑶如图3,过点E作EQIION,根据NQ£8=NCQE+N/W£得出〃一。的度数，根据条件

再逐步求出NPBM的度数.

【详解】

⑴如答图1所示，延长DE交48于点F.

ABWCD,所以ND=NEFB,

又因为NA=ZD,所以/4=/瓦3,所以4CII0F,所以NAC8=NCE0.

因为/CE£>+N8&)=180。，所以NAC8+N8E0=I8O°.

⑵如答图2所示，过点E作的148,过点H作H7IIA8,

设ZABG=NEBG=a,/FDH=ZEDH=0,

因为A8IICD,>4811ES,所以ZABE=NBES,/SED=NCED,

所以/BED=NBES+NSED=/ABE+ZCDE=2。+180。一2/,

因为A8IITH,ABWCD,所以/ABG=NTHB,4FDH=/DHT,所以

ZGHD=XTHD-XTHI3=p-a,

因为N8EO比大60。，所以2a+18()。—26一(/?-0=60。，所以〃一仪=40。，所以

NBHD=400,所以NBED=IOO。

⑶不发生变化

如答图3所示，过点E作EQIIDN.

设4CDN=4EDN=a,4EBM=/KBM=0,

由(2)易知NOE8=NCDE+NA8E,所以2。+180。-2£=I(X)。，所以/-1=40。，

所以/DEB=NCDE+NEDN+1800-(NEBM+NPBM)=a+180。-P-Z.PBM,

所以NPBM=80°-(/7-a)=40°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度

的度数是解题的关键.

13.（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂

直，从而得到直线；

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线.

（2）先根据

解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过产点折纸，使痕迹垂直直线〃，然后过P点拧纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而

得到直线R

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线。的垂线.

（2）先根据平行线的性质得到再利用角平分线的定义得到/2=/3,

然后根据平行线的判定得到结论.

【详解】

故答案为垂；

（2）证明：平分4AC,CF平分NBCD（已知），

=Z3=Z3（角平分线的定义），

-AB//CD（已知），

:.ZABC=ZBCD（两直线平行，内错角相等），

.-.2Z2=2Z3（等量代换），

.•.N2=N3（等式性质），

：.BE/ICF（内错角相等，两直线平行）.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合

了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关健是熟悉基本几何图形的性质，结

合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线的性质与

判定.

14.（1）；（2）,证明见解析；（3）,证明见解析.

【分析】

（1）过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平

行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可彳导；

解析：（1）90°；（2）ZAPC=2ZAEC,证明见解析；（3）Z4PC+2Z4EC=360°,证

明见解析.

【分析】

（1）过点E作EF//AB,先根据平行线的性质、平行公理推论可得

ZAEF=/BAE/CEF=NDCE,从而可得ZAEC=/BAE+/DCE,再根据平行线的性质可

得NA43+NPC£）=180。，然后根据角平分线的定义可得

NBAE=gNPAB.ZDCE=:/PCD,最后根据角的和差即可得；

（2）过点E作痔〃/$,过点P作PQ〃AB,先根据（1）可得

ZAEC=/BAE+/DCE=；（/PAB+NPCD）,再根据（1）同样的方法可得

ZAPC=/PAB+/PCD,由此即可得出结论；

（3）过点、E作EF//AB,过点尸作PQ/A4,先根据（1）可得NPAB+NPCD=2ZAEC,

再根据平行线的性质、平行公理推论可得N4PQ=180O-NPAB,/CPQ=180O-NPC。，然

后根据角的和差、等量代换即可得出结论.

【详解】

解：（1）如图，过点E作EF//AB,

:.ZAEF=^BAE,

QAB//CD,

：.EF/fCD,

/.4CEF=/DCE,

..ZAEC=ZAEF十zLCEF=々BAE十zLDCE,

又QA8//CD,且点P运动到线段AC上,

ZE4B+ZPCD=180°,

,「AE平分Z4B,CE平分NPCD,

:"BAE=-/PAB,ZDCE=-4PCD,

22

?.ZAEC=-ZPAB+-4PCD=-(ZPAB+/PCD)=90°；

222

(2)猜想NAPC=2NA£C,证明如下：

如图，过点E作所〃AB,过点P作PQ//A3,

由(1)已得：NAEC=NBAE+NDCE=八B+/PCD),

2

同理可得；ZAPC=NPABI/PCD,

:.ZAPC=2ZAEC；

(3)ZAPC+2ZA£C=360°,证明如下：

过点/，作PQ///W,

由(1)已得：ZAEC=Z.BAE+^DCE=-(^PAB+ZPCD),

2

即/PAB+ZLPCD=2ZAEC,

•/PQ//AB,

NAPQ+NPAB=180°,即ZAPQ=\80°-4PAB,

QAB〃CD,

PQ//CD,

ZCPQ+ZPCD=180°,即ZCPQ=180°-ZPCD,

AAPC=ZAPQ+ZCPQ,

=180°-NPAB+180°-4PCD,

=360°-(ZE4fi+ZPCD),

=360°-2ZAEC,

即ZAPC+2ZAEC=360°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的

性质是解题关键.

15.(1)2a；(2)EF_LPQ,见解析；(3)NNEF=NAMP,见解析

【分析】

1)如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

(2)根据已知条件可得2ZEPQ+2NPEF=

解析：(1)2a；(2)EF_LPQ,见解析；(3)ZNEF=yZAMP,见解析

【分析】

1)如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

(2)根据已知条件可得2ZEPQ+2NPEF=180°,进而可得EF与PQ的位置关系；

(3)结合(2)和已知条件可得NQNE=NQEN,根据三角形内角和定理可得/QNE=g

(180°-ZNQE)=y(180°-3a),可得NNEF=1800-NQEF-NNQE-NQNE,进而可

得结论.

【详解】

图①

ABIICD,

ABIICDIIPR,

/.ZAMP=ZMPR=a,NPQN=NRPQ=a,

/.ZMPQ=ZMPR+ZRPQ=2a：

(2)如图②，EFJ_PQ,理由如下：

A

C

图⑵

•「PQ平分NMPN.

ZMPQ=ZNPQ=2a,

QEIIPN,

ZEQP=ZNPQ=2a,

/.ZEPQ=NEQP=2a,

EF平分NPEQ,

ZPEQ=2ZPEF=2ZQEF,

,/ZEPQ+ZEQP+ZPEQ=180°,

2ZEPQ+2NPEF=180°,

ZEPQ+ZPEF=90%

/.ZPFE=180°-90*=90%

/.EF±PQ；

(3)如图③，ZNEF=|zAMP,理由如下:

图③

由(2)可知:ZEQP=2a,ZEFQ=90°,

/.ZQEF=90°-2a,

,/ZPQN=a,

ZNQE=NPQN+NEQP=3a,

NE平分NPNQ,

/.ZPNE=ZQNE,

,/QEIIPN,

/.ZQEN=NPNE,

/.ZQNE=ZQEN,

,/ZNQE=3a,

NQNE=；(180°-ZNQE)=y(180°-3a),

/.ZNEF=180°-ZQEF-ZNQE-ZQNE

=180°-(90°-2a)-3a-(1800・3a)

3

=180°-90°+2a-3a-90c+-a

2

=?a

AMP.

/.ZNEF=、NAMP.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

四、解答题

16.(1),理由详见解析；(2),理由详见解析：(3)①；②360。；

(4)；

【分析】

（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；

（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结

解析：（1）“心+NB+NC,理由详见解析；（2）乙4+NO=N4+NC,理由详见解

析：（3）①NO=9（T+gzA；（2）360°；（4）ZE=124°；ZF=14°.

【分析】

（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；

（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；

（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；

②连结